专题27 抛物线的简单几何性质（5知识点+7大题型+思维导图+过关检测）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题27 抛物线的简单几何性质 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：抛物线的几何性质 1、抛物线的几何性质 （1）范围：由方程可知，对于抛物线上的点，，，抛物线在轴的右侧，开口方向与轴的正方向相同；当的值增大时，的值也增大，这说明，抛物线向右上方和右下方无限延伸． （2）对称性：以代，方程不变，所以抛物线关于轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． （3）顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当时，，因此抛物线的顶点就是原点． （4）离心率：抛物线上的点与焦点的距离和点到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用表示．由抛物线的定义可知，． 知识点02：四种标准方程对应的抛物线的性质比较 标准方程 （） （） （） （） 图形 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 轴 轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径长 知识点03：直线与抛物线的位置关系 1、直线与抛物线的位置关系有三种情况： 相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）． 2、以抛物线与直线的位置关系为例： （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点. （2）直线的斜率存在. 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数． ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点． ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点． 知识点04：直线与抛物线相交弦长问题 1、直线与抛物线相交弦长问题 设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为． （1）弦长公式：（为直线的斜率，且）． （2）中点弦斜率：, 推导：由题意，知，① ② 由①-②，得，故，即. （3）中点弦直线方程：直线的方程为． 知识点05：抛物线的焦点弦性质 1、焦点弦的定义：过抛物线的焦点的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的焦点弦． 2、焦点弦的常考性质 假设抛物线方程为.过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，其坐标分别为 . 性质1、,. 性质2、抛物线 的焦点为F，是过的直线与抛物线的两个交点，则. 注：一般地，如果直线恒过定点与抛物线交于两点，那么 .于是，若恒过定点. 性质3、已知倾斜角为直线的经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则 （1）. （2）. 性质4、已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，若弦中点的坐标为，则. 性质5、（1）以AB为直径的圆与准线相切. （2）以为直径的圆与切于焦点； （3）以焦半径为直径的圆与轴相切； （4）以焦半径为直径的圆与与轴相切； 【题型01：抛物线的简单几何性质】 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则点的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】由抛物线定义可列式求解点的横坐标，将所求横坐标代入抛物线方程可得点的纵坐标. 【详解】设点的坐标为， ∵，∴，∴. 把代入方程，得， ∴.∴点P的坐标为. 故选：B. 2．（23-24高二上·山东·月考）已知抛物线的焦点为，是上一点，且到的距离与到的对称轴的距离之差为2，则（    ） A． B．1 C．2或4 D．4或36 【答案】D 【分析】利用抛物线定义结合已知计算即可. 【详解】因为是上一点， 所以，所以， 由抛物线的定义可得到的距离为， 点到的对称轴的距离为， 则，解得或. 故选：D. 3．（24-25高二上·广东梅州·期末）在平面直角坐标系中，已知定点，点在抛物线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不妨设点，其中，利用平面内两点间的距离公式并结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】不妨设点，其中， 则， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故选：A. 二、多选题 4．（23-24高二下·陕西榆林·期末）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为8 【答案】AC 【分析】依题意可得抛物线的方程为，即可得到其焦点坐标与准线方程，再根据抛物线的性质判断即可. 【详解】因为抛物线与抛物线关于轴对称，所以抛物线的方程为， 则抛物线的焦点坐标是，准线方程为，故A、C正确； 抛物线关于轴对称，故B错误；抛物线的焦点到准线的距离为4，故D错误. 故选：AC 三、填空题 5．（23-24高二上·河南·期中）抛物线（）上的动点Q到焦点的距离的最小值为2，则 . 【答案】4 【分析】利用抛物线定义，结合抛物线范围求解即得. 【详解】抛物线的准线方程为，设，显然，当且仅当时取等号， 则点到焦点的距离，当且仅当时取等号，因此， 所以. 故答案为：4 6．（24-25高二下·上海宝山·月考）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的点，点为其准线上的点，且满足．若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】根据抛物线的定义求出点的横坐标，设，利用求出点坐标，再根据两点距离公式求出进而求的面积即可. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为， 点为抛物线上的点，且， 设点横坐标为，则由抛物线的定义可知，解得， 将代入抛物线方程，解得， 由对称性不妨取，设， 则，， 因为，则，解得，即， 所以， 所以的面积， 故答案为：. 【题型02：由抛物线的简单几何性质求标准方程】 一、单选题 1．（24-25高二上·新疆·月考）顶点在坐标原点，焦点在轴正方向上，顶点到准线的距离为，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的性质即可求解. 【详解】根据顶点到准线的距离为，可知，则， 结合焦点在轴正方向上，故方程为， 故选:B 2．（24-25高二上·湖南·期末）若抛物线上一点到其焦点的距离为9，则该抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将抛物线上点到焦点的距离转化为到准线的距离求解. 【详解】抛物线的准线方程为， 所以点P到焦点的距离为， 所以，抛物线的方程为. 故选：B. 3．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，点在C上，且，则C的方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义得，结合得，将代入抛物线的方程即可解得的值，进而得C的方程. 【详解】 由抛物线的定义，得， 又，，则，即， 因此，由点在C上，得，结合，解得， 所以C的方程为． 故选：B． 4．（24-25高二上·湖南·期中）抛物线的焦点为，为坐标原点，为抛物线上一点，且，的面积为，则抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，结合抛物线的定义可得，，再根据面积关系运算求解即可. 【详解】由题意可知：， 设，则， 因为，即， 解得，则，即， 又因为的面积为，且，解得， 所以抛物线方程为. 故选：A. 【题型03：直线与抛物线的位置关系】 一、单选题 1．（23-24高二下·江西·月考）直线与抛物线：的图象相切，则的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立直线与抛物线方程，消元，由求出，即可得到抛物线方程，从而得到准线方程. 【详解】由，消去整理得， 由，解得或（舍去）， 所以抛物线：，则的准线方程为. 故选：A 2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）若命题p：，命题q：直线与抛物线无公共点，则q是p的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意联立直线与抛物线可求的范围，再利用命题的充分性与必要性判断即可. 【详解】命题q：直线与抛物线无公共点，把代入即无解，，又命题p：，所以q是p的充分不必要条件. 故选：A. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知过点的直线与抛物线相交于不同的两点，为直线的斜率，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立直线与抛物线方程，利用直线与抛物线有两个不同的交点可得结果. 【详解】由直线过点可得直线的方程为， 由得， ∵直线与抛物线相交于不同的两点， ∴，即，解得且． ∴斜率的取值范围是． 故选：A. 二、解答题 4．（2020·安徽马鞍山·二模）已知F为抛物线E：的焦点，以F为圆心作半径为R的圆Γ，圆Γ与x轴的负半轴交于点A，与抛物线E分别交于点B、C，若△ABC为直角三角形． (1)求半径R的值； (2)判断直线AB与抛物线E的位置关系，并给出证明． 【答案】(1) (2)直线AB与抛物线相切，证明见解析. 【分析】（1）根据抛物线和圆的对称性可得B，C，F三点共线，则可得，进而得到，所以圆的半径； （2）由（1）得到直线A、B的坐标进而可得AB的方程，再与抛物线方程联立，求得，即可得到位置关系． 【详解】（1）解：由题意得： 由抛物线和圆的对称性可得B，C关于x轴对称，再由△ABC为直角三角形可得BC为圆的直径，B，C，F三点共线 ，代入抛物线的方程可得 所以圆的半径 （2）直线AB与抛物线E相切. 由（1）知，，， 则直线AB： ，联立，整理得 ∴ ∴直线AB与抛物线相切． 5．（24-25高二上·甘肃白银·月考）已知曲线上任一点与点的距离比它到轴的距离大． (1)求曲线的方程； (2)求过定点且与曲线只有一个公共点的直线的方程． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）根据抛物线的定义可得抛物线方程； （2）分情况讨论，当直线平行与抛物线对称轴时可得直线方程，当直线斜率不存在时可得直线方程，当直线既不平行于对称轴也满足斜率存在时，设直线的点斜式方程，联立直线与抛物线，根据，可得解. 【详解】（1）由曲线上任一点与点的距离比它到轴的距离大， 可知曲线上任一点与点的距离与它到直线的距离相等， 由抛物线的定义可知曲线为抛物线，且焦点在轴上，焦点坐标为， 所以曲线的方程为； （2）当直线过点且斜率为，即直线与抛物线的对称轴平行时， 直线与曲线有一个公共点，此时直线的方程为； 当过的直线的斜率不存在时，即直线的方程为， 显然与抛物线相切，直线与曲线有一个公共点． 当过的直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立，整理得， 则，即，解得， 此时直线的方程为． 综上所述，满足条件的直线的方程为或或. 【题型04：弦长及三角形面积问题】 一、解答题 1．（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知抛物线C顶点在原点，焦点在x轴上，且经过点，一条斜率为的直线过抛物线C的焦点，且与C交于A，B两点， (1)求抛物线方程； (2)求弦的长度； 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题意设抛物线为，结合所过的点求抛物线方程； （2）由（1）及题设有直线，联立抛物线，应用韦达定理及弦长公式求. 【详解】（1）由题意，可设抛物线为，又抛物线经过点， 所以，则抛物线方程为. （2）由（1）知：抛物线焦点为，则直线， 代入抛物线消去y，得，则，显然， 所以，，则. 2．（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，若，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用抛物线定义求解； （2）利用韦达定理求得，再根据抛物线的定义求解即可. 【详解】（1）根据抛物线的定义可知， ，即，解得， 所以抛物线的方程为. （2） 由（1）知，抛物线焦点为, 若直线l的斜率不存在，则, 则，不满足题意， 所以直线的斜率存在且不为零，并设为，则， 设， 联立，消去可得，， 所以， 因为， 解得， 所以直线的方程为. 3．（23-24高二上·福建三明·月考）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且轴时，. (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线与抛物线交于两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，求出，故，得到抛物线方程； （2）联立与抛物线方程，得到两根之和，两根之积，求出弦长和面积. 【详解】（1）令时，，解得， 故当轴时，，所以， 故抛物线的标准方程为； （2）设，，由（1）可知， 由，消去得， 则，， 所以， 又，，所以， 故 因为点到直线的距离， 所以的面积为 4．（23-24高二上·广西玉林·月考）已知点是抛物线上的动点，过点向轴作垂线段，垂足为，垂线段中点为，设的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设过点且斜率为1的直线交曲线于，两点，为坐标原点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据中点坐标即可将代入求解， （2）联立直线与抛物线方程得韦达定理，即可由面积公式求解. 【详解】（1）设，则， 由于在抛物线上，所以，即 （2）根据题意可设直线l的方程为 联立，设， 则， 因此 ∴面积为 5．（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知抛物线：，过点倾斜角为的直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点. (1)若，求的值； (2)若，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，， 当时，直线为，则直线的方程为， 由，得， 则， 所以. （2）设直线的方程为， 由，得， 因为，，， 所以. 又因为， 所以的面积， 因为，所以， 所以， 即的面积的取值范围是. 6．（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）已知抛物线的焦点为F，直线l过点F交抛物线于A，B两点（点A在第一象限）． (1)若，求直线l的方程； (2)求面积的最小值． 【答案】(1) (2)2． 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，根据向量的共线关系可得，即可结合韦达定理求解，或者利用抛物线的焦半径关系，结合图形关系，利用锐角三角函数即可求解， （2）根据面积公式以及韦达定理得表达式，即可根据二次函数的性质求解最值. 【详解】（1）法一：抛物线的焦点为，设直线l的方程是． 设，，，由 得，显然， ，， 由可得：，则， 由于，，所以，． l的方程为：即 法二：作出抛物线的准线，设A，B在l上的射影分别是C，D，连接AC，BD， 过B作于E．，设，， 由点A，B分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得，． 因此，中，， ，则l的方程为： （2） 当时即l的方程为：，此时的面积最小值为2． 【题型05：中点弦问题】 一、解答题 1．（24-25高二上·广西·期末）已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与相交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知得到动点到的距离等于到直线的距离，满足抛物线的定义，根据定义即可求解； （2）利用点差法求出直线的斜率即可. 【详解】（1）由题意知根据已知得到动点到的距离等于到直线的距离， 即动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以轨迹的方程为. （2）设，则 两式相减得，整理可得. 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即经检验满足题意. 2．（23-24高二上·湖北十堰·期末）在平面直角坐标系中，已知点，横坐标非负的动点到轴的距离为，且，记点的运动轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)若是上两点，且线段的中点为，求． 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）根据点点距离公式即可求解， （2）根据点差法求解直线的斜率，即可由焦点弦公式即可求解. 【详解】（1）设，则． 由，可得， 整理得的方程为． （2）设， 因为线段的中点为，所以， 则，则． 所以， 则直线的方程为，显然直线经过点． 由（1）可知，是以为焦点的抛物线，所以． 3．（23-24高二上·辽宁沈阳·月考）已知抛物线：，过的焦点的直线与交于，两点. (1)若点在抛物线上，且到抛物线的准线距离为2，求抛物线的方程 (2)若直线的斜率为1，线段的中点纵坐标为2，求抛物线的准线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据焦半径公式以及点在抛物线上，即可联立求解， （2）利用点差法，结合斜率公式即可求解. 【详解】（1）由题意,解得, 所以抛物线的方程为. （2）设,,则, 所以, 即：, 所以, 抛物线方程为,准线方程为 4．（23-24高二上·四川成都·期末）已知抛物线的焦点为，与椭圆其中一个焦点重合．过抛物线的焦点且斜率为1的直线与抛物线交于两点． (1)求抛物线的方程； (2)求线段的中点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由抛物线的焦点与椭圆的焦点重合，可得．即，即可得的方程; （2）设，，设A，B两点的中点为，将，代入抛物线方程，作差整理可得，又因为在直线：，即可得，从而可得的坐标. 【详解】（1）解：抛物线的焦点与椭圆的焦点重合，． ，即， 的方程为：； （2）解：设，，设A，B两点的中点为， 直线AB的斜率为1，有，， 又A，B两点在抛物线上，有，， 相减整理得：，得， 又中点在直线：上，∴， ∴线段的中点为． 5．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知P为抛物线C：（）上一点，且点P到抛物线的焦点F的距离为12，到y轴的距离为10． (1)求p的值； (2)过点F作直线l交C于A，B两点，求AB中点M的轨迹方程． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义列出方程即可求解； （2）设，，，利用点差法化简计算即可得出结果. 【详解】（1）由抛物线的定义得， 故． （2）由（1）得，，则抛物线C的方程为，焦点， 设，，， ∴，， 当M，F不重合时，相减整理得，， ∴，即， 当M，F重合时，满足上式． ∴点M的轨迹方程为． 6．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知直线与抛物线C：交于M，N两点，，O为坐标原点． (1)求p； (2)过点作直线l交抛物线于A，B两点，且点P是线段AB的中点，求三角形OAB的面积． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）联立直线和抛物线方程，得到两根之和，两根之积，由弦长公式得到方程，求出答案； （2）设，，点差法得到直线的斜率，从而得到直线的方程，由焦点弦弦长公式得到，结合点到直线距离，得到三角形面积. 【详解】（1）设，，联立直线与抛物线得：， 消去x得到，∴，， ∴． 解得或－3（舍去）．∴． （2）设，， ∵A，B在抛物线C上，∴，， 两式作差得． ∵AB中点坐标为，∴，， ∴， ∴， ∴l：，整理得l：． 故l过的焦点，弦长． 又O到l的距离为． ∴． 【题型06：焦点弦问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·湖北·期末）已知是过抛物线的焦点的弦，若，则中点的横坐标为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由抛物线的焦点弦长公式，即可求得线段的中点的横坐标，得到答案. 【详解】设，由已知， 由焦半径公式可得 所以，所以. 故选：B. 2．（23-24高三下·重庆·月考）抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点，若，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据抛物线焦点弦性质及直线的倾斜角、斜率关系计算即可. 【详解】由题意可知，不妨设，， 联立直线与抛物线方程得， 又，而， 则，即或， 所以直线的倾斜角为或. 故选：C    3．（2025·广东·模拟预测）已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且从上到下与依次交于两点，，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】根据题意，联立直线与抛物线方程，即可得到的横坐标，结合焦半径公式代入计算，即可得到结果. 【详解】    由于，直线方程为， 联立方程，消去得， 显然，得， 所以，即. 故选：D. 4．（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立直线与抛物线，结合韦达定理及抛物线焦半径公式可得解. 【详解】 由已知抛物线焦点到准线的距离为， 即， 则抛物线方程为，， 所以直线方程为，即， 设直线与抛物线交点，， 联立直线与抛物线， 得， 则，， 又由抛物线可知，， 所以， 故选：A. 二、填空题 5．（24-25高二上·湖南郴州·期末）已知抛物线，过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则 ． 【答案】 【分析】首先求出直线与轴的交点坐标，即可得到抛物线方程，再设，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，再由焦点弦公式计算可得. 【详解】直线过点，又抛物线的焦点坐标为， 所以，解得，所以抛物线，设，， 由，消去可得，显然， 所以，则. 故答案为： 6．（2025·河南·二模）已知抛物线的焦点为，过点且不与轴垂直的直线与交于两点，过的中点作轴的平行线交于点，则 . 【答案】4 【分析】根据题意作示意图，设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理可得点的坐标，从而求得点的坐标，再根据抛物线的定义求解. 【详解】如图，由题意可知，直线的斜率存在且不等于0， 因为抛物线的焦点为，设直线的方程为， 联立方程可得， 设，则， 设，则代入抛物线方程可得， 由抛物线的定义可知， . 所以. 故答案为：4. 【题型07：抛物线中的定点、定值问题】 一、解答题 1．（24-25高二上·陕西西安·期末）如图，O为坐标原点，过点且斜率为k的直线l与抛物线分别交于，两点． (1)求证：为定值； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）设直线：，代入抛物线方程，消去，得到关于的一元二次方程，根据韦达定理可得为定值. （2）根据（1）的结论，通过求证得. 【详解】（1）由题可设直线l的方程为（）， 与抛物线方程联立得 消去y可得， 其中， 由根与系数的关系得，即为定值． （2）因为，，所以． 又因为，所以． 设，的斜率分别为，， 则，，有，则． 2．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知抛物线的焦点为． (1)求的方程； (2)若过点的直线与抛物线交于，两点．是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1)； (2)为定值. 【分析】（1）根据抛物线焦点写出抛物线方程即可； （2）设直线的方程为，，，联立抛物线，应用韦达定理及两点距离公式化简目标式，即可证结论. 【详解】（1）抛物线的焦点为，依题意，解得， 所以抛物线． （2）由题意，直线斜率不为0，设直线的方程为，，， 联立抛物线有，消去得，则， ∴，，又，， ∴ ，为定值. 3．（24-25高二下·上海·期中）已知在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线的焦点为，A、B是抛物线Γ上两个不同的点． (1)求抛物线Γ的方程； (2)若直线斜率为1，且过点F，求线段的长度； (3)设直线、的斜率为、，若，证明：直线过定点，并求该定点的坐标． 【答案】(1)； (2)8 (3)证明见解析，定点坐标为 【分析】（1）根据焦点坐标为，故，所以抛物线为； （2）联立直线和抛物线方程，得到两根之和，两根之积，利用焦点弦长公式求出答案； （3）设出直线的方程，联立抛物线方程，得到两根之积，根据得到方程，求出，得到恒过的定点. 【详解】（1）抛物线的焦点为， 则，即，所以抛物线为； （2）直线的方程为，联立抛物线Γ和直线l的方程：， 得．，设， 由韦达定理得， 故. （3）由题意可知所在直线斜率不为0，所在直线方程． 联立抛物线Γ和直线的方程：，化简可得：， 则．由韦达定理可得， 又由已知，则． 此时直线恒过点． 4．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点在C上，且，其中O为坐标原点，过点的直线l与C相交. (1)求C的方程； (2)若l与C仅有一个公共点且斜率存在，求l的斜率； (3)若l与C交于M，N两点，记直线OM与直线ON的斜率分别为，，证明：为定值，并求出该定值. 【答案】(1) (2)0或 (3)证明见解析， 【分析】（1）由抛物线的定义可得，再将点的坐标代入抛物线方程，即可得到结果； （2）联立直线与抛物线方程，分与讨论，即可得到结果； （3）联立直线与抛物线方程，结合韦达定理代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由抛物线的定义可知， 又，则. 即.所以. 又在抛物线上. 所以.且. 解得.则C的方程为. （2）设直线l的斜率为k，则. 联立， 可得， 当时，，符合题意； 当时，则有，解得. 综上，直线l的斜率为0或. （3）由题得l的斜率存在且不为零. 设l的方程为.，， 联立，可得， .即. 可得，. 故，. 则， 所以为定值. 5．（24-25高二下·浙江·期末）已知抛物线，且过抛物线焦点作直线交抛物线于，两点，弦长最小值为4 (1)求抛物线的方程； (2)过点作直线交抛物线于点，且直线过定点，连接直线并交抛物线于点，请问直线是否经过定点，若是请求出定点坐标，若不是请说明理由. 【答案】(1) (2)直线经过定点 【分析】（1）利用直线与抛物线相交来求弦长的最小值即可求解抛物线方程； （2）利用直线与抛物线联立方程组借助韦达定理，研究坐标关系，可求直线参数，从而可得直线过的定点. 【详解】（1）因为抛物线，所以焦点坐标为：， 过该焦点的直线方程为：，与抛物线的交点为：，， 与抛物线方程联立得：，则， 而由抛物线的定义可知， 因为，所以当时，有最小值，所以， 所以抛物线方程为. （2） 由（1）得，直线方程为，且① 设直线方程为， 与抛物线方程联立得：，则② 设直线方程为，，同理可得③ 联立①②③可得 设直线方程为 与抛物线方程联立得：，则 因为，所以，所以直线经过定点 6．（23-24高三上·贵州黔西·月考）已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点A，，当直线的倾斜角为时，. (1)求抛物线的标准方程和准线方程； (2)记为坐标原点，直线分别与直线，交于点，，求证：以为直径的圆过定点，并求出定点坐标. 【答案】(1)抛物线的方程为，准线方程为 (2)证明见解析，定点坐标为或 【分析】（1）根据已知得出直线的方程，与抛物线联立，根据过焦点的弦长公式，列出关系式，即可得出； （2）设，联立方程根据韦达定理得出的关系.进而表示出的方程，求出，的坐标，得出圆的方程.取，即可得出定点坐标. 【详解】（1）由已知可得，抛物线的焦点坐标为，直线的方程为. 联立抛物线与直线的方程可得， . 设，，由韦达定理可得， 则，所以. 所以，抛物线的方程为，准线方程为. （2）设直线， 联立直线与抛物线的方程可得，. 所以，，. 又，，所以. 同理可得. 设圆上任意一点为，则由可得， 圆的方程为， 整理可得，. 令，可得或， 所以，以为直径的圆过定点，定点坐标为或.    【点睛】思路点睛：直线或圆过定点问题，先根据已知表示出直线或圆的方程，令变参数为0，得出方程，求解即可得出求出定点的坐标. 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线上与焦点距离等于的点的纵坐标为，则该抛物线标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设出满足条件的点的坐标，根据已知列出方程求解即可. 【详解】设满足条件的点为， 则到的准线的距离为， 设，所以， 解得或，故所求方程为或． 故选：C 2．（24-25高二上·山东·月考）过点且与抛物线只有1个公共点的直线有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】C 【分析】分直线与抛物线相切和与对称轴平行求解. 【详解】解：因为点A在C上， 所以过点A且与C相切的直线只有1条，该切线满足题意． 过点A且斜率为0的直线与C也只有1个公共点， 所以满足题意的直线有2条． 故选：C 3．（23-24高二上·浙江温州·期中）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设另外两个顶点的坐标分别为，由图形的对称性可以得到方程，解此方程得到的值，即可得到答案. 【详解】由题意，依据抛物线的对称性，及等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上， 可设另外两个顶点的坐标分别为， ，解得， 故这个等边三角形的边长为. 故选：A. 4．（24-25高二上·广东广州·期末）斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线过抛物线焦点以及斜率为，表示出直线方程，然后联立抛物线方程，结合韦达定理和焦点弦性质，即可求出线段长度. 【详解】由题知，抛物线方程为， 所以抛物线焦点为， 所以该直线方程为， 即， 联立，得， 设，则， 所以. 故选：A 5．（23-24高三下·北京·月考）设抛物线C的焦点为F，点E是C的准线与C的对称轴的交点，点P在C上，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设，根据图形分别表示出和即可得解. 【详解】由于抛物线的对称性，不妨设抛物线为，则其焦点为， 点是的准线与的对称轴的交点，其坐标为， 点在上，设为，若，则， 且，则. 故选：B. 6．（23-24高二上·湖北·期中）若抛物线上两点，关于直线对称，且，则中点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件求得，进而求得中点坐标. 【详解】因为抛物线上两点，关于直线对称， 故和直线垂直， 所以，故， 又，所以， 故中点坐标是，即 故选：B 二、多选题 7．（2024·湖南长沙·二模）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为4 【答案】AC 【分析】依题意可得抛物线的方程为，即可得到其焦点坐标与准线方程，再根据抛物线的性质判断即可. 【详解】因为抛物线与抛物线关于轴对称， 所以抛物线的方程为， 则抛物线的焦点坐标是，准线方程为，故A、C正确； 抛物线关于轴对称，故B错误； 抛物线的焦点到准线的距离为，故D错误. 故选：AC 8．（24-25高三上·湖北武汉·月考）连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是（   ） A．平行四边形 B．梯形 C．有三条边相等的四边形 D．有一组对角相等的四边形 【答案】BCD 【分析】根据题意作出相应的图形，结合抛物线的性质逐项分析判断. 【详解】对于选项A：作两条平行线与抛物线均相交，根据抛物线的性质可知：截得的弦长一定不相等， 所以所得的四边形不可能为平行四边形，故A错误；    对于选项C：任作一条直线垂直于抛物线的对称轴，交抛物线与两点，则， 再以圆心，为半径作圆，该圆以抛物线必有一个异于坐标原点的交点， 此时可得，符合题意，故C正确；    对于选项B：任作两条直线垂直于抛物线的对称轴，分别与交抛物线交于和， 此时，即为梯形，故B正确；    对于选项D：如图，以为直径作圆，与抛物线交于，    此时，符合题意，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题 9．（2024·北京·三模）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若弦中点纵坐标为2，则 ． 【答案】6 【分析】将抛物线化为标准形式，得到焦点和准线方程，由焦点弦弦长公式求出答案. 【详解】由得，所以焦点坐标为，准线为， 设弦中点纵坐标为， 故． 故答案为：6 10．（24-25高二上·江西南昌·月考）抛物线的焦点为，为坐标原点，为抛物线上一点，且，的面积为，则抛物线方程为 【答案】 【分析】根据题意过点做轴垂线垂足为，做直线垂线垂足为，则根据抛物线定义可得点坐标为或，再根据面积为即可求解. 【详解】根据题意过点做轴垂线垂足为，做直线垂线垂足为， 由抛物线定义可得, 所以可得点坐标横坐标为，代入抛物线可得点纵坐标为， 又因的面积为，所以可得， 所以可求得，则抛物线方程为. 故答案为： 11．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知拋物线的焦点为，过斜率为的直线交抛物线于两点，在第一象限，则 . 【答案】 【分析】根据题意得到直线的方程，联立直线与抛物线方程，求得，再利用抛物线的焦半径公式即可得解. 【详解】由拋物线，得， 所以直线的方程为， 联立，消去，得， 因为在第一象限，则，解得， 所以，所以. 故答案为：. 12．（23-24高二下·湖南常德·期中）设抛物线C：的焦点为F，准线为，斜率为的直线经过焦点F，交抛物线C于点A、B两点，若，则抛物线C的方程为 ． 【答案】 【分析】设直线方程为，联立抛物线的方程可得，再由抛物线的定义表示出，解方程即可得出答案. 【详解】抛物线C：的焦点为， 则过焦点且斜率为的直线方程为：， 联立，消去可得：，, 设A、B两点的坐标分别为， 则， 由抛物线的性质可得：， 代入化简可得：，解得：. 则抛物线C的方程为:. 故答案为：. 13．（24-25高二上·安徽·期中）已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与相交于，两点，且，若，则直线的斜率为 . 【答案】 【分析】设，设直线：，联立直线与抛物线的方程，由根与系数的关系得到，由抛物线的定义可得，由此求出，代入，化简即可得出答案. 【详解】设，，由题意设直线：， 联立可得：， ， 由抛物线的定义可得：， 所以 ， 所以，又因为， 所以，解得：. 故答案为：. 四、解答题 14．（24-25高二下·湖南·期中）已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，且的右顶点为． (1)求的方程； (2)设过点且倾斜角为的直线与交于两点，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由抛物线的焦点坐标即可得到，从而得到其标准方程； （2）联立直线与抛物线方程，结合弦长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为，所以的右焦点坐标为， 所以，即， 所以的方程为． （2）依题意可得直线的方程为． 由得． 设，则， 则．    15．（23-24高二下·陕西西安·期末）已知椭圆过点，且其一个焦点与抛物线的焦点重合. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆经过的点以及焦点，即可求解， （2）联立直线与椭圆的方程，即可根据中点关系求解. 【详解】（1）抛物线的焦点为， 由题意得，解得，， 所以椭圆的方程为. （2）直线的斜率存在，设斜率为， 直线的方程为，即， 联立， 消去得：， 设， 因为，即， 所以，解得， 此时满足题意 所以所求直线的方程为. 16．（24-25高二上·山东临沂·期末）已知抛物线：（），是的焦点，为上的一动点，且的最小值为1. (1)求的方程； (2)直线（不过坐标原点）交于、两点，且满足，证明过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析，定点为 【分析】（1）由抛物线中的最小值为1，所以，即，即可得到方程. （2）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理得到，由得到，即可求得结果. 【详解】（1）因为的最小值为1，故，即，所以抛物线方程为 （2）显然直线的斜率存在，设方程为，则, 即，设，由韦达定理得，则， 因为，所以，解得（舍），，故的方程为：，故恒过点. 17．（23-24高二上·贵州黔南·期末）已知F是抛物线C：（）的焦点，是抛物线C上一点，且. (1)求抛物线C的方程； (2)若直线l与抛物线C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点在抛物线上以及抛物线的焦半径公式即可求解， （2）根据点差法求解斜率，即可得直线方程，进而联立直线与抛物线方程得韦达定理，根据弦长公式即可求解. 【详解】（1）由题可知，，解得， 故抛物线C的方程为. （2）设，，则， 两式相减，得，即. 因为线段AB的中点坐标为， 所以，则， 故直线l的斜率为2. 所以直线l的方程为：. 联立直线与抛物线方程，得， 由韦达定理可得，. 由弦长公式得 . 18．（24-25高二下·陕西安康·期中）设抛物线的焦点为，过作直线交于两点.当轴时，. (1)求的方程； (2)记点. （ⅰ）求点到直线距离的最大值； （ⅱ）当时，求的面积. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）当轴时，，与抛物线方程联立可得或，由计算即可求解. （2）（ⅰ）设，再利用点到直线的距离公式即可求解；（ⅱ）设，，联立，利用韦达定理、点到直线的距离公式及三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）显然，当轴时，， 联立，得到，即或， 于是，解得， 故的方程为. （2）（ⅰ），不妨设，即. 点到的距离，取等条件：， 故点到距离的最大值为. （ⅱ）设，，联立， 有，于是，， ，得到， 故此时点到的距离， 故的面积. 19．（23-24高二上·上海青浦·期末）已知点在抛物线：上，点F为的焦点，且．过点F的直线与及圆依次相交于点A，B，C，D，如图． (1)求抛物线的方程及点M的坐标； (2)证明：为定值； 【答案】(1)，或 (2)证明过程见解析 【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式结合条件即得； （2）求出抛物线的焦点坐标，设直线的方程为，与抛物线方程联立，用一元二次方程根与系数的关系，结合抛物线定义可证明为定值. 【详解】（1）因为点在抛物线：（）上，点为抛物线的焦点，且， 所以：. 所以抛物线的方程为：， 由， 故点坐标为：或. （2）由（1）知：，显然直线的斜率存在，所以设直线方程为：， 由， 设，， 则， 由抛物线的定义得：，， 所以：， 即为定值1. 20．（24-25高二上·云南保山·期末）已知抛物线的焦点为，横坐标为2的点在抛物线上，且，过点的直线交抛物线于，两点． (1)求抛物线的方程； (2)已知点，直线分别交抛物线于两点． （ⅰ）求证：直线过定点； （ⅱ）求与面积和的最小值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）10 【分析】（1）利用抛物线定义由焦半径公式计算可得抛物线的方程； （2）（ⅰ）设直线的方程为，并于抛物线联立求出直线的方程即可知其过定点； （ⅱ）分别求出与的面积表达式，再由韦达定理计算可得面积最小值. 【详解】（1）由得， 因此抛物线的方程为． （2）（i）由题意，可设直线的方程为， 联立，得， 所以， 设直线的方程为，如下图所示： 联立得，， 同理可得，． 又， ∴直线的方程为， 化简，得，即， 令，则， 故直线过定点； （ii）由（i）知， ， ， 当且仅当时等号成立， 故与面积和的最小值为10． 21．（24-25高二下·上海·期中）已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于，两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)若动点在抛物线上，为抛物线的焦点，线段的中点为，求点的轨迹方程； (3)试探究:抛物线上是否存在点使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）将点代入抛物线方程计算可得，即可求出结果； （2）设点，，根据中点坐标公式进行代换可得点的轨迹方程； （3）联立直线方程并利用垂直关系的向量表示，结合向量数量积的坐标运算即可求得结果. 【详解】（1）已知点在抛物线上 代入得 所以抛物线方程为 （2）易知抛物线焦点为， 设动点，中点的坐标为 显然； 且， ； 即点的轨迹方程为； （3）设点在抛物线上，则 直线的方程为，如下图： 联立，解得，； 所以， 因此 依题意可得 可得 整理可得，即， 解得或或或； 显然当或时，与重合，不合题意； 所以存在，满足题意. 22．（24-25高三下·黑龙江·月考）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：与过点的直线l交于A，B两点，且. (1)求抛物线C的方程； (2)过点且不过点的直线与抛物线交于C，D两点，若直线PC，PD的斜率都存在且分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.     【答案】(1) (2)为定值 【分析】（1）设直线l的方程为，联立抛物线方程，由向量垂直的坐标表示即可求解； （2）设出直线直线CD方程为，与抛物线联立，利用韦达定理、斜率公式即可求出定值. 【详解】（1） 设过点的直线l的方程为， 令，，联立，得， 则，， 故， 又，， 由，则， 则，故抛物线C的方程为； （2）由，显然，过点的直线斜率不为0， 故设直线CD方程为，，， 由，得， ， 解得或， 则，， 故， ， 又，， 所以 ， 故为定值. 23．（2025·宁夏银川·三模）已知抛物线与双曲线的渐近线在第一､四象限的交点分别为P，，且. (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线与抛物线相交于两点，关于轴的对称点为. （i）若，求直线的方程. （ii）证明：直线必过定点. 【答案】(1)； (2)（i）或；（ii）证明见解析. 【分析】（1）设点P的坐标为，根据点在渐近线上列方程求得，再代入抛物线求参数，即可得方程； （2）（i）设直线的方程为，联立抛物线并应用韦达定理，结合的坐标表示列方程得，即可得直线方程；（ii）设关于轴的对称点为，写出直线的方程，根据对称性知定点在必定在轴上，令结合韦达公式化简，即可证. 【详解】（1）因为点关于x轴对称，设点P的坐标为， 双曲线的渐近线方程为， 因为点P在双曲线的渐近线上，所以， 所以点的坐标为， 又点在抛物线上，所以，所以， 故抛物线的标准方程为：； （2）（i）设直线的方程为，联立，消得，， 方程的判别式，即， 设，则①，②， ， ，代入①②得，则， 直线的方程为或； （ii）设关于轴的对称点为，则直线为， 根据抛物线的对称性，知定点必定在轴上， 令得： 直线过定点. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题27 抛物线的简单几何性质 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：抛物线的几何性质 1、抛物线的几何性质 （1）范围：由方程可知，对于抛物线上的点，，，抛物线在轴的右侧，开口方向与轴的正方向相同；当的值增大时，的值也增大，这说明，抛物线向右上方和右下方无限延伸． （2）对称性：以代，方程不变，所以抛物线关于轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． （3）顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当时，，因此抛物线的顶点就是原点． （4）离心率：抛物线上的点与焦点的距离和点到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用表示．由抛物线的定义可知，． 知识点02：四种标准方程对应的抛物线的性质比较 标准方程 （） （） （） （） 图形 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 轴 轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径长 知识点03：直线与抛物线的位置关系 1、直线与抛物线的位置关系有三种情况： 相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）． 2、以抛物线与直线的位置关系为例： （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点. （2）直线的斜率存在. 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数． ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点． ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点． 知识点04：直线与抛物线相交弦长问题 1、直线与抛物线相交弦长问题 设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为． （1）弦长公式：（为直线的斜率，且）． （2）中点弦斜率：, 推导：由题意，知，① ② 由①-②，得，故，即. （3）中点弦直线方程：直线的方程为． 知识点05：抛物线的焦点弦性质 1、焦点弦的定义：过抛物线的焦点的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的焦点弦． 2、焦点弦的常考性质 假设抛物线方程为.过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，其坐标分别为 . 性质1、,. 性质2、抛物线 的焦点为F，是过的直线与抛物线的两个交点，则. 注：一般地，如果直线恒过定点与抛物线交于两点，那么 .于是，若恒过定点. 性质3、已知倾斜角为直线的经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则 （1）. （2）. 性质4、已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，若弦中点的坐标为，则. 性质5、（1）以AB为直径的圆与准线相切. （2）以为直径的圆与切于焦点； （3）以焦半径为直径的圆与轴相切； （4）以焦半径为直径的圆与与轴相切； 【题型01：抛物线的简单几何性质】 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则点的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 2．（23-24高二上·山东·月考）已知抛物线的焦点为，是上一点，且到的距离与到的对称轴的距离之差为2，则（    ） A． B．1 C．2或4 D．4或36 3．（24-25高二上·广东梅州·期末）在平面直角坐标系中，已知定点，点在抛物线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高二下·陕西榆林·期末）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为8 三、填空题 5．（23-24高二上·河南·期中）抛物线（）上的动点Q到焦点的距离的最小值为2，则 . 6．（24-25高二下·上海宝山·月考）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的点，点为其准线上的点，且满足．若，则的面积为 ． 【题型02：由抛物线的简单几何性质求标准方程】 一、单选题 1．（24-25高二上·新疆·月考）顶点在坐标原点，焦点在轴正方向上，顶点到准线的距离为，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·湖南·期末）若抛物线上一点到其焦点的距离为9，则该抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，点在C上，且，则C的方程为（    ）． A． B． C． D． 4．（24-25高二上·湖南·期中）抛物线的焦点为，为坐标原点，为抛物线上一点，且，的面积为，则抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 【题型03：直线与抛物线的位置关系】 一、单选题 1．（23-24高二下·江西·月考）直线与抛物线：的图象相切，则的准线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）若命题p：，命题q：直线与抛物线无公共点，则q是p的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知过点的直线与抛物线相交于不同的两点，为直线的斜率，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、解答题 4．（2020·安徽马鞍山·二模）已知F为抛物线E：的焦点，以F为圆心作半径为R的圆Γ，圆Γ与x轴的负半轴交于点A，与抛物线E分别交于点B、C，若△ABC为直角三角形． (1)求半径R的值； (2)判断直线AB与抛物线E的位置关系，并给出证明． 5．（24-25高二上·甘肃白银·月考）已知曲线上任一点与点的距离比它到轴的距离大． (1)求曲线的方程； (2)求过定点且与曲线只有一个公共点的直线的方程． 【题型04：弦长及三角形面积问题】 一、解答题 1．（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知抛物线C顶点在原点，焦点在x轴上，且经过点，一条斜率为的直线过抛物线C的焦点，且与C交于A，B两点， (1)求抛物线方程； (2)求弦的长度； 2．（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，若，求直线l的方程． 3．（23-24高二上·福建三明·月考）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且轴时，. (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线与抛物线交于两点，求的面积. 4．（23-24高二上·广西玉林·月考）已知点是抛物线上的动点，过点向轴作垂线段，垂足为，垂线段中点为，设的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设过点且斜率为1的直线交曲线于，两点，为坐标原点，求的面积. 5．（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知抛物线：，过点倾斜角为的直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点. (1)若，求的值； (2)若，求面积的取值范围. 6．（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）已知抛物线的焦点为F，直线l过点F交抛物线于A，B两点（点A在第一象限）． (1)若，求直线l的方程； (2)求面积的最小值． 【题型05：中点弦问题】 一、解答题 1．（24-25高二上·广西·期末）已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与相交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 2．（23-24高二上·湖北十堰·期末）在平面直角坐标系中，已知点，横坐标非负的动点到轴的距离为，且，记点的运动轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)若是上两点，且线段的中点为，求． 3．（23-24高二上·辽宁沈阳·月考）已知抛物线：，过的焦点的直线与交于，两点. (1)若点在抛物线上，且到抛物线的准线距离为2，求抛物线的方程 (2)若直线的斜率为1，线段的中点纵坐标为2，求抛物线的准线方程. 4．（23-24高二上·四川成都·期末）已知抛物线的焦点为，与椭圆其中一个焦点重合．过抛物线的焦点且斜率为1的直线与抛物线交于两点． (1)求抛物线的方程； (2)求线段的中点的坐标． 5．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知P为抛物线C：（）上一点，且点P到抛物线的焦点F的距离为12，到y轴的距离为10． (1)求p的值； (2)过点F作直线l交C于A，B两点，求AB中点M的轨迹方程． 6．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知直线与抛物线C：交于M，N两点，，O为坐标原点． (1)求p； (2)过点作直线l交抛物线于A，B两点，且点P是线段AB的中点，求三角形OAB的面积． 【题型06：焦点弦问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·湖北·期末）已知是过抛物线的焦点的弦，若，则中点的横坐标为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（23-24高三下·重庆·月考）抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点，若，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C．或 D．或 3．（2025·广东·模拟预测）已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且从上到下与依次交于两点，，则（    ） A． B．2 C． D．3 4．