1.3直线的方程（题型专练）数学北师大版2019选择性必修第一册

1.3直线的方程 题型一：点斜式和斜截式 1．倾斜角为的直线过点，则的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据直线的倾斜角求斜率，利用点斜式可得直线方程. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以其斜率为. 根据点斜式可得直线方程为：，即. 故选：D 2．已知直线倾斜角为，在轴上的截距为，则此直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线斜率，根据直线的斜截式方程，即可求得答案. 【详解】因为直线倾斜角为，故直线的斜率为, 又直线在轴上的截距为，故直线方程为, 故选：D 3．过点且斜率为2的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点斜式求得直线的方程，求得直线与坐标轴的交点坐标，从而求得三角形的面积. 【详解】依题意得直线的方程为，即， 则直线与坐标轴的交点分别为， 所以． 故选：B 4．已知直线过点，将直线绕点逆时针旋转与轴重合，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线的倾斜角，再由点斜式即可得出答案. 【详解】直线过点，将直线绕点逆时针旋转与轴重合， 所以直线的倾斜角为，所以， 直线的方程为：. 故选：D. 题型二：两点式 1．经过两点的直线方程可以表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线两点式方程可得答案. 【详解】当经过的直线不与轴、轴平行时， 所有直线均可以用表示， 由于可能相等，也可能相等， 所以只有选项C满足包括与轴、轴平行的直线． 故选：C． 2．经过点的直线的两点式方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点式方程的定义结合已知条件求解 【详解】因为直线经过点， 所以由方程的两点式可得直线方程为，即． 故选：A 3．经过点的直线在轴上的截距是（ ） A．-10 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】利用两点式直线方程，令，来求直线在轴上的截距． 【详解】由两点式直线方程得：， 整理得：，再令，解得， 故选：A． 4．已知的三个顶点分别为，M为AB的中点，则中线CM所在直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得点M的坐标，由直线的两点式方程求解. 【详解】点M的坐标为(2,1)，由直线的两点式方程得，即. 故选：D 题型三：一般式 1．已知直线的一般式方程为，则（ ） A．直线的截距式方程为 B．直线的截距式方程为 C．直线的斜截式方程为 D．直线的斜截式方程为 【答案】A 【分析】将直线方程化为截距式、斜截式即可判别. 【详解】由得， 直线的截距式方程为：，即. 直线的斜截式方程为：. 故选：A. 2．已知直线：．下列说法正确的是（ ） A．倾斜角为 B．倾斜角为 C．方向向量可以是 D．方向向量可以是 【答案】A 【分析】求出直线的斜率，然后可计算出倾斜角，由此可判断AB；根据方向向量可求直线斜率，由此可判断CD. 【详解】由直线：，即， 则直线的斜率为，倾斜角为，故A正确，B错误； 当直线方向向量为时，直线的斜率为，故C错误； 当直线方向向量为时，直线的斜率为，故D错误. 故选：A. 3．若直线经过第一、二、四象限，则（ ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】将直线化为斜截式，利用直线过第一、二、四象限，得斜率为负值，纵截距为正值，即可得出结论. 【详解】由题意直线经过第一、二、四象限， 所以直线的斜率为负值，纵截距为正值. 直线方程化为斜截式：， 所以斜率且纵截距， 所以且， 故选：B. 4．若直线的截距式方程化为斜截式方程为，化为一般式方程为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将化为一般式，结合条件有，且，即可求解. 【详解】易知，由，得到， 由已知一般式方程为，所以有， 则，解得， 又，， 所以，则， 故选：A. 题型四：截距式 1．过、两点的直线方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由截距式得到直线方程. 【详解】由截距式可得直线方程为，A正确，BCD错误. 故选：A 2．直线在两坐标轴上的截距之和为，则实数（ ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】令表示出，得到直线的纵截距．令表示出，得到直线的横截距，根据题意列方程求解． 【详解】直线， 令，解得，令，解得， 由题意得：，解得． 