精品解析：广东省广州市番禺区广州大学附属中学2024-2025学年八年级下学期6月大联盟数学试题

2024-2025学年八年级6月质量检查数学（问卷） （满分120分，考试时间120分钟） 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 关于的一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次项的定义先确定一次项，然后确定系数即可． 【详解】解：一元二次方程的一次项为， 系数为， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式及其概念，熟练掌握和运用一元二次方程的一般形式及其概念是解决本题的关键． 2. 下列各组线段中，能够组成直角三角形一组是（ ） A. 1，1， B. 1，2，3 C. 2，2，2 D. 6，8，10 【答案】D 【解析】 【分析】知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 【详解】解：A．，不可以构成直角三角形，故A选项不符合题意； B． ，不可以构成三角形，故B选项不符合题意； C．，不可以构成直角三角形，故C选项不符合题意； D． ，可以构成直角三角形，故D选项符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，三角形三边关系的应用，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 3. 下列选项中，不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．根据二次根式运算法则和二次根式的性质计算即可判断． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意； 故选：D． 4. 如图，直线与交于点，则关于的二元一次方程组的解为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）， 直接根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解得到答案，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解是解题的关键． 【详解】解：∵直线与交于点， ∴关于的二元一次方程组的解为， 故选：A． 5. 下列判断错误的是（ ） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 四条边都相等的四边形是菱形 C. 两条对角线垂直且平分的四边形是正方形 D. 两条对角线相等且平分的四边形是矩形 【答案】C 【解析】 【分析】由矩形的判定、平行四边形的判定与性质、菱形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴该选项不符合题意； B、∵四条边都相等的四边形是菱形，∴该选项不符合题意； C、∵两条对角线垂直且平分的四边形是菱形，∴该选项符合题意； D、∵两条对角线相等且平分的四边形是矩形，∴该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定与性质、菱形的判定等知识；熟记矩形的判定方法是解题的关键． 6. 某校组织九年级各班开展学生排球一次性垫球团队比赛，每班各选派7名学生组成参赛团队，其中九年级（1）班选派的7名学生一次性垫球成绩（单位：个）如图所示．则下列结论中，正确的是（ ） A. 中位数为17 B. 众数为26 C. 平均成绩为20 D. 方差为0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中位数、众数、平均数和方差概念．根据中位数、众数、平均数和方差概念即可解答． 【详解】解：A选项：将这组数据从小到大排列为：17、19、22、26、26、30、35， 从中可以看出，一共7个数据，第4个数据为26，所以这组数据的中位数为26； B选项：这组数据中26出现的次数最多，所以这组数据的众数为26； C选项：（个），所以这组数据的平均数为25； D选项：方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，所以当方差等于0时，这组7个数据应相同，不符合题意； 故选：B． 7. 如图，有一个水池，水面是边长为10尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度是（　　） A. 11尺 B. 12尺 C. 13尺 D. 14尺 【答案】C 【解析】 【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：设水深为x尺，则芦苇长为尺， 根据勾股定理得：， 解得：， 芦苇的长度（尺）， 答：芦苇长13尺． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，观察题目的信息是解题的关键． 8. 如图，用长为的栅栏围成一个面积为的矩形花圃，为方便进出，在边上留有一个宽的小门，设的长为，根据题意可得方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题中等量关系，列出方程．设的长为，则，根据面积为列出方程即可． 【详解】解：设的长为，则， 根据题意得：， 故选：． 9. 一辆行驶速度恒定的无人驾驶快递车从公司出发，到达A驿站卸完包裹后，立即前往B驿站，再卸完包裹后快递车按原路返回公司．已知公司和A、B两驿站在一条直线上，每个驿站卸包裹的时间相同，快递车离公司的路程s与时间t的函数关系如图所示，则快递车在每个驿站卸包裹的时间为（ ） A. 4分钟 B. 6分钟 C. 7分钟 D. 5分钟 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，求出快递车行驶的总时间是解题的关键．由图象可知，快递车行驶米所需时间为分钟，据此可得快递车行驶的总时间为（分钟），进而得出答案． 【详解】解：由题意可知，快递车行驶米所需时间为分钟， ∴快递车行驶米所需时间为分钟， 所以快递车行驶的总时间为（分钟）， 所以快递车在每个驿站卸包裹的时间为：（分钟）， 故选：D． 10. 如图，中，，顶点A在第一象限内，点B的坐标为，点C的坐标为，将沿AB翻折得到，此时点恰好落在x轴上，则顶点A的纵坐标为（ ） A. 10 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查翻折变换，等腰三角形的性质，勾股定理，通过作辅助线构造直角三角形，反复运用勾股定理是解题的关键． 连接交于点，过点作轴于点，利用勾股定理逐步求出，，，，进而求出，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：连接交于点，过点作轴于点，如图， 的坐标为，点的坐标为， ，， 在中， 由勾股定理，得， 将沿翻折得到， ，，， ， 在中， 由勾股定理，得， ， 在中， 由勾股定理，得， 设，则， 在中， 由勾股定理，得，即， 解得， ， ，， ， 在中， 由勾股定理，得， 即顶点的纵坐标为． 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：根据题意得， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． 12. 某单位招聘员工，其中一名应聘者的笔试成绩是90分，面试成绩是80分. 若笔试成绩与面试成绩在综合成绩中的权重分别是70%、30%．则该应聘者的综合成绩是_______分． 【答案】87 【解析】 【分析】直接计算加权平均数即可解答． 【详解】解：根据题意知，该名应聘者的成绩为（分） 故答案为：87． 【点睛】本题考查加权平均数及其计算，熟练掌握其计算方法是解题的关键． 13. 如图，在中，点在上，于点是的中点，连接，若，则__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形中位线的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 由等腰三角形“三线合一”的性质可得是的中点，又由是的中点，可得是的中位线，由此可得，即可求解． 【详解】∵中， ，， ∴是的中点， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ， ，， ， ． 故答案为：3 14. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，，如果，则____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质等知识，首先证明四边形是菱形，再根据菱形的对角线平分一组对角进行求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵垂直平分线段， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， 故答案为：63． 15. 如图，在中，为边上一动点（且点不与点、重合），于．则的最小值为___________． 【答案】4.8 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理，矩形的判定与性质、垂线段最短的性质．利用“垂线段最短”找出时，取最小值是解答该题的关键．先由矩形的判定定理推知四边形是矩形；连接，则，所以要使，即最短，只需即可；然后根据三角形的等积转换即可求得的值． 【详解】解：如图，连接， ∵ ， 又于点，于点， ， 四边形是矩形． ， 当最小时，也最小， 即当时，最小， ， ， 线段的最小值为； 故答案为：． 16. 一次函数（，k、b是常数）与（，m是常数）的图象交于点，下列结论正确的序号是________． ①关于的方程的解为； ②一次函数（）图象上任意不同两点和满足：； ③若（），则； ④若，且，则当时，． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据两直线的交点即为其解析式所组成的方程组的解，即可判断①； 利用待定系数法求出，结合一次函数的性质即可判断②； 求出，求出，得出，可判断③； 得出，且，画出大致图像，可判断④正确． 【详解】解：∵一次函数与的图像交于点， ∴方程的解为， 即方程的解为，故①正确； 将代入，得：， 解得， ∴． ∵， ∴对于一次函数，y的值随x的增大而减小， ∴当时，；当时，， ∴无论何时与都为异号， ∴，故②正确； 将代入，得：， ∴． ∵（）， ∴， ∴或，故③错误； ∵，且， ∴，且， ∴画出图像如图所示． 由图可知当时，一次函数的图像位于一次函数的图像上方， ∴当时，，故④正确． 综上，正确的为①②④． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：（1）； 解方程：（2） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算以及解一元二次方程． （1）先计算零指数幂，绝对值和二次根式的乘法，再计算加减即可 （2）先将方程左边进行因式分解，得到两个一元一次方程，求解即可． 【详解】解：（1） （2） 或 解得： 18. 如图，中，为的中点，连接并延长到，使．求证：． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握平行四边形，全等三角形的判定和性质是关键． 方法一：根据题意可证四边形是平行四边形，由平行四边形的性质即可求解； 方法二：根据题意可证，得，由平行线的判定和性质即可求解． 【详解】证明：方法一：连接， ∵为中点 ， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴ 方法二：∵为中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 19. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）方程的两个实数根，满足，求实数的值． 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．根的判别式，熟记相关结论即可． （1）一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解． （2）若一元二次方程的两个根为，则． 【小问1详解】 解：由题意得：且 解得：且 【小问2详解】 解：由题意得： ∵， ∴， 解得：（舍） 经检验，是原方程的解 ∴ 20. 为进一步加强学生体质，某中学推行“阳光体育活动”计划，要求学生在课后自主完成体育锻炼并记录，经过一段时间后，学校随机抽查了该校30名学生某一天课后体育锻炼时间（单位：分钟），如图是根据抽查结果绘制的统计图的一部分： 根据以上信息解决以下问题： （1）这一天课后体育锻炼时间为60分钟的人数为__________人，请补全条形统计图； （2）这一天课后体育锻炼时间的众数是__________； （3）若该校共有600名学生，请估计该校这一天体育锻炼时间不少于60分钟的学生人数． 【答案】（1）7，条形图见解析 （2）55 （3）180人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图，众数，样本估计总体． （1）将抽出学生的人数减去其他各时间的人数，即可解答； （2）根据众数的定义求解即可； （3）将全校学生人数乘以样本中体育锻炼时间不少于60分钟的学生的比例，即可求解． 【小问1详解】 解：体育锻炼时间为60分钟的人数为（人）； 补全条形统计图为 故答案为：7 【小问2详解】 解：由条形图可知，体育锻炼时间55分钟的人数最多，故众数为55． 故答案为：55 【小问3详解】 解：（人） 答：估计该校这一天体育锻炼时间不少于60分钟的学生由180人． 21. 如图，四边形为平行四边形． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接，若，，求线段的长． 【答案】（1）图见解析 （2）10 【解析】 【分析】（1）①以为圆心，适当长为半径画弧，交于，于，②分别以、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于，③作射线，交于即可； （2）延长交的延长线于，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，求得，得到，求得，于是得到． 【小问1详解】 解：如图，线段即为所求； 【小问2详解】 解：延长交的延长线于， ，，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了作图基本作图，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，直角三角形的性质，正确地作出图形是解题的关键． 22. 某商店销售一种成本为每千克30元的产品，据市场调查分析，若按每千克40元销售，一个月能出售500千克，当销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种情况，请解答以下问题： （1）设销售单价定为每千克元，月销售量为千克，求与之间的函数关系式． （2）该商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少元？ 【答案】（1）y=−10x＋900；（2）销售单价定为70元 【解析】 【分析】（1）根据月销售量＝500−10×（销售单价−40），即可得出y与x之间的函数关系式； （2）先由月销售成本不超过10000元，得出月销售量不超过10000÷30＝千克．再根据月销售利润达到8000元列出方程，进而求解即可． 【详解】解：（1）根据题意得：y＝500−（x−40）×10＝−10x＋900； （2）由于月销售成本不超过10000元， 所以月销售量不超过10000÷30＝（千克）． 根据题意得：（x−30）（−10x＋900）＝8000， 解得：x1＝50，x2＝70． 当x1＝50时，−10×50＋900＝400＞，舍去； 当x2＝70时，−10×70＋900＝200＜，符合题意． 故销售单价定为70元． 【点睛】本题考查了一次函数以及一元二次方程的应用，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键． 23. 【问题情境】勤劳智慧的中国人在很早的时候就发明了一种称重工具−−杆秤（如图1），相传为春秋时期“商圣”范蠡所创，杆秤的应用方便了古人的生活，直至今日仍然有人还在使用杆秤进行交易． 【实践发现】某兴趣小组为探究秤杆上秤砣到秤纽的水平距离x厘米（）与秤钩所挂物体重量y斤之间的关系，进行了6次称重，下表为称重时所记录的一些数据． x 4 12 16 24 28 36 y 0 1 3 4 【实践探究】 （1）在图2的平面直角坐标系中，请以表格中的x值为横坐标、y值为纵坐标描出所有的点，并将这些点依次连接起来； （2）根据（1）所描各点的分布规律，观察它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式，如果不在同一条直线上，请说明理由； 【问题解决】 （3）当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为40厘米时，求秤钩所挂物体的重量． 