精品解析：上海市金山中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

2024-2025学年上海市金山中学高一年级下学期 5月月考数学试卷 2025.5 一､填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1. 已知集合，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】运用数轴法求集合的并运算. 【详解】 如图所示，则. 故答案为：. 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则__________. 【答案】5 【解析】 【分析】根据给定条件，求出复数及，再利用复数乘法运算求解. 【详解】由复数对应的点的坐标是，得， 所以. 故答案为：5 3. 不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据含绝对值三角不等式公式，即可判断. 【详解】，则不等式的解集为空集. 故答案为： 4. 已知向量与为一组基底，若与平行，则实数m＝________． 【答案】2 【解析】 【分析】由与平行，可得，据此可得答案. 【详解】因为向量与为一组基底，所以与不共线． 又因为与平行， 所以，，即． 因为与不共线，所以.所以实数m的值为2． 故答案为：2 5. 数列是以1为首项，3为公差的等差数列，则 ______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用等差数列的通项公式，求得，进而求得的值，得到答案. 【详解】因为数列是以1为首项，3为公差的等差数列， 可得，所以，所以. 故答案为：. 6. 若为第二象限角，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式得到关于的方程，解得即可. 【详解】，，解得或 为第二象限角，. 故答案为： 7. 在中，为线段的中点，E为线段的中点，若设，则可用表示为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的线性运算求解即可. 【详解】如图， 因为E为线段的中点，所以． 因为D为线段的中点，所以． 所以． 故答案为： 8. 已知是实系数一元二次方程的一个虚数根，且，若向量，则向量的取值范围为_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件一元二次方程根的特征可知，也是的虚数根，结合已知条件，利用根与系数之间的关系和判别式求出的取值范围，然后再利用向量的模长公式和一元二次函数性质即可求解. 【详解】不妨设，， 因为是实系数一元二次方程一个虚数根， 所以也是的一个虚数根， 从而 ①， 又因为无实根， 所以 ②， 由①②可得，， 因为，所以， 由一元二次函数性质易知， 当时，有最小值5；当时，；当时，， 故当时，，即， 故向量的取值范围为：. 故答案为：. 9. 已知函数和函数的图象关于轴对称，当函数和函数在区间上同时递增或者同时递减时，把区间叫做函数的“不动区间”，若区间为函数的“不动区间”，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意知，函数和函数在上单调性相同，由和单调性相反，可得在上恒成立，进而求出取值范围． 【详解】因为函数与的图象关于y轴对称， 所以, 因为为函数的“不动区间”， 所以函数和函数在区间上的单调性相同, 又因为和的单调性相反， 所以在上恒成立， 而在时，， 所以在上恒成立，所以， 故答案为：. 【点睛】已知函数单调性求参数的范围的常用方法， (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决． (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，然后数形结合求解． 10. 已知数列的前n项和为，若和均是公差不为0的等差数列，公差分别记作，，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的性质，结合的关系即可求解，代入即可求得解. 【详解】设， 故， 两式相减可得， 由于为公差的等差数列，故，结合，且，均不为0， 故， 所以，， 故，解得， 故， 故答案为： 11. 将函数和直线的所有交点从左到右依次记为，，…，，若，则____________. 【答案】10 【解析】 【分析】根据题意作出两个函数的图象分析交点个数，利用对称性化简向量的和即可求解. 【详解】如图可知：函数和直线共有5个交点，依次为，其中， ∵函数和直线均关于点对称，则关于点对称， ∴，且， 故. 故答案为：10. 12. 已知，且对任意的恒成立，则的最小值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】先根据题意转化为，再设，最后余弦定理求出取值范围. 【详解】由对任意的恒成立可知，， 由题意得， 设， 则， 作点关于直线的对称点，连接， 由题可知， 则， 在中，由余弦定理可得， 所以， 当且仅当三点共线时取等号， 则的最小值为. 故答案为：. 二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13､14题每题4分，第15､16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 已知为实数，则“”是“”的（ ）条件． A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D. 既非充分又非必要 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义以及对数函数的性质判断. 【详解】由或， 所以由推得出，故充分性成立， 由推不出，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A 14. 将函数（其中）的图象向右平移个单位，若所得图象与原图象重合，则不可能等于 A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意，所以，因此，从而，可知不可能等于． 15. 在中，角所对的边分别为，，，且，，则的最小值为（    ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直结合正、余弦定理可得，分析可知点在优弧上运动（不包括端点），结合数量积几何意义运算求解. 【详解】因为，，且， 则， 利用正弦定理可得， 整理可得， 由余弦定理可得， 且，则， 又因为，可得的外接圆半径为， 可知点在优弧上运动（不包括端点）， 过外接圆圆心作， 当点与点重合时，在方向上的投影最小， 此时 根据数量积的几何意义可知：的最小值为. 故选：D. 16. 设等差数列满足：且公差，若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的三角恒等变换化简已知的等式，根据公差的范围求出公差的值，代入前项和公式后利用二次函数的对称轴的范围求解首项取值范围． 【详解】， ， 即， 即， 即， 即， 所以， ，. ， 则. 由. 对称轴方程为， 由题意当且仅当时，数列的前项利取得最大值， ，解得：. 首项的取值范围是. 故选：D. 三､解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知复数满足为实数，为纯虚数，其中是虚数单位. （1）求实数，的值； （2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围. 【答案】（1）；；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据为实数，求得，利用复数的除法运算法则，化简，利用其为纯虚数，求得； （2）将所求值代入，确定出，根据其在复平面内对应的点在第四象限，列出不等式组，求得结果. 【详解】（1）因为为实数，所以， 因为为纯虚数， 所以． （2），，所以， 因为复数在复平面内对应的点在第四象限， 所以，解之得． 【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，复数的分类，复数在复平面内对应点的位置，属于简单题目. 18. 函数 （1）当时，是否存在实数c，使得为奇函数； （2）若函数过点，且函数图像与轴负半轴有两个不同交点，求实数a的取值范围. 【答案】（1）不存在 （2）且 【解析】 【分析】（1）将代入得，先考虑其定义域，再假设为奇函数，得到方程无解，从而得以判断； （2）先半点代入求得，从而得到，再利用二次函数的根的分布得到关于的不等式组，解之可得，最后再考虑的情况，从而得到的取值范围. 【小问1详解】 当时，，定义域为， 假设为奇函数，则， 而，则，此时无实数满足条件， 所以不存在实数，使得函数为奇函数； 【小问2详解】 图像经过点，则代入得，解得， 所以，定义域为， 令，则的图像与轴负半轴有两个交点， 所以，即，解得， 若，即是方程的解， 则代入可得，解得或. 由题意得，所以实数取值范围是且. 19. 某城市平面示意图为四边形（如图所示），其中内的区域为居民区，内的区域为工业区，为了生产和生活的方便，现需要在线段和线段上分别选一处位置，分别记为点和点，修建一条贯穿两块区域的直线道路，线段与线段交于点，段和段修建道路每公里的费用分别为10万元和20万元，已知线段长2公里，线段和线段长均为6公里，，，设. （1）求修建道路的总费用（单位：万元）与的关系式（写出的范围）； （2）求修建道路的总费用的最小值. 【答案】（1） （2）80 【解析】 【分析】（1）根据题意结合正弦定理可得，，进而可得解析式； （2）利用三角恒等变换整理可得，换元令，结合函数单调性求最值. 【小问1详解】 由题意可知：， 所以， 在中，， 在巾，， 由正弦定理可得，即， . 【小问2详解】 由（1）可得 ， 令， 在区间上单调递增，所以当，即时取最大值1， 取最小值80，此时， 所以修道路总费用的最小值为80万元. 20. 如图所示，点是所在平面上一点，并且满足，已知. （1）若实数，求证：； （2）若是的外心，求的值； （3）如果是的平分线上某点，则当达到最小值时，求. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用平面向量加法几何意义，结合共线向量的性质进行证明即可； （2）根据三角形外心的性质，结合平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可； （3）根据三角形内心的性质，结合平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可. 【小问1详解】 时，， ， . 【小问2详解】 设的中点为，显然， ， 由， 设的中点为，显然， ， 由， 即； 【小问3详解】 是的平分线上某点， ， ， ，当且仅当，即时取最小值， 所以， . 21. 对于定义域为的函数，若存在实数使得对任意恒成立，则称函数具有性质. （1）判断函数与是否具有性质，若具有性质，请写出一个的值，若不具有性质，请说明理由； （2）若函数具有性质，且当时，，解不等式； （3）已知函数，对任意，恒成立，若由“具有性质”能推出“恒等于”，求正整数的取值的集合. 【答案】（1）不具有性质，理由见解析；具有性质，（只要满足即可） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据可知不具有性质；当时，结合诱导公式可知，可得具有性质； （2）由可推导得到是以为周期的周期函数；分别在和的情况下，解不等式，根据周期性可得到结论； （3）由可知只需研究的情况；当、、和时，通过反例可知不合题意；当、和时，结合可推导得到，由此可得取值集合. 【小问1详解】 不具有性质，理由如下： 对于任意实数，，即， 不具有性质； 具有性质， 若，则； 的一个取值为（只要满足即可）. 【小问2详解】 由得：，， 是以为周期的周期函数； 当时，，不等式无解； 当时，，则， ，解得：； 综上所述：当时，的解集为； 的解集为. 【小问3详解】 ，，则只需研究的情况； ①当时， 令且对于任意恒成立， 此时满足，并具有性质，但不恒等于； ②当时，；当时，；当时，； 令且对于任意恒成立， 此时满足，并具有性质，但不恒等于； ③当时，，，，满足题意； ④当时，，， ，又，，， 则，，满足题意； ⑤当时，，， ，又，，， 则，，满足题意； 综上所述：当时，满足题意的的取值集合为， 满足题意的正整数的取值的集合为. 【点睛】关键点睛：本题考查函数中的新定义运算问题；解题关键是能够根据已知抽象函数关系式推导得到函数的周期性，进而根据周期性可将所研究的问题转化为一个周期内的函数关系式的求解问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上海市金山中学高一年级下学期 5月月考数学试卷 2025.5 一､填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1. 已知集合，，则______. 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则__________. 3. 不等式的解集为__________. 4. 已知向量与一组基底，若与平行，则实数m＝________． 5. 数列是以1为首项，3为公差的等差数列，则 ______. 6. 若为第二象限角，，则______． 7. 在中，为线段的中点，E为线段的中点，若设，则可用表示为_____________． 8. 已知是实系数一元二次方程的一个虚数根，且，若向量，则向量的取值范围为_________ 9. 已知函数和函数的图象关于轴对称，当函数和函数在区间上同时递增或者同时递减时，把区间叫做函数的“不动区间”，若区间为函数的“不动区间”，则实数的取值范围是_______. 10. 已知数列前n项和为，若和均是公差不为0的等差数列，公差分别记作，，且，则__________． 11. 将函数和直线所有交点从左到右依次记为，，…，，若，则____________. 12. 已知，且对任意的恒成立，则的最小值为__________. 二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13､14题每题4分，第15､16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 已知为实数，则“”是“”的（ ）条件． A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D. 既非充分又非必要 14. 将函数（其中）的图象向右平移个单位，若所得图象与原图象重合，则不可能等于 A. 0 B. C. D. 15. 在中，角所对的边分别为，，，且，，则的最小值为（    ）. A. B. C. D. 16. 设等差数列满足：且公差，若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三､解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知复数满足为实数，为纯虚数，其中虚数单位. （1）求实数，的值； （2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围. 18. 函数 （1）当时，否存在实数c，使得为奇函数； （2）若函数过点，且函数图像与轴负半轴有两个不同交点，求实数a的取值范围. 19. 某城市平面示意图为四边形（如图所示），其中内的区域为居民区，内的区域为工业区，为了生产和生活的方便，现需要在线段和线段上分别选一处位置，分别记为点和点，修建一条贯穿两块区域的直线道路，线段与线段交于点，段和段修建道路每公里的费用分别为10万元和20万元，已知线段长2公里，线段和线段长均为6公里，，，设. （1）求修建道路的总费用（单位：万元）与的关系式（写出的范围）； （2）求修建道路的总费用的最小值. 20. 如图所示，点是所在平面上一点，并且满足，已知. （1）若实数，求证：； （2）若是的外心，求的值； （3）如果是的平分线上某点，则当达到最小值时，求. 21. 对于定义域为的函数，若存在实数使得对任意恒成立，则称函数具有性质. （1）判断函数与是否具有性质，若具有性质，请写出一个的值，若不具有性质，请说明理由； （2）若函数具有性质，且当时，，解不等式； （3）已知函数，对任意，恒成立，若由“具有性质”能推出“恒等于”，求正整数的取值的集合. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $