第02章 一元二次方程 章节（12知识点回顾+27题型练习） 【暑假预习】2025-2026学年九年级上册数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第02章 一元二次方程 章节（12知识点回顾+27题型练习） 题型汇聚 题型一 一元二次方程的定义 题型二 化成一元二次方程的一般式 题型三 判断是否是一元二次方程 题型四 由一元二次方程的定义求参数 题型五 判断是否是一元二次方程的解 题型六 由一元二次方程的解求参数 题型七 一元二次方程的解的估算 题型八 解一元二次方程——直接开平方法 题型九 解一元二次方程——配方法 题型十 配方法的应用 题型十一 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型十二 根据一元二次方程根的情况求参数 题型十三 公式法解一元二次方程 题型十四 因式分解法解一元二次方程 题型十五 换元法解一元二次方程 题型十六 一元二次方程的根与系数的关系 题型十七 传播问题(一元二次方程的应用) 题型十八 增长率问题(一元二次方程的应用) 题型十九 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 题型二十 数字问题(一元二次方程的应用) 题型二十一 营销问题(一元二次方程的应用) 题型二十二 动态几何问题(一元二次方程的应用) 题型二十三 工程问题(一元二次方程的应用) 题型二十四 行程问题(一元二次方程的应用) 题型二十五 图表信息题(一元二次方程的应用) 题型二十六 其他问题(一元二次方程的应用) 题型二十七 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 知识清单 知识点1．一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 知识点2．一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 知识点3．一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 知识点4．解一元二次方程-直接开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 知识点5．解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 知识点6．配方法的应用 1、用配方法解一元二次方程． 配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2 配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值． 关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方． 3、配方法的综合应用． 知识点7．解一元二次方程-公式法 （1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 知识点8．根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 知识点9．解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 知识点10．根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 知识点11．由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 知识点12．一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 题型练习 题型一 一元二次方程的定义 1．下列一元二次方程中，一次项系数为3的是（   ） A． B． C． D． 2．若是关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 题型二 化成一元二次方程的一般式 3．方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A． B． C． D． 题型三 判断是否是一元二次方程 4．下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 题型四 由一元二次方程的定义求参数 5．方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．1，，3 B．1，4， C．1，， D．1，2，3 6．若关于的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为 ，则该方程中的一次项系数为 ． 题型五 判断是否是一元二次方程的解 7．已知是方程的一个根，则代数式的值为 . 题型六 由一元二次方程的解求参数 8．已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（） A． B． C．2 D．4 9．若m是方程的一个根，则的值 ． 题型七 一元二次方程的解的估算 10．我们可以通过不断缩小范围的方法求一元二次方程的近似解，即找出使方程成立的一个初始范围，在该范围内提高精确度，得到一个新的范围，再对新的范围进行操作．例如在求时，根据以下表格，可知道其中一个解的大致范围是（   ） 20 22.5 25 26.25 27.5 28.78 30 0 31.25 75 101.5625 131.25 164.0625 200 A． B． C． D． 题型八 解一元二次方程——直接开平方法 11．方程的根为 ． 12．用适当的方法解方程：． 题型九 解一元二次方程——配方法 13．一元二次方程配方可变形为（   ） A． B． C． D． 14．解方程：． 题型十 配方法的应用 15．把化成（其中h，k是常数）形式的结果为（    ） A． B． C． D． 16．阅读材料： 解分式不等式 解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为 ①或② 解①得：无解，解②得： 所以原不等式的解集是 请运用上述方法，解分式不等式： 题型十一 根据判别式判断一元二次方程根的情况 17．一元二次方程中，该方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．不能确定 18．定义新运算“”：对于任意实数，，都有，例：，若关于的方程，则此方程 （填“有两个不相等”“有两个相等”“没有”）实数根． 题型十二 根据一元二次方程根的情况求参数 19．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．已知是关于x的一元二次方程的两实根． (1)求k的取值范围； (2)若是方程的根，求k的值． 