故选：B 3．已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】当直线经过原点时，直线方程为；当直线不经过原点时，设直线方程为，把点的坐标代入即可得出． 【详解】由题得当直线在坐标轴上的截距均为0时，直线方程为，即； 当直线在坐标轴上的截距均不为0时，直线方程可设为， 将代入可得，此时直线方程为． 综上，直线的方程为或． 故选：C. 4．直线过且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程为____________________________. 【答案】或 【分析】可用截距式设直线方程，代入点即可得到答案（注意讨论截距等于0的情况）. 【详解】设直线的截距为a， 情况一：截距非零（) 此时直线方程为截距式：，代入点： 因此直线方程为：； 情况二：截距为零（) 此时直线过原点，设方程为：， 代入点：， 因此直线方程为. 故答案为：或. 题型五：直线方程（综合） 1．（多选）下列说法正确的有（ ） A．直线倾斜角越大，斜率越大 B．过点的直线方程是 C．经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条 D．直线在y轴上的截距是 【答案】CD 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系可得选项A错误；根据直线两点式方程的限制条件可得选项B错误；计算直线过原点和不过原点时的直线方程可得选项C正确；根据截距的概念可得选项D正确. 【详解】A.当直线倾斜角为钝角时，直线斜率，当直线倾斜角为锐角时，直线斜率，故A错误. B.当时，过点的直线方程是，故B错误. C.当直线过原点时，由直线过点可得直线斜率，故直线方程为. 当直线不过原点时，设直线方程为， 把点代入直线方程得，解得，故直线方程为， 综上得，经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条，故C正确. D.对于直线，令，得，故直线在y轴上的截距是，故D正确. 故选：CD. 2．（多选）下列说法错误的是（ ） A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 B．经过点且斜率为的直线方程为 C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 D．直线x=1的斜率为0 【答案】ABD 【分析】根据直线的斜率与倾斜角的定义判断AD，利用点斜式直线方程求解判断B，利用直线与坐标轴的围成面积求解判断C. 【详解】当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为，斜率不存在， 所以直线的斜率不存在，所以AD错误； 对于B，过点且斜率为的直线的方程为即，错误； 对于C，对于直线，令，则，令则， 则在轴上的截距为，在轴上的截距为， 所以与坐标轴围成的三角形的面积为，正确. 故选：ABD 3．（多选）下列说法正确的是（ ） A．直线的倾斜角为 B．方程与方程可表示同一直线 C．经过点，且在，轴上截距互为相反数的直线方程为 D．过两点，的直线都可用方程表示 【答案】AD 【分析】对于A，先求斜率，进而可得倾斜角；对于B，注意区分方程与方程的不同之处，对于C，设直线l：，进而可得截距，根据题意进行求解即可，对于D，根据两点式方程的变形进行判断即可. 【详解】对于选项A：直线的斜率， 所以倾斜角为，故A正确； 对于B，表示过点，斜率为的直线，但不含点， 而表示过点，斜率为的直线，且含点，故B错误； 对于C：因为直线经过点，故斜率存在且不为0， 设直线为，令，则；令，则， 因为在，轴上截距互为相反数，则， 解得或， 所以直线方程为或，故C错误； 对于D，方程为直线两点式方程的变形， 可以表示经过任意两点，的直线，故D正确. 故选：AD. 4．（多选）下列说法正确的是（ ） A．若直线经过第一､二､四象限，则点在第三象限 B．直线过定点 C．斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为 D．过点且斜率为的直线的点斜式方程为 【答案】BD 【分析】根据直线的点斜式方程、斜截式方程逐一判断即可. 【详解】因为直线经过第一､二､四象限， 所以有，因此点在第二象限，所以选项A不正确； 由，所以直线过定点， 因此选项B正确； 斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为， 所以选项C不正确； 过点且斜率为的直线的点斜式方程为， 所以选项D正确， 故选：BD 5．一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，求反射光线所在的直线方程____________________. 【答案】 【分析】根据入射光线与反射光线所在直线的斜率关系，即可求反射光线所在直线的斜率，再代入点斜式直线方程，即可求解. 【详解】由条可知入射光线和反射光线所在直线的斜率互为相反数， 入射光线的斜率，所以反射光线所在直线的斜率为，且过点， 所以反射光线所在的直线方程为，即. 故答案为： 题型一：直线过定点 1．直线必过定点（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将直线分离参数为，令，可得定点. 【详解】根据题意，直线， 即， 令，得， 故直线必过定点. 故选：B 2．已知直线，则直线恒过定点（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形给定的直线方程，再解方程组求出定点. 【详解】直线，由，解得， 所以直线恒过定点. 故选：C 3．若直线恒过定点A，则点A的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线化为，据此可得定点坐标. 【详解】， 令，解得，则所过定点为. 故选：C 4．已知直线在轴上的截距是轴上截距的倍，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得，分和两种情况讨论即可，求出直线在两坐标轴上的截距，结合题意可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】依题意可得， 当时，直线为，此时横纵截距都等于，满足题意； 当时，将直线的方程化为截距式方程可得， 直线在轴上的截距为，在轴上截距， 则，得或（舍去）. 综上所述，的值为或． 故选：C. 5．设，若直线与线段AB有交点，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直线恒过定点，若直线与线段有交点，画图图形，求出临界时直线的斜率与直线的斜率，即可得解. 【详解】由得， 因此直线过定点，且斜率， 如图所示，当直线由直线按顺时针方向旋转到直线的位置时，符合题意． 易得，． 结合图形知或，解得或， 即的取值范围是． 故选：C 题型二：三角形的中线 1．（多选）已知的三个顶点、、，则下列说法正确的是（ ） A．直线的斜率为 B．直线的倾斜角为锐角 C．边的中点坐标为 D．边上的中线所在的直线方程为 【答案】CD 【分析】利用直线的斜率公式可判断A选项；利用直线斜率与倾斜角的关系可判断B选项；利用中点坐标可判断C选项；利用直线的两点式方程可判断D选项． 【详解】对于A，直线AC的斜率为，故A错误； 对于B，直线AB的斜率为，所以直线AB的倾斜角为钝角，故B错误； 对于C，设BC边的中点为，则，即点，故C正确； 对于D，BC边上的中线AD所在的直线方程为，整理得，故D正确． 故选：CD． 2．已知的三个顶点分别是，则边上的中线所在直线方程为________________________. 【答案】 【分析】求出边的中点坐标及对应中线所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求得答案. 【详解】依题意，边的中点，则边上的中线所在直线的斜率， 所以上的中线所在直线方程为. 故答案为： 3．三角形ABC的三个顶点分别为，边上的中线所在直线的方程为_______________. 【答案】 【分析】先求出的中点坐标，求出中线的斜率，再用点斜式求出直线方程. 【详解】设的中点为,∵，则点的坐标为， ∴的斜率, ∴直线的方程为，即, 故答案为： . 4．已知三个顶点的坐标分别为、、，求 (1)边所在直线的方程； (2)边上的中线所在直线的方程. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）首先求出直线的斜率，再由点斜式求出直线方程； （2）首先求出的中点的坐标，即可求出中线的斜率，再由斜截式求出直线方程. 【详解】（1）因为、，所以， 所以边所在直线的方程为，即； （2）因为、，所以的中点为，不妨记， 又，所以， 所以边上的中线所在直线的方程为，即. 题型三：直线的位置关系 1．设，若直线l：不经过平面直角坐标系的第一象限，则a的取值范围为____________________． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率及纵截距，再列出不等式组求解. 【详解】直线：的斜率为，纵截距为， 当，即时，直线过第一象限，不符合题意， 则由直线不经过第一象限，得，解得， 所以a的取值范围为. 故答案为： 2．已知，，直线将分割成面积相等的两部分（O为坐标原点），则_________________. 【答案】 【分析】分类讨论，当直线与线段交于点时，经计算得不合题意，当直线与线段交于点时，根据可求得点的坐标，即可得到直线的斜率. 【详解】 由题意得，直线过定点，. 如图1，当直线与线段交于点时，， ，不合题意. 如图2，当直线与线段交于点时， 由，得直线方程为，即. 中，设边上的高为，则，即，解得，故. ∵点在直线上，∴，即， ∴. 故答案为：. 3．