（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25高二上·湖南郴州·期末）已知抛物线，过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则 ． 6．（2025·河南·二模）已知抛物线的焦点为，过点且不与轴垂直的直线与交于两点，过的中点作轴的平行线交于点，则 . 【题型07：抛物线中的定点、定值问题】 一、解答题 1．（24-25高二上·陕西西安·期末）如图，O为坐标原点，过点且斜率为k的直线l与抛物线分别交于，两点． (1)求证：为定值； (2)求证：． 2．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知抛物线的焦点为． (1)求的方程； (2)若过点的直线与抛物线交于，两点．是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由． 3．（24-25高二下·上海·期中）已知在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线的焦点为，A、B是抛物线Γ上两个不同的点． (1)求抛物线Γ的方程； (2)若直线斜率为1，且过点F，求线段的长度； (3)设直线、的斜率为、，若，证明：直线过定点，并求该定点的坐标． 4．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点在C上，且，其中O为坐标原点，过点的直线l与C相交. (1)求C的方程； (2)若l与C仅有一个公共点且斜率存在，求l的斜率； (3)若l与C交于M，N两点，记直线OM与直线ON的斜率分别为，，证明：为定值，并求出该定值. 5．（24-25高二下·浙江·期末）已知抛物线，且过抛物线焦点作直线交抛物线于，两点，弦长最小值为4 (1)求抛物线的方程； (2)过点作直线交抛物线于点，且直线过定点，连接直线并交抛物线于点，请问直线是否经过定点，若是请求出定点坐标，若不是请说明理由. 6．（23-24高三上·贵州黔西·月考）已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点A，，当直线的倾斜角为时，. (1)求抛物线的标准方程和准线方程； (2)记为坐标原点，直线分别与直线，交于点，，求证：以为直径的圆过定点，并求出定点坐标. 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线上与焦点距离等于的点的纵坐标为，则该抛物线标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25高二上·山东·月考）过点且与抛物线只有1个公共点的直线有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 3．（23-24高二上·浙江温州·期中）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·广东广州·期末）斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高三下·北京·月考）设抛物线C的焦点为F，点E是C的准线与C的对称轴的交点，点P在C上，若，则（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·湖北·期中）若抛物线上两点，关于直线对称，且，则中点坐标为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（2024·湖南长沙·二模）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为4 8．（24-25高三上·湖北武汉·月考）连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是（   ） A．平行四边形 B．梯形 C．有三条边相等的四边形 D．有一组对角相等的四边形 三、填空题 9．（2024·北京·三模）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若弦中点纵坐标为2，则 ． 10．（24-25高二上·江西南昌·月考）抛物线的焦点为，为坐标原点，为抛物线上一点，且，的面积为，则抛物线方程为 11．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知拋物线的焦点为，过斜率为的直线交抛物线于两点，在第一象限，则 . 12．（23-24高二下·湖南常德·期中）设抛物线C：的焦点为F，准线为，斜率为的直线经过焦点F，交抛物线C于点A、B两点，若，则抛物线C的方程为 ． 13．（24-25高二上·安徽·期中）已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与相交于，两点，且，若，则直线的斜率为 . 四、解答题 14．（24-25高二下·湖南·期中）已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，且的右顶点为． (1)求的方程； (2)设过点且倾斜角为的直线与交于两点，求． 15．（23-24高二下·陕西西安·期末）已知椭圆过点，且其一个焦点与抛物线的焦点重合. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程. 16．（24-25高二上·山东临沂·期末）已知抛物线：（），是的焦点，为上的一动点，且的最小值为1. (1)求的方程； (2)直线（不过坐标原点）交于、两点，且满足，证明过定点，并求出该定点的坐标. 17．（23-24高二上·贵州黔南·期末）已知F是抛物线C：（）的焦点，是抛物线C上一点，且. (1)求抛物线C的方程； (2)若直线l与抛物线C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求. 18．（24-25高二下·陕西安康·期中）设抛物线的焦点为，过作直线交于两点.当轴时，. (1)求的方程； (2)记点. （ⅰ）求点到直线距离的最大值； （ⅱ）当时，求的面积. 19．（23-24高二上·上海青浦·期末）已知点在抛物线：上，点F为的焦点，且．过点F的直线与及圆依次相交于点A，B，C，D，如图． (1)求抛物线的方程及点M的坐标； (2)证明：为定值； 20．（24-25高二上·云南保山·期末）已知抛物线的焦点为，横坐标为2的点在抛物线上，且，过点的直线交抛物线于，两点． (1)求抛物线的方程； (2)已知点，直线分别交抛物线于两点． （ⅰ）求证：直线过定点； （ⅱ）求与面积和的最小值． 21．（24-25高二下·上海·期中）已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于，两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)若动点在抛物线上，为抛物线的焦点，线段的中点为，求点的轨迹方程； (3)试探究:抛物线上是否存在点使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 22．（24-25高三下·黑龙江·月考）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：与过点的直线l交于A，B两点，且. (1)求抛物线C的方程； (2)过点且不过点的直线与抛物线交于C，D两点，若直线PC，PD的斜率都存在且分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.     23．（2025·宁夏银川·三模）已知抛物线与双曲线的渐近线在第一､四象限的交点分别为P，，且. (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线与抛物线相交于两点，关于轴的对称点为. （i）若，求直线的方程. （ii）证明：直线必过定点. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$