精品解析：上海市青浦区2024-2025学年下学期七年级期末数学试卷(1)

2024学年第二学期七年级期终学情调研 数学试卷 （时间90分钟，满分100分） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共26题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题2分，满分12分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，请选择正确项的代号并填涂在[M]（线的相应位置上] 1. 已知，下列各式中正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 一个底面半径为，高为的圆柱的表面积是（　　） A B. C. D. 3. 如图，下列能判断的条件是（　　） A. B. C. D. 4. 下列各组线段中，能组成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 1，2，4 D. 1，1，2 5. 用反证法证明“已知：在中，，求证：”时，应先假设（　　） A. B. C. D. 6. 如图，三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的三角形为格点三角形．那么图中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是（　　） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 二、填空题：（本大题共12题，每题3分，满分36分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】 7. 的2倍减去3的差不小于4，用不等式表示为___________． 8. 不等式组的整数解是___________． 9. 已知，关于的不等式的解集是___________． 10. 现有一个长为，宽为长方形，将该长方形绕着它的长所在的直线旋转一周，得到的圆柱的体积是___________．（结果保留） 11. 已知一个圆锥形零件的底面积是，高是，那么这个零件的体积是___________． 12. 如图，已知三点共线，连接，如果，那么度数为___________． 13. 如图，已知，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是___________．（写出一个即可） 14. 把的中线延长到点，使，连接，如果，的周长比的周长大2，那么___________． 15. 如图，点为内一点，平分，，连接，如果的面积为，那么的面积为___________．（用含的式子表示） 16. 在中，，将绕着点旋转，点恰好落在边上的点处，点落在点处，那么___________度． 17. 将一副三角尺如图1所示摆放，分别在直线上，，直线．现将三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图2，设时间为秒，当时，如果边与三角尺的一条直角边平行（旋转过程中三角尺任意两边所在的直线不重合），那么所有满足条件的的值为___________． 18. 在中，，点是边上一点，且（如图）．将折叠，使点与点重合，折痕分别交边于点，点是线段上一点，连接，那么周长的最小值为___________． 三、解答题：（本大题共8题，满分52分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸上】 19. 解不等式组：，并将该不等式组的解集在数轴上表示出来． 20. 如图，已知圆锥形石膏像的底面直径，母线长，求它的表面积（结果保留）和侧面展开图的圆心角． 21. 如图，已知，求的度数． 22. 如图，在中，，过点作，且，过点作，垂足为点，求线段的长． 23. 已知：如图，在中，点在边上，．求证：． 24. 一件商品的成本是50元． （1）如果售价是58元，那么盈利率是多少？ （2）如果按原价的八五折销售，至少可获得10%的利润；如果按原价的九折销售，能获得不足20%的利润，那么商品的原价（正整数）是多少元？ 25. 已知：如图，分别以的两条直角边为边作等边三角形和等边三角形，连接，且点在线段上． （1）求证：； （2）求证：． 26. 在中，的垂直平分线分别交边、边和直线于点，连接． （1）点在延长线上， ①如图，求证：； ②如图，当时，求的周长； （2）当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第二学期七年级期终学情调研 数学试卷 （时间90分钟，满分100分） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共26题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题2分，满分12分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，请选择正确项的代号并填涂在[M]（线的相应位置上] 1. 已知，下列各式中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，解题的关键是熟练运用不等式的基本性质对各选项进行分析判断． 根据不等式的基本性质，逐一分析每个选项，判断其正确性． 【详解】解：A、当时，满足，但，此时，所以仅由不能得出，该选项错误； B、不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变．因为，两边同时乘3，应该是，而不是，该选项错误； C、因为，移项可得，而不是，该选项错误； D、不等式两边先同时乘，不答号方向改变，由可得；再在两边同时加1，不答号方向不变，即，该选项正确． 故选：D． 2. 一个底面半径为，高为的圆柱的表面积是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆柱的表面积计算．根据圆柱的表面积由两个底面的面积和侧面积组成，利用公式计算即可． 【详解】解：∵圆柱的底面半径为，高为， ∴两个底面面积为 圆柱的侧面积是， ∴底面积与侧面积之和为， 故选：A． 3. 如图，下列能判断的条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定定理，关键在于找准两个角之间的位置关系． 先确定两角的位置关系，再直接利用平行线的判定进行逐一判断即可． 【详解】解：A、，这两个角不是同位角、内错角或同旁内角的关系，不能判定． B、，此时可判定（内错角相等，两直线平行），不能判定． C、与是内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可以判定． D、，不能判定． ∴能判断的条件是， 故选：C． 4. 下列各组线段中，能组成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 1，2，4 D. 1，1，2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边之间关系，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．根据三角形三边之间的关系，逐个判断即可． 详解】解：A、∵，∴1，2，3不能组成三角形； B、∵，∴2，3，4能组成三角形， C、∵，∴1，2，4不能组成三角形， D、∵，∴1，1，2不能组成三角形， 故选：B． 5. 用反证法证明“已知：在中，，求证：”时，应先假设（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须——否定． 根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】反证法证明命题：在中，，求证：， 第一步应先假设， 故选：B． 6. 如图，三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的三角形为格点三角形．那么图中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是（　　） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，按公共边的不同情况分类寻找全等格点三角形． 分别以、、为公共边，依据全等三角形判定条件，找出与全等的格点三角形，统计数量． 【详解】如图： 共7个点符合， 故选：C． 二、填空题：（本大题共12题，每题3分，满分36分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】 7. 的2倍减去3的差不小于4，用不等式表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了列一元一次不等式，正确的列出不等式是解题关键．根据题意列出不等式，即可求解． 【详解】解：依题意： 故答案为：． 8. 不等式组的整数解是___________． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出正整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的正整数解为， 故答案为：． 9. 已知，关于的不等式的解集是___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一元一次不等式的解法，要注意系数化为1时，因为，所以不等式的方向要改变．把系数化为1，即可求出答案． 【详解】解：， ∵， ∴， 故答案为：． 10. 现有一个长为，宽为的长方形，将该长方形绕着它的长所在的直线旋转一周，得到的圆柱的体积是___________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是圆柱的形成，圆柱的体积的计算，画出长为旋转轴旋转后的圆柱，再利用圆柱的体积公式计算即可．掌握立体图形的认识是解题的关键． 【详解】解：如图，以长为旋转轴旋转后得到的圆柱的体积为： ． 故答案为：． 11. 已知一个圆锥形零件的底面积是，高是，那么这个零件的体积是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆锥的体积，根据圆锥的体积公式计算，即可求解． 【详解】解：这个零件的体积是 故答案为：． 12. 如图，已知三点共线，连接，如果，那么的度数为___________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质及三角形的外角的性质，根据三角形的外角的性质可得，进而根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 如图，已知，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是___________．（写出一个即可） 【答案】（或或） 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴即 又∵ 当时， 当时， 当时， 故答案为：或或． 14. 把的中线延长到点，使，连接，如果，的周长比的周长大2，那么___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形中线的定义，根据题意得出，进而证明得出，即可求解． 【详解】解：如图 ∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长大2， ∴， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为：． 15. 如图，点为内一点，平分，，连接，如果的面积为，那么的面积为___________．（用含的式子表示） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质；延长交于点，证明得出，进而根据三角形中线的性质，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∵的面积为， ∴的面积为 故答案为：． 16. 在中，，将绕着点旋转，点恰好落在边上的点处，点落在点处，那么___________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，根据题意得出旋转角为，即可求解． 【详解】解：如图 ∵， ∴， ∵将绕着点旋转，点恰好落在边上的点处， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 将一副三角尺如图1所示摆放，分别在直线上，，直线．现将三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图2，设时间为秒，当时，如果边与三角尺的一条直角边平行（旋转过程中三角尺任意两边所在的直线不重合），那么所有满足条件的的值为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，先根据题意画出旋转后的图形，由已知条件，利用平行线的旋转，求出旋转角之间的关系，列出方程解答即可．解题关键是根据题意，画出旋转后的图形． 【详解】解：由题意得：，， （1）当时， 如图所示：延长交于点， ①上方， ，，， ， ， ， ， ， 即， 解得：； ②在下方时，， ，，， ， ， ， ， ， 即， 解得：（舍去）； 如图：当时，延长交于点， ①在上方，度， ，， ， ， ， ， ， 即，解得：； ②在下方，度， ，，， ， ， ， ， ， 即，解得：（舍去）， 综上可知：所有满足条件的的值为：或， 故答案为：或． 18. 在中，，点是边上一点，且（如图）．将折叠，使点与点重合，折痕分别交边于点，点是线段上一点，连接，那么周长的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，折叠的性质，垂直平分线的性质，先证明是等边三角形，根据垂直平分线的性质可得，在上时，取得最小值，进而根据三角形的周长公式计算即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴ ∵是折痕，点与点重合， ∴垂直平分， ∵点是线段上一点， ∴ ∴在上时，取得最小值， 即周长最小值为： 故答案为：． 三、解答题：（本大题共8题，满分52分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸上】 19. 解不等式组：，并将该不等式组的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．先求出两个不等式的解集，再求其公共解，再在数轴上画出来即可． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： 在数轴上表示如下： 20. 如图，已知圆锥形石膏像的底面直径，母线长，求它的表面积（结果保留）和侧面展开图的圆心角． 【答案】表面积为；侧面展开图的圆心角为 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，根据圆的面积，圆锥的侧面积公式以及根据弧长的公式进行计算，即可求解． 【详解】解：∵圆锥形石膏像的底面直径，母线长， ∴表面积为： 根据弧长的公式得到：， 解得度． 侧面展开图的圆心角为度． 21. 如图，已知，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，根据得出，结合已知可得，即可证明，根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴． 22. 如图，在中，，过点作，且，过点作，垂足为点，求线段的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，证明，得出，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 23. 已知：如图，在中，点在边上，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，作于点，由等腰三角形的性质可得，再证明，即可得证，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】证明：作于点， ， ， ∵ ∴ ∴ ∴即． 24. 一件商品的成本是50元． （1）如果售价是58元，那么盈利率是多少？ （2）如果按原价的八五折销售，至少可获得10%的利润；如果按原价的九折销售，能获得不足20%的利润，那么商品的原价（正整数）是多少元？ 【答案】（1） （2）或元 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的运算以及一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组解题的关键． （1）根据盈利率等于售价减去成本再比上成本，即可求解； （2）设商品原价（正整数）是元，根据题意列出一元一次不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：， 答：如果售价是58元，那么盈利率是． 【小问2详解】 解：设商品的原价（正整数）是元，根据题意得， ， 解得：， ∵是正整数，则或， 答：商品的原价（正整数）是或元． 25. 已知：如图，分别以的两条直角边为边作等边三角形和等边三角形，连接，且点在线段上． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质及全等三角形的判定，掌握等边三角形的性质及全等三角形的判定是解题关键． （1）根据等边三角形的性质得出，，进而证明，即可得证； （2）根据等边三角形的性质以及三角形内角和定理得出，即可证明，根据等边三角形的性质可得，即可证明垂直平分，即可得证． 【小问1详解】 证明：∵是等边三角形， ∴， ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 ∵是直角三角形，为直角边， ∴ ∵是等边三角形，则， ∴， 由（1）可得 ∴ ∵是等边三角形， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴垂直平分 ∴． 26. 在中，的垂直平分线分别交边、边和直线于点，连接． （1）点在的延长线上， ①如图，求证：； ②如图，当时，求的周长； （2）当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 【答案】（1）①见解析；② （2）或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用； （1）①根据三角形内角和定理分别表示出，即可得证； ②证明是等边三角形，根据等边三角形的性质，即可求解； （2）分三种情况讨论，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，求解即可． 【小问1详解】 ①证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； ②∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴是等边三角形， ∴的周长为； 【小问2详解】 解：设 当时， ∵ ∴ ∴ ∵是的垂直平分线， ∴， ∴ ∴ 在中，即 解得：，即； 当时，， 同理可得， ∴， 解得：，即； 当时，， 如图， 在中， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得：（舍去） ∴此情形不存在， 综上所述，当是等腰三角形时，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$