专题11 导数及其应用（全国通用）-【好题汇编】2025年高考数学真题分类汇编

专题11 导数及其应用 一、多选题 1．（2025·全国二卷·高考真题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 二、填空题 2．（2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的切线，则 . 3．（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则 三、解答题 4．（2025·上海·高考真题）已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 5．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数·证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 6．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线． (1)求的最大值； (2)当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方； (3)设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是，，若，求的取值范围． 7．（2025·天津·高考真题）已知函数 (1)时，求在点处的切线方程； (2)有3个零点，且. （i）求a的取值范围； （ii）证明． 8．（2025·全国一卷·高考真题）（1）设函数，求在的最大值； （2）给定，设a为实数，证明：存在，使得； （3）设，若存在使得对恒成立，求b的最小值． 一、单选题 1．（2025·湖南长沙·二模）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川·三模）已知直线是曲线的一条切线，则（   ） A．1 B．2 C． D． 3．（2025·吉林长春·一模）已知函数的极大值为，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·云南·一模）设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·山东菏泽·一模）已知函数在区间单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·广西河池·二模）已知函数，则以下最不可能是其图像的是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·山西·三模）已知函数的图象上两点，处的切线互相垂直，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．（2025·湖北黄冈·三模）已知函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 9．（2025·山东烟台·三模）若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 10．（2025·安徽蚌埠·三模）已知函数及其导函数的定义域都是，若函数是偶函数，也是偶函数，且，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．（2025·河南南阳·三模）已知函数与存在公切线，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 12．（2025·浙江宁波·三模）已知函数，其中，5为的极小值点.若在内有最大值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13．（2025·湖南益阳·三模）若函数有两个零点，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 14．（2025·辽宁大连·三模）已知，若存在，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 15．（2025·山东·三模）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（    ） A．当时， B．函数有2个零点 C．函数在点处的切线方程为 D．，都有 16．（2025·辽宁大连·三模）已知函数在上是增函数，在上是减函数，且方程有3个实数根，它们分别是.则（    ） A． B．若是对称中心，则极小值是-12 C． D． 17．（2025·广东广州·三模）设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（    ） A．函数的图象关于对称 B． C． D． 18．（2025·四川·三模）已知是函数的极大值点，则（   ） A．函数的极小值为0 B．若，则 C．若，则有3个相异的零点 D．若（其中），则 三、填空题 19．（2025·山西晋中·三模）若函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 20．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知曲线在处的切线与曲线相切，则 ． 21．（2025·江苏扬州·三模）若函数的最小值为2，则实数a的值是 . 22．（2025·湖南益阳·三模）设实数，，使成立，则实数α的取值范围 ． 23．（2025·甘肃金昌·二模）函数的最小值为 . 24．（2025·甘肃金昌·二模）若函数有两个极值点，则实数的取值范围为 . 25．（2025·甘肃白银·二模）若曲线恒在直线的上方，则实数a的取值范围是 ． 26．（2025·陕西西安·二模）若M是曲线上任意一点，则点M到直线的最小距离为 . 27．（2025·山东日照·二模）定义在区间D上的函数，若存在正数K，对任意的，不等式恒成立，则称函数在区间D上满足K-条件．若函数在区间上满足K-条件，则K的最小值为 ． 28．（2025·河南·二模）已知函数，若，使得有三个零点，则a的取值范围为 ，在这三个零点处的切线斜率的倒数之和为 ． 四、解答题 29．（2025·安徽蚌埠·三模）已知函数． (1)若，讨论函数在的单调性； (2)若在上有唯一的零点，求实数a的最小值． 30．（2025·辽宁盘锦·三模）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若，，求实数λ的取值范围． 31．（2025·广东广州·三模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性. (3)若存在极大值，且极大值不大于，求实数的取值范围. 32．（2025·河北邢台·三模）已知函数. (1)当时，点在曲线上运动，过点作切线可得到一系列的切线，，，，称其为“动态切线系列”，试探讨“动态切线系列”中是否存在两条切线平行于轴；（写出推理依据） (2)若分别是的两个不等的极值点. ①求实数的取值范围； ②证明：. 33．（2025·广东汕头·三模）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)若有两个零点，为的导函数. （i）求实数的取值范围； （ii）记较小的一个零点为，证明：. 34．（2025·北京海淀·三模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)当时，若对任意的，恒成立，求的取值范围． 35．（2025·云南·二模）已知常数，函数. (1)若，求的取值范围; (2)若、是的零点，且，证明:. 36．（2025·江苏扬州·三模）已知函数. (1)若，且，求a的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当，求b的取值范围. 37．（2025·甘肃白银·二模）帕德逼近是法国数学家亨利•帕德发现的一种用有理函数逼近任意函数的方法．帕德逼近有“阶”的概念，如果分子是m次多项式，分母是n次多项式，那么得到的就是阶的帕德逼近，记作．一般地，函数在处的阶帕德逼近定义为：，且满足，，，…，．注：，，，，…已知在处的阶帕德近似． (1)求的解析式； (2)已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，当时，比较与0的大小； (3)已知在处的阶帕德近似，若对任意，都成立，求实数a的取值范围． 38．（2025·湖南岳阳·三模）已知函数（）． (1)设，当时，，求的取值范围． (2)当时， ①写出曲线的两条相互垂直的切线方程，并说明理由； ②设，数列满足，，证明：． / 学科网（北京）股份有限公司 $$