专题22 椭圆及其标准方程（4知识点+7大题型+思维导图+过关检测）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题22 椭圆及其标准方程 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：椭圆的定义 1、椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数， 这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距. 说明： 若，的轨迹为线段； 若，的轨迹无图形 2、定义的集合语言表述 集合. 知识点02：椭圆的标准方程 1、椭圆标准方程的推导 图1 （1）怎样建立适当的直角坐标系？ 以经过点、的直线为轴，线段的垂直平分为y轴建立直角坐标系，如图1． （2）椭圆可以看作是哪些点的集合？用坐标如何表示？ 设点是椭圆上任一点，椭圆的焦距为（＞0）. 焦点的坐标分别是， 又设M与的距离的和等于常数． 由椭圆的定义，椭圆就是集合P={M|} 因为，，所以 （3）遇到根式怎么办？两个根式在同一侧能不能直接平方？ 即 两边平方得，整理得 再平方并整理得，两边同除以得 考虑,应有，故设，就有． 2、椭圆的标准方程对比 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 3、椭圆标准方程的求解 （1）利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤 ①定位：确定焦点在那个坐标轴上； ②定量：依据条件及确定的值； ③写出标准方程． 【常用结论】 ①求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为； ②当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为，将点的坐标代入，解方程组求得系数． 知识点03：点与椭圆的位置关系 1、根据椭圆的定义判断点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点P在椭圆内部； 点P在椭圆上； 点P在椭圆外部． 2、对于点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点在椭圆外； 点在椭圆内； 点在椭圆上； 知识点04：椭圆的焦点三角形 1、定义：椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”． 2、两个性质 性质1：，（两个定义） 拓展：的周长为 的周长为 性质2：（余弦定理）． 【题型01：椭圆的定义及辨析】 一、单选题 1．（23-24高二上·贵州安顺·期中）若椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为（　　） A．5 B．2 C．7 D．6 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求解. 【详解】椭圆的长轴长，由点到椭圆一个焦点的距离为3及椭圆定义， 得到另一个焦点的距离为. 故选：C 2．（24-25高二上·广东·期末）已知为椭圆上一点，分别为的左、右焦点，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由椭圆方程求出，利用椭圆的定义式，求得，代入计算即得. 【详解】由可得：，则， 因，则，故. 故选：C. 3．（24-25高二下·辽宁抚顺·开学考试）已知平面内两个定点，，动点P满足，则点P的轨迹为（     ）. A．椭圆 B．线段 C．双曲线 D．抛物线 【答案】A 【分析】根据题意，由椭圆的定义，即可得到结果. 【详解】因为为平面内两个不同定点，且， ， 则动点的轨迹是以为焦点的椭圆. 故选：A 4．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）方程表示的曲线为（    ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不表示任何图形 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴方程可表示平面内点到点与点的距离之和为的图形， 此时， ∴方程表示的轨迹是线段， 故选：C． 5．（23-24高二上·江苏盐城·期中）点在椭圆上，则等于（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】先根据椭圆的标准方程，判断出和是椭圆的两个焦点及，，的值，再根据椭圆的定义，椭圆上一点到两焦点的距离之和为定值可得结论. 【详解】因为椭圆的标准方程为：，所以该椭圆的交点在轴上，且，， 所以，所以焦点坐标为：和. 因为表示点到两点和的距离之和； 根据椭圆的定义，所以. 故选：A. 【题型02：求椭圆的标准方程】 一、单选题 1．（23-24高二上·北京顺义·期中）椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点M到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆定义可得a，根据焦点坐标可得c，然后由求出即可得方程. 【详解】由椭圆定义可知，，得， 又椭圆的两个焦点是和， 所以椭圆焦点在x轴上，且，所以， 所以，所求椭圆的标准方程为. 故选：C 2．（24-25高二上·河南·月考）已知曲线上任意一点都满足关系式，则曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义判断得曲线为椭圆，进而求得，从而得解. 【详解】因为点都满足， 所以到两定点的距离之和为，且， 所以曲线为椭圆，焦点为，则， 且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为，即， 故， 所以曲线的标准方程为. 故选：C 3．（24-25高二下·云南昭通·期中）已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，则它的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件设出椭圆的标准方程，再代点列方程组求系数即可. 【详解】因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为， 所以，解得， 所以椭圆的标准方程为. 故选：B. 4．（23-24高二上·全国·课后作业）过点且与有相同焦点的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知方程求出焦点即为所求椭圆焦点，设出所求椭圆方程，代入，解方程组即可. 【详解】由知，焦点为，，即，. 设所求椭圆方程为，则，解得， 故所求椭圆方程为. 故选：A. 5．（24-25高二上·山东青岛·期中）经过、两点椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出椭圆一般方程，由待定系数法求解即可. 【详解】设椭圆方程为（，，） 则，解得， 所以椭圆方程为. 故选：A. 【题型03：判断方程是否表示椭圆】 一、单选题 1．（24-25高二上·广东深圳·期末）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由焦点在轴上的椭圆方程的特征求解即可． 【详解】，解得. 故选：D 2．（24-25高二上·天津红桥·月考）已知曲线表示椭圆，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助椭圆定义计算即可得. 【详解】由题意可得 ，解得或. 故选：B. 3．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，的一组可能取值是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据椭圆的方程类型列不等式求解的关系即可得结论. 【详解】方程转化为， 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，所以， 则，的一组可能取值是，. 故选：B. 4．（24-25高二下·上海松江·月考）“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【分析】由方程表示焦点在y轴上的椭圆得解出即可求解. 【详解】由题意有， 所以“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的必要非充分条件， 故选：B. 5．（24-25高二上·福建漳州·期末）已知方程表示椭圆，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的标准方程即可求解m的范围. 【详解】椭圆的标准方程为， 依题意，解得， 故选：B. 【题型04：点与椭圆的位置关系】 一、单选题 1．（23-24高二上·河南南阳·月考）点与椭圆的位置关系为（    ） A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．不确定 【答案】B 【分析】将点代入椭圆即可求解. 【详解】由于，所以在内， 故选：B 2．（24-25高二上·陕西汉中·期中）若点是椭圆某条弦的中点，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点在椭圆内求解可得. 【详解】由题意可知，点在椭圆内， 所以，解得或. 故选：D 3．（24-25高二上·四川眉山·期中）椭圆的焦点为，点P在此椭圆上，如果线段的中点在y轴上，那么的值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据线段的中点M在y轴上，推出轴，由此可设，代入椭圆方程求出即，再由椭圆定义可得． 【详解】由可知，即， 所以，故不妨设， 因为线段的中点M在轴上，且原点为线段的中点， 所以，所以轴， 设，将代入椭圆方程，得，得， 所以，∴． 故选：D. 4．（23-24高二上·湖南郴州·期中）已知点和焦点在轴上的椭圆：，且过作椭圆的切线有两条，则该椭圆半焦距的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得，点在椭圆的外部.进而可推得，则，开方即可得出答案. 【详解】由题意可得，点在椭圆的外部. 所以，，所以. 又椭圆焦点在轴上，所以，所以. 又，所以，所以. 故选：C. 二、多选题 5．（23-24高二上·河北邯郸·月考）已知椭圆C：的右焦点为F，点为椭圆C内一点．若椭圆C上存在一点P，使得，则m的值可以为（    ） A． B． C．24 D．25 【答案】BCD 【分析】根据题意，由点在椭圆内部，再结合椭圆的定义，列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】设椭圆的左焦点为，则， 由点A在椭圆内部得，结合，解得， 根据椭圆的定义及得， 又当P，，A三点共线时最大，从而，解得， 综上，， 故选:BCD． 【题型05：椭圆中的焦点三角形问题】 一、单选题 1．（24-25高二下·广西南宁·月考）已知椭圆，其左右焦点分别为.点是椭圆上任意一点，则的周长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．以上答案均不正确 【答案】C 【分析】由椭圆的定义求解的周长. 【详解】由题意知：椭圆中， 所以的周长为 故选：C. 2．（23-24高二下·河北·开学考试）已知，为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若，则（    ） A．4 B．16 C．12 D．8 【答案】B 【分析】借助椭圆定义计算即可得. 【详解】由，可得，根据椭圆的定义得， 所以． 故选：B． 3．（24-25高二上·福建福州·期末）已知分别是椭圆的左、右焦点，点在上，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，，，可得的面积. 【详解】在椭圆中，，，， 则， 点在上，，所以， 则. 故选：A 4．（23-24高二下·江西·开学考试）已知，分别是椭圆C：的左，右焦点，M是椭圆C上一点，且，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，代入椭圆方程可得，再根据椭圆的定义求解即可. 【详解】由椭圆的方程，得，，因为，所以， 又在椭圆C上，所以，解得，即， ，所以． 故选：C． 5．（23-24高二上·上海青浦·期末）设椭圆的左右焦点为，，点P在该椭圆上，则使得为等腰三角形的点P的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】分别讨论为腰或者底的情况. 【详解】①当等腰的底时，可知P点为椭圆上下顶点时，2个点，满足题意； ②当等腰的腰时，分别以为圆心，以长为半径画弧，交椭圆于4个点； 综上所述，共6个点满足题意. 故答案选：C.    6．（23-24高二上·北京丰台·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上.若，则的面积为（    ） A．2 B．4 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据题意，由椭圆的定义，得到，再由勾股定理得，联立方程组，求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】如图所示，椭圆，可得，则， 因为点在椭圆上，可得， 又由，可得, 联立方程组，可得， 所以的面积为. 故选：B.    7．（24-25高二上·河北沧州·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上一点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义及余弦定理可求得结果. 【详解】由椭圆方程知，，，，则， 由椭圆的定义知，，又， 所以 ， 故选：A. 8．（23-24高二上·吉林·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点是椭圆上一点，若为直角三角形，则的面积为（   ） A．1 B． C．1或 D．1或 【答案】D 【分析】根据（或）和进行分类讨论，由此可求的面积. 【详解】椭圆中，，所以焦点， 当或时，此时面积相同，不妨取，如下图所示： 代入于椭圆方程，则，所以，所以； 当时，如下图所示： 设，由条件可知，解得， 所以； 综上，的面积为或， 故选：D. 【题型06：椭圆中的轨迹方程问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·重庆渝中·月考）平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义求解即可. 【详解】由题意，点到两个定点，的距离之和等于常数， 故根据椭圆的定义可知：此点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且，， 故，故椭圆的标准方程为. 故选：B 2．（24-25高二上·四川绵阳·期中）在中，，则顶点A的轨迹方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义可知顶点A的轨迹是以为焦点的椭圆（不包括轴上的点），即可得方程. 【详解】因为， 可知顶点A的轨迹是以为焦点的椭圆（不包括轴上的点）， 则， 所以顶点A的轨迹方程. 故选：A. 3．（24-25高二上·甘肃兰州·期末）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足（若在轴上，即为），则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用相关点法求动点轨迹方程. 【详解】由题意，设，，则， 因是线段的中点， 又因为点在曲线上，即， 故，即. 故选：A 4．（24-25高二上·云南昭通·月考）已知是椭圆上的动点，过作轴的垂线，垂足为，若动点满足，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，则，根据求出代入椭圆方程可得答案. 【详解】设，，则， ， 因为，所以， 可得，所以有. 故选：B. 5．（24-25高二上·河北唐山·期中）设点，的周长为36，则的顶点的轨迹方程为（   ） A． B． C．+ D． 【答案】B 【分析】由题意得到，根据椭圆的定义，可得点的轨迹是一条以为焦点的椭圆，即可得到答案. 【详解】由题意的周长为，， 所以，所以, 可知点的轨迹是以为焦点，长轴长为除去长轴的两个端点的椭圆， 所以， 所以点的轨迹方程为. 故选：B. 6．（24-25高二上·内蒙古包头·期末）在平面直角坐标系中，已知圆（圆心为），点，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件结合垂直平分线的性质可得，结合椭圆的定义判断曲线的轨迹形状，由此确定曲线方程. 【详解】圆：的圆心，半径. 由于， 所以在圆内，， 根据垂直平分线的性质可知， 所以， 所以点的轨迹是椭圆， 设该椭圆方程为，设椭圆的半焦距为， 则，， 所以，，， 所以点的轨迹方程是. 故选：B. 【题型07：椭圆中的距离最值问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·山东东营·月考）椭圆上任一点P到点的距离的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】设，结合点在椭圆上利用两点距离公式得，根据二次函数性质求解最值即可. 【详解】设点P的坐标为，其中，由，可得， 又由， 当时，取得最小值，最小值为. 故选：B 2．（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知动点在椭圆上，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义，将问题化为的最小值，数形结合即可得解. 【详解】 由题意，为一个焦点，另一焦点为，且； 因为，所以在椭圆外部，所以，即求的最小值； 由于，当三点共线时取等号； 所以的最大值为； 故选：D. 3．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知点，且是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义，结合三点共线，即可求解. 【详解】取椭圆的右焦点为，故, 由于,故， 因此， 故的最小值为5，当且仅当三点共线，且在上半椭圆时取到最小值， 故选：B 4．（24-25高二上·河北沧州·期末）已知为椭圆的上焦点，是椭圆上一点，为圆上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设椭圆的下焦点为，结合椭圆的定义有，进而可得，注意等号成立条件，即可得答案. 【详解】圆的圆心为，半径，设椭圆的下焦点为， 如图，由椭圆的定义知，所以， 所以， 当且仅当，，三点共线，且点在线段的延长线上时取等号， 因为，，所以，故， 故选：D 二、填空题 5．（24-25高二上·上海·期中）已知在中，，，若点为的中点.则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据题意可得：点在以，为焦点，且长轴长，焦距的椭圆上，不含长轴上的两顶点，从而根据椭圆的几何性质，即可求解． 【详解】在△中，，， 点在以，为焦点，且长轴长，焦距的椭圆上，不含长轴上的两顶点， ，，短半轴，又的中点为该椭圆的中心， 的最小值为． 故答案为： 6．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据圆上的点到定点的距离范围可知，即， 结合椭圆的定义可转化为，即可得解. 【详解】 由椭圆可知椭圆的实轴长，，， 圆的圆心，半径， 由已知圆上任意一点到得距离， 所以， 又根据椭圆定义， 则， 当且仅当，都在线段上时，等号成立， 故答案为：. 一、单选题 1．（24-25高二上·云南昭通·月考）已知椭圆的两焦点分别为，点为椭圆上任意一点，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据已知条件求得，利用椭圆的定义求得正确答案. 【详解】由椭圆的标准方程可得，由椭圆的定义可得. 故选：D 2．（24-25高二上·北京·月考）平的内动点满足方程，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆的定义求解即可. 【详解】由题意，点到两个定点的距离之和等于， 根据椭圆的定义可知，点的轨迹为焦点为的椭圆， 且，，即，则， 所以动点的轨迹方程为. 故选：A. 3．（24-25高二上·青海海南·期末）椭圆的两个焦点为，，椭圆C上有一点P，则的周长为（    ） A．12 B．18 C．16 D．20 【答案】C 【分析】根据题意，结合椭圆的定义代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，，所以，故的周长为． 故选：C 4．（23-24高二上·全国·课后作业）若点在椭圆上，则下列说法正确的是（    ） A．点不在椭圆上 B．点不在椭圆上 C．点在椭圆上 D．无法判断上述点与椭圆的关系 【答案】C 【分析】根据椭圆的对称性可判断. 【详解】点与点关于原点对称， 点与关于轴对称， 点与关于轴对称， 若点在椭圆上，根据椭圆的对称性，，，三点都在椭圆上， 注：带点进椭圆方程可以直接得到结果 故选：C 5．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与交于两点，则平行四边形的周长为（    ） A． B．8 C． D．16 【答案】C 【分析】由题意，根据椭圆的定义计算直接得出结果. 【详解】由题意知，，由椭圆的定义知， 四边形的周长为. 故选：C 6．（24-25高二上·福建泉州·期中）若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化为椭圆标准方程，再根据椭圆方程性质列不等式组计算即可求参. 【详解】因为方程表示椭圆， 所以且与不相等， 所以. 故选：C. 7．（24-25高二上·山东德州·月考）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，若点M满足，则点M的轨迹方程为（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】B 【分析】设点，由，得到，代入求解. 【详解】解：设点， 则，， 因为， 所以，解得， 因为点P在曲线C：上， 所以，（），即，（）， 故选：B 8．（24-25高二上·湖北·月考）已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助椭圆定义可得，再借助两点间距离公式计算即可得. 【详解】如图，取椭圆右焦点，则， 则由椭圆定义可知， 则， 当且仅当、、三点共线，且在之间时取等， 故的最大值为. 故选：A. 9．（24-25高二上·湖南·期末）已知圆与，动圆M与圆内切，且与圆外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件可得，结合椭圆的定义判断点的轨迹形状及位置，利用待定系数法求其方程. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径，设动圆的半径为， 由动圆与圆内切，且与圆外切，得， 则，因此点的轨迹为以为焦点，长轴长的椭圆， 而焦距，即，则短半轴长， 所以动圆圆心的轨迹方程为. 故选：B. 10．（24-25高二上·重庆·月考）已知是椭圆：上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为（   ） A．49 B．48 C．25 D．24 【答案】D 【分析】由椭圆方程得到的值，由椭圆的定义得到的值，联立求得的值，再证明，求得面积. 【详解】由椭圆方程可知：，，， 所以作图如下： ∴由椭圆的性质可知，由，∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：D. 11．（24-25高二下·河南·月考）已知椭圆的右焦点为，为上任意一点，点，则的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义，将转化为，当在线段上时，取最大值即，再利用两点距离公式就可求解. 【详解】由题意，椭圆的左焦点为，由椭圆定义可得， 所以，因为，故在椭圆内， 所以， 当在线段上时，等号成立. 故选：B. 12．（24-25高二上·湖北咸宁·期末）设F是椭圆的右焦点，P是椭圆上的动点，A是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义，结合两点间线段最短、点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】， 设为该椭圆的左焦点，， 所以， 于是， 显然当三点共线，且与垂直时， 有最小值，最小值为， 故选：A 二、多选题 13．（23-24高二上·吉林松原·期中）下列说法正确的是（    ） A．已知点，，动点满足，则点的轨迹是椭圆 B．已知点，，动点满足，则点的轨迹是椭圆 C．已知点，，动点满足，则点的轨迹是椭圆 D．已知点，，动点满足，则点的轨迹是椭圆 【答案】AD 【分析】根据椭圆的定义分别判断各选项. 【详解】A选项：，所以动点的轨迹是椭圆，A选项正确； B选项：，所以动点的轨迹是线段，B选项错误； C选项：，所以动点不存在，C选项错误； 的选项：，所以动点的轨迹是椭圆，D选项正确； 故选：AD. 14．（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知直线与圆相切，椭圆，则（    ） A．点在圆O内 B．点在圆O上 C．点在椭圆C内 D．点在椭圆C上 【答案】BC 【分析】首先根据直线与圆相切的公式，得到，即可判断点与圆，以及点与椭圆的位置关系. 【详解】由直线与圆相切，可知，圆心到直线的距离， 即，所以点在圆O上， 并且，所以圆在椭圆内，在椭圆内. 故选：BC 三、填空题 15．（24-25高二下·上海·月考）已知分别为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据椭圆的几何性质结合求解即可. 【详解】分别为椭圆的两个焦点，则， 所以，当且仅当位于椭圆的右顶点时取等号， 故的最大值为. 故答案为：. 16．（24-25高二上·江西新余·月考）椭圆的焦点为，点在该椭圆上，若，则的大小为 ． 【答案】 【分析】由椭圆方程，结合椭圆的定义求，在焦点三角形中应用余弦定理求的余弦值，进而确定其大小. 【详解】∵，， ∴， ∴，又，， ∴，由余弦定理，得， ∴. 故答案为： 17．（24-25高二上·山西太原·月考）已知椭圆的两个焦点为、，为椭圆上一点，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据椭圆的定义及余弦定理计算可得. 【详解】椭圆，则，，， 所以， 又，由余弦定理， 即， 所以，所以. 故答案为： 18．（23-24高二上·河北石家庄·期中）设点P为椭圆上一点，分别为C的左、右焦点，且，则的面积为 ． 【答案】/ 【分析】根据椭圆的定义和余弦定理、三角形的面积公式求解. 【详解】   设, 根据椭圆的定义可得，， 在中，设， 由余弦定理可得， ， 所以， 所以，所以， 所以， 故答案为: . 19．（23-24高二·全国·课堂例题）已知点P为椭圆上一个动点，点A的坐标为，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】方法一，设点P的坐标为，根据两点间距离公式及二次函数的最值求得结果；方法二，设点P的坐标为，根据两点间距离公式及二次函数的最值求得结果. 【详解】方法一，设点P的坐标为，则， 因为点P为椭圆上一点，所以，， 则， 因为，所以当时，. 故答案为：2. 20．（24-25高二上·广东·期中）已知为椭圆的右焦点，为上一点，为圆上一点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据点与圆的位置关系，及椭圆的定义可得，即可得最小值. 【详解】 如图所示， 由圆，可知圆心，半径， 设椭圆的左焦点为，且， 则， 再由椭圆定义可知， 即， 当且仅当点，在线段上时，等号成立， 又， 即的最小值为， 故答案为：. 四、解答题 21．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)，，焦点在y轴上； (2)，． (3)经过点，两点； 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据求出，结合焦点位置即可求解椭圆标准方程. （2）根据求出，按照焦点位置分类求解即可. （3）由题意确定焦点位置及，即可得解. 【详解】（1）因为，，所以， 因为椭圆焦点在y轴上，所以其标准方程为：； （2）因为，，所以， 因为椭圆焦点位置不确定，所以其标准方程为：或； （3）由题意得P、Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x轴上， 所以， 所以椭圆的标准方程为． 22．（23-24高二上·天津和平·期中）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点的坐标分别是，，并且经过点； (2)经过两点，. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求出即可； （2）设椭圆的方程为，再利用待定系数法求解即可. 【详解】（1）设椭圆的焦距为，长轴长为，短轴长为， 则，且焦点在轴上， ， 所以， 所以椭圆方程为； （2）设椭圆的方程为， 则，解得， 所以椭圆方程为. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题22 椭圆及其标准方程 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：椭圆的定义 1、椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数， 这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距. 说明： 若，的轨迹为线段； 若，的轨迹无图形 2、定义的集合语言表述 集合. 知识点02：椭圆的标准方程 1、椭圆标准方程的推导 图1 （1）怎样建立适当的直角坐标系？ 以经过点、的直线为轴，线段的垂直平分为y轴建立直角坐标系，如图1． （2）椭圆可以看作是哪些点的集合？用坐标如何表示？ 设点是椭圆上任一点，椭圆的焦距为（＞0）. 焦点的坐标分别是， 又设M与的距离的和等于常数． 由椭圆的定义，椭圆就是集合P={M|} 因为，，所以 （3）遇到根式怎么办？两个根式在同一侧能不能直接平方？ 即 两边平方得，整理得 再平方并整理得，两边同除以得 考虑,应有，故设，就有． 2、椭圆的标准方程对比 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 3、椭圆标准方程的求解 （1）利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤 ①定位：确定焦点在那个坐标轴上； ②定量：依据条件及确定的值； ③写出标准方程． 【常用结论】 ①求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为； ②当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为，将点的坐标代入，解方程组求得系数． 知识点03：点与椭圆的位置关系 1、根据椭圆的定义判断点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点P在椭圆内部； 点P在椭圆上； 点P在椭圆外部． 2、对于点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点在椭圆外； 点在椭圆内； 点在椭圆上； 知识点04：椭圆的焦点三角形 1、定义：椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”． 2、两个性质 性质1：，（两个定义） 拓展：的周长为 的周长为 性质2：（余弦定理）． 【题型01：椭圆的定义及辨析】 一、单选题 1．（23-24高二上·贵州安顺·期中）若椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为（　　） A．5 B．2 C．7 D．6 2．（24-25高二上·广东·期末）已知为椭圆上一点，分别为的左、右焦点，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高二下·辽宁抚顺·开学考试）已知平面内两个定点，，动点P满足，则点P的轨迹为（     ）. A．椭圆 B．线段 C．双曲线 D．抛物线 4．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）方程表示的曲线为（    ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不表示任何图形 5．（23-24高二上·江苏盐城·期中）点在椭圆上，则等于（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【题型02：求椭圆的标准方程】 一、单选题 1．（23-24高二上·北京顺义·期中）椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点M到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·河南·月考）已知曲线上任意一点都满足关系式，则曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·云南昭通·期中）已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，则它的标准方程为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·全国·课后作业）过点且与有相同焦点的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·山东青岛·期中）经过、两点椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【题型03：判断方程是否表示椭圆】 一、单选题 1．（24-25高二上·广东深圳·期末）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·天津红桥·月考）已知曲线表示椭圆，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，的一组可能取值是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（24-25高二下·上海松江·月考）“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 5．（24-25高二上·福建漳州·期末）已知方程表示椭圆，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型04：点与椭圆的位置关系】 一、单选题 1．（23-24高二上·河南南阳·月考）点与椭圆的位置关系为（    ） A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．不确定 2．（24-25高二上·陕西汉中·期中）若点是椭圆某条弦的中点，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·四川眉山·期中）椭圆的焦点为，点P在此椭圆上，如果线段的中点在y轴上，那么的值为（    ） A． B． C．2 D．3 4．（23-24高二上·湖南郴州·期中）已知点和焦点在轴上的椭圆：，且过作椭圆的切线有两条，则该椭圆半焦距的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高二上·河北邯郸·月考）已知椭圆C：的右焦点为F，点为椭圆C内一点．若椭圆C上存在一点P，使得，则m的值可以为（    ） A． B． C．24 D．25 【题型05：椭圆中的焦点三角形问题】 一、单选题 1．（24-25高二下·广西南宁·月考）已知椭圆，其左右焦点分别为.点是椭圆上任意一点，则的周长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．以上答案均不正确 2．（23-24高二下·河北·开学考试）已知，为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若，则（    ） A．4 B．16 C．12 D．8 3．（24-25高二上·福建福州·期末）已知分别是椭圆的左、右焦点，点在上，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·江西·开学考试）已知，分别是椭圆C：的左，右焦点，M是椭圆C上一点，且，则=（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·上海青浦·期末）设椭圆的左右焦点为，，点P在该椭圆上，则使得为等腰三角形的点P的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．（23-24高二上·北京丰台·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上.若，则的面积为（    ） A．2 B．4 C．8 D．9 7．（24-25高二上·河北沧州·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上一点，若，则（   ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·吉林·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点是椭圆上一点，若为直角三角形，则的面积为（   ） A．1 B． C．1或 D．1或 【题型06：椭圆中的轨迹方程问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·重庆渝中·月考）平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·四川绵阳·期中）在中，，则顶点A的轨迹方程（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·甘肃兰州·期末）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足（若在轴上，即为），则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·云南昭通·月考）已知是椭圆上的动点，过作轴的垂线，垂足为，若动点满足，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·河北唐山·期中）设点，的周长为36，则的顶点的轨迹方程为（   ） A． B． C．+ D． 6．（24-25高二上·内蒙古包头·期末）在平面直角坐标系中，已知圆（圆心为），点，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【题型07：椭圆中的距离最值问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·山东东营·月考）椭圆上任一点P到点的距离的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 2．（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知动点在椭圆上，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知点，且是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·河北沧州·期末）已知为椭圆的上焦点，是椭圆上一点，为圆上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25高二上·上海·期中）已知在中，，，若点为的中点.则的最小值为 . 6．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 . 一、单选题 1．（24-25高二上·云南昭通·月考）已知椭圆的两焦点分别为，点为椭圆上任意一点，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 2．（24-25高二上·北京·月考）平的内动点满足方程，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·青海海南·期末）椭圆的两个焦点为，，椭圆C上有一点P，则的周长为（    ） A．12 B．18 C．16 D．20 4．（23-24高二上·全国·课后作业）若点在椭圆上，则下列说法正确的是（    ） A．点不在椭圆上 B．点不在椭圆上 C．点在椭圆上 D．无法判断上述点与椭圆的关系 5．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与交于两点，则平行四边形的周长为（    ） A． B．8 C． D．16 6．（24-25高二上·福建泉州·期中）若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·山东德州·月考）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，若点M满足，则点M的轨迹方程为（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 8．（24-25高二上·湖北·月考）已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·湖南·期末）已知圆与，动圆M与圆内切，且与圆外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·重庆·月考）已知是椭圆：上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为（   ） A．49 B．48 C．25 D．24 11．（24-25高二下·河南·月考）已知椭圆的右焦点为，为上任意一点，点，则的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D． 12．（24-25高二上·湖北咸宁·期末）设F是椭圆的右焦点，P是椭圆上的动点，A是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 二、多选题 13．（23-24高二上·吉林松原·期中）下列说法正确的是（    ） A．已知点，，动点满足，则点的轨迹是椭圆 B．已知点，，动点满足，则点的轨迹是椭圆 C．已知点，，动点满足，则点的轨迹是椭圆 D．已知点，，动点满足，则点的轨迹是椭圆 14．（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知直线与圆相切，椭圆，则（    ） A．点在圆O内 B．点在圆O上 C．点在椭圆C内 D．点在椭圆C上 三、填空题 15．（24-25高二下·上海·月考）已知分别为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则的最大值为 . 16．（24-25高二上·江西新余·月考）椭圆的焦点为，点在该椭圆上，若，则的大小为 ． 17．（24-25高二上·山西太原·月考）已知椭圆的两个焦点为、，为椭圆上一点，且，则的值为 ． 18．（23-24高二上·河北石家庄·期中）设点P为椭圆上一点，分别为C的左、右焦点，且，则的面积为 ． 19．（23-24高二·全国·课堂例题）已知点P为椭圆上一个动点，点A的坐标为，则的最小值为 . 20．（24-25高二上·广东·期中）已知为椭圆的右焦点，为上一点，为圆上一点，则的最小值为 ． 四、解答题 21．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)，，焦点在y轴上； (2)，． (3)经过点，两点； 22．（23-24高二上·天津和平·期中）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点的坐标分别是，，并且经过点； (2)经过两点，. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$