精品解析：云南省保山市腾冲市第八中学2024-2025学年高二下学期6月月考数学试题

腾冲市第八中学2024--2025学年下学期高二年级6月月考 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第4页至第6页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 如果，那么下列说法正确是（ ） A. B. C. D. 3. 关于x的一元二次方程ax2－4x－1＝0有实数根，则a满足（ ） A. a≥-4且a≠0 B. a＞4且a≠0 C. a≥4 D. a≠0 4. 已知等差数列的前项和为，，则（ ） A 880 B. 440 C. 220 D. 110 5. 下列“若，则”形式的命题中，是的必要条件的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 五本不同的书分给三人，其中有一人只分得一本，其他两人各得两本，则不同的分法有（ ） A 180种 B. 90种 C. 60种 D. 30种 7. 已知函数，，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在R上的奇函数，当时，，若函数是偶函数，则下列结论不正确的为（ ） A. B. 的最小正周期 C. 有4个零点 D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 若，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知正态分布的正态密度曲线如图所示，，则下列选项中，能表示图中阴影部分面积的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数及其导函数定义域均为，记，且，，则（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. D. （） 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数在上的单调递增区间为___________． 13. 已知数列满足，，若对任意，，不等式恒成立，则的取值范围为______. 14. 曲线在点处的切线与轴的交点横坐标为，，则下列命题叙述正确的是______（写出正确的序号） ①数列为等差数列；②；③数列的前项和小于2. 四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 通过市场调查发现：某产品生产需投入年固定成本3万元，每生产万件，需要额外投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不少于万件时，（万元）.已知每件产品售价元，且生产的产品在当年可全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （2）当年产量为多少万件时，生产销售该产品所获利润最大？最大利润是多少？ （注：若，当且仅当时等号成立） 16. 甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表： 一级品 二级品 合计 甲机床 150 50 200 乙机床 120 80 200 合计 270 130 400 （1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？ （2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？ 17. 记为数列的前项和，已知的等差中项为. （1）求证为等比数列； （2）数列的前项和为，是否存在整数满足？若存在求，否则说明理由. 18. 书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日，某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示. （1）若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，求； （2）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望. 附参考数据：若，则①；②；③ 19. 已知函数． （1）若，求函数在点处的切线方程； （2）若函数的两个零点分别为，，且，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 腾冲市第八中学2024--2025学年下学期高二年级6月月考 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第4页至第6页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数型函数的定义域及指数函数值域分别可得两集合，进而利用交集和并集运算判断各选项. 【详解】由对数型函数的定义域可知，，即， 又，则，所以，则，， 故选：D. 2. 如果，那么下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】举反例排除ABC，利用不等式的性质判断D，从而得解. 【详解】对于AB，当时，，，故AB错误； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：D. 3. 关于x的一元二次方程ax2－4x－1＝0有实数根，则a满足（ ） A. a≥-4且a≠0 B. a＞4且a≠0 C. a≥4 D. a≠0 【答案】A 【解析】 【分析】满足且即可. 【详解】因为关于x的一元二次方程ax2－4x－1＝0有实数根， 则，解得且. 故选：A. 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况，属于基础题. 4. 已知等差数列的前项和为，，则（ ） A. 880 B. 440 C. 220 D. 110 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的项的性质和求和公式计算即得. 【详解】由可得， 则. 故选：B. 5. 下列“若，则”形式的命题中，是的必要条件的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】解各选项中的不等式，结合集合的包含关系可得出结论. 【详解】对于A选项，由可得，所以，， 所以，“”不是“”的必要条件； 对于B选项，由可得或，所以，， 所以，“”是“”的必要条件； 对于C选项，由可得或，所以，， 所以，“”不是“”的必要条件； 对于D选项，由可得或，所以，， 所以，“”不是“”的必要条件. 故选：B. 6. 五本不同的书分给三人，其中有一人只分得一本，其他两人各得两本，则不同的分法有（ ） A. 180种 B. 90种 C. 60种 D. 30种 【答案】B 【解析】 【分析】根据部分平均分组即可结合排列组合求解. 【详解】根据部分平均分组可得, 故选：B 7. 已知函数，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数运算可判断AB选项的正误；利用函数的单调性可判断C选项的正误；利用基本不等式可判断D选项的正误. 【详解】因为，则函数为上的增函数，函数为上的减函数， 故函数为上的增函数， 对于A选项，，A错； 对于B选项，，B错； 对于C选项，不妨设，则， 所以，，则，C对； 对于D选项，由基本不等式可得，D错. 故选：C. 8. 已知是定义在R上的奇函数，当时，，若函数是偶函数，则下列结论不正确的为（ ） A. B. 的最小正周期 C. 有4个零点 D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于A：根据奇函数性质运算求解；对于B：根据对称性和奇偶性分析可得，进而可得周期性；对于C：分别作出的图象，结合图象分析判断；对于D：根据题意结合函数性质分析运算. 【详解】对于A：由题意可得：，解得，故A正确； 对于B：∵是偶函数，则，则， 又∵为奇函数，则，可得， ∴，则最小正周期，故B正确； 对C：令，则， 注意到此时，分别作出的图象， 由图象可知：有4个交点，故有4个零点， 故C正确； 对D：∵， 则， 可得，故D不正确. 故选：D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 若，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用赋值法逐一求解即可判断． 【详解】对于A，令，则，故A正确， 对于B，令可得， 故，故B错误， 对于C，令可得， 故，故C错误， 对于D，令可得， ，故D正确， 故选：AD． 10. 已知正态分布的正态密度曲线如图所示，，则下列选项中，能表示图中阴影部分面积的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由正态密度曲线的对称性逐一分析四个选项即可得答案. 【详解】解：由正态分布的正态密度曲线关于直线对称， 对A：由对称性可得图中阴影部分可表示为 ， 故选项A符合题意； 对B：由对称性可得，所以图中阴影部分可表示为 ，故选项B符合题意； 对C：由对称性可得，选项C不符合题意； 对D：由对称性可得， 所以图中阴影部分可表示为， 故选项D符合题意. 故选：ABD. 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，且，，则（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. D. （） 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，对条件，求导可得；对于B，对条件，两边同时除以可得；对于C，反证法，假设C正确，求导，结合条件，可得与矛盾，可判断C；对于D，求出，，所以有，，，得出数列是以0为首项，为公差的等差数列，利用等差数列求和公式即可判断． 【详解】因为， 所以，即， 令，得，故A正确； 因为， 当时，， 所以的图象关于点对称，故B正确； 对于C，假设成立， 求导得， 即，又， 所以，所以与矛盾，故C错误； 对于D，因为，， 所以，，，， 所以有， 所以数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列， 数列的偶数项是以为首项，为公差的等差数列， 又，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 所以，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是，的应用，D选项关键是推出是以为首项，为公差的等差数列. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数在上的单调递增区间为___________． 【答案】， 【解析】 【分析】根据给定条件，利用导数求出函数的单调递增区间. 【详解】函数，求导得， 当时，由，得，解得或， 所以所求单调递增区间为，. 故答案为：， 13. 已知数列满足，，若对任意，，不等式恒成立，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】将两边同除，即可得到，从而得到为常数数列，即可求出的通项公式，则，原题等价于对任意恒成立，令，则，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为，所以，即， 所以，所以为常数数列， 即，可得，所以， 所以原题等价于对任意恒成立， 令，，则，即， 解得，所以实数的取值范围为. 故答案为： 14. 曲线在点处的切线与轴的交点横坐标为，，则下列命题叙述正确的是______（写出正确的序号） ①数列为等差数列；②；③数列的前项和小于2. 【答案】②③ 【解析】 【分析】求出导数，利用导数几何意义求出切线方程，结合对数运算、等差数列，等比数列定义及放缩法推理判断. 【详解】函数，求导得，则，而， 因此曲线在点处的切线方程为：， 对于①，，， 两边取自然对数，得， 因此数列是以为首项，以2为公比的等比数列，①错误； 对于②，由①知：，则，，②正确； 对于③，，又， ，则，， 设，则，，，， ，…，， 因此， 即数列的前项和小于2，③正确. 故答案为：②③ 四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 通过市场调查发现：某产品生产需投入年固定成本3万元，每生产万件，需要额外投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不少于万件时，（万元）.已知每件产品售价元，且生产的产品在当年可全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （2）当年产量为多少万件时，生产销售该产品所获利润最大？最大利润是多少？ （注：若，当且仅当时等号成立） 【答案】（1） （2）以当年产量为6万件时，利润最大，最大利润为3万元 【解析】 【分析】（1）分和两种情况讨论，分别求出的解析式； （2）利用均值不等式分别求出各段的最大值，即可得解. 【小问1详解】 因为每件商品售价为元，则万件的商品销售收入为万元； 根据题意得， 当时，； 当时，； 所以. 【小问2详解】 当时， ， 当且仅当，即时，有最大值； 当时，， 当且仅当，即时取等号， 因为，所以当年产量为万件时，利润最大，最大利润为万元 16. 甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表： 一级品 二级品 合计 甲机床 150 50 200 乙机床 120 80 200 合计 270 130 400 （1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？ （2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？ 【答案】（1）；0.6；（2）有把握. 【解析】 【分析】（1）根据表中数据求出频率即可求解. （2）根据表中数据求出观测值，利用独立性检验的基本思想即可求解. 【详解】（1）根据题表中数据知，甲机床生产的产品中一级品的频率是， 乙机床生产的产品中一级品的频率是. （2）根据题表中的数据可得. 因为， 所以有99%把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异. 17. 记为数列的前项和，已知的等差中项为. （1）求证为等比数列； （2）数列的前项和为，是否存在整数满足？若存在求，否则说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）利用等差中项性质化简，再利用与的关系求出，利用等比数列定义即可证明； （2）先求出通项公式，利用放缩法及等比数列前n项和公式求出和的范围即可求出整数k. 【小问1详解】 因为的等差中项为，所以， 因为时，，则，所以， 由得， 又，两式相减得，即， 所以有，所以， 所以是等比数列，其首项为，公比为2. 【小问2详解】 由（1）知，所以，所以， 因为，所以， 又， 所以，所以. 18. 书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日，某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示. （1）若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，求； （2）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望. 附参考数据：若，则①；②；③ 【答案】（1）74 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）依据，利用正态分布的对称性计算即可； （2）先由题意得到随机变量的取值，并分别计算相应的概率，然后列出分布列，并按期望公式计算即可. 【小问1详解】 由题意知，则， 所以； 【小问2详解】 由于和的频率之比为：， 故抽取的10人中，和分别为：2人，4人，4人， 随机变量的取值可以为， ， 的分布列为： 0 1 2 3 19. 已知函数． （1）若，求函数在点处的切线方程； （2）若函数两个零点分别为，，且，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由得到函数的解析式，从而求出，对求导得到，再利用导数的几何意义结合直线的点斜式方程，即可求解； （2）令可得：，（）是直线与函数图像的两个交点的横坐标，利用导数对进行讨论得到，，比较和在上的大小，从而得到，再比较和在上的大小，从而得到，即可求证. 【小问1详解】 当时，，则； 又，则函数在点处的切线斜率， 所以函数在点处的切线方程为，即； 故时，函数在点处的切线方程为. 【小问2详解】 由题意，令，因为，所以, 则函数的两个零点，满足，， 设（）， 即，（）是直线与函数图像的两个交点的横坐标， 又， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以在处取得唯一极小值，即最小值，故； 又当时，，时，, 所以时，是的唯一零点， 则，； 又过点和点的直线方程为：， 时，，证明如下： 设， 时，，即时，， 则时，，所以时，， 因为，所以，即①； 过点和点的直线方程为：， 时，，证明如下： 设，则， 当时，，所以上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以， 设，则， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 则时，， 因为，所以， 即在上的最小值小于，且当时，， 所以时，， 即时，， 因为，所以，即② 所以②①得：， 综上所述：函数的两个零点分别为，，且时，. 【点睛】关键点点睛：本题考查了利用导数研究函数的零点分布，同时考查了数形结合思想，计算量较大，属于难题．本题的解题关键点有： （1）将函数的零点，转化为直线与函数图像的两个交点的横坐标； （2）利用作差法比较和在上的大小； （3）构造函数且结合高中常用的放缩式：，比较和在上的大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$