已知直线过定点，若直线在两坐标轴上的截距相等，则的斜率的值为____________；若直线不经过第三象限，则的取值范围是_______________． 【答案】-1或； 【分析】设直线为，分别令，，得到直线在x，y轴上的截距，再由相等求解，由直线为，根据题意，由求解. 【详解】解：因为直线过定点，且直线在两坐标轴上的截距相等，所以， 设直线为：，令，得，令，得， 依题意可得，即，解得或； 由直线可得：， 若不经过第三象限，则． 故答案为：-1或， 4．直线经过平面直角坐标系的第一、第二与第四象限，则实数的取值范围是__________________. 【答案】 【分析】由条件转化为关于直线特征的不等式，即可求解. 【详解】直线的斜率，，直线与轴的交点为，， 由题意可知，，解得：或. 故答案为： 1．直线的方程为，. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值. 【答案】(1)或；(2)或 【分析】（1）根据直线截距的概念，分别令、列式求解即可； （2）分别求出直线在轴、轴的截距，代入三角形面积公式可得，直接解一元二次方程求解. 【详解】（1）当即时，直线的方程为，不满足题意； 当，即时，令得，令，得， 由截距相等得，解得或， 当时，直线的方程为，当时，直线的方程为， 故综上所述，所求直线的方程为或． （2）由题意知，，，且在轴、轴上的截距分别为、， 所以，解得， 所以的面积， 由题意知，化简得，解得或，均满足条件， 所以或． 2．已知直线． (1)求直线所过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图象可得出关于实数的不等式，解之即可； （3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【详解】（1）由，即， 则，解得，所以直线过定点. （2）因为直线不过第四象限，结合图形可知，直线的斜率存在，所以， 此时，直线的方程可化为，记点，则， 由图可得，解得，因此，实数的取值范围是. （3）已知直线，且由题意知， 令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 3．已知直线经过点，且与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点为坐标原点. (1)若直线在两坐标上的截距相等，求直线的方程； (2)求面积的最小值及此时直线的方程. 【答案】(1)；(2)24， 【分析】（1）根据题意，假设直线的方程为，代入所经过点即可得解； （2）利用直线的截距式方程，结合基本不等式求得，从而得到的面积的最小值与直线的方程，从而得解. 【详解】（1）由题意可知直线不经过原点， 又直线在两坐标上的截距相等，设直线的方程为， 代入点，得，解得， 故直线的方程为，即. （2）依题意，设直线的方程为， 则，且， 所以，解得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的面积， 即的面积的最小值为， 此时直线的方程为，即. 4．已知直线经过点. (1)若不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求的方程； (2)设的斜率与两坐标轴的交点分别为，当的面积最小时，求的斜截式方程. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）设的点斜式方程为，求出两坐标轴上的截距，求出，即可得解； （2）求出两坐标轴上的截距，再根据的面积结合基本不等式求出的面积最小时的值，即可得解. 【详解】（1）由题意知，的斜率存在且不为0， 设斜率为，则的点斜式方程为， 则它在两坐标轴上截距分别为和， 所以，解得（此时直线过原点，舍去）或， 所以的点斜式方程为，即； （2）由（1）知，，， 所以的面积， 当且仅当即时，等号成立， 的点斜式方程为， 所以的斜截式方程为. 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3直线的方程 题型一：点斜式和斜截式 1．倾斜角为的直线过点，则的方程为（ ） A． B． C． D． 2．已知直线倾斜角为，在轴上的截距为，则此直线方程为（ ） A． B． C． D． 3．过点且斜率为2的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A． B． C． D． 4．已知直线过点，将直线绕点逆时针旋转与轴重合，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 题型二：两点式 1．经过两点的直线方程可以表示为（ ） A． B． C． D． 2．经过点的直线的两点式方程为（ ） A． B． C． D． 3．经过点的直线在轴上的截距是（ ） A．-10 B．10 C． D． 4．已知的三个顶点分别为，M为AB的中点，则中线CM所在直线的方程为（ ） A． B． C． D． 