【答案】（1）见解析；（2）这些点在一条直线上，解析式为；（3） 【解析】 【分析】（1）先描点，然后连线即可得到答案； （2）观察可知这些点在同一直线上，利用待定系数法求出对应的函数解析式即可； （3）把代入（2）所求解析式中求出y的值即可得到答案． 【详解】解：（1）如图所示，即为所求； （2）观察可知这些点在一条直线上，设该直线的解析式为， 把代入中得：， ∴， ∴该直线解析式为； （3）当时，， ∴当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为40厘米时，秤钩所挂物体的重量为． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，画一次函数图象，求一次函数解析式等等，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，点，点，以为边在右侧作正方形． （1）当点B在x轴正半轴上运动时，求点C的坐标（用m表示）； （2）当时，如图2，P为上一点，过点P作，过A作，求证：； （3）在（2）的条件下，如图3，求的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）如图1中，作轴于．利用全等三角形的性质即可解决问题； （2）如图2中，在上取点Q，使，连接，先证明，再根据全等三角形的性质解决问题即可； （3）过M作交于F．证明，再根据全等三角形的性质解决问题即可； 【小问1详解】 如图1中，作轴于E． ， ，， ， ， ， ，， ． 【小问2详解】 如图，在上取点Q，使，连接， 正方形为对角线， ，，， ， ， ①，， ， ， ， ， ， ， ，② 由①②知：， ， ． 【小问3详解】 如图，过M作交于F． 正方形， ， ∴ ，， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或特殊四边形解决问题，学会利用参数解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题． 25. 梅文鼎是我国清代著名的数学家，他在《勾股举隅》中给出多种证明勾股定理的方法，如图是其中一种方法的示意图及部分辅助线．在中，，四边形和分别是以的三边为一边的正方形，延长和，交于点L，连接并延长交于点J，交于点K，延长交于点M． （1）证明：正方形的面积等于四边形的面积； （2）请利用（1）中的结论证明勾股定理． （3）如图2，四边形和分别是以的两边为一边的平行四边形，探索在下方是否存在平行四边形，使得该平行四边形的面积等于平行四边形的面积之和．若存在，作出满足条件的平行四边形（保留适当的作图痕迹）并说明作图依据；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）见详解 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质和证明，然后证明，所以，由此可得结论； （2）证明正方形的面积+正方形的面积平行四边形的面积+平行四边形的面积=正方形，可得结论； （3）如图2，延长和交于点L，以A为圆心为半径画弧交于点M，在的延长线上取作平行四边形，作射线交于K，交于J，结合平行四边形的性质以及平行线之间距离处处相等进行作答即可． 【小问1详解】 证明：如图1，连接， ∵四边形，和是正方形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； ∵， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴正方形的面积等于四边形的面积； 【小问2详解】 证明：由正方形可得， 又，所以四边形是平行四边形， 由（1）知，四边形是平行四边形， ∴， 如图1，延长交于， 同理有， ∴． 即． 【小问3详解】 解：如图2，延长和交于点L，以A为圆心为半径画弧交于点M，在的延长线上取作平行四边形，作射线交于K，交于J，则四边形即为所求． 由图可知射线把平行四边形分成平行四边形和平行四边形，根据同底等高可得：平行四边形，平行四边形，平行四边形的面积相等，同理平行四边形，平行四边形，平行四边形的面积相等(Q是直线与的交点)，所以平行四边形的面积等于平行四边形、的面积之和． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查的是全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定，正方形的性质，勾股定理的证明等知识；熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定与性质，根据图形面积的关系证出勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年八年级6月质量检查数学（问卷） （满分120分，考试时间120分钟） 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 关于的一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 2. 下列各组线段中，能够组成直角三角形一组是（ ） A. 1，1， B. 1，2，3 C. 2，2，2 D. 6，8，10 3. 下列选项中，不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线与交于点，则关于的二元一次方程组的解为（　　） A. B. C. D. 5. 下列判断错误的是（ ） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 四条边都相等的四边形是菱形 C. 两条对角线垂直且平分的四边形是正方形 D. 两条对角线相等且平分的四边形是矩形 6. 某校组织九年级各班开展学生排球一次性垫球团队比赛，每班各选派7名学生组成参赛团队，其中九年级（1）班选派的7名学生一次性垫球成绩（单位：个）如图所示．则下列结论中，正确的是（ ） A. 中位数为17 B. 众数为26 C. 平均成绩为20 D. 方差为0 7. 如图，有一个水池，水面是边长为10尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度是（　　） A. 11尺 B. 12尺 C. 13尺 D. 14尺 8. 如图，用长为的栅栏围成一个面积为的矩形花圃，为方便进出，在边上留有一个宽的小门，设的长为，根据题意可得方程为（ ） A. B. C. D. 9. 一辆行驶速度恒定的无人驾驶快递车从公司出发，到达A驿站卸完包裹后，立即前往B驿站，再卸完包裹后快递车按原路返回公司．已知公司和A、B两驿站在一条直线上，每个驿站卸包裹的时间相同，快递车离公司的路程s与时间t的函数关系如图所示，则快递车在每个驿站卸包裹的时间为（ ） A. 4分钟 B. 6分钟 C. 7分钟 D. 5分钟 10. 如图，中，，顶点A在第一象限内，点B的坐标为，点C的坐标为，将沿AB翻折得到，此时点恰好落在x轴上，则顶点A的纵坐标为（ ） A. 10 B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_________． 12. 某单位招聘员工，其中一名应聘者的笔试成绩是90分，面试成绩是80分. 若笔试成绩与面试成绩在综合成绩中的权重分别是70%、30%．则该应聘者的综合成绩是_______分． 13. 如图，在中，点在上，于点是的中点，连接，若，则__________． 14. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，，如果，则____． 15. 如图，在中，为边上一动点（且点不与点、重合），于．则的最小值为___________． 16. 一次函数（，k、b是常数）与（，m是常数）的图象交于点，下列结论正确的序号是________． ①关于的方程的解为； ②一次函数（）图象上任意不同两点和满足：； ③若（），则； ④若，且，则当时，． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：（1）； 解方程：（2） 18. 如图，中，为的中点，连接并延长到，使．求证：． 19. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）方程的两个实数根，满足，求实数的值． 20. 为进一步加强学生体质，某中学推行“阳光体育活动”计划，要求学生在课后自主完成体育锻炼并记录，经过一段时间后，学校随机抽查了该校30名学生某一天课后体育锻炼时间（单位：分钟），如图是根据抽查结果绘制的统计图的一部分： 根据以上信息解决以下问题： （1）这一天课后体育锻炼时间为60分钟的人数为__________人，请补全条形统计图； （2）这一天课后体育锻炼时间的众数是__________； （3）若该校共有600名学生，请估计该校这一天体育锻炼时间不少于60分钟的学生人数． 21. 如图，四边形为平行四边形． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接，若，，求线段的长． 22. 某商店销售一种成本为每千克30元的产品，据市场调查分析，若按每千克40元销售，一个月能出售500千克，当销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种情况，请解答以下问题： （1）设销售单价定为每千克元，月销售量为千克，求与之间的函数关系式． （2）该商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少元？ 23. 【问题情境】勤劳智慧的中国人在很早的时候就发明了一种称重工具−−杆秤（如图1），相传为春秋时期“商圣”范蠡所创，杆秤的应用方便了古人的生活，直至今日仍然有人还在使用杆秤进行交易． 【实践发现】某兴趣小组为探究秤杆上秤砣到秤纽的水平距离x厘米（）与秤钩所挂物体重量y斤之间的关系，进行了6次称重，下表为称重时所记录的一些数据． x 4 12 16 24 28 36 y 0 1 3 4 【实践探究】 （1）在图2的平面直角坐标系中，请以表格中的x值为横坐标、y值为纵坐标描出所有的点，并将这些点依次连接起来； （2）根据（1）所描各点的分布规律，观察它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式，如果不在同一条直线上，请说明理由； 【问题解决】 （3）当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为40厘米时，求秤钩所挂物体的重量． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，点，点，以为边在右侧作正方形． （1）当点B在x轴正半轴上运动时，求点C的坐标（用m表示）； （2）当时，如图2，P为上一点，过点P作，过A作，求证：； （3）在（2）的条件下，如图3，求的值． 25. 梅文鼎是我国清代著名的数学家，他在《勾股举隅》中给出多种证明勾股定理的方法，如图是其中一种方法的示意图及部分辅助线．在中，，四边形和分别是以的三边为一边的正方形，延长和，交于点L，连接并延长交于点J，交于点K，延长交于点M． （1）证明：正方形的面积等于四边形的面积； （2）请利用（1）中的结论证明勾股定理． （3）如图2，四边形和分别是以的两边为一边的平行四边形，探索在下方是否存在平行四边形，使得该平行四边形的面积等于平行四边形的面积之和．若存在，作出满足条件的平行四边形（保留适当的作图痕迹）并说明作图依据；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $