精品解析：湖南省长沙市岳麓实验中学2024-2025学年高一下学期6月月考数学试题

高一数学试卷 一、单选题 1. 在锐角中，A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理化转化为，根据三角恒等变换与三角形的内角和定理得出A与B的关系，化，求出它的取值范围即可. 【详解】解：锐角中，， ， ， ， ， ，即，若，则，不符合题意舍去； ， ，， ， 又 ， 即取值范围是 故选：B. 2. 已知集合，且，则下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的结论及包含关键判断． 【详解】因为，所以，所以 故选：D 3. 已知集合，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式求得集合A,根据集合的交集运算可求得答案. 【详解】由题意得， 故 故选:C 4. “”是“关于x的一元二次不等式的解集为R”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式恒成立的条件可推出“”，根据充分条件、必要条件的定义可判断出答案. 【详解】充分性：若，，一元二次不等式的解集为，即充分性不成立； 必要性：若一元二次不等式的解集为，则，即必要性成立. 因此，“”是“一元二次不等式的解集为”的必要不充分条件. 故选：B. 5. 已知函数为不相等的两个实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由已知结合对数的运算性质检验充分性以及必要性即可判断. 【详解】因为函数为不相等的两个实数，不妨设， 当时，有，即，解得， 当时，，，即， 当时，，，即，， 则， 当时，一定有，且，则， 所以“”是“”的充分必要条件； 故选：C 6. 已知定义在上的函数满足，当时，.若，则实数的取值范围是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得的奇偶性、对称性与周期性，即可得到的图象，即可得到，，解得即可. 【详解】因为，所以为奇函数； 又因为，所以关于直线对称； 由知的一个周期为. 因为当时，，所以在上单调递增， 函数的图象如图所示， 根据图象可知，若，则，， 解得，， 所以实数的取值范围是，. 故选：D． 7. 已知集合，，，则集合的子集共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 8个 【答案】C 【解析】 【分析】首先用列举法表示出集合、，即可求出集合，再求出其子集个数. 【详解】因为，又， 所以，所以，则集合的子集共有个． 故选：C 8. 已知，若关于x的方程存在正实根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简，令，转化为有解，设，利用导数求得函数的单调性，结合，得到存在唯一零点，转化为在有解，令，利用导数求得函数的单调性，得到，即可求解. 【详解】由题意得，， 令，问题转化为有解， 设，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 又由，所以存在唯一零点，即在有解， 即，令，则， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得， 故实数的取值范围为. 故选：B. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 二、多选题 9. 已知复数（其中为虚数单位）下列说法正确的是（ ） A. 复数在复平面上对应的点可能落在第二象限 B. 可能为实数 C. D. 的虚部为 【答案】BC 【解析】 【分析】 分、、三种情况讨论，可判断AB选项的正误；利用复数的模长公式可判断C选项的正误；化简复数，利用复数的概念可判断D选项的正误. 【详解】对于AB选项，当时，，，此时复数在复平面内的点在第四象限； 当时，； 当时，，，此时复数在复平面内的点在第一象限. A选项错误，B选项正确； 对于C选项，，C选项正确； 对于D选项，， 所以，复数的虚部为，D选项错误. 故选：BC. 10. 已知实数m，n满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用作差法比较大小，可判断A,B,利用指数函数和幂函数的单调性，可判断C;根据对数函数的单调性，可判断D. 【详解】由知， ，故，A正确； 由得，，所以，即，故B错误； 因为指数函数为单调减函数，故， 由幂函数 为单调增函数知 ，故，故C正确； 根据, 对数函数 为单调减函数, 故，故D错误， 故选：AC 11. 如图，设E，F分别是正方体的棱DC上两点，且，，其中正确的命题为（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 异面直线与所成的角为60° C. 直线与平面所成的角为30° D. 二面角的平面角为45° 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意画出图形，结合体积公式、线线角、线面角及二面角的求解逐项判断即可． 【详解】解：如图所示， 对A，三棱锥的体积为为定值，A正确； 对B，，或其补角是异面直线与所成的角，为，B错误； 对C，取的中点，连结，则平面， 为直线与平面所成的角，所以， 所以直线与平面所成的角为30°，故C正确； 对D，，均与交线垂直，所以二面角的平面角为， ，故D正确． 故选：ACD 三、填空题 12. 函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意可知，，即可求出结果. 【详解】由题意可知，，解得，所以的定义域为. 故答案为： 13. 已知和点满足，若存在实数、使得成立，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】由平面向量的减法法则将所给向量都转化为以为起点，再利用平面向量的线性运算进行求解. 【详解】因为， 所以， 即， 所以， 则，所以. 故答案为：1. 14. 的内角，，的对边分别为，，，若，则面积的最大值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知结合可得，，即，可得三角形为直角三角形，根据三角形面积公式和均值不等式求得结果. 