题型十三 公式法解一元二次方程 21．一元二次方程有实数根，其根为 （用a，b，c表示） 22．按指定方法解一元二次方程 (1)（配方法） (2)（公式法） 题型十四 因式分解法解一元二次方程 23．方程的根是（   ） A．0 B．1 C．2 D．0或2 24．解方程： (1)； (2)． 题型十五 换元法解一元二次方程 25．若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 26．如果让你去解方程，相信你一定可以很容易地完成，那么对于方程，我们应该如何去解呢？我们不防将看成一个整体，设，则原方程可化为．① 解得． 当y=1时，，，．                     当y=4时，，，． 即该方程的根为． 问题： (1)在由原方程得到①的过程中，利用 达到降次的目的，表现了 的数学思想； (2)解方程． 题型十六 一元二次方程的根与系数的关系 27．已知一元二次方程的两个根为、，则的值为（  ） A． B． C．1 D． 28．（1）解方程： （2）已知一元二次方程的两根分别为，， 求：①的值， ②的值． 题型十七 传播问题(一元二次方程的应用) 29．有一个人患了某种传染病，经过两轮传染后共有81人患病． (1)每轮平均1个人会感染几人？ (2)若病毒得不到有效控制，三轮感染后，患病的人数会不会超过700人？ 题型十八 增长率问题(一元二次方程的应用) 30．竹溪梅子贡茶是一种著名的中国绿茶．某茶园从年到年茶叶产量从增长到，则茶叶产量从年到年平均每年增长率为 ． 题型十九 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 31．新能源汽车如今已成为越来越多人购车的首选．某停车场为了解决充电难的问题，现将长为140米，宽为90米的矩形停车场进行改造．如图，将矩形停车场的边和边分别减少相等的长度，减少的这部分区域用于修建充电桩，剩余停车场的面积为平方米，求和减少的长度是多少？ 题型二十 数字问题(一元二次方程的应用) 32．如图是2024年11月的月历表，用一个方框在表中圈出六个数（如图所示），若圈出的六个数中，最小的数与最大的数的乘积为112，求这个最大的数（  ） A．6 B．7 C．14 D．16 题型二十一 营销问题(一元二次方程的应用) 33．商场将进货价为30元/个的台灯以40元/个的价格销售，每月能售出600个，调查表明：这种台灯的销售单价每上涨1元，其月销售量就会减少10个．规定该台灯的销售单价不得低于40元且不得超过60元．为了实现这种台灯的月销售利润为10000元，则销售单价应定为多少元？ 题型二十二 动态几何问题(一元二次方程的应用) 34．如图，在矩形中，，，点从点开始以的速度沿边向移动，点从点开始以的速度沿边向点移动．如果、分别从、同时出发，设移动的时间为t． 求： (1)当t为多少时，的面积等于？ (2)当t为多少时，是以为斜边的直角三角形？ 题型二十三 工程问题(一元二次方程的应用) 35．某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值． 题型二十四 行程问题(一元二次方程的应用) 36．今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 题型二十五 图表信息题(一元二次方程的应用) 37．一名跳水运动员进行跳台跳水训练，在正常情况下，运动员必须在距水面以前完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误．假设运动员起跳后的运动时间和运动员距离水面的高度满足关系：，那么他最多有多长时间完成规定动作？(结果保留根号) 题型二十六 其他问题(一元二次方程的应用) 38．团体操是集体表演的体操项目，它和音乐、舞蹈、美术有密切的联系，打破学科壁垒，加强协同育人，全面提升学生素质．某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，若增加的行、列数相同，则增加了多少行? 题型二十七 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 39．我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程得（   ） A． B． C． D． 40．某校九年级若干个班级组织一次足球比赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排场比赛，则九年级参赛的班级个数为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02章 一元二次方程 章节（12知识点回顾+27题型练习） 题型汇聚 题型一 一元二次方程的定义 题型二 化成一元二次方程的一般式 题型三 判断是否是一元二次方程 题型四 由一元二次方程的定义求参数 题型五 判断是否是一元二次方程的解 题型六 由一元二次方程的解求参数 题型七 一元二次方程的解的估算 题型八 解一元二次方程——直接开平方法 题型九 解一元二次方程——配方法 题型十 配方法的应用 题型十一 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型十二 根据一元二次方程根的情况求参数 题型十三 公式法解一元二次方程 题型十四 因式分解法解一元二次方程 题型十五 换元法解一元二次方程 题型十六 一元二次方程的根与系数的关系 题型十七 传播问题(一元二次方程的应用) 题型十八 增长率问题(一元二次方程的应用) 题型十九 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 题型二十 数字问题(一元二次方程的应用) 题型二十一 营销问题(一元二次方程的应用) 题型二十二 动态几何问题(一元二次方程的应用) 题型二十三 工程问题(一元二次方程的应用) 题型二十四 行程问题(一元二次方程的应用) 题型二十五 图表信息题(一元二次方程的应用) 题型二十六 其他问题(一元二次方程的应用) 题型二十七 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 知识清单 知识点1．一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 知识点2．一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 知识点3．一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 知识点4．解一元二次方程-直接开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 知识点5．解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 知识点6．配方法的应用 1、用配方法解一元二次方程． 配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2 配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值． 关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方． 3、配方法的综合应用． 知识点7．解一元二次方程-公式法 （1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 知识点8．根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 知识点9．解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 知识点10．根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 知识点11．由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 知识点12．一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 题型练习 题型一 一元二次方程的定义 1．下列一元二次方程中，一次项系数为3的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式“一元二次方程的一般形式是（是常数，且），它的特征是等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是0，其中，是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项”，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题关键． 【详解】解：A、中的一次项系数为0，则此项不符合题意； B、中的一次项系数为3，则此项符合题意； C、中的一次项系数为，则此项不符合题意； D、中的一次项系数为1，则此项不符合题意； 故选：B． 2．若是关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 【答案】1 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义得，求出的值即可． 【详解】解：若是关于的一元二次方程，则， 解得． 故答案为：1． 题型二 化成一元二次方程的一般式 3．方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，把方程整理成一般式即可求解，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【详解】解：方程整理成一般式为， ∴二次项系数、一次项系数和常数项分别是， 故选：． 题型三 判断是否是一元二次方程 4．下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是一元二次方程 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程解答即可，掌握定义也是解题关键． 【详解】解：A．，未知数最高次数是1，不是一元二次方程，不符合题意； B．，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，符合题意； C．，不是整式方程，即不是一元二次方程，不符合题意； D．，含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意． 故选B． 题型四 由一元二次方程的定义求参数 5．方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．1，，3 B．1，4， C．1，， D．1，2，3 【答案】B 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式及其相关定义，掌握一元二次方程的有关概念是解题的关键；先把原方程化为一般形式，再求解即可． 【详解】解：， ， ， 方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，4，， 故选：． 6．若关于的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为 ，则该方程中的一次项系数为 ． 【答案】5 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，先把原方程进行化简整理，从而可得，然后根据题意可得，从而可得：，再把a的值代入中，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 由题意得：， 解得：， ∴该方程中的一次项系数， 故答案为：5． 题型五 判断是否是一元二次方程的解 7．已知是方程的一个根，则代数式的值为 . 【答案】8 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值等知识点，熟练掌握整体代入法求值是解题的关键． 根据一元二次方程的解的定义可得，即，然后将变形为，再将代入求值即可． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ， 故答案为：． 题型六 由一元二次方程的解求参数 8．已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题主要考查一元二次方程解的概念，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键； 将代入一元二次方程即可求得答案． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴把代入得 解得：． 故选：C． 9．若m是方程的一个根，则的值 ． 【答案】1 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查一元二次方程的根，代数式求值，根据方程的根得到，进而得到，整体代入法求出代数式的值即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴， 故答案为：1． 题型七 一元二次方程的解的估算 10．我们可以通过不断缩小范围的方法求一元二次方程的近似解，即找出使方程成立的一个初始范围，在该范围内提高精确度，得到一个新的范围，再对新的范围进行操作．例如在求时，根据以下表格，可知道其中一个解的大致范围是（   ） 20 22.5 25 26.25 27.5 28.78 30 0 31.25 75 101.5625 131.25 164.0625 200 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似根，根据，则，进行作答即可． 【详解】解：∵，且， ∴， 即在求时，根据以下表格，可知道其中一个解的大致范围是， 故选：C 题型八 解一元二次方程——直接开平方法 11．方程的根为 ． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】此题考查了解一元二次方程，移项，然后利用直接开平方法求解即可． 【详解】 解得． 故答案为：． 12．用适当的方法解方程：． 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了解一元二次方程．先把方程的左边利用完全平方公式变形为，再直接开平方得到两个一元一次方程，进而求解． 【详解】解：原方程可变形为：， 直接开平方得：或， 解得：，． 题型九 解一元二次方程——配方法 13．一元二次方程配方可变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题主要考查配方法，熟练掌握配方法是解题的关键；因此此题可根据配方法进行求解． 【详解】解： ； 故选A． 14．解方程：． 【答案】，． 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了解一元二次方程．利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， 移项得， 配方得，即， 开方得， 解得，． 题型十 配方法的应用 15．把化成（其中h，k是常数）形式的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】配方法的应用 【分析】本题主要考查了配方法的应用，利用配方法进行求解即可． 【详解】解： ， 故选：A． 16．阅读材料： 解分式不等式 解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为 ①或② 解①得：无解，解②得： 所以原不等式的解集是 请运用上述方法，解分式不等式： 【答案】 【知识点】因式分解的应用、配方法的应用、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组．将分母配方得到，再去分母转化为，再转化为一元一次不等式组，进一步计算即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴， 整理得：， 即， ∴①或②， 解①得无解，解②得， ∴原不等式的解集是． 题型十一 根据判别式判断一元二次方程根的情况 17．一元二次方程中，该方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．不能确定 【答案】B 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查了二次方程的根的判别式，解题的关键是熟练掌握根的判别式． 求出方程的判别式的值后，和0比较大小就可以判断根的情况． 【详解】解：根据题意得， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 18．定义新运算“”：对于任意实数，，都有，例：，若关于的方程，则此方程 （填“有两个不相等”“有两个相等”“没有”）实数根． 【答案】没有 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题属于新定义题目，考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的根的判别式：当判别式，方程有两个不相等的实数根；当判别式，方程有两个相等的实数根；当判别式，方程没有实数根．根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等式组求解． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∴， ∴此方程没有实数根， 故答案为：没有． 题型十二 根据一元二次方程根的情况求参数 19．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一元一次不等式的解集、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了解一元一次不等式，一元二次方程根的判别式，一元二次方程（为常数，且）根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 根据题意得到，解得，即可得到答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ， ， 故选：C． 20．已知是关于x的一元二次方程的两实根． (1)求k的取值范围； (2)若是方程的根，求k的值． 【答案】(1) (2)或 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和己知方程的根求参数，熟练掌握根的判别式是解题的关键， （1）根据方程有两实根可得，代入数值解不等式即可得到答案； （2）由是方程的根，代入即可求k的值． 【详解】（1）解：∵有两实根， ∴， ∴， 解得：， （2）解：∵是方程的根， ∴， 解得：或． 题型十三 公式法解一元二次方程 21．一元二次方程有实数根，其根为 （用a，b，c表示） 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查公式法解一元二次方程．根据求根公式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 22．按指定方法解一元二次方程 (1)（配方法） (2)（公式法） 【答案】(1)， (2)， 【知识点】公式法解一元二次方程、解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了解一元二次方程，解本题的关键在熟练掌握用配方法和公式法解一元二次方程．解一元二次方程的基本思路是：将二次方程转化为一次方程，即降次． （1）将常数项移至方程的右边，然后两边都加上一次项系数的一半的平方配方成完全平方式后，再开方，即可得出结果； （2）先求解，再利用求根公式计算即可． 【详解】（1）解： 移项，化“1”得：， 配方，得：， 即， 由此可得：， ，； （2）解： ，，， ， 方程有两个不等的实数根， ， 即，． 题型十四 因式分解法解一元二次方程 23．方程的根是（   ） A．0 B．1 C．2 D．0或2 【答案】D 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， 移项得：， 因式分解得：， ∴或， 解得：或， 故选：D． 