第二十二章 二次函数 章节（17知识点回顾+50题型练习） 【暑假预习】2025-2026学年九年级上册数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

第二十二章 二次函数 章节（17知识点回顾+50题型练习） 题型汇聚 题型一 列二次函数关系式 题型二 二次函数的识别 题型三 根据二次函数的定义求参数 题型四 y=ax²的图象和性质 题型五 y=ax²+k的图象和性质 题型六 y=a（x-h）²+k的图象和性质 题型七 y=a（x-h）²+k的图象和性质 题型八 二次函数图象的平移 题型九 把y=ax²+bx+c化成顶点式 题型十 画y=ax²+bx+c的图象 题型十一 y=ax²+bx+c的图象与性质 题型十二 二次函数图象与各项系数符号 题型十三 一次函数、二次函数图象综合判断 题型十四 两个二次函数图象综合判断 题型十五 根据二次函数的图象判断式子符号 题型十六 已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型十七 根据二次函数的对称性求函数值 题型十八 y=ax²+bx+c的最值 题型十九 利用二次函数对称性求最短路径 题型二十 待定系数法求二次函数解析式 题型二十一 线段周长问题(二次函数综合) 题型二十二 面积问题(二次函数综合) 题型二十三 角度问题(二次函数综合) 题型二十四 特殊三角形问题(二次函数综合) 题型二十五 特殊四边形(二次函数综合) 题型二十六 相似三角形问题(二次函数综合) 题型二十七 其他问题(二次函数综合) 题型二十八 求抛物线与x轴的交点坐标 题型二十九 求抛物线与y轴的交点坐标 题型三十 已知二次函数的函数值求自变量的值 题型三十一 抛物线与x轴的交点问题 题型三十二 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 题型三十三 求x轴与抛物线的截线长 题型三十四 图象法确定一元二次方程的近似根 题型三十五 图象法解一元二次不等式 题型三十六 利用不等式求自变量或函数值的范围 题型三十七 根据交点确定不等式的解集 题型三十八 图形问题(实际问题与二次函数) 题型三十九 图形运动问题(实际问题与二次函数) 题型四十 拱桥问题(实际问题与二次函数) 题型四十一 销售问题(实际问题与二次函数) 题型四十二 投球问题(实际问题与二次函数) 题型四十三 喷水问题(实际问题与二次函数) 题型四十四 增长率问题(实际问题与二次函数) 题型四十五 其他问题(实际问题与二次函数) 题型四十六 面积问题(二次函数综合) 题型四十七 线段周长问题(二次函数综合) 题型四十八 角度问题(二次函数综合) 题型四十九 特殊三角形问题(二次函数综合) 题型五十 其他问题(二次函数综合) 知识清单 知识点1．二次函数的定义 （1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． （2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 知识点2．二次函数的图象 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 知识点3．二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 知识点4．二次函数的三种形式 二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）． 知识点5．二次函数图象与系数的关系 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 知识点6．二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）． ①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝． 知识点7．二次函数图象与几何变换 由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 知识点8．二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 知识点9．待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 知识点10．二次函数的三种形式 二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）． 知识点11．二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 知识点12.二次函数与一元二次方程的关系 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 知识点13．抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 知识点14．图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 知识点15．二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 知识点16．根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 知识点17．二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 题型练习 题型一 列二次函数关系式 1．（24-25九年级上·天津河西·期末）一矩形绿地的长和宽分别为和，如果长和宽各增加了，则扩充后绿地的面积与之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 题型二 二次函数的识别 2．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）下列的函数解析式中，一定为二次函数的是（   ） A． B． C． D． 题型三 根据二次函数的定义求参数 3．（23-24九年级上·广西河池·期中）若函数为二次函数，则实数 ． 题型四 y=ax²的图象和性质 4．（24-25九年级上·河南周口·期末）已知二次函数，，，的图象如图所示，则，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型五 y=ax²+k的图象和性质 5．（24-25九年级上·江苏南通·期末）定义：对于函数图象上的两点，将的值称为该函数图象在段的“攀登值”，记作．已知二次函数的图象上有两点，若对于任意的均满足当时，该函数图象在段的“攀登值”始终有，则a的取值范围是 ． 题型六 y=a（x-h）²+k的图象和性质 6．（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，二次函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 题型七 y=a（x-h）²+k的图象和性质 7．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）已知二次函数，下列说法正确的是（   ） A．对称轴为 B．顶点坐标为 C．函数的最大值是 D．当时，随的增大而减小 题型八 二次函数图象的平移 8．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）将函数的图像经过下列哪种平移，可得到函数的图像（    ） A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 题型九 把y=ax²+bx+c化成顶点式 9．（24-25九年级上·全国·阶段练习）若点、都在二次函数的图象上，则 题型十 画y=ax²+bx+c的图象 10．（24-25九年级上·湖北恩施·期末）已知二次函数的图象经过点，，与轴交于点. (1)求，的值，并在所给的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (2)若为二次函数的图象对称轴上的一动点，当的值最小时，求点的坐标. 题型十一 y=ax²+bx+c的图象与性质 11．（2025·江苏宿迁·二模）若定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标倍的点（为常数，且），则把该函数称为“倍函数”，该点称为“倍点”，例如：“2倍函数”，其“2倍点”坐标为． (1)①判断：函数____“2倍函数”（填“是”或“不是”）； ②函数的图像上的“2倍点”的坐标为____． (2)若抛物线上有两个“3倍点”，求的取值范围； (3)若函数的图像上存在唯一的一个“倍点”，且当时，的最小值为，求的值． 题型十二 二次函数图象与各项系数符号 12．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，那么点在第 象限． 题型十三 一次函数、二次函数图象综合判断 13．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 题型十四 两个二次函数图象综合判断 14．（22-23九年级上·全国·单元测试）已知一条抛物线的形状与抛物线形状相同，与另一条抛物线的顶点坐标相同，这条抛物线的表达式为 ． 题型十五 根据二次函数的图象判断式子符号 15．（24-25九年级上·湖北黄石·开学考试）如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④，正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型十六 已知抛物线上对称的两点求对称轴 16．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）在二次函数中，与的部分对应值如表： … 0 1 2 3 … … … 则的大小关系为（   ） A． B． C． D．不确定 题型十七 根据二次函数的对称性求函数值 17．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴只有一个交点，与平行于轴的直线交于、两点，若，则点到直线的距离为 ．    题型十八 y=ax²+bx+c的最值 18．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）已知关于的二次函数，当时，随的增大而增大，且时，的最大值为10，则 ． 题型十九 利用二次函数对称性求最短路径 19．（24-25九年级上·重庆潼南·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标． 