题型三：一般式 1．已知直线的一般式方程为，则（ ） A．直线的截距式方程为 B．直线的截距式方程为 C．直线的斜截式方程为 D．直线的斜截式方程为 2．已知直线：．下列说法正确的是（ ） A．倾斜角为 B．倾斜角为 C．方向向量可以是 D．方向向量可以是 3．若直线经过第一、二、四象限，则（ ） A．且 B．且 C．且 D．且 4．若直线的截距式方程化为斜截式方程为，化为一般式方程为，则（ ） A． B． C． D． 题型四：截距式 1．过、两点的直线方程是（ ） A． B． C． D． 2．直线在两坐标轴上的截距之和为，则实数（ ） A． B． C． D．2 3．已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（ ） A． B． C．或 D．或 4．直线过且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程为____________________________. 题型五：直线方程（综合） 1．（多选）下列说法正确的有（ ） A．直线倾斜角越大，斜率越大 B．过点的直线方程是 C．经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条 D．直线在y轴上的截距是 2．（多选）下列说法错误的是（ ） A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 B．经过点且斜率为的直线方程为 C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 D．直线x=1的斜率为0 3．（多选）下列说法正确的是（ ） A．直线的倾斜角为 B．方程与方程可表示同一直线 C．经过点，且在，轴上截距互为相反数的直线方程为 D．过两点，的直线都可用方程表示 4．（多选）下列说法正确的是（ ） A．若直线经过第一､二､四象限，则点在第三象限 B．直线过定点 C．斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为 D．过点且斜率为的直线的点斜式方程为 5．一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，求反射光线所在的直线方程____________________. 题型一：直线过定点 1．直线必过定点（ ） A． B． C． D． 2．已知直线，则直线恒过定点（ ） A． B． C． D． 3．若直线恒过定点A，则点A的坐标为（ ） A． B． C． D． 4．已知直线在轴上的截距是轴上截距的倍，则的值为（ ） A． B． C． D． 5．设，若直线与线段AB有交点，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型二：三角形的中线 1．（多选）已知的三个顶点、、，则下列说法正确的是（ ） A．直线的斜率为 B．直线的倾斜角为锐角 C．边的中点坐标为 D．边上的中线所在的直线方程为 2．已知的三个顶点分别是，则边上的中线所在直线方程为________________________. 3．三角形ABC的三个顶点分别为，边上的中线所在直线的方程为_______________. 4．已知三个顶点的坐标分别为、、，求 (1)边所在直线的方程； (2)边上的中线所在直线的方程. 题型三：直线的位置关系 1．设，若直线l：不经过平面直角坐标系的第一象限，则a的取值范围为____________________． 2．已知，，直线将分割成面积相等的两部分（O为坐标原点），则_________________. 3．已知直线过定点，若直线在两坐标轴上的截距相等，则的斜率的值为____________；若直线不经过第三象限，则的取值范围是_______________． 4．直线经过平面直角坐标系的第一、第二与第四象限，则实数的取值范围是__________________. 1．直线的方程为，. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值. 2．已知直线． (1)求直线所过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 3．已知直线经过点，且与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点为坐标原点. (1)若直线在两坐标上的截距相等，求直线的方程； (2)求面积的最小值及此时直线的方程. 4．已知直线经过点. (1)若不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求的方程； (2)设的斜率与两坐标轴的交点分别为，当的面积最小时，求的斜截式方程. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$