24．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法，如直接开方法、配方法、公式法、因式分解法等． （1）将原方程整理为，然后利用因式分解法求解即可； （2）将原方程整理为，然后利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ∴， ∴； （2）解：， ， ∴， ∴． 题型十五 换元法解一元二次方程 25．若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】B 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题考查换元法解一元二次方程，根据题意，得到必有一根为，进而求出的值即可． 【详解】解：，整理，得：， ∵关于x的一元二次方程有一根为， ∴方程必有一根为，即：， 故选B． 26．如果让你去解方程，相信你一定可以很容易地完成，那么对于方程，我们应该如何去解呢？我们不防将看成一个整体，设，则原方程可化为．① 解得． 当y=1时，，，．                     当y=4时，，，． 即该方程的根为． 问题： (1)在由原方程得到①的过程中，利用 达到降次的目的，表现了 的数学思想； (2)解方程． 【答案】(1)换元，转化 (2) 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，会用换元法解方程． （1）换元法的目的是降次； （2）利用换元法解决问题． 【详解】（1）解：在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，表现了转化的数学思想； 故答案为：换元，转化； （2）解：设，那么原方程可化为， 则， 所以，， ∴， 解得，． 题型十六 一元二次方程的根与系数的关系 27．已知一元二次方程的两个根为、，则的值为（  ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，由根与系数的关系得出两根之和，两根之积，然后把要求的式子变形，代入求值即可．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 【详解】解：由一元二次方程根与系数的关系得，，， ， 故选：D． 28．（1）解方程： （2）已知一元二次方程的两根分别为，， 求：①的值， ②的值． 【答案】（1），；（2）①1；② 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系． （1）运用因式分解法求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：（1）， 因式分解，得， ∴或， ∴，； （2）∵一元二次方程的两根分别为，， ∴， ． 题型十七 传播问题(一元二次方程的应用) 29．有一个人患了某种传染病，经过两轮传染后共有81人患病． (1)每轮平均1个人会感染几人？ (2)若病毒得不到有效控制，三轮感染后，患病的人数会不会超过700人？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染8个人 (2)患病的人数会超过700人 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有81人患了这种传染病即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据经过三轮传染后患病的人数=经过两轮传染后患病的人数+经过两轮传染后患病的人数×8，即可求出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染x个人， 根据题意得：， 整理，得：， 解得：，不合题意，舍去 答：每轮传染中平均一个人传染8个人． （2） 三轮感染后，患病的人数为（人 ∵， 患病的人数会超过700人． 答：患病的人数会超过700人 题型十八 增长率问题(一元二次方程的应用) 30．竹溪梅子贡茶是一种著名的中国绿茶．某茶园从年到年茶叶产量从增长到，则茶叶产量从年到年平均每年增长率为 ． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是找准等量关系． 先设平均每年增长率为x，再根据“某茶园从年到年茶叶产量从增长到”列出方程求解． 【详解】解：设平均每年增长率为x， 则可列式， 解得，负值舍去． 故答案为：． 题型十九 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 31．新能源汽车如今已成为越来越多人购车的首选．某停车场为了解决充电难的问题，现将长为140米，宽为90米的矩形停车场进行改造．如图，将矩形停车场的边和边分别减少相等的长度，减少的这部分区域用于修建充电桩，剩余停车场的面积为平方米，求和减少的长度是多少？ 【答案】边和边减少的长度是20米 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设边和边减少的长度均为x米，则剩余停车场是长为米，宽为米的矩形，根据矩形的面积公式列出一元二次方程，解方程即可得解． 【详解】解：设边和边减少的长度均为x米，则剩余停车场是长为米，宽为米的矩形， 根据题意，得， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：边和减少的长度是20米． 题型二十 数字问题(一元二次方程的应用) 32．如图是2024年11月的月历表，用一个方框在表中圈出六个数（如图所示），若圈出的六个数中，最小的数与最大的数的乘积为112，求这个最大的数（  ） A．6 B．7 C．14 D．16 【答案】D 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键．设这个最大的数为，则最小的数为，根据圈出的四个数中最小数与最大数的积为112列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设这个最大的数为，则最小的数为， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：这个最大的数为16． 故选：D． 题型二十一 营销问题(一元二次方程的应用) 33．商场将进货价为30元/个的台灯以40元/个的价格销售，每月能售出600个，调查表明：这种台灯的销售单价每上涨1元，其月销售量就会减少10个．规定该台灯的销售单价不得低于40元且不得超过60元．为了实现这种台灯的月销售利润为10000元，则销售单价应定为多少元？ 【答案】销售单价应定为50元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设这种台灯的销售单价上涨x元，则每件的利润为元，销售量为件，再根据总利润为单价利润乘以销售量建立方程求解即可． 