题型二十 待定系数法求二次函数解析式 20．（23-24九年级上·广西河池·期末）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)求该二次函数图象的顶点坐标； (3)当x在什么范围内时，y随x的增大而减小？ 题型二十一 线段周长问题(二次函数综合) 21．（24-25九年级上·四川德阳·期末）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求b，c，m的值； (2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标； (3)如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标． 题型二十二 面积问题(二次函数综合) 22．（24-25九年级上·湖北孝感·期末）已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，． (1)求拋物线及直线的解析式； (2)如图1，过点作，交抛物线于另一点，求点的坐标； (3)如图2，是轴正半轴一动点（不与点重合），过点作轴的平行线交直线于点，连接，设点的横坐标为，的面积为． ①求关于的函数解析式； ②若当时，有最大值为，请直接写出实数的取值范围． 题型二十三 角度问题(二次函数综合) 23．（24-25九年级上·广东汕头·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线对称轴上一点，点是平面内任意一点，当以、、、为顶点的四边形是矩形时，求点的坐标； (3)过点的直线交直线于点，连接，当直线与直线的夹角等于的2倍时，请直接写出点的坐标． 题型二十四 特殊三角形问题(二次函数综合) 24．（24-25九年级上·吉林松原·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，与轴正半轴交于另一点，点在抛物线上，点是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为，以为对角线作矩形，垂直于轴． (1)求抛物线的解析式； (2)当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出的取值范围； (3)当矩形内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4时，求的值； (4)当点在对称轴左侧时，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 题型二十五 特殊四边形(二次函数综合) 25．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，已知是自变量的函数，，称函数为函数的“相关函数”． (1)求函数的“相关函数”的函数表达式； (2)点在函数的图象上，过点作轴的平行线，与函数的图象相交于点，过点作轴的垂线，垂足为，以，为邻边构造矩形，设点的横坐标为，矩形的周长为时，求点的坐标； (3)函数与轴交于点，函数的顶点为，直线与轴交于点，与函数的图象交于点，当时，直接写出的取值范围． 题型二十六 相似三角形问题(二次函数综合) 26．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的函数表达式； (2)该抛物线与轴交于点A，（点A在点的左侧），与轴交于点， （ⅰ）如图1，求证：是直角三角形； （ⅱ）如图2，该抛物线的对称轴与轴交于点，点是抛物线对称轴上的一动点，若以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 题型二十七 其他问题(二次函数综合) 27．（24-25九年级上·四川眉山·期末）已知：如图，抛物线与坐标轴分别交于点，，，点是线段上方抛物线上的一个动点，过点作轴的垂线，交线段于点，再过点作轴交抛物线于点． (1)求抛物线解析式； (2)当点运动到什么位置时，的长最大．求出点坐标 (3)是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 题型二十八 求抛物线与x轴的交点坐标 28．（24-25九年级上·北京·期中）抛物线与x轴的交点坐标为 ． 题型二十九 求抛物线与y轴的交点坐标 29．（24-25九年级上·上海·阶段练习）二次函数的图像与y轴的交点坐标是 ． 题型三十 已知二次函数的函数值求自变量的值 30．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于点，，则不等式的解集是 ．    题型三十一 抛物线与x轴的交点问题 31．（24-25九年级上·云南昆明·期中）九年级“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究．探究过程如下，请补充完整． (1)自变量x的取值范围是全体实效，x与y的几组对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 3 m 0 0 3 … 其中，______； (2)根据表中数据，在如图的平面直角坐标系中描点．并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分； (3)进一步观察探究函数图象发现： ①函数图象与x轴有______个交点，所以对应的方程有______个实数根； ②方程有______个实数根； ③关于x的方程有4个实数根时，a的取值范围是______． 题型三十二 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 32．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）已知二次函数自变量的部分取值和对应的函数值如下表，根据表格中的数据可知，关于的一元二次方程的根是 ． … 0 1 2 3 … … 6 2 0 0 2 6 … 题型三十三 求x轴与抛物线的截线长 33．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知二次函数． (1)若抛物线与y轴交于，求m的值及抛物线在x轴上截得的线段长； (2)对于任意实数m，请判断该二次函数图像与x轴有没有交点，并说明理由． 题型三十四 图象法确定一元二次方程的近似根 34．（24-25九年级上·福建漳州·期中）如表给出了二次函数的自变量与函数值的部分对应值，那么方程的一个根的近似值可能是（   ） 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.04 0.59 1.16 A．1.09 B．1.19 C．1.29 D．1.39 题型三十五 图象法解一元二次不等式 35．（24-25九年级上·云南曲靖·阶段练习）如图所示，二次函数的图象经过、、三点． (1)由图象可知，不等式的解集为______； (2)结合二次函数的图象，写出方程的解． 题型三十六 利用不等式求自变量或函数值的范围 36．（24-25九年级上·云南昆明·期末）已知二次函数（a为常数且）． (1)求证：当时，函数图象与x轴必有两个不同的交点； (2)若函数图象经过，两点，其中，且当时，总有，求的取值范围． 题型三十七 根据交点确定不等式的解集 37．（24-25九年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，过点且平行于轴的直线与二次函数图象的交点坐标为，，则不等式的解集为 ． 题型三十八 图形问题(实际问题与二次函数) 38．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，小亮父亲想用长的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈，已知房屋外墙长，设矩形的边，面积为，写出S与x之间的函数表达式 ．（化为一般式，不写x的取值范围） 题型三十九 图形运动问题(实际问题与二次函数) 39．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，，，，，分别是，的中点，点和点分别从点和点出发，沿着方向运动，运动速度都是个单位秒，当点到达点时，两点同时停止运动．设的面积为，运动时间为，则与之间的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 题型四十 拱桥问题(实际问题与二次函数) 40．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，某公司的大门呈抛物线形，大门底部宽为，顶部距地面的高度为． (1)试建立适当的直角坐标系，求抛物线对应的二次函数表达式； (2)一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面，装货宽度为，那么这辆汽车能否顺利通过大门？ 题型四十一 销售问题(实际问题与二次函数) 41．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． (1)求这段时间内y与x之间的函数解析式； (2)在这段时间内，若销售单价不低于100元，且不超过150元，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？ 题型四十二 投球问题(实际问题与二次函数) 42．（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图，某男生推铅球，铅球出手（点处）的高度是，出手后的铅球沿一段抛物线运行，当运行到最高时，水平距离．求出这条抛物线所表示的函数解析式． 题型四十三 喷水问题(实际问题与二次函数) 43．（24-25九年级上·江苏南通·期末）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落在距离池中心处（包含和）． (1)选择适当的点为原点，画出平面直角坐标系． (2)求水管长度的取值范围． 题型四十四 增长率问题(实际问题与二次函数) 44．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期中）最新报道显示，2023年我国新能源汽车累计销量为万辆，销量逐年增加，若2025年的累计销量为y万辆，平均每年增长率为x，则y关于x的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 题型四十五 其他问题(实际问题与二次函数) 45．（24-25九年级上·内蒙古乌海·期末）某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，如图1，将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象，如图2所示，该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器R消耗的电功率P最大为（   ） A． B． C． D． 题型四十六 面积问题(二次函数综合) 46．（24-25九年级上·天津河北·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点A、B，顶点且过点C． (1)求抛物线解析式； (2)求三角形的面积． 题型四十七 线段周长问题(二次函数综合) 47．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点． (1)求二次函数的解析式． (2)若点是这个二次函数图象在第二象限内的一点，过点作轴的垂线与线段交于点，求线段长度的最大值． 题型四十八 角度问题(二次函数综合) 48．（24-25九年级上·湖北孝感·期末）已知抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C． (1)直接写出结果：________，________； (2)如图1，点是第一象限内抛物线上一点，连接，若N是第二象限内抛物线上一点，，求出N点的坐标； (3)如图2，若点P是抛物线上一点． ①若点P在右侧时，连接，，求面积的最大值； ②若点P是抛物线上任意一点，且，试确定满足条件的P点个数，请直接写出你的结论． 题型四十九 特殊三角形问题(二次函数综合) 49．（23-24九年级上·全国·单元测试）将抛物线沿轴向下平移后，所得抛物线与轴交于点，顶点为，如果是等腰直角三角形，那么顶点的坐标是 ． 题型五十 其他问题(二次函数综合) 50．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）已知二次函数与一次函数的图象相交于、两点，如图所示，其中， (1)求和的值； (2)求点坐标，并直接写出的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十二章 二次函数 章节（17知识点回顾+50题型练习） 题型汇聚 题型一 列二次函数关系式 题型二 二次函数的识别 题型三 根据二次函数的定义求参数 题型四 y=ax²的图象和性质 题型五 y=ax²+k的图象和性质 题型六 y=a（x-h）²+k的图象和性质 题型七 y=a（x-h）²+k的图象和性质 题型八 二次函数图象的平移 题型九 把y=ax²+bx+c化成顶点式 题型十 画y=ax²+bx+c的图象 题型十一 y=ax²+bx+c的图象与性质 题型十二 二次函数图象与各项系数符号 题型十三 一次函数、二次函数图象综合判断 题型十四 两个二次函数图象综合判断 题型十五 根据二次函数的图象判断式子符号 题型十六 已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型十七 根据二次函数的对称性求函数值 题型十八 y=ax²+bx+c的最值 题型十九 利用二次函数对称性求最短路径 题型二十 待定系数法求二次函数解析式 题型二十一 线段周长问题(二次函数综合) 题型二十二 面积问题(二次函数综合) 题型二十三 角度问题(二次函数综合) 题型二十四 特殊三角形问题(二次函数综合) 题型二十五 特殊四边形(二次函数综合) 题型二十六 相似三角形问题(二次函数综合) 题型二十七 其他问题(二次函数综合) 题型二十八 求抛物线与x轴的交点坐标 题型二十九 求抛物线与y轴的交点坐标 题型三十 已知二次函数的函数值求自变量的值 题型三十一 抛物线与x轴的交点问题 题型三十二 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 题型三十三 求x轴与抛物线的截线长 题型三十四 图象法确定一元二次方程的近似根 题型三十五 图象法解一元二次不等式 题型三十六 利用不等式求自变量或函数值的范围 题型三十七 根据交点确定不等式的解集 题型三十八 图形问题(实际问题与二次函数) 题型三十九 图形运动问题(实际问题与二次函数) 题型四十 拱桥问题(实际问题与二次函数) 题型四十一 销售问题(实际问题与二次函数) 题型四十二 投球问题(实际问题与二次函数) 题型四十三 喷水问题(实际问题与二次函数) 题型四十四 增长率问题(实际问题与二次函数) 题型四十五 其他问题(实际问题与二次函数) 题型四十六 面积问题(二次函数综合) 题型四十七 线段周长问题(二次函数综合) 题型四十八 角度问题(二次函数综合) 题型四十九 特殊三角形问题(二次函数综合) 题型五十 其他问题(二次函数综合) 知识清单 知识点1．二次函数的定义 （1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． （2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 知识点2．二次函数的图象 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 知识点3．二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 知识点4．二次函数的三种形式 二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）． 知识点5．二次函数图象与系数的关系 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 知识点6．二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）． ①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝． 知识点7．二次函数图象与几何变换 由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 知识点8．二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 知识点9．待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 知识点10．二次函数的三种形式 二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）． 知识点11．二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 知识点12.二次函数与一元二次方程的关系 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 知识点13．抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 知识点14．图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 知识点15．二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 知识点16．根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 知识点17．二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 题型练习 题型一 列二次函数关系式 1．（24-25九年级上·天津河西·期末）一矩形绿地的长和宽分别为和，如果长和宽各增加了，则扩充后绿地的面积与之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列二次函数关系式 【分析】本题考查了二次函数的实际应用问题．根据题意列出y与x的关系式可得答案． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 题型二 二次函数的识别 2．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）下列的函数解析式中，一定为二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题主要考查二次函数的识别，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键；因此此题可根据“形如的函数”进行排除选项即可． 【详解】解：A、当时，则就不是二次函数，故不符合题意； B、不是二次函数，故不符合题意； C、不是二次函数，故不符合题意； D、是二次函数，故符合题意； 故选D． 题型三 根据二次函数的定义求参数 3．（23-24九年级上·广西河池·期中）若函数为二次函数，则实数 ． 【答案】2 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟知二次函数的一般式为（，为常数）是解本题的关键． 根据二次函数的定义即可得出答案． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴． 故答案为：2． 题型四 y=ax²的图象和性质 4．（24-25九年级上·河南周口·期末）已知二次函数，，，的图象如图所示，则，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数的开口大小的规律和开口方向，的绝对值越大，开口越小，根据此规律判断即可． 【详解】解：∵由图像可知，开口向上，并且开口小于的开口， ∴ ∵由图像可知，开口向下，并且开口小于的开口， ∴ 又 ∴ ∴， 故选项A，B，D错误，不符合题意；选项C正确，符合题意； 故选：C． 题型五 y=ax²+k的图象和性质 5．（24-25九年级上·江苏南通·期末）定义：对于函数图象上的两点，将的值称为该函数图象在段的“攀登值”，记作．已知二次函数的图象上有两点，若对于任意的均满足当时，该函数图象在段的“攀登值”始终有，则a的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查的是新定义的含义，二次函数的性质，根据新定义可得，可得，再结合进一步解答即可． 【详解】解：由题意可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，而， ∴； 故答案为： 题型六 y=a（x-h）²+k的图象和性质 6．（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，二次函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次函数解析式得出抛物线开口向上，对称轴为直线，结合图象判断即可得解． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，故C符合题意； 故选：C． 题型七 y=a（x-h）²+k的图象和性质 7．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）已知二次函数，下列说法正确的是（   ） A．对称轴为 B．顶点坐标为 C．函数的最大值是 D．当时，随的增大而减小 【答案】C 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、对称轴为，故此选项说法错误，不符合题意； B、顶点坐标为，故此选项说法错误，不符合题意； C、函数的最大值是，故此选项说法正确，符合题意； D、当时，随的增大而减小，故此选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 题型八 二次函数图象的平移 8．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）将函数的图像经过下列哪种平移，可得到函数的图像（    ） A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【答案】C 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，解题的关键是熟知二次函数图象平移的规律，即“左加右减，上加下减”．根据“左加右减，上加下减”即可． 【详解】解：函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位即可得到函数的图象， 故选：C． 题型九 把y=ax²+bx+c化成顶点式 9．（24-25九年级上·全国·阶段练习）若点、都在二次函数的图象上，则 【答案】 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的对称轴，开口方向，熟练掌握该性质并数形结合是解题的关键．先求得其对称轴以及开口方向，可知，距离对称轴越远，其值越小，从而得出结论． 【详解】解：， 对称轴为直线，开口向下， 点、都在二次函数的图象上， ，，， ， 故答案为：． 题型十 画y=ax²+bx+c的图象 10．（24-25九年级上·湖北恩施·期末）已知二次函数的图象经过点，，与轴交于点. (1)求，的值，并在所给的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (2)若为二次函数的图象对称轴上的一动点，当的值最小时，求点的坐标. 【答案】(1)，图象见解析 (2) 【知识点】画y=ax²+bx+c的图象、待定系数法求二次函数解析式、根据二次函数的对称性求函数值、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】题考查了待定系数法求函数解析式，作函数图象，点的对称性等． （1）由待定系数法求解即可得，的值，再根据抛物线的解析式画出图象即可； （2）根据抛物线的解析式得对称轴为直线，，连接交直线于点，点即为所求，设直线的解析式为，用待定系数法求出直线的解析式，将代入得y的值，即可得点的坐标． 【详解】（1）解：将，代入二次函数得： ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 根据抛物线的解析式和，，画出图象如图所示： （2）解：抛物线的解析式， 对称轴为直线， ∴，关于直线对称， 在中，当时，， ， 连接交直线于点，点即为所求， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， ． 题型十一 y=ax²+bx+c的图象与性质 11．（2025·江苏宿迁·二模）若定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标倍的点（为常数，且），则把该函数称为“倍函数”，该点称为“倍点”，例如：“2倍函数”，其“2倍点”坐标为． (1)①判断：函数____“2倍函数”（填“是”或“不是”）； ②函数的图像上的“2倍点”的坐标为____． (2)若抛物线上有两个“3倍点”，求的取值范围； (3)若函数的图像上存在唯一的一个“倍点”，且当时，的最小值为，求的值． 【答案】(1)①不是；②或 (2)的取值范围为：且 (3)的值为或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据一元二次方程根的情况求参数、一次函数与几何综合 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的开口，增减性，最值的计算方法是关键． （1）根据题意，①设“倍点”坐标为，代入计算即可求解；②同上述计算方法一样； （2）设“3倍点”坐标为，代入，再根据一元二次方程判别式求解即可； （3）设“倍点”坐标为，则，即是关于的二次函数，图像开口向上，根据二次函数最值的计算方法求解即可． 【详解】（1）解：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标倍的点（为常数，且）， ∴设“倍点”坐标为， ∴，无解， ∴函数不是“2倍函数”； ， 整理得，， 解得，或， ∴函数的图像上的“2倍点”的坐标为或； 故答案为：①不是；②或； （2）解：抛物线上有两个“3倍点”， ∴设“3倍点”坐标为， ∴， 整理得，， ∵抛物线有两个“3倍点”， ∴， 解得，， ∴的取值范围为：且； （3）解：设“倍点”坐标为， ∴，整理得，， ∵图像上存在唯一的一个“倍点”， ∴， ∴， ∴，即是关于的二次函数，图像开口向上， ∴对称轴直线， 当时，的最小值为，根据对称轴于取值范围的关系，分类讨论： ∴①，即， ∴， 解得，； ②当时，， ∴时取到最小值， ∴，整理得，， 解得，（舍去）； ③∴当时，， ∴时取到最小值， ∴，整理得，，无解； 综上所述，的值为或． 题型十二 二次函数图象与各项系数符号 12．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，那么点在第 象限． 【答案】二 【知识点】判断点所在的象限、二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、判断坐标点的象限，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象开口方向、与轴交点的位置得出，，再结合对称轴的位置得出，即可得出答案． 【详解】解：由图象知，二次函数的图象开口向下，与轴交于正半轴， ，， ， 由图象知，二次函数图象的对称轴， ， 点在第二象限． 故答案为：二． 题型十三 一次函数、二次函数图象综合判断 13．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查了二次函数的图象：二次函数的图象为抛物线，可能利用列表、描点、连线画二次函数的图象．也考查了二次函数图象与系数的关系．对于每个选项，先根据二次函数的图象确定和的符号，然后根据一次函数的性质看一次函数图象的位置是否正确，若正确，说明它们可在同一坐标系内存在． 【详解】解：联立方程组得， 解得或， 一次函数与二次函数的交点为， A、由二次函数的图象得，，则一次函数经过第一、二、三象限，且它们的一个交点在轴上，另一个交点横坐标为1，所以A选项正确，不符合题意； B、由二次函数的图象得，，则一次函数经过第一、三、四象限，且它们的一个交点在轴上，另一个交点横坐标为1，所以B选项正确，不符合题意； C、由二次函数的图象得，，则一次函数经过第一、二、四象限，且它们的一个交点在轴上，另一个交点横坐标为1，所以C选项正确，不符合题意； D、由二次函数的图象得，，则一次函数经过第二、三、四象限，且它们的一个交点横坐标为1，但另一个交点不在轴上，所以D选项错误，符合题意． 故选：D． 题型十四 两个二次函数图象综合判断 14．（22-23九年级上·全国·单元测试）已知一条抛物线的形状与抛物线形状相同，与另一条抛物线的顶点坐标相同，这条抛物线的表达式为 ． 【答案】或 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、两个二次函数图象综合判断 【分析】根据抛物线的图象与系数之间的关系得出，，，即可得出结果． 【详解】解：设这条抛物线的解析式为：， ∵这条抛物线与抛物线的顶点坐标相同， ∴，， 又∵这条抛物线与抛物线形状相同， ∴，即， ∴这条抛物线的解析式为：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，熟记二次函数的性质是解题的关键． 题型十五 根据二次函数的图象判断式子符号 15．（24-25九年级上·湖北黄石·开学考试）如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④，正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题考查了二次函数的系数与图象的关系，关键利用，，时函数值的大小判断③④的对错，根据函数图象分别判断，，的符号即可判断结论①；利用图象与轴交点的个数即可判断结论②；利用对称轴及当时函数值的正负即可判断结论③；利用和时的函数值的正负即可判断结论④． 【详解】解：①抛物线开口方向向下，对称轴在轴的右侧，函数图像与轴交于正半轴， ，，，，故①错误； ②图象与  ��  轴有两个交点 ，故②正确； ③抛物线对称轴是直线， ， 当时，， ， 即，故③正确； ④当时，，当时，， ，即，故④正确， 故正确的有3个． 故选：B． 题型十六 已知抛物线上对称的两点求对称轴 16．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）在二次函数中，与的部分对应值如表： … 0 1 2 3 … … … 则的大小关系为（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能根据表中点的坐标特点找出对称轴是解此题的关键．根据表格的、的值找出函数的对称轴，利用二次函数的性质即可得出答案． 【详解】解：由表格知：图象对称轴为：直线， 当时，， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 当时，函数有最大值，即最大值为， ，分别为点和的纵坐标， ， 故选：B． 题型十七 根据二次函数的对称性求函数值 17．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴只有一个交点，与平行于轴的直线交于、两点，若，则点到直线的距离为 ．    【答案】 【知识点】根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题考查了二次函数的对称性．由题意知，对称轴为直线，，两点的纵坐标相同，设为，有，点A的横坐标是，点的横坐标是，由，可知，计算求解即可． 【详解】解：∵与轴只有一个交点， ∴，对称轴为直线， ∵抛物线与平行于轴的直线交于，两点， ∴，两点的纵坐标相同，设为， 则时，， 解得：， ∴点A的横坐标是，点的横坐标是， ∵， ∴， 解得：； 故答案为：． 题型十八 y=ax²+bx+c的最值 18．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）已知关于的二次函数，当时，随的增大而增大，且时，的最大值为10，则 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握其性质是解决此题的关键． 先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上，然后由时，y的最大值为10，可得时，，即可求出a. 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴是直线， ∵当时，y随x的增大而增大， ∴， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵时，y的最大值为10， ∴时，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 题型十九 利用二次函数对称性求最短路径 19．（24-25九年级上·重庆潼南·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用二次函数对称性求最短路径、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了二次函数表达式的求解以及利用轴对称求最短路径问题．解题的关键是利用待定系数法求二次函数表达式，以及利用轴对称的性质将三角形周长最小问题转化为两点之间线段最短问题． （1）求抛物线表达式：把抛物线与轴交点的坐标代入抛物线，得到关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，进而得到抛物线表达式． （2）先求出抛物线对称轴，再根据轴对称性质，找到点关于对称轴的对称点，连接与对称轴的交点即为点，先求出直线的表达式，再联立对称轴方程求出点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线的图像与轴交于两点， ∴将这两点代入抛物线表达式可得： ， 抛物线的表达式为． （2）抛物线， 其对称轴为， 当时，，所以， 设点关于对称轴的对称点为，则， 连接交对称轴于P， ， ， 当A，P，三点共线时，的周长最小， 设直线的表达式为，把代入可得： ， 直线的表达式为． ∴在对称轴上，把代入 得： ∴点的坐标为． 题型二十 待定系数法求二次函数解析式 20．（23-24九年级上·广西河池·期末）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)求该二次函数图象的顶点坐标； (3)当x在什么范围内时，y随x的增大而减小？ 【答案】(1) (2) (3)当时，y随x的增大而减小 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，求得解析式是解题的关键． （1）将点和代入中，得，进行计算即可得； （2）由表达式即可得到顶点坐标； （3）根据二次函数的性质得即可得． 【详解】（1）解：将点和代入中，得 解得 则该二次函数表达式为； （2）解：∵ ∴顶点坐标为； （3）解：根据二次函数的性质得，当时，y随x的增大而减小． 题型二十一 线段周长问题(二次函数综合) 21．（24-25九年级上·四川德阳·期末）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求b，c，m的值； (2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标； (3)如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）把，代入，解二元一次方程组即可得b，c的值，令即可得m的值； （2）设，则，表示出四边形的周长，根据二次函数的最值即可求解； （3）过C作垂直抛物线对称轴于H，过N作轴于K，证明，再求解，求解直线的解析式为： 可得 设，再利用勾股定理表示，，，再分两种情况建立方程求解即可． 【详解】（1）解：把，代入， 得， 解得． ∴这个抛物线的解析式为：， 令，则， 解得，， ∴， ∴； （2）解：∵抛物线的解析式为； ∴对称轴为， 设， ∵轴， ∴， ∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴， ∴四边形是矩形， ∴四边形的周长 ∵ ∴当时，四边形的周长最大，则， ∴当四边形的周长最大时，点D的坐标为； （3）解：过C作垂直抛物线对称轴于H，过N作轴于K， ∴， 由翻折得， ∵． ∴， ∴， ∵对称轴于H， ∴轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线的解析式为：， ∴对称轴为， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为： ∴， 设， ∴，，， 分两种情况： ①当时，， ∴ 解得：， ∴； ②当时，， ∴ 解得：， ∴点的坐标为； 综上，所有符合条件的点P的坐标为或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标问题，二次函数的性质，对称轴的性质，二次函数与直角三角形，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 题型二十二 面积问题(二次函数综合) 22．（24-25九年级上·湖北孝感·期末）已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，． (1)求拋物线及直线的解析式； (2)如图1，过点作，交抛物线于另一点，求点的坐标； (3)如图2，是轴正半轴一动点（不与点重合），过点作轴的平行线交直线于点，连接，设点的横坐标为，的面积为． ①求关于的函数解析式； ②若当时，有最大值为，请直接写出实数的取值范围． 【答案】(1)抛物线的解析式为；直线的解析式为 (2) (3)①；② 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、求一次函数解析式 【分析】（1）根据待定系数法，把点和点代入可求抛物线的解析式；设直线为，将，代入可求直线的解析式； （2）设直线与轴交于点，先证明，再求出直线的解析式，与联立即可求解； （3）①由轴交直线于点，可得，，，分，两种情况，分别得关于的函数解析式；②当时，时，；当时，，时，即可求解． 【详解】（1）解：把点和点代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为， 当 时， ， 设直线为， 将，代入， 得， 解得， 直线的解析式为； （2）解：设直线与轴交于点， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 设直线为， 将，代入， 得， 解得， 直线的解析式为， ， 解得，（舍去）， 时，， ； （3）解：①点的横坐标为，轴交直线于点， ， ，， 当时，， ； 当时，， ， 综上所述，； ②当时， 对于，时， ； 对于， 时，函数有最小值， 当时，随的增大而增大， 当时， 解得或（舍去）， 综上所述，当时，有最大值，实数的取值范围是． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，求一次函数解析式，一元二次方程与二次函数的关系等知识，解题的关键是理解题意，做到数形结合，建立正确的方程，准确计算． 题型二十三 角度问题(二次函数综合) 23．（24-25九年级上·广东汕头·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线对称轴上一点，点是平面内任意一点，当以、、、为顶点的四边形是矩形时，求点的坐标； (3)过点的直线交直线于点，连接，当直线与直线的夹角等于的2倍时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)或或或 (3)或 【知识点】利用矩形的性质证明、线段垂直平分线的性质、特殊四边形(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）由抛物线与轴交于两点，设，再把代入利用待定系数法求解即可； （2）分两种情况讨论：如图，当为矩形边时，当为矩形对角线时，如图，再结合图形求解即可． （3）作的垂直平分线，垂足为，交于点，作于点，作点关于点的对称点符合条件，根据题意分别画图求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴设， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线为：； （2）解：根据题意可得抛物线的对称轴为直线， 设，则， 当为矩形边时，可得或， 当时，则，即， 解得：， 则； 当时，则，即， 解得：， 则； 如图，当为矩形对角线时， ，四边形是矩形， ， 则，即， 解得：或， 则或； 综上：或或或． （3）解：设直线的解析式为，则，解得：， 故直线的解析式为， 设， 作的垂直平分线，垂足为，交于点，如图所示． 根据题意可得， 当时，，，故符合条件． 此时，， 解得：， ∴点的坐标为． 作于点，作点关于点的对称点．如图所示． 此时，则，故点符合条件． 根据题意， ∴， ∵， ∴， 过点作于H， 则， ∴， ∵点关于点N对称， 即点为线段的中点， ∴点的坐标为． ∴点的坐标为或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，矩形的性质，线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，利用数形结合和分类讨论的方法解题是关键． 题型二十四 特殊三角形问题(二次函数综合) 24．