精品解析：云南省临沧地区中学2024-2025学年高二下学期5月月考数学试卷

2024-2025学年临沧地区中学高二（下）5月月考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. 127 B. 128 C. 255 D. 256 3. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知航天员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飞行、飞行跳伞、着陆冲击五项.若这五项测试每天进行一项，连续5天完成，且超重耐力和失重飞行不能安排在相邻两天测试，则选拔测试的安排方案有（ ） A 36种 B. 48种 C. 60种 D. 72种 5. 已知函数与存在公切线，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽粒，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．如图，三角形是底边和腰长分别为和的等腰三角形的纸片，将它沿虚线（中位线）折起来，可以得到如图所示粽子形状的四面体，若该四面体内包一蛋黄（近似于球）.则蛋黄的半径的最大值为（ ）. A. B. C. D. 7. 已知数列满足，，则的最小值为（ ） A. B. C. 7 D. 8. 已知正实数x，y满足，则（ ） A 2 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 2023年国外某智库发布《尖端技术研究国家竞争力排名》的报告，涵盖了超音速、水下无人潜航器、量子技术、人工智能、无人机等二十多个领域．报告显示，中国在其中19个领域处于领先．某学生是科技爱好者，打算从这19个领域中选取A，B，C，D，E这5个领域给班级同学进行介绍，每天随机介绍其中一个领域，且每个领域只在其中一天介绍，则下列结论中正确的是（ ） A. A，B都在后3天介绍的方法种数为36 B. A不在第一天，B不在最后一天介绍的方法种数为92 C. A，B相隔一天介绍方法种数为36 D. A在B，C之前介绍的方法种数为40 10. 对于一个方格图，定义“连续完美分割”：当且仅当其可被互不重叠的四个形状相同的区域分割，且每个区域各相邻最小正方形有一条边重合，同时恰含有个和个．给出下列方格图，可“连续完美分割”的是（ ） A B. C. D. 11. 已知定义在上的奇函数连续，函数的导函数为.当时，，其中为自然对数的底数，则（ ） A. 当时， B. 在上有且只有1个零点 C. D. 在上为增函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数为纯虚数，其中为虚数单位，则实数________. 13. 用种不同颜色的粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的粉笔，则该板报共有______种不同的书写方案． 14. 已知函数，，设.若在上恒成立，则实数的取值范围为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知一个不透明的盒中有个小球（小球除编号不同外其余均相同），这个小球的编号分别为1，2，3，…，（，）．现进行如下摸球活动： （1）若，从盒中一次性摸取2个小球，求这2个小球编号不相邻的概率； （2）如果摸球前约定“固定重叠原则”：即随机摸取盒中个小球（，），记录编号后放回，再重复以上操作一次，记这两次操作中被重复摸取的小球数为． （ⅰ）若，，求概率； （ⅱ）求使概率取得最大值时m的值． 16. 已知函数，. （1）若，求图象在点处的切线方程； （2）若函数在上的最小值是，求的值. 17. 设等差数列的公差为，记是数列的前项和，若，. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，求证：. 18. 已知函数，其中为正整数. （1）当时，求在上极值点； （2）当时，记数列，有限数列是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前100项和（化成最简形式）. 19. 类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数.已知复变函数，且，. （1）当时，解关于的方程：. （2）当时，①若，求的最小值. ②若存在实部不为5，虚部不为12的虚数和实数，使得恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年临沧地区中学高二（下）5月月考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出，代值计算可得出的值. 【详解】因为，则，故. 故选：B. 2. 已知，则（ ） A. 127 B. 128 C. 255 D. 256 【答案】B 【解析】 【分析】分别令和，两式相加即可求解. 【详解】令得，； 令可得，； 两式相加可得，，所以， 故选：B. 3. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据数列前项和与的关系，对各选项逐一进行分析判断. 【详解】当时，；当时，. 仅知道，无法确定的大小，也就不能确定的正负. 例如数列为，，，但，所以选项错误.  当时，，则；当时，. 仅知道，无法确定的大小，也就不能确定的正负. 例如数列为，，，， 当时，，所以选项错误.  当时，，由可得，但不能得出； 当时，即，可得，同样无法得出. 例如数列，，满足，但，所以选项错误.  已知，当时，，即； 当时，； ，由可得，那么，所以，即，选项正确.  故选：D. 4. 已知航天员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飞行、飞行跳伞、着陆冲击五项.若这五项测试每天进行一项，连续5天完成，且超重耐力和失重飞行不能安排在相邻两天测试，则选拔测试的安排方案有（ ） A. 36种 B. 48种 C. 60种 D. 72种 【答案】D 【解析】 【分析】先安排前庭功能、飞行跳伞、着陆冲击，再由插空法安排超重耐力和失重飞行，由分步乘法计数原理即可得出答案. 【详解】先安排前庭功能、飞行跳伞、着陆冲击这共有种方法， 再安排超重耐力和失重飞行，共有种方法， 一共有种方法. 故选：D. 5. 已知函数与存在公切线，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出两切点，由导数的意义求出切线方程，转化为方程组有解问题，消去后构造函数，求导分析单调性可得最值. 【详解】设公切线与函数及函数的切点分别为，，且，， 故两切线方程为，， 即，， 与存在公切线，所以有解，消去后得：， 令，， 易得在上单调递增，且时，；时，， 故在区间上递减，在上递增． 所以，的最小值为，即的最小值为，即实数的最小值为． 故选：B． 6. 农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽粒，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．如图，三角形是底边和腰长分别为和的等腰三角形的纸片，将它沿虚线（中位线）折起来，可以得到如图所示粽子形状的四面体，若该四面体内包一蛋黄（近似于球）.则蛋黄的半径的最大值为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将三棱锥放入长方体中，三棱锥的各边为长方体的面对角线，计算出三棱锥的体积与表面积，结合等体积法可求出其内切球的半径. 【详解】如图所示，对折叠之前的平面图形中各点进行标记，同时将折叠后的几何体置于长方体中. 设长方体的长宽高分别为、、， 则，解得， 四面体体积为， 在中，，同理可得， 由余弦定理可得， 所以， 所以， 四面体的表面积为, 设内切球半径，则，所以， 所以蛋黄半径的最大值为. 故选：B. 7. 已知数列满足，，则的最小值为（ ） A. B. C. 7 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题中等式变形得出，由累加法求出数列的通项公式，利用对勾函数的单调性可求出的最小值. 【详解】因数列满足，，即， 当时，则有， 所以，，，， 上述等式全部相加得， 所以， 也满足，故对任意的，， 所以， 由对勾函数单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为，因为，，故， 所以的最小值为. 故选：B. 8. 已知正实数x，y满足，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设、，利用导数分别研究两个函数的性质可得当时，即可求解. 【详解】设，则， 令， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以； 设，则， 令， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以. 所以当时，，即， 此时. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 2023年国外某智库发布《尖端技术研究国家竞争力排名》的报告，涵盖了超音速、水下无人潜航器、量子技术、人工智能、无人机等二十多个领域．报告显示，中国在其中19个领域处于领先．某学生是科技爱好者，打算从这19个领域中选取A，B，C，D，E这5个领域给班级同学进行介绍，每天随机介绍其中一个领域，且每个领域只在其中一天介绍，则下列结论中正确的是（ ） A. A，B都在后3天介绍的方法种数为36 B. A不在第一天，B不在最后一天介绍的方法种数为92 C. A，B相隔一天介绍的方法种数为36 D. A在B，C之前介绍的方法种数为40 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，在后3天中选择2天，将和剩余的3天进行全排列，相乘后得到A正确；B选项，分在最后一天进行介绍和不在最后一天进行介绍两种情况，求出方法数相加后得到答案；C选项，采取插空和捆绑法进行求解；D选项，倍缩法进行求解. 【详解】A选项，在后3天中选择2天，有种选择， 再将和剩余的3天进行全排列，有种选择， 故有种方法数，A正确； B选项，若在最后一天进行介绍，则将剩余4个领域进行全排列，有种方法， 若不在最后一天进行介绍，从3天中选择1天安排， 再从除了最后一天的剩余3天中选择1天安排，有种选择， 最后将剩余的3个领域和3天进行全排列，有种选择， 则此时有种选择， 综上，不在第一天，不在最后一天介绍的方法种数为，故B错误； C选项，先把进行全排列，再从选择1个放在之间，有种方法， 再将这三个领域捆绑，和剩余的两个领域进行全排列，共有种选择， 综上，共有种方法数，故C正确； D选项，进行全排列，共有种方法， 将进行全排列，共有种方法，其中在，之前的有2种， 故120种排列中，在，之前的有种，故D正确. 故选：ACD. 10. 对于一个方格图，定义“连续完美分割”：当且仅当其可被互不重叠的四个形状相同的区域分割，且每个区域各相邻最小正方形有一条边重合，同时恰含有个和个．给出下列方格图，可“连续完美分割”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】列举出符合条件的“连续完美分割”图，结合“连续完美分割”的定义逐项判断即可. 【详解】ACD可“连续完美分隔”如图： 对于B，对于的方格，其可行的“连续完美分割”，仅有以下种情形或其旋转图形， 经验证，符合条件的分割方式不存在． 故选：ACD. 11. 已知定义在上的奇函数连续，函数的导函数为.当时，，其中为自然对数的底数，则（ ） A. 当时， B. 在上有且只有1个零点 C. D. 在上为增函数 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先根据原不等式进行化简，构造一个新函数，判断新函数的单调性、奇偶性等性质，然后逐一判断每个选项正确与否. 【详解】， 即， 因为时，所以. 即，即单调递增， 又为奇函数且在上连续，为偶函数且恒正， 故为奇函数在上连续，且单调递增， 对于选项A： 时，，所以A错误. 对于选项B： 为奇函数在上连续，且单调递增， 所以仅一解为，在上恒成立， 故在上有且只有1个零点为，故B正确. 对于C： 因为在上单调递增， 则，所以C正确. 对于选项D： 因为为奇函数且连续， 所以为上的奇函数且连续，故只需考虑在上的单调性， 当时，且，且 故，则在上单调递增， 故在上为增函数，所以D正确. 故选：. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数为纯虚数，其中为虚数单位，则实数________. 【答案】 【解析】 【分析】先化简复数，再根据其实部为零虚部不为零，即可求得参数. 【详解】为纯虚数， ，， 故答案为：. 13. 用种不同颜色的粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的粉笔，则该板报共有______种不同的书写方案． 【答案】 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理进行求解即可. 【详解】完成工作可分四步： 第一步，“英语角”用的粉笔颜色有种不同的选法； 第二步，“语文学苑”用的粉笔颜色不能与“英语角”用的粉笔颜色相同，有种不同的选法； 第三步，“理综世界”用的粉笔颜色与“英语角”和“语文学苑”用的粉笔颜色都不相同，有种不同的选法； 第四步，“数学天地”用的粉笔颜色只要与“理综世界”用的粉笔颜色不同即可，有种不同的选法． 由分步乘法计数原理知，该板报共有种不同的书写方案． 故答案为：． 14. 已知函数，，设.若在上恒成立，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用去绝对值可得，利用在恒成立，从而转化为只需要分析在上恒成立，再利用同构思想，可得到，最后利用分离参变量思想即可求出的范围. 【详解】当时，，当时，， 则， 当在上恒成立，则， 也就是说此时在必然恒成立， 则只需要在上恒成立， 则有， 构造，则， 所以在上是增函数， 而， 则有， 又构造，则， 当时，，则在单调递增， 当时，，则在单调递减， 即，即， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：首先把复杂转化为，再利用当在上恒成立，又把问题转化为在上恒成立，再利用同构思想，又转化为恒成立，最后利用分离参变量求出参数的范围. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知一个不透明的盒中有个小球（小球除编号不同外其余均相同），这个小球的编号分别为1，2，3，…，（，）．现进行如下摸球活动： （1）若，从盒中一次性摸取2个小球，求这2个小球编号不相邻的概率； （2）如果摸球前约定“固定重叠原则”：即随机摸取盒中个小球（，），记录编号后放回，再重复以上操作一次，记这两次操作中被重复摸取的小球数为． （ⅰ）若，，求概率； （ⅱ）求使概率取得最大值时m的值． 【答案】（1）； （2）（ⅰ）；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）先找出编号相邻的情况有4种.用组合数算出从5个里选2个的总情况数，再用1减去编号相邻的概率，就得到不相邻概率. （2）（i）运用古典概型，结合组合数计算得到概率. （ii）先确定“”的事件总数，再得出表达式.通过与1比较大小，得到的范围.比较和、大小.最后根据能否被整除，得出取最大值时的值.当时，也符合不能整除的情况. 小问1详解】 编号相邻的可能有“1，2”、“2，3”、“3，4”、“4，5”四种可能，所以2个小球编号不相邻的概率为． 【小问2详解】 （ⅰ）． （ⅱ）当时，整数m满足，其中为0和的较大者，即． “”所包含的事件总数为， ∴， 设， ． 令． ①当时，（比较与k大小） ②当时，（比较与大小） ∴． 则当能被整除即时，在或处达到最大值： 当不能被整除即时，在（表示不超过x的最大整数）． 当时，只能取，此时符合上述不能被整除的情况． 综上：使概率取得最大值时． 16. 已知函数，. （1）若，求图象在点处的切线方程； （2）若函数在上的最小值是，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）求导，分，结合区间讨论函数的单调性，进而即可. 【小问1详解】 当时，， 则，则，又， 所以函数在点处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 由，， 则， 当时，，则函数在上单调递增， 此时函数在上没有最小值，不符合题意； 当时，由，得，由，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 若，即时，函数在上单调递减， 此时函数在上没有最小值，不符合题意； 若，即时，函数在上单调递增， 此时函数在上没有最小值，不符合题意； 若，即时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 则，解得. 综上所述，． 17. 设等差数列的公差为，记是数列的前项和，若，. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，求证：. 【答案】（1）或； （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）应用等差数列通项公式及等差数列求和公式基本量运算求解； （2）根据裂项相消计算求和结合不等式的性质证明. 【小问1详解】 由，，得，解得， 由，，所以，所以或， 当时，此时； 当时，此时； 综上可得数列的通项公式为或； 【小问2详解】 因为，所以，， 则， 所以 所以 18. 已知函数，其中为正整数. （1）当时，求在上极值点； （2）当时，记数列，有限数列是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前100项和（化成最简形式）. 【答案】（1）极大值点为，极小值点为； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题设，对函数求导并研究其区间单调性，进而确定其极值点； （2）由题设得，则，再由等差数列定义有，最后应用倒序求和及二项式定理求结果. 【小问1详解】 ， 令，解之得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递增； 故的极大值点为，极小值点为； 【小问2详解】 ， 故，则， 又是首项为1，公差为2的等差数列，故， 则，其中， ， 则考虑， 则， 则， ，故， 故. 19. 类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数.已知复变函数，且，. （1）当时，解关于的方程：. （2）当时，①若，求的最小值. ②若存在实部不为5，虚部不为12的虚数和实数，使得恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）由题设得，将方程化为求解即可； （2）①令（，且），进而得到，且，结合求最值；②令（且，，），进而得到得代数形式，结合复数的性质有，进而有，即可得范围. 【小问1详解】 当时，，则. 由，整理得，则； 【小问2详解】 ①令（，且），因为，所以. ， 因为，所以. 因为，当时，. ②当时 令（且，，）， 则 ， 要使的恒成立，所以，即， 所以，则对应点在以为圆心，1为半径的圆周上(不含横坐标为5，纵坐标为12的点)， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$