江苏省泰州市靖江实验学校2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

2024-2025学年江苏省泰州市靖江实验学校八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.“巳巳如意”图案是2025年乙巳蛇年春晚的主题图案，将两个“巳”字对称摆放，恰似中国传统的如意纹样.双巳合璧，事事如意，饱含喜庆美满的家国祝福.下列“巳”字图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.抛一枚质地均匀的六面体骰子，连续抛10次，落地时有4次6点朝上，如果第11次抛掷这枚骰子，那么6点朝上的概率为(    ) A. B. C. D. 3.下列四个命题： ①正方形对角线垂直且相等；②一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；③顺次连接四边形各边中点所得中点四边形是矩形，则原四边形一定是菱形；④等边三角形是轴对称图形不是中心对称图形. 其中真命题的是(    ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 4.下列各式正确的是(    ) A. B. C. D. 5.如图，平面直角坐标系xOy中，函数的图象经过两点A、在左侧若A、B两点横、纵坐标都相差2，则的面积为(    ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6.定义：若x，y满足为常数，则称点为“和谐点”.下列说法正确的是(    ) ①是“和谐点”； ②直线上有且只有一个“和谐点”； ③当时，反比例函数的图象上最多只有两个“和谐点”； A. ① B. ①② C. ①③ D. ②③ 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 7.若关于x的分式方程有增根，则______. 8.在一次八年级学生身高抽查中，40个数据分别落在4个小组内，第一、二、四组数据的频率分别为、、，则第三小组数据的频数为______. 9.若化简后的二次根式与是同类二次根式，则______. 10.设函数与的图象的交点坐标为，则的值是______. 11.关于x的方程有实数根，则m应满足的条件是______. 12.已知二次三项式是一个完全平方式，则______. 13.如图，在正方形ABCD中，，O、E、F、分别为BD、CD、AE、BF的中点，则OM的长等于______. 14.如图，▱的顶点C在等边的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接若，，则CG的长为          . 15.如图，点A，D在反比例函数的图象上，CD垂直y轴，垂足为C，，垂足为若四边形OABD的面积为8，，则k的值为______. 16.如图已知中，，，点D、点E分别是边BC和边AC上的动点，将线段DE绕点E逆时针旋转，点D对应点F恰好落在斜边AB上，同时将线段DE绕点D顺时针旋转得到线段DG，连接BG，则BG最小值为______. 三、解答题：本题共10小题，共102分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题8分 计算： ； 18.本小题8分 ； 19.本小题8分 先化简后求值：，其中a是方程的根. 20.  21.本小题8分 如图，已知及AP边上一点用无刻度直尺和圆规作图保留作图痕迹，不写作法 在射线AQ上求作点O，使得； 在的条件下，以点O为圆心，以OA为半径的圆交射线AQ于点B，在射线CP上求作点M，使点M到点C的距离与点M到射线AQ的距离相等. 22.本小题10分 已知：如图，在中，，E，F分别是BC，AC的中点，延长线段BA到点D，使得，连接DE，DF，AE，EF，AF与DE交于点 求证：AF与DE互相平分； 若，，求DE的长. 23.本小题10分 端午节是我国的传统节日.粽子是端午节的美食之一，粽子寓意着丰收和平安.某商店在端午节来临之前，去当地的批发市场订购赤豆粽和肉丁粽两种进行试销.已知肉丁粽的单价是赤豆粽单价的2倍，用1600元购进肉丁粽的数量比用700元购进赤豆粽的数量多50个. 赤豆粽和肉丁粽的单价分别是多少？ 若该商店把肉丁粽以6元/个销售时，那么半个月可以售出200个.根据销售经验，把肉丁粽的单价每提高2元，销量会相应减少40个.将售价定为多少元时，才能既让利于顾客，又使半个月销售肉丁粽获得的利润为540元？ 24.本小题12分 阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，，，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： 当时，的最小值为______；当时，的最大值为______. 当时，求的最小值． 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，、的面积分别为4和9，求四边形ABCD面积的最小值． 25.本小题14分 在正方形ABCD中， 如图1，点E、F分别在BC、CD上，且，垂足为M，求证； 点E在BC上，F是线段CD上一动点不与端点重合 ①如图2，过F 作交射线AB于H，连结FA、FE，若，，，求y与x之间的函数关系式. ②如图3，已知E是BC的中点，若是等腰三角形，求CF的长. 26.本小题14分 如图1，在平面直角坐标系中，点绕原点顺时针旋转至点B，恰好落在反比例函数的图象上，连接OA，OB，过点B作轴交于点C，点是第一象限内双曲线上一动点. 求反比例函数的解析式； 若点P在点B的左侧，且，求P的坐标； 如图2，连接PO并延长交双曲线于，平面内有一点，直线PQ与直线GA相交于点H； ①若，则点H的坐标为______； ②当时，记H的坐标为，试判断是否为定值？若为定值，求出该值；若不为定值，说明理由. 1.【答案】D  【解析】解：根据轴对称图形及中心对称图形图形的概念逐项分析判断如下： A.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； B.是中心对称图形，不是轴对称图形，故不符合题意； C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； D.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意； 故选： 根据轴对称图形及中心对称图形图形的概念可直接进行排除选项． 本题主要考查轴对称图形及中心对称图形，熟练掌握轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合的图形． 2.【答案】B  【解析】解：由题意可得：6点朝上的概率为， 故选： 直接利用概率的意义分析得出答案． 此题考查了概率的意义以及概率公式，明确概率的意义以及概率的计算方法是解答的关键． 3.【答案】D  【解析】解：①正方形对角线垂直且相等，正确，是真命题，符合题意； ②一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，正确，是真命题，不符合题意； ③顺次连接四边形各边中点所得中点四边形是矩形，则原四边形一定是对角线互相垂直的四边形，故错误，是假命题，不符合题意； ④等边三角形是轴对称图形不是中心对称图形，正确，是真命题，符合题意， 真命题有3个， 故选： 利用正方形的性质、平行四边形的判定、中点四边形的判定及等边三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项． 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解正方形的性质、平行四边形的判定、中点四边形的判定及等边三角形的性质，难度不大． 4.【答案】D  【解析】解：A、，故此选项错误； B、，故此选项错误； C、，故此选项错误； D、，故此选项正确． 故选： 直接利用立方根的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案． 此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 5.【答案】B  【解析】解：过点A作轴于点C，轴于点D，CA与DB的延长线交于点E，如图所示： ， 四边形OCHD是矩形， 反比例函数的图象经过点A， 设点A的坐标为，其中， 又在点B左侧，且A、B两点横、纵坐标都相差2， 点B的横坐标为：，纵坐标为：， 即点， 反比例函数的图象经过点B， ， 整理得：， 解得：，不合题意，舍去， 点，点， ，，，， 四边形OCHD是矩形， ，， ，，， ， 根据反比例函数比例系数k的几何意义得：， 的面积： 故选： 过点A作轴于点C，轴于点D，CA与DB的延长线交于点E，则四边形OCHD是矩形，设点，其中，依题意得点，则，由此解出，进而得点，点，然后再分别求出，，，由此可得的面积． 此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标，理解反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数的表达式，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解决问题的关键． 6.【答案】A  【解析】解：①由题意得，， ，故①成立． ②由题意可得，， ， 将代入上式， ，. 或，故②错误． ③由题意，反比例函数最多有两个和谐点， 联立反比例函数与和谐点定义，则 ， 或， ， 解得， 解， ， 当时，， 有两个不相等的实数根， 该方程可能有4个实根， 故③错误． 综上，正确的有①． 故选： 依据题意，由“和谐点的定义”以及联立方程组进行求解即可． 本题主要考查比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征，正确理解新定义是解题的关键． 7.【答案】  【解析】解：将分式方程两侧同乘 得， 将代入整式方程得 故答案为： 将分式方程化成整式方程后，将增根代入整式方程即可求出a的值． 本题考查了分式方程的增根问题，增根是在分式方程化成整式方程过程中产生的，它不是分式方程的根，却是整式方程的根． 8.【答案】6  【解析】解：个数据分别落在4个小组内，第一、二、四组数据的频率分别为、、， 第三小组数据的频率为， 第三小组数据的频率为， 故答案为： 根据频率之和为1，得出第三小组数据的频率，进而即可求解． 本题考查了求频数，熟练掌握频率与频数的关系是解题的关键． 9.【答案】3或  【解析】解：二次根式与是同类二次根式， ， 解得：，， 故答案为：3或 根据同类二次根式的定义得到：，即可解答 本题考查了同类二次根式，解决本题的关键是熟记同类二次根式的定义． 10.【答案】  【解析】【分析】 此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，其中将，代入两函数解析式得出关于a与b的关系式是解本题的关键．由两函数的交点坐标为，将，代入反比例解析式，求出ab的值，代入一次函数解析式，得出的值，将所求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算后，把ab及的值代入即可求出值． 【解答】解：函数与的图象的交点坐标是， 将，代入反比例解析式得：，即， 代入一次函数解析式得：，即， 则， 故答案为： 11.【答案】  【解析】解：①当关于x的方程是一元一次方程时， ， 解得，； ②当是一元二次方程时， ，且， 解得，且； 综合①②知，m满足的条件是 故答案是： 需要分类讨论：①当该方程是一元一次方程时，二次项系数；②当该方程是一元二次方程时，二次项系数，；综合①②即可求得m满足的条件． 本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，解答本题要注意分类讨论，切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件． 12.【答案】3或  【解析】解：二次三项式是一个完全平方式， ， 即， 解得：或， 故答案为：3或 根据完全平方公式的表现形式可得，解得m的值即可． 本题考查完全平方式，熟练掌握完全平方公式的形式是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：如图，连接DF， 四边形ABCD为正方形， ， 是CD的中点， ， 由勾股定理得：， 在中，F是AE的中点， 则， 、M分别为BD、BF的中点， 是的中位线， ， 故答案为： 连接DF，根据勾股定理求出AE，再根据直角三角形斜边上的中线的性质求出DF，再根据三角形中位线定理计算即可． 本题考查的是正方形的性质、中点四边形，掌握勾股定理、三角形中位线定理是解题的关键． 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据平行四边形的性质和等边三角形的性质，可以得到BF和BE的长，然后可以证明和全等，然后即可得到CG的长． 【解答】 解：四边形ABCD是平行四边形， ，，， ，， ，， ， 是等边三角形，G为DE的中点， ，， 延长CG交BE于点H， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ，， ，， ，， 是等边三角形， ， ， 故答案为： 15.【答案】  【解析】解：设点D坐标为， ， ，，， ，， 四边形OABC的面积， 丨k丨， ， 解得： 故答案为： 设点D坐标为，则有，，，根据梯形面积为8列出方程，解出k值即可． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握梯形面积公式是解答本题的关键． 16.【答案】  【解析】解：， ， 由题意点D、点E分别是边BC和边AC上的动点，将线段DE绕点E逆时针旋转可得： ，， 过F作于P，过G作于H，则， 是等腰直角三角形， ，设， ， ≌， ，， ， 同理可证≌， ，， 则， 由勾股定理可得： ， ，， 当时，取得最小值， 的最小值为， 故答案为： 过F作于P，过G作于H，先得到，设，分别证明≌，≌得到，，则，利用勾股定理得到，利用二次函数的性质求得的最小值即可求解． 本题考查二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理、旋转的性质等知识，利用二次函数的性质解决最值问题是解答的关键． 17.【答案】；    【解析】 ； 先算括号内的式子，同时将除法转化为乘法，然后约分即可； 先化简，然后计算加减法即可． 本题考查分式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 18.【答案】，；   无解．  【解析】， ， 或， ，； ， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得， 检验，把代入， 是分式方程的增根，该分式方程无解． 根据因式分解法一元二次方程的步骤对所给一元二次方程进行求解即可． 根据解分式方程的步骤对所给分式方程进行求解即可； 本题考查解分式方程及一元二次方程，熟练掌握解方程及一元二次方程的方法是解题的关键． 19.【答案】  【解析】解： ， 由得，或， 当时，原分式无意义， 只能为3， 当时，原式 先对分式进行化简，然后求出一元二次方程的解，进而代值求解即可． 本题考查分式的化简求值及一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序及和解一元二次方程的方法． 20.【答案】    【解析】  21.【答案】见解析．  【解析】如图，点O即为所求； 如图，点M即为所求． 作线段AC的垂直平分线交AQ于点O，点O即为所求；作的角平分线交AP于点M，点M即为所求． 本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 22.【答案】证明：、F分别是BC、AC的中点， 是的中位线， 且， 又，即， ，， 四边形AEFD是平行四边形， 与DE互相平分； 解：在中，，，， 由勾股定理得， 又由知，，且， ， 在中，，，， 由勾股定理得，   【解析】结合已知条件推知四边形AEFD是平行四边形，在该平行四边形的两条对角线互相平分； 根据勾股定理求得AC的长度，然后由平行四边形的性质和勾股定理来求DO的长度，即可求得DE的长． 本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，平行四边形的判定与性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 23.【答案】赤豆粽的单价是2元，肉丁粽的单价是4元；   7元．  【解析】设赤豆粽的单价是x元，则肉丁粽的单价是2x元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的根，且符合题意， ， 答：赤豆粽的单价是2元，肉丁粽的单价是4元； 设肉丁粽的售价为m元，则半个月的销量为个， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去， 答：将售价定为7元时，才能既让利于顾客，又使半个月销售肉丁粽获得的利润为540元． 设赤豆粽的单价是x元，则肉丁粽的单价是2x元，根据用1600元购进肉丁粽的数量比用700元购进赤豆粽的数量多50个，列出分式方程，解方程即可； 设肉丁粽的售价为m元，则销量为个，根据使半个月销售肉丁粽获得的利润为540元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 本题考查了一元二次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找准等量关系，正确列出一元二次方程． 24.【答案】解：；  ； 由， ， ， 当且仅当时，即时，最小值为11； 设，已知， 则由等高三角形可知：：： ：： 四边形ABCD面积 当且仅当时取等号，即四边形ABCD面积的最小值为  【解析】本题考查了二次根式的应用，同时本题还考查了分式化简和等高三角形的性质，本题难度中等略大，属于中档题． 解：当时，； 当时， 当时，的最小值为2；当时，的最大值为 故答案为：2；； 见答案； 见答案． 【分析】 当时，按照公式当且仅当时取等号来计算即可；时，由于，，则也可以按照公式当且仅当时取等号来计算； 将的分子分别除以分母，展开，将含x的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可； 设，已知，，则由等高三角形可知：：：，用含x的式子表示出，四边形ABCD的面积用含x的代数式表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可． 25.【答案】见解析过程；   ①； ②或  【解析】证明：四边形ABCD是正方形， ，， ， ， ， ， ≌， ， ； 解：①如图，延长CB至N，使，连接AN， ，， ， ， ，，， ≌， ，， ， ， 又，， ≌， ， ， ， ， ； ②点E是BC的中点， ， ， 若时， ， ， 负值舍去， ， 当时， ， ， 负值舍去， 是线段CD上一动点不与端点重合 不合题意； 当时， ，， ， ， 综上所述：或 由“ASA”可证≌，可得，即可求解； ①由“SAS”可证≌，可得，，由“SAS”可证≌，可得，由勾股定理可求解； ②分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和勾股定理列出方程可求解． 本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 26.【答案】反比例函数解析式为；   点P坐标为或；   ①； ②  【解析】过点A作轴于点H，如图所示： 则， ， 轴， ， ， 点绕原点顺时针旋转至点B， ，，，， ， ， ≌， ，， 点B坐标为， 将点B坐标代入反比例函数， 得， 反比例函数解析式为； 设点P坐标为， 则， 当点P在点B左侧的双曲线上， ， ， ， 解得， 点P坐标为； 当点P在点B右侧的双曲线上， ， ， ， 解得，不符合题意，舍去， 点P坐标为， 符合条件的点P坐标为或； ①当时， 根据题意，可得， 即， ， 点P坐标为，点G坐标为，点Q坐标为， 设直线GA的解析式为， 将点A和点G坐标代入解析式， 得， 解得， 直线AG的解析式为， 设直线PQ的解析式为， 将点P和点Q坐标代入解析式， 得， 解得， 直线PQ的解析式为， 联立， 解得， 点H坐标为， 故答案为：； ②是定值， ，，，， 设直线AG的解析式为， 代入点A和点G的坐标，得， 解得， 直线AG的解析式为， 设直线PQ的解析式为， 代入点P和点Q坐标，得， 解得， 直线PQ的解析式为， 联立， 解得， 点， 记H的坐标为， ，， ， 点是第一象限内双曲线上一动点， ， 过点A作轴于点H，根据旋转的性质易证≌，根据全等三角形的性质可得点B坐标，进一步即可求出反比例函数解析式； 设点P坐标为，表示出的面积，当点P在点B左侧的双曲线上，当点P在点B右侧的双曲线上，分别表示出的面积，根据，列方程，求解即可； ①先求出点P坐标，进一步求出点G和点Q坐标，待定系数法求直线AG和直线PQ的解析式，联立两直线解析式即可求出交点H的坐标； ②先待定系数法求出直线AG和直线PQ的解析式，联立两解析式求出交点H的坐标，可得，，进一步即可求出的值． 本题考查了反比例函数的综合应用，涉及反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求解析式，全等三角形的性质和判定，一次函数的交点，旋转的性质，三角形的面积，定值问题等，本题综合性较强，难度较大． 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