（24-25九年级上·吉林松原·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，与轴正半轴交于另一点，点在抛物线上，点是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为，以为对角线作矩形，垂直于轴． (1)求抛物线的解析式； (2)当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出的取值范围； (3)当矩形内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4时，求的值； (4)当点在对称轴左侧时，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)，且； (3)或或； (4)存在，或． 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）抛物线的对称轴为直线，则点B关于抛物线对称轴的对称点为，当M在的左侧时，抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升，即可求解； （3），矩形 内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4，当点M的纵坐标为 时，，解得：；当点M的纵坐标为时，，即可求解； （4）当点M在点B的上方时，证明，得到，即可求解；当点M在点B的下方时，同理可解． 【详解】（1）解：（1）抛物线经过原点O， 则抛物线的表达式为：， 将点B的坐标代入上式得：，则， 抛物线的解析式为； （2）解：抛物线的对称轴为直线，则点B关于抛物线对称轴的对称点为， 当M在的左侧时，抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升， 即，点B、M不重合，故， 即且； （3）解：∵点，矩形 内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4， ∴当点M的纵坐标为 时， ∴，解得：； 当点M的纵坐标为时， ∴， 解得：或； 综上，m的值为或或； （4）解：存在，或，理由： 当点M在点B的上方时，如图，设点， 过点B、M分别作抛物线对称轴的垂线，垂足分别为H、G， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， 则， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 则点， 将点M的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：（舍去）或， 则； 当点M在点B的下方时， 同理可得，点， 将点M的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：（不合题意的值已舍去） 则； 综上， 或． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 题型二十五 特殊四边形(二次函数综合) 25．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，已知是自变量的函数，，称函数为函数的“相关函数”． (1)求函数的“相关函数”的函数表达式； (2)点在函数的图象上，过点作轴的平行线，与函数的图象相交于点，过点作轴的垂线，垂足为，以，为邻边构造矩形，设点的横坐标为，矩形的周长为时，求点的坐标； (3)函数与轴交于点，函数的顶点为，直线与轴交于点，与函数的图象交于点，当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)或 【知识点】特殊四边形(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合)、求一次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）根据相关函数的定义可得的函数表达式； （2）易得的解析式，用表示的点的坐标，继而可得点的坐标，进而可得矩形的两边长，那么根据矩形的周长为可得的值，即可求得点的坐标； （3）易得的值，根据并结合平行四边形的性质及勾股定理可得点的纵坐标为或，求得相对应的二次函数上的点，代入一次函数可得对应的的值，进而根据函数图象可得时的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的函数表达式为； （2）∵， ∴， ∵点的横坐标为，点在函数的图象上， ∴， ∵轴，点在函数的图象上， 当时，得：， ∴， ∴， ∵轴，， ∴， ∵矩形的周长为， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； （3）∵与轴交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，当（点在轴的上方），过点作轴，过点作轴交轴于点，过点作交轴于点， ∴四边形是平行四边形， ∴， 设的解析式为， 当时，，得：；当时，得：， ∴，， ∴，， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去） ∴， 此时点的纵坐标为； 当（点在轴的下方），过点作轴， 按同样的方法可得：点的纵坐标为， ∴或， 解得：，或，， ∴点的坐标为或或或， ∵点在直线上， ∴或或或， 解得：或或或， ∵， ∴或． 【点睛】本题综合考查二次函数的图象与性质，“相关函数”的意义，坐标与图形，矩形的周长，两点间距离，理解新定义的意义并进行应用是解决本题的关键；难点是判断出时的值；易错点是根据函数图象判断出时的取值范围． 题型二十六 相似三角形问题(二次函数综合) 26．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的函数表达式； (2)该抛物线与轴交于点A，（点A在点的左侧），与轴交于点， （ⅰ）如图1，求证：是直角三角形； （ⅱ）如图2，该抛物线的对称轴与轴交于点，点是抛物线对称轴上的一动点，若以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 【答案】(1) (2)（ⅰ）见解析；（ⅱ）或或或 【知识点】相似三角形问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）运用待定系数法解方程组即可； （2）①利用勾股定理的逆定理证明即可； ②分两种情况：当以及，列出比例式，求出，再求点P坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和， ， 解得 抛物线的函数表达式为； （2）解：（ⅰ）， 当时，， 点坐标为， 当时，， 解得或， 点A在点的左侧， 点A坐标为，点坐标为， ，，， ，， ， 是直角三角形；     （ⅱ）， 抛物线的对称轴是直线， 点坐标为，设点坐标为， 分两种情况：①当时，， 即， 解得， 此时点的坐标为或； ②当时，，即， 解得， 此时点的坐标为或； 综上，点坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理．解答本题注意分类讨论的思想以及数形结合的思想的应用． 题型二十七 其他问题(二次函数综合) 27．（24-25九年级上·四川眉山·期末）已知：如图，抛物线与坐标轴分别交于点，，，点是线段上方抛物线上的一个动点，过点作轴的垂线，交线段于点，再过点作轴交抛物线于点． (1)求抛物线解析式； (2)当点运动到什么位置时，的长最大．求出点坐标 (3)是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)当时，的长最大，点的坐标为 (3)存在，点坐标为或时，使为等腰直角三角形 【知识点】其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法即可确定抛物线的解析式； （2）先求出直线的解析式，再设出点的坐标，然后求出点的坐标，再列出的长度的表达式，确定取最大值时求出点的坐标即可； （3）先设出点的坐标，然后表示出的长度，再根据抛物线的对称性表示出的长度，列出关于点的横坐标的方程，求出点的横坐标，即可确定点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线过点，， ， 解得：， 抛物线解析式为； （2）解：时，， ， 直线解析式为， 点在线段上方抛物线上， 设， ， ， ， 当时，的长最大， 此时，点的坐标为； （3）解：存在点使为等腰直角三角形， 设，则， ， 抛物线， 对称轴为直线， 轴交抛物线于点， 、关于对称轴对称， ， ， ， 为等腰直角三角形，， ， ①当时，， ， 解得：（舍去），， ， ②当时，， ， 解得：，（舍去）， ， 综上所述，点坐标为或时，使为等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的各种性质并用含字母的式子表示出线段的长度是解题的关键． 题型二十八 求抛物线与x轴的交点坐标 28．（24-25九年级上·北京·期中）抛物线与x轴的交点坐标为 ． 【答案】或 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题主要考查了求二次函数与x轴的交点坐标，把，代入，求出或，即可得出答案． 【详解】解：当时，， 解得：或， ∴抛物线与x轴的交点坐标为或， 故答案为：或． 题型二十九 求抛物线与y轴的交点坐标 29．（24-25九年级上·上海·阶段练习）二次函数的图像与y轴的交点坐标是 ． 【答案】 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】本题考查了二次函数与y轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．代入到，求出对应的值，即可得出答案． 【详解】解：令，则， 二次函数的图像与y轴的交点坐标是． 故答案为：． 题型三十 已知二次函数的函数值求自变量的值 30．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于点，，则不等式的解集是 ．    【答案】 【知识点】已知二次函数的函数值求自变量的值、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题主要考查二次函数图象法求不等式的解集，利用数形结合的思想求解是解题的关键．先求出点B的坐标，根据图象可直接进行求解． 【详解】解：二次函数的图象经过点， ， 解得：或， 根据题意：， 二次函数的图象与一次函数的图象交于点，， 由图象可得：当时，则有； 故答案为． 题型三十一 抛物线与x轴的交点问题 31．（24-25九年级上·云南昆明·期中）九年级“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究．探究过程如下，请补充完整． (1)自变量x的取值范围是全体实效，x与y的几组对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 3 m 0 0 3 … 其中，______； (2)根据表中数据，在如图的平面直角坐标系中描点．并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分； (3)进一步观察探究函数图象发现： ①函数图象与x轴有______个交点，所以对应的方程有______个实数根； ②方程有______个实数根； ③关于x的方程有4个实数根时，a的取值范围是______． 【答案】(1)0 (2)见解析 (3)①3，3；②2；③ 【知识点】用描点法画函数图象、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、求自变量的值或函数值、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，关键是对函数图象的认识和函数性质的掌握． （1）把代入，即可解得答案； （2）由列表，描点，连线，即可得出函数图象； （3）①观察图象即可解答； ②方程的根为函数与的交点的个数，观察图象，即可得出答案； ③方程的根为函数与的交点的个数，即可得出答案． 【详解】（1）解：把代入函数解析式可得：， 所以． 故答案为：0； （2）解：如图所示： （3）解：①由函数图象知，函数图象与轴有3个交点， 所以方程有3个实数根； ②如图： 函数图象与直线有2个交点， 所以有2个实数根； ③由函数图象可知，关于的方程有4个实数根， 则直线在直线和轴之间， 所以． 故答案为：①3，3；②2；③． 题型三十二 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 32．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）已知二次函数自变量的部分取值和对应的函数值如下表，根据表格中的数据可知，关于的一元二次方程的根是 ． … 0 1 2 3 … … 6 2 0 0 2 6 … 【答案】， 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的综合，根据表格信息直接求解即可． 【详解】解：由表格知：当时，；当时，； ∴一元二次方程的根是，， 故答案为：，． 题型三十三 求x轴与抛物线的截线长 33．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知二次函数． (1)若抛物线与y轴交于，求m的值及抛物线在x轴上截得的线段长； (2)对于任意实数m，请判断该二次函数图像与x轴有没有交点，并说明理由． 【答案】(1)，在x轴上截得的线段长是 (2)有交点，见解析 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、求x轴与抛物线的截线长 【分析】（1）将点代入解析式求出m的值并得到抛物线的解析式，再求出抛物线与x轴交点即可得到抛物线在x轴上截得的线段长； （2）求出判别式即可判断． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于， ∴， ∴ ∴抛物线为， 当时，， 解得或， ∴抛物线在x轴上截得的线段长为； （2）， ∵， ∴ ∴该二次函数图像与x轴有交点． 【点睛】此题考查了二次函数与坐标轴的交点，判断二次函数与x轴交点个数，正确掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 题型三十四 图象法确定一元二次方程的近似根 34．（24-25九年级上·福建漳州·期中）如表给出了二次函数的自变量与函数值的部分对应值，那么方程的一个根的近似值可能是（   ） 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.04 0.59 1.16 A．1.09 B．1.19 C．1.29 D．1.39 【答案】B 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，观察表中数据得到抛物线与x轴的一个交点在和点之间，然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程一个根的近似值． 【详解】解：∵时，；时，； ∴抛物线与x轴的一个交点在和点之间， ∴方程有一个根在和点之间． 故选：B． 题型三十五 图象法解一元二次不等式 35．（24-25九年级上·云南曲靖·阶段练习）如图所示，二次函数的图象经过、、三点． (1)由图象可知，不等式的解集为______； (2)结合二次函数的图象，写出方程的解． 【答案】(1)或 (2)， 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、图象法解一元二次不等式 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、二次函数图象与一次函数的交点问题，利用数形结合思想求解是解答的关键． （1）先判断出二次函数的图象与一次函数的图象交点坐标为、，再根据图象求得使二次函数的图象位于直线上方部分的点的横坐标取值范围即可； （2）根据抛物线与x轴的两个交点坐标，即可求方程的解． 【详解】（1）解：∵二次函数与一次函数的图象交于、两点， ∴不等式的解集为或； 故答案为：或； （2）解：二次函数的图象与轴交于点、， 方程的解为：，． 题型三十六 利用不等式求自变量或函数值的范围 36．（24-25九年级上·云南昆明·期末）已知二次函数（a为常数且）． (1)求证：当时，函数图象与x轴必有两个不同的交点； (2)若函数图象经过，两点，其中，且当时，总有，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用不等式求自变量或函数值的范围、抛物线与x轴的交点问题 【分析】（1）证明即可解决问题； （2）用含a的代数式表示出和，再利用作差法即可解决问题． 本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与坐标轴交点问题，熟知待定系数法及二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：， 又 ， ， 二次函数的图象与轴必有两个不同的交点； （2）解：将两点坐标代入函数解析式, 得， ， 两式相减得，， 又， ， 当时，总有， ， 解得， 的取值范围是：． 题型三十七 根据交点确定不等式的解集 37．（24-25九年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，过点且平行于轴的直线与二次函数图象的交点坐标为，，则不等式的解集为 ． 【答案】或 【知识点】根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查了二次函数与一元二次不等式，根据二次函数的图象与直线的交点坐标即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵直线过点且平行于轴， ∴直线， ∵直线与二次函数图象的交点坐标为，，且，即， ∴或， 故答案为：或． 题型三十八 图形问题(实际问题与二次函数) 38．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，小亮父亲想用长的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈，已知房屋外墙长，设矩形的边，面积为，写出S与x之间的函数表达式 ．（化为一般式，不写x的取值范围） 【答案】 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意可知：，，利用矩形面积公式列式即可求出，解题的关键是找到所给面积的等量关系． 【详解】解：由题意可知：， ∴； 由矩形面积公式得： ∴， 故答案为：． 题型三十九 图形运动问题(实际问题与二次函数) 39．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，，，，，分别是，的中点，点和点分别从点和点出发，沿着方向运动，运动速度都是个单位秒，当点到达点时，两点同时停止运动．设的面积为，运动时间为，则与之间的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】动点问题的函数图象、图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数的图象与性质，根据题意分别求出各种情况下的函数关系式，依照关系式判断图象即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，作， ∴， ∵点是中点， ∴，， 当时，点在上，点在上，， ∴； 如图，当时，点在上，点在上， ∵， ∴，，， ∴ ； 如图，当时，点都在上， ∴， 综上判断选项B的图象符合题意， 故选：B． 题型四十 拱桥问题(实际问题与二次函数) 40．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，某公司的大门呈抛物线形，大门底部宽为，顶部距地面的高度为． (1)试建立适当的直角坐标系，求抛物线对应的二次函数表达式； (2)一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面，装货宽度为，那么这辆汽车能否顺利通过大门？ 【答案】(1) (2)这辆汽车能够通过大门 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用，涉及到用待定系数法求二次函数的解析式及点的坐标、二次函数图象的性质，根据题意求出二次函数的解析式是解答此题的关键． （1）先过的中点作的垂直平分线建立直角坐标系，得出点、、的坐标，用待定系数法即可求出过此三点的抛物线解析式 （2）根据题意，判断点或点与抛物线的关系即可． 【详解】（1）解：如图，过的中点作的垂直平分线，建立平面直角坐标系．点，，的坐标分别为 ，，． 设抛物线的表达式为． 将点代入得 ，解得， 故此抛物线的表达式为； （2）货物顶点距地面，装货宽度为， 只要判断点或点与抛物线的位置关系即可． 将代入抛物线，得， 点和点都在抛物线内． 这辆汽车能够通过大门． 题型四十一 销售问题(实际问题与二次函数) 41．