第18讲 椭圆的简单几何性质（思维导图+3知识点+8考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高二数学暑假提升精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

第18讲 椭圆的简单几何性质 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．能利用类比的方法，通过椭圆的标准方程推导出椭圆的简单几何性质； 2．能通过椭圆简单几何性质的应用，将椭圆的实际问题转化为数学问题，提升数学建模素养 知识点 1 椭圆的简单几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 ， ， 对称性 关于轴、原点对称 轴长 长轴长：；短轴长： 长轴长：；短轴长： 顶点 离心率 离心率越接近0，则椭圆越圆；离心率越接近1，则椭圆越扁 通径 通径的定义：过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长 通径的大小： 知识点 2 直线与椭圆的位置关系 1、位置关系的判断 直线与椭圆的位置关系： 联立消去y得一个关于x的一元二次方程． ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 2、直线与椭圆相交的弦长公式 （1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． （2）求弦长的方法 ①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法： 如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则弦长公式为：． 3、解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程； （3）写出根与系数的关系； （4）将所求问题或题中关系转化为关于，的形式； （5）代入求解． 知识点 3 椭圆的中点弦问题 1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； 2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有． 证明：设、，则有， 上式减下式得，∴， ∴，∴． 特殊的：直线(存在斜率)过椭圆()上两点、，线段中点为，则有． 考点一：由椭圆方程求研究几何性质 例1．（23-24高二上·河北邢台·月考）（多选）已知椭圆，则（    ） A．椭圆的长轴长为 B．椭圆的焦距为6 C．椭圆的短半轴长为 D．椭圆的离心率为 【变式1-1】（23-24高二上·河南焦作·月考）椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【变式1-2】（23-24高二下·北京·开学考试）椭圆的焦距为2，则为（    ） A．5或13 B．5 C．8或10 D．8 【变式1-3】（23-24高二上·湖南常德·月考）椭圆与椭圆的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 考点二：由几何性质求椭圆方程 例2.（22-23高二上·河南·月考）已知直线，经过椭圆的右顶点和上顶点，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高二下·四川广安·开学考）已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于4，则椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二上·重庆九龙坡·期中）已知是椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，若的周长为6.且椭圆的离心率为，则椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高二上·北京·月考）与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是（    ） A． B． C． D． 考点三：求椭圆离心率的值 例3.（23-24高二下·河南周口·月考）已知椭圆的上顶点、左焦点、右顶点分别为A，F，B，且点A为的垂心，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高二下·山西晋城·月考）已知，是椭圆的两个焦点，M为C的顶点，若的内心和重心重合，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高二下·重庆·月考）椭圆 的右顶点为 ，右焦点为 为椭圆在第二象限上的点，直线 交椭圆 于点 ， 11 延长直线 交线段 于 ，若 ，则椭圆 的离心率是 （        ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高二下·吉林长春·月考）椭圆的右焦点为F，过F的直线交椭圆于A，B两点，点C是A点关于原点O的对称点，若且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 考点四：求椭圆离心率的取值范围 例4.（23-24高三上·江苏淮安·月考）设，分别是椭圆的左、右焦点，过作轴的垂线与椭圆交于，两点，若为钝角三角形，则离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高二上·广东深圳·期中）已知是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高二上·浙江台州·期中）椭圆的左，右焦点分别为，，若椭圆上存在点，使，则椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高二上·天津·期中）已知椭圆，P是椭圆C上的点，是椭圆C的左右焦点，若恒成立，则椭圆C的离心率e的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点五：直线与椭圆的位置关系 例5.（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知椭圆，直线，则与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上选项都不对 【变式5-1】（23-24高二上·重庆·期末）已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 【变式5-2】（23-24高二上·江西·期末）直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【变式5-3】（23-24高二下·山东烟台·月考）已知直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，则的取值范围（    ）. A． B． C． D． 考点六：直线与椭圆相交弦长 例6.（22-23高二上·江苏淮安·月考）过椭圆的左焦点作斜率为1的弦，则弦的长为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24高二上·全国·单元测试）过椭圆的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于两点，则等于（    ） A．4 B． C．1 D． 【变式6-2】（23-24高二上·浙江温州·期中）直线：在椭圆上截得的弦长是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（23-24高二上·河南南阳·期末）已知椭圆C：（，）的长轴为，短轴长为4． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线l：与椭圆C交于不同两点A、B，且，求直线的方程． 考点七：椭圆的中点弦问题 例7.（22-23高二上·安徽芜湖·月考）不经过原点的直线与椭圆相交于，，线段的中点为，设直线的斜率为，直线（为原点）的斜率为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（22-23高二上·四川成都·期中）若椭圆的动弦斜率为，则弦中点坐标可能是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24高二上·广东深圳·期中）已知椭圆方程为，其右焦点为，过点的直线交椭圆与，两点．若的中点坐标为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（22-23高二上·广东东莞·月考）已知椭圆的短半轴为3，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过的直线交椭圆于两点，且为的中点，求弦的长度. 考点八：椭圆的综合应用 例8.（23-24高二上·北京·期中）已知椭圆. 斜率为的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为. (1)求椭圆的离心率； (2)求的面积. 【变式8-1】（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，且，动直线与椭圆交于两点；当直线过焦点且与轴垂直时，. (1)求椭圆的方程； (2)若直线过点，椭圆的左顶点为，当面积为时，求直线的斜率. 【变式8-2】（23-24高二上·天津·期末）已知㭻圆：（）经过点，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于点（异于顶点）与轴交于点，点为椭圆的右焦点，为坐标原点，，求直线的方程. 【变式8-3】（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知椭圆的右焦点为，且过点. (1)求C的方程； (2)若过点的直线与交于两点，为坐标原点，求面积的最大值. 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D．6 2．（23-24高二上·山东济宁·月考）焦点在y轴上，且长轴长与短轴长之比为2:1，焦距为的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·江苏徐州·期中）通过椭圆的焦点且垂直于x轴的直线l被椭圆截得的弦长等于（    ） A． B．3 C． D．6 4．（23-24高二上·全国·课后作业）直线与椭圆的公共点的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 5．（23-24高二下·河南·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·山东济南·月考）已知椭圆，点是椭圆上任意一点，则到直线的距离最大值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（2024·河南开封·三模）椭圆的焦点为，，上顶点为A，直线与C的另一个交点为B，若，则（    ） A．C的焦距为2 B．C的短轴长为 C．C的离心率为 D．的周长为8 8．（23-24高二上·甘肃武威·月考）已知椭圆，则（    ） A．的焦点都在轴上 B．的焦距不相等 C．有公共点 D．椭圆比椭圆扁平 三、填空题 9．（23-24高二上·江苏扬州·月考）若焦点在轴上的椭圆的焦距为，则实数的值为 ． 10．（22-23高二上·湖南邵阳·月考）设椭圆经过点，离心率为，求过点且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标 . 11．（23-24高二上·河南许昌·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上一点，是以为底边的等腰三角形，且，则该椭圆的离心率的取值范围是 ． 四、解答题 12．（23-24高二上·天津·月考）已知椭圆的焦距为2，离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)经过椭圆的左焦点作倾斜角为60°的直线，直线与椭圆交于M，N两点，点为椭圆的右焦点，求的面积． 13．（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知椭圆的离心率为，短轴长为2． (1)求椭圆L的标准方程； (2)过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分．求此弦所在的直线方程． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18讲 椭圆的简单几何性质 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．能利用类比的方法，通过椭圆的标准方程推导出椭圆的简单几何性质； 2．能通过椭圆简单几何性质的应用，将椭圆的实际问题转化为数学问题，提升数学建模素养 知识点 1 椭圆的简单几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 ， ， 对称性 关于轴、原点对称 轴长 长轴长：；短轴长： 长轴长：；短轴长： 顶点 离心率 离心率越接近0，则椭圆越圆；离心率越接近1，则椭圆越扁 通径 通径的定义：过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长 通径的大小： 知识点 2 直线与椭圆的位置关系 1、位置关系的判断 直线与椭圆的位置关系： 联立消去y得一个关于x的一元二次方程． ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 2、直线与椭圆相交的弦长公式 （1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． （2）求弦长的方法 ①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法： 如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则弦长公式为：． 3、解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程； （3）写出根与系数的关系； （4）将所求问题或题中关系转化为关于，的形式； （5）代入求解． 知识点 3 椭圆的中点弦问题 1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； 2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有． 证明：设、，则有， 上式减下式得，∴， ∴，∴． 特殊的：直线(存在斜率)过椭圆()上两点、，线段中点为，则有． 考点一：由椭圆方程求研究几何性质 例1．（23-24高二上·河北邢台·月考）（多选）已知椭圆，则（    ） A．椭圆的长轴长为 B．椭圆的焦距为6 C．椭圆的短半轴长为 D．椭圆的离心率为 【答案】BD 【解析】因为椭圆，所以，且椭圆的焦点在轴上， 所以椭圆的长轴长为，焦距为6，短半轴长为，离心率.故选：BD. 【变式1-1】（23-24高二上·河南焦作·月考）椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【解析】椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍， ，解得．故选：A． 【变式1-2】（23-24高二下·北京·开学考试）椭圆的焦距为2，则为（    ） A．5或13 B．5 C．8或10 D．8 【答案】C 【解析】因为椭圆的焦距为2，则且，， 当焦点在轴上时，，则，则， 当焦点在轴上时，，则，则， 故的值为8或10，故选：C. 【变式1-3】（23-24高二上·湖南常德·月考）椭圆与椭圆的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【答案】D 【解析】椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为， 椭圆的长轴长为，短轴长为， 焦距为，离心率为， 所以，两椭圆的焦距相等，长轴长不相等，短轴长不相等，离心率也不相等.故选：D. 考点二：由几何性质求椭圆方程 例2.（22-23高二上·河南·月考）已知直线，经过椭圆的右顶点和上顶点，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线与坐标轴交点为，， 直线经过椭圆的右顶点和上顶点，所以，， 所以椭圆方程为：.故选：C. 【变式2-1】（23-24高二下·四川广安·开学考）已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于4，则椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，解得，所以椭圆方程为：，故选：A. 【变式2-2】（23-24高二上·重庆九龙坡·期中）已知是椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，若的周长为6.且椭圆的离心率为，则椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设椭圆的半焦距为， 由题意可得，解得， 所以椭圆方程为.故选：C. 【变式2-3】（23-24高二上·北京·月考）与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】椭圆化成标准方程为，焦点在轴上， 设所求椭圆方程为， 依题意有，所以，所求椭圆方程为.故选：B 考点三：求椭圆离心率的值 例3.（23-24高二下·河南周口·月考）已知椭圆的上顶点、左焦点、右顶点分别为A，F，B，且点A为的垂心，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】的垂心为点是以为直角顶点的直角三角形， 又,与相似（为坐标原点）， ， ，解得或（舍），故选：A． 【变式3-1】（23-24高二下·山西晋城·月考）已知，是椭圆的两个焦点，M为C的顶点，若的内心和重心重合，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，为椭圆的顶点，且的内心和重心重合， 所以为等边三角形， 又因为，所以，即.故选：C. 【变式3-2】（23-24高二下·重庆·月考）椭圆 的右顶点为 ，右焦点为 为椭圆在第二象限上的点，直线 交椭圆 于点 ， 11 延长直线 交线段 于 ，若 ，则椭圆 的离心率是 （        ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图， 设点，则，，， 由 知，为线段的中点，则， 由三点共线，故，化简得到，故.故选：A. 【变式3-3】（23-24高二下·吉林长春·月考）椭圆的右焦点为F，过F的直线交椭圆于A，B两点，点C是A点关于原点O的对称点，若且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图 取椭圆的另一焦点，连接，，. 因为、关于原点对称，则四边形是平行四边形. 又，所以四边形是矩形. 设，在中：，，，所以. 由椭圆定义：， 所以. 在中，，， ，， 由勾股定理：. 所以，故.故选：C 考点四：求椭圆离心率的取值范围 例4.（23-24高三上·江苏淮安·月考）设，分别是椭圆的左、右焦点，过作轴的垂线与椭圆交于，两点，若为钝角三角形，则离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，分别是椭圆的左、右焦点，过作轴的垂线与椭圆交于两点， 可得，即， 因为为钝角三角形，则，可得，即，即， 又因为，可得，即， 即，且，解得， 即椭圆的离心率的取值范围为.故选：A. 【变式4-1】（23-24高二上·广东深圳·期中）已知是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，故在为直径的圆上，即， 圆在椭圆内部，故，，故.故选：B. 【变式4-2】（23-24高二上·浙江台州·期中）椭圆的左，右焦点分别为，，若椭圆上存在点，使，则椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设椭圆的上顶点为，连接、，则，， 椭圆上存在点，使得，则需， 则，显然，所以， 所以，所以， 又，所以，即椭圆离心率的取值范围为．故选：D． 【变式4-3】（23-24高二上·天津·期中）已知椭圆，P是椭圆C上的点，是椭圆C的左右焦点，若恒成立，则椭圆C的离心率e的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则，，， ， 因为，所以，又， 所以时，取得最大值， 恒成立，则，变形得， 又，故解得，故选：D． 考点五：直线与椭圆的位置关系 例5.（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知椭圆，直线，则与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上选项都不对 【答案】A 【解析】由消去y并整理得：，显然， 因此方程组有两个不同的解， 所以与相交.故选：A 【变式5-1】（23-24高二上·重庆·期末）已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 【答案】B 【解析】，即，令，解得， 则直线所过定点，代入椭圆方程，，则该定点在椭圆内， 则直线与椭圆的位置关系为相交.故选：B. 【变式5-2】（23-24高二上·江西·期末）直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【解析】因为直线过点， 而为椭圆的右端点和上端点， 故直线与椭圆相交.故选：C. 【变式5-3】（23-24高二下·山东烟台·月考）已知直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，则的取值范围（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得， 因为是焦点在轴上的椭圆，所以， 直线过定点， 因为直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点， 所以点在椭圆上或椭圆内部，所以，解得， 综上所述，.故选：D. 考点六：直线与椭圆相交弦长 例6.（22-23高二上·江苏淮安·月考）过椭圆的左焦点作斜率为1的弦，则弦的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由,得椭圆方程, 左焦点为, 过左焦点的直线为， 代入椭圆方程得，解得或， ，故选：D. 【变式6-1】（23-24高二上·全国·单元测试）过椭圆的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于两点，则等于（    ） A．4 B． C．1 D． 【答案】C 【解析】因为椭圆，可得，所以， 所以椭圆的右焦点的坐标为， 将，代入椭圆的方程，求得，所以.故选：C. 【变式6-2】（23-24高二上·浙江温州·期中）直线：在椭圆上截得的弦长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设与椭圆交于， 联立可得， 且，， 所以，故选：D. 【变式6-3】（23-24高二上·河南南阳·期末）已知椭圆C：（，）的长轴为，短轴长为4． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线l：与椭圆C交于不同两点A、B，且，求直线的方程． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由已知长轴为，短轴长为4，可得，， 则椭圆C的标准方程为：； （2）依题意，解得， 因为，可得，且， 因为，解得， 所以直线的方程为l：． 考点七：椭圆的中点弦问题 例7.（22-23高二上·安徽芜湖·月考）不经过原点的直线与椭圆相交于，，线段的中点为，设直线的斜率为，直线（为原点）的斜率为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，，，， 则，又， 所以，即，即， 又，，所以.故选：A 【变式7-1】（22-23高二上·四川成都·期中）若椭圆的动弦斜率为，则弦中点坐标可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，，则由已知得，，， 两式作差可得，，整理可得. 中点D的坐标为，则有. 又点D在椭圆的内部，所以故选：B. 【变式7-2】（23-24高二上·广东深圳·期中）已知椭圆方程为，其右焦点为，过点的直线交椭圆与，两点．若的中点坐标为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】的中点坐标为，则， 设，，则，， 相减得到：，即，， 又，，解得，，椭圆的方程为.故选：C. 【变式7-3】（22-23高二上·广东东莞·月考）已知椭圆的短半轴为3，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过的直线交椭圆于两点，且为的中点，求弦的长度. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由椭圆 的短半轴为，离心率为， 可得且，即， 因为，可得，解得，所以， 所以椭圆的方程为. （2）设，因为为的中点，可得， 则 ，两式相减得， 即，即， 所以直线的方程为，即， 联立方程组，整理得，可得， 则. 考点八：椭圆的综合应用 例8.（23-24高二上·北京·期中）已知椭圆. 斜率为的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为. (1)求椭圆的离心率； (2)求的面积. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由已知有，，故，所以离心率. （2）如图，设，，的中点为. 则由，可知. 而， 故. 所以，从而在直线上. 由知，故， 结合可知直线的方程为. 所以是直线和的交点，故. 而，故的方程为，与椭圆联立解得，. 所以，，故. 【变式8-1】（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，且，动直线与椭圆交于两点；当直线过焦点且与轴垂直时，. (1)求椭圆的方程； (2)若直线过点，椭圆的左顶点为，当面积为时，求直线的斜率. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意得：，，，，， ，即，； 当直线过焦点且与轴垂直时，，不妨令， 由得：，， 由得：，椭圆的方程为：. （2）由题意知：直线斜率不为，可设， 由得：， 则， 设，则，， ， 又，， ，解得：， 直线的斜率. 【变式8-2】（23-24高二上·天津·期末）已知㭻圆：（）经过点，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于点（异于顶点）与轴交于点，点为椭圆的右焦点，为坐标原点，，求直线的方程. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意可得所以， 所以椭圆方程为； （2）由题意可得直线的斜率存在，故设直线的方程为，， ， 所以，所以， 故，, 所以， 所以， 所以，解得， 故直线的方程为. 【变式8-3】（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知椭圆的右焦点为，且过点. (1)求C的方程； (2)若过点的直线与交于两点，为坐标原点，求面积的最大值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）椭圆的右焦点为， 则椭圆的半焦距为， 由于，则椭圆的方程变为：， 将点的坐标代入，， 解得：或（舍去），得， 所以椭圆的方程为. （2）依题意，直线l的斜率不为0，则设直线l的方程为， ，， 由消去x并整理得：， ，， 的面积， ， 设，， ， 因为，当且仅当，时取得“=”， 于是得，， 所以面积的最大值为1. 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D．6 【答案】B 【解析】由条件可知，，，则， 由条件可知，，得， 所以，椭圆的长轴长.故选：B 2．（23-24高二上·山东济宁·月考）焦点在y轴上，且长轴长与短轴长之比为2:1，焦距为的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】焦距为，长轴长与短轴长之比为2:1， ，即，且，联立解得， 焦点在y轴上，所以椭圆方程为：.故选：D 3．（23-24高二上·江苏徐州·期中）通过椭圆的焦点且垂直于x轴的直线l被椭圆截得的弦长等于（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】B 【解析】由题设，不妨设过焦点且垂直于x轴的直线， 代入椭圆方程得，可得，故被椭圆截得的弦长等于.故选：B 4．（23-24高二上·全国·课后作业）直线与椭圆的公共点的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 【答案】C 【解析】由消去y并整理得，显然， 所以直线与椭圆相交，有2个公共点.故选：C 5．（23-24高二下·河南·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，，则，即， 则，从而，，所以， 如图，取的中点为，则， 在中，. 在中，由余弦定理得，， 化简得，则.故选：D 6．（23-24高二上·山东济南·月考）已知椭圆，点是椭圆上任意一点，则到直线的距离最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，,则， 则， 所以直线与椭圆相切，且在椭圆上方， 设直线方程为，联立， 则， 故，即，解得或（舍去）， 则 ，故，故选：A 二、多选题 7．（2024·河南开封·三模）椭圆的焦点为，，上顶点为A，直线与C的另一个交点为B，若，则（    ） A．C的焦距为2 B．C的短轴长为 C．C的离心率为 D．的周长为8 【答案】ABD 【解析】由于，所以, 故， 因此，故， 所以椭圆， 对于A，焦距为，故A正确， 对于B，短轴长为，B正确， 对于C，离心率为，C错误， 对于D，的周长为，D正确，故选：ABD 8．（23-24高二上·甘肃武威·月考）已知椭圆，则（    ） A．的焦点都在轴上 B．的焦距不相等 C．有公共点 D．椭圆比椭圆扁平 【答案】BCD 【解析】由椭圆的标准方程为，所以椭圆的焦点在轴上，所以A不正确； 又由椭圆的焦距为，椭圆的焦距为，所以B正确； 由椭圆和的方程，可得两椭圆和都过，所以C正确； 因为椭圆的离心率为，的离心率为， 所以，所以D正确.故选:BCD. 三、填空题 9．（23-24高二上·江苏扬州·月考）若焦点在轴上的椭圆的焦距为，则实数的值为 ． 【答案】 【解析】由于椭圆焦距为，所以， 由于椭圆的焦点在轴上，， 所以，解得. 故答案为： 10．（22-23高二上·湖南邵阳·月考）设椭圆经过点，离心率为，求过点且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标 . 【答案】 【解析】椭圆经过点 所以 ，又因为 ，得 ， 所以椭圆C方程为 ， 过点且斜率为的直线方程为， 设直线与椭圆C的交点为，线段EF的中点为， 将直线方程代入C的方程，整理就会得到， ，中点坐标为， 故答案为： 11．（23-24高二上·河南许昌·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上一点，是以为底边的等腰三角形，且，则该椭圆的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为是以为底边的等腰三角形， 所以，所以， ，， 在中，由余弦定理得：， 故，即， 即， 不等式，即，解得(舍去)或 不等式，即 所以. 故答案为： 四、解答题 12．（23-24高二上·天津·月考）已知椭圆的焦距为2，离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)经过椭圆的左焦点作倾斜角为60°的直线，直线与椭圆交于M，N两点，点为椭圆的右焦点，求的面积． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由已知得， 可得，所以椭圆C的标准方程为； （2）由（1）得，则直线：， 联立，消去得，设， 则， 所以. 13．（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知椭圆的离心率为，短轴长为2． (1)求椭圆L的标准方程； (2)过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分．求此弦所在的直线方程． 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）由题意，则椭圆标准方程为； （2）令过椭圆内一点的直线交椭圆于， 所以，两式作差得，则， 又，，故直线斜率为， 所以直线为，即. 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