【详解】解：设这种台灯的销售单价上涨x元， 由题意得，， 整理得， 解得或（由于销售单价不得低于40元且不得超过60元，故舍去）， ， 答：销售单价应定为50元． 题型二十二 动态几何问题(一元二次方程的应用) 34．如图，在矩形中，，，点从点开始以的速度沿边向移动，点从点开始以的速度沿边向点移动．如果、分别从、同时出发，设移动的时间为t． 求： (1)当t为多少时，的面积等于？ (2)当t为多少时，是以为斜边的直角三角形？ 【答案】(1)不存在某一时刻使得的面积等于 (2)当为秒或6秒时，是以为斜边的直角三角形 【知识点】用勾股定理解三角形、动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了三角形的面积公式，勾股定理，一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）根据三角形的面积公式列出方程可得出答案． （2）用含的代数式分别表示图中各线段，在中，利用勾股定理可求出，同理，在中利用勾股定理也可以求出，联合起来，得到关于的一元二次方程，解即可，然后根据实际意义确定的值． 【详解】（1）解：不存在． 设出发秒时的面积等于． ， ， ， ， 原方程无实数根， 即不存在某一时刻使得的面积等于． （2）解：， ，，， 是以为斜边的直角三角形， ，即， 整理得， 解之得，， 即当为秒或6秒时，是以为斜边的直角三角形． 题型二十三 工程问题(一元二次方程的应用) 35．某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值． 【答案】(1)A型设备每小时铺设的路面110米 (2)18 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用)、工程问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，可得：，解方程即可解得答案； （2）根据A型设备铺的路+B型设备铺的路=5800列方程，解方程即可得答案． 【详解】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，则A型设备每小时铺设路面米，由题意得 ， 解得， 米， 所以A型设备每小时铺设的路面110米； （2）根据题意得：， 解得，（舍去）， 答：m的值是18． 【点睛】本题考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． 题型二十四 行程问题(一元二次方程的应用) 36．今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 【答案】(1)甲开车的平均速度是40千米/小时，步行的平均速度是4千米/小时 (2)的值为 【知识点】行程问题(一元二次方程的应用)、分式方程的行程问题 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用． （1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，利用时间路程速度，结合甲到达目的地共花了1小时，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出甲步行的平均速度，再将其代入中，即可求出甲开车的平均速度； （2）利用路程速度时间，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （千米小时）． 答：甲开车的平均速度是40千米小时，甲步行的平均速度是4千米小时； （2）根据题意得：， 即， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：的值为． 题型二十五 图表信息题(一元二次方程的应用) 37．一名跳水运动员进行跳台跳水训练，在正常情况下，运动员必须在距水面以前完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误．假设运动员起跳后的运动时间和运动员距离水面的高度满足关系：，那么他最多有多长时间完成规定动作？(结果保留根号) 【答案】 【知识点】图表信息题(一元二次方程的应用) 【分析】由题意可得，把函数值h=5直接代入关系式即可求得t的值，注意负值舍去． 【详解】解：由题意可知，将h=5代入关系式中， 得到：， 整理即：． 解得：，(负值舍去)， 答：运动员完成动作的时间最多不超过秒． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法及应用，关键是读懂题意，将距离水面的最大值h=5m代入函数关系式，就可以求出时间的最大值． 题型二十六 其他问题(一元二次方程的应用) 38．团体操是集体表演的体操项目，它和音乐、舞蹈、美术有密切的联系，打破学科壁垒，加强协同育人，全面提升学生素质．某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，若增加的行、列数相同，则增加了多少行? 【答案】增加了3行． 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设增加了x行，则增加的列数为x，用增加后的总人数−原队伍的总人数列出方程求解即可． 【详解】解：设增加了x行，则增加的列数为x， 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：增加了3行． 题型二十七 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 39．我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程得（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用每组安排比赛的场数=每组邀请球队数每组邀请球队数，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：， 故选：D． 40．某校九年级若干个班级组织一次足球比赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排场比赛，则九年级参赛的班级个数为 ． 【答案】 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设九年级参赛的班级有个，由题意列出方程，然后求解并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设九年级参赛的班级有个， 由题意得：， 解得：，（舍去）， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$