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． (1)求这段时间内y与x之间的函数解析式； (2)在这段时间内，若销售单价不低于100元，且不超过150元，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当销售单价为120元时，商场获得利润最大利润8000元 【知识点】求一次函数解析式、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，二次函数的性质，解题的关键是用待定系数法求函数的解析式，掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解． （1）设这段时间内y与x之间的函数解析式为，函数经过，，可以利用待定系数法建立二元一次方程组，即可求出解析式； （2）根据销售单价不低于100元，且不超过150元，得求出销售单价的取值范围，要求最大利润，首先设获得利润为，写出关于的二次函数解析式，根据二次函数的增减性和的取值范围，即可求出获得利润的最大值． 【详解】（1）解：设这段时间内y与x之间的函数解析式为， 由图象可知，函数经过，， 可得，解得， 这段时间内y与x之间的函数解析式为； （2）销售单价不低于100元，且不超过150元， ， 设获得利润为，即， 对称轴， ，即二次函数开口向下，的取值范围是， 即当销售单价时，获得利润有最大值， 最大利润元． 即：当销售单价为120元时，商场获得利润最大利润8000元． 题型四十二 投球问题(实际问题与二次函数) 42．（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图，某男生推铅球，铅球出手（点处）的高度是，出手后的铅球沿一段抛物线运行，当运行到最高时，水平距离．求出这条抛物线所表示的函数解析式． 【答案】这条抛物线所表示的函数解析式为． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 由题意得，点，顶点坐标为，设这条抛物线所表示的函数解析式为，把点代入解析式求出的值即可． 【详解】解：由题意得，点，顶点坐标为， ∴设这条抛物线所表示的函数解析式为， 把点代入得， ， 解得：， ∴这条抛物线所表示的函数解析式为． 题型四十三 喷水问题(实际问题与二次函数) 43．（24-25九年级上·江苏南通·期末）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落在距离池中心处（包含和）． (1)选择适当的点为原点，画出平面直角坐标系． (2)求水管长度的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，待定系数法求二次函数解析式，解题关键是利用顶点式求出解析式． （1）以喷水池中心为坐标原点，以水管所在直线为y轴，以垂直水管的水平直线为x轴建立平面直角坐标系； （2）设抛物线的解析式为，将顶点坐标为代入得，分别将，代入求得a值，再令时得的y值即为水管的长，然后求出d的取值范围． 【详解】（1）解：以喷水池中心为坐标原点，以水管所在直线为y轴，以垂直水管的水平直线为x轴建立平面直角坐标系，如图： （2）解：设抛物线的解析式为， 由题意可知抛物线的顶点坐标为， 所以抛物线解析式为， 当水柱落地点为时，， 抛物线的解析式为：， 当时，； 当水柱落地点为时，， 抛物线的解析式为：， 当时，； 的取值范围是：． 题型四十四 增长率问题(实际问题与二次函数) 44．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期中）最新报道显示，2023年我国新能源汽车累计销量为万辆，销量逐年增加，若2025年的累计销量为y万辆，平均每年增长率为x，则y关于x的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】增长率问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的解析式，学会由实际问题抽象出函数的关系式是解题的关键．利用2025年的累计销量2023年的累计销量平均每年增长率，即可得到函数解析式． 【详解】解：根据题意，y关于x的函数解析式为． 故选：C． 题型四十五 其他问题(实际问题与二次函数) 45．（24-25九年级上·内蒙古乌海·期末）某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，如图1，将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象，如图2所示，该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器R消耗的电功率P最大为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，先利用待定系数法求拋物线的解析式，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵该图象是经过原点的一条抛物线的一部分且过和， ∴抛物线的对称轴为直线， 设拋物线的解析式为， ∴ 解得， ∵， ∴当时，电功率P有最大值为220， 即变阻器R消耗的电功率P最大为， 故选B． 题型四十六 面积问题(二次函数综合) 46．（24-25九年级上·天津河北·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点A、B，顶点且过点C． (1)求抛物线解析式； (2)求三角形的面积． 【答案】(1) (2)6 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和待定系数法求二次函数解析式． （1）设顶点式，然后把C点坐标代入求出a即可； （2）先解方程得到点A、B的坐标，然后根据三角形的面积公式求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 把C代入得到， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）当时，， 解得， ∴， ∴三角形的面积 题型四十七 线段周长问题(二次函数综合) 47．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点． (1)求二次函数的解析式． (2)若点是这个二次函数图象在第二象限内的一点，过点作轴的垂线与线段交于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，求直线解析式，函数最值问题，将线段列出函数关系式利用最值确定线段的最大值的解题思路是关键． （1）将点B坐标代入即可求出解析式； （2）先求出直线的解析式为，设点P的坐标为，则点C的坐标为，列出线段的关系式配方即可得到的最大值． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）∵二次函数的解析式为， ∴时，， ∴， 设直线的解析式为， 把代入，得， 解得， 所以直线的解析式为 设点的坐标为． 则点的坐标为． 因为点在点的右边， 所以 ． 因为点是这个二次函数图象在第二象限内的一点， 所以， 所以当时，线段的长度有最大值，最大值为． 题型四十八 角度问题(二次函数综合) 48．（24-25九年级上·湖北孝感·期末）已知抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C． (1)直接写出结果：________，________； (2)如图1，点是第一象限内抛物线上一点，连接，若N是第二象限内抛物线上一点，，求出N点的坐标； (3)如图2，若点P是抛物线上一点． ①若点P在右侧时，连接，，求面积的最大值； ②若点P是抛物线上任意一点，且，试确定满足条件的P点个数，请直接写出你的结论． 【答案】(1)2，45 (2) (3)①当时，，②当时，满足条件的P点有3个；当时，满足条件的P点有4个；当时，满足条件的P点有2个 【知识点】面积问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）把点B坐标代入二次函数解析式可得b的值，然后令可得点C坐标，然后可得，进而问题可求解； （2）设交y轴于E，由题意易得，则有，轴，然后可得，则，进而可得直线，最后联立函数解析式即可求解； （3）①连接，设点，根据题意结合割补法可得，然后根据二次函数的性质可进行求解；②如图，由①可得：当时，则，进而可分当时，当时和当时，结合函数图象可进行求解． 【详解】（1）解：把代入抛物线得：， ∴， 令时，则有， ∴， ∴， ∴； 故答案为2；45； （2）解：如图，设交y轴于E，当时，， 解得：（舍去），， ， ，轴， ∴， ， ∵，， ， ， ， ， 设直线，代入得，， ， ． 由, 解得：或， ． （3）解：①连接，设点， ， 当时，， ②如图，由①可得：当时，则； ∴当时，满足条件的P点有3个；当时，满足条件的P点有4个； 当时，满足条件的P点有2个． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 题型四十九 特殊三角形问题(二次函数综合) 49．（23-24九年级上·全国·单元测试）将抛物线沿轴向下平移后，所得抛物线与轴交于点，顶点为，如果是等腰直角三角形，那么顶点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合)、二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数的图像与几何变换、等腰直角三角形的性质及抛物线与坐标轴的交点问题，根据题意二次函数的图像与几何变换的关键．设抛物线向下平移个单位，平移后的抛物线为，设对称轴与轴交于点，可得，，然后根据题意得到，即，进而求解即可． 【详解】解：∵， 设抛物线向下平移个单位，平移后的抛物线为， 则，，， 设对称轴与轴交于点，则，可得，， ∵抛物线顶点为，由抛物线对称性可知， ∴， ∴，即， 解得，(舍)， ∴顶点的坐标为． 题型五十 其他问题(二次函数综合) 50．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）已知二次函数与一次函数的图象相交于、两点，如图所示，其中， (1)求和的值； (2)求点坐标，并直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)， 【知识点】根据交点确定不等式的解集、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的交点问题，从函数图象获取正确数据，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意得到，求出， （2）由（1）知，得到，联立得， 求出或，得到，当时，． 【详解】（1）解：二次函数与一次函数的图象相交于、两点，， ， ； （2）解：由（1）知， ， 联立得， 解得或， ， 当时，. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$