【详解】，所以，所以， 此时，， 因为，， 故，当且仅当时等号成立， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据正弦函数的有界性及可求出，进而求出为直角，是解题的关键. 四、解答题 15. 已知，，． （1）求与的夹角； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入向量的夹角公式，即可求解； （2）根据向量数量积的运算律和夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 ，且， 所以，所以与的夹角为； 【小问2详解】 . 16. 计算下列各式： （1） （2） 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）运用指数幂运算性质进行计算即可； （2）运用对数的运算公式，结合换底公式进行求解即可. 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 原式 . 17. 函数一段图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，求函数在的值域. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据图象可求得与周期，进而求得，再利用正弦函数性质求出即可. （2）先根据平移变换求出解析式，再利用辅助角公式化简，并求出函数值域得解. 【小问1详解】 观察图象，得，函数的周期，解得，即， 由，得，即，而，则， 所以函数的解析式是. 【小问2详解】 由（1）得， 则 ，当时，， 有，于是， 所以所求值域为. 18. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b=2，且． （1）求角B的大小； （2）若是锐角三角形，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意和余弦定理，求得，再结合余弦定理求得，即可求解； （2）由（1）可得，，化简，根据是锐角三角形求得，得到，即，结合面积公式，即可求解. 【小问1详解】 解：由余弦定理可得，整理得， 又由， 因为，所以． 【小问2详解】 解：由（1）可知：，所以，， 故， ， 因为是锐角三角形，，解得， 可得，所以，故， 又由的面积，所以． 19. 已知实数满足； （1）求证：； （2）将上述不等式加以推广，把的分子改为另一个大于的自然数，使得对任意的恒成立，请加以证明； （3）从另一角度推广，自然数满足什么条件时，不等式对任意恒成立，请加以证明. 【答案】（1）证明见解析；（2）2或3，证明见解析；（3），证明见解析 【解析】 【分析】 （1）不等式变形为证明，由基本不等式易证； （2）不等式变形为，由（1）可得最小值．即得的范围． （3）类似（1）得，由基本不等式求得的最小值，从而可得结论． 【详解】（1）因为， 要证，即证， 只要证， 而，当且仅当．即或时等号成立， 所以原不等式成立； （2）由（1）恒成立，由（1）最小值为4，所以，，所以2或3； （3）类似（1）不等式恒成立，即， 而，当且仅当，即时等号成立， 所以，即． 所以当自然数满足时，不等式对任意恒成立． 【点睛】方法点睛：本题考查不等式恒成立问题，考查用基本不等式求和最小值．解题关键是凑出积的定值，三个小题层层递进，推理方法类似，是类比推理的简单体现． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试卷 一、单选题 1. 在锐角中，A，B，C对边分别是a，b，c，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，且，则下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，则为（ ） A. B. C. D. 4. “”是“关于x的一元二次不等式的解集为R”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数为不相等两个实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知定义在上的函数满足，当时，.若，则实数的取值范围是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 已知集合，，，则集合的子集共有（ ） A 2个 B. 3个 C. 4个 D. 8个 8. 已知，若关于x的方程存在正实根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知复数（其中为虚数单位）下列说法正确的是（ ） A. 复数在复平面上对应的点可能落在第二象限 B. 可能实数 C. D. 的虚部为 10. 已知实数m，n满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，设E，F分别是正方体的棱DC上两点，且，，其中正确的命题为（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 异面直线与所成的角为60° C. 直线与平面所成的角为30° D. 二面角的平面角为45° 三、填空题 12. 函数的定义域为______. 13. 已知和点满足，若存在实数、使得成立，则________． 14. 的内角，，的对边分别为，，，若，则面积的最大值为___________. 四、解答题 15. 已知，，． （1）求与的夹角； （2）求． 16. 计算下列各式： （1） （2） 17. 函数一段图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，求函数在的值域. 18. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b=2，且． （1）求角B的大小； （2）若是锐角三角形，求面积的取值范围． 19. 已知实数满足； （1）求证：； （2）将上述不等式加以推广，把的分子改为另一个大于的自然数，使得对任意的恒成立，请加以证明； （3）从另一角度推广，自然数满足什么条件时，不等式对任意恒成立，请加以证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $