精品解析：2025年浙江省中考数学试卷

机密★启用前 浙江省2025年初中学业水平考试 数学 姓名：________ 准考证号：________ 座位号：________ 考生注意： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器，设有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 5．本试题卷中“连接”与“连结”同义． 选择题部分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 的相反数是（ ） A B. C. D. 2. 如图所示，直线被直线c所截．若，则（ ） A. B. C. D. 3. 国家税务总局发布的数据显示，2024年，现行支持科技创新和制造业发展的主要政策减税降费及退税达26293亿元，助力我国新质生产力加速培育、制造业高质量发展．将数2629300000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 底面是正六边形的直棱柱如图所示，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 已知反比例函数．下列选项正确的是（ ） A. 函数图象在第一、三象限 B. y随x的增大而减小 C. 函数图象在第二、四象限 D. y随x的增大而增大 6. 如图，五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 7. 手工社团的同学制作两种手工艺品A和B，需要用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如下表． 材料 类别 彩色纸（张） 细木条（捆） 手工艺品A 5 3 手工艺品B 2 1 如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品A有x个，手工艺品B有y个，则x和y满足的方程组是（ ） A B. C. D. 8. 某书店某一天图书的销售情况如图所示． 根据以上信息，下列选项错误的是（ ） A. 科技类图书销售了60册 B. 文艺类图书销售了120册 C. 文艺类图书销售占比 D. 其他类图书销售占比 9. 如图，在中，是斜边上的中线，以点C为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点E．若，则的长为（ ） A B. C. D. 10. 为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：）为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（ ） A. B. C. 点C的纵坐标为240 D. 点在该函数图象上 非选择题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：________． 12. 不等式组的解集是________． 13. 无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得A处到P处的距离为，从点A观测点P的仰角为，则A处到B处的距离为________． 14. 现有六张分别标有数字的卡片，其中标有数字的卡片在甲手中，标有数字的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是________． 15. 【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】 已知，则m的值为________ 16. 如图，矩形内接于是上一点，连接分别交于点．若，则的直径为________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 化简求值：，其中． 18. 解分式方程：． 19. 【问题背景】 如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线上． 【数学理解】 （1）该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出的证明过程． （2）若裁剪过程中满足，求“机翼角”的度数． 20. 2024年11月9日是浙江省第31个消防日，为增强师生消防安全意识、提高自数防范能力，某县教育与消防部门共同组织消防知识竞赛．全县九年级共120个班，每班选派10名选手参加．随机抽取其中10个班级，统计其获奖人数，结果如下表． 班级 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 获奖人数 7 8 6 8 6 6 9 7 8 5 （1）若①班获奖选手成绩分别为（单位：分）：，求该班获奖选手成绩的众数与中位数． （2）根据统计信息，估计全县九年级参赛选手获奖的总人数． 21. 【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 22. 如图，在中，，点O在边上，以点O为圆心，长为半径的半圆，交于点D，与相切于点E，连接 （1）求证：． （2）若，求四边形的面积． 23. 已知抛物线（a为常数）经过点． （1）求a的值． （2）过点与x轴平行的直线交抛物线于两点，且点B为线段的中点，求t的值． （3）设，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线之间．若直线之间的距离为16，求的最大值． 24. 在菱形中，． （1）如图1，求的值． （2）如图2，E是延长线上的一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点P，连接． ①当时，求的长． ②求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 机密★启用前 浙江省2025年初中学业水平考试 数学 姓名：________ 准考证号：________ 座位号：________ 考生注意： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器，设有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 5．本试题卷中“连接”与“连结”同义． 选择题部分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相反数，根据只有符号相反的两个数互为相反数，进行判断即可． 【详解】解：的相反数是 故选A． 2. 如图所示，直线被直线c所截．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质，结合平角的定义，对顶角相等，求出每个角的度数，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，； 故选B． 3. 国家税务总局发布数据显示，2024年，现行支持科技创新和制造业发展的主要政策减税降费及退税达26293亿元，助力我国新质生产力加速培育、制造业高质量发展．将数2629300000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，将大数用科学记数法表示时，需将其写成的形式，其中，为整数，据此进行作答即可． 详解】解：， 故选 ：B． 4. 底面是正六边形的直棱柱如图所示，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图，根据俯视图是从上面看到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，俯视图为： 故选A． 5. 已知反比例函数．下列选项正确的是（ ） A. 函数图象在第一、三象限 B. y随x的增大而减小 C. 函数图象在第二、四象限 D. y随x的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据性质逐一判断即可．根据反比例函数的性质，当时，图象两支位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大． 【详解】解：反比例函数中，，因此其图象的两支分布在第二、四象限，对应选项C正确，选项A错误． 当时，在第二象限（）和第四象限（）内，随的增大而增大．但选项D未明确“在每个象限内”，若跨象限变化（如从负数到正数），会减小，因此选项D的描述不准确．选项B“随的增大而减小”与时的性质矛盾，错误． 故选：C． 6. 如图，五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似图形的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据位似图形的性质得到，证明，即可求解． 【详解】解：∵五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点的坐标分别为 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 7. 手工社团的同学制作两种手工艺品A和B，需要用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如下表． 材料 类别 彩色纸（张） 细木条（捆） 手工艺品A 5 3 手工艺品B 2 1 如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品A有x个，手工艺品B有y个，则x和y满足的方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题，列二元一次方程，根据题意，建立关于彩色纸和细木条用量的二元一次方程组． 【详解】解：每个手工艺品A用5张，每个B用2张，总用量为17张．因此可列方程为：； 每个手工艺品A用3捆，每个B用1捆，总用量为10捆．因此可列方程为：； 故方程组为：； 故选C． 8. 某书店某一天图书的销售情况如图所示． 根据以上信息，下列选项错误的是（ ） A. 科技类图书销售了60册 B. 文艺类图书销售了120册 C. 文艺类图书销售占比 D. 其他类图书销售占比 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，从统计图中有效的获取信息，先用教育类的数量除以所占的比例求出总销售量，再逐一进行判断即可． 【详解】解：总销售量为：（册）， ∴科技类图书销售了（册）， ∴文艺类图书销售了（册）， ∴文艺类图书销售占比为：， ∴其他类图书销售占比：； 综上：只有选项D错误，符合题意； 故选D． 9. 如图，在中，是斜边上的中线，以点C为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点E．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求弧长，斜边上的中线，根据斜边上的中线求出得到，进而得到，三角形的外角得到的度数，作图可知，等边对等角求出的度数，再根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：∵，是斜边上的中线，， ∴， ∴， ∴， 由作图可知， ∴， ∴， ∴的长为； 故选B． 10. 为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：）为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（ ） A. B. C. 点C的纵坐标为240 D. 点在该函数图象上 【答案】D 【解析】 【分析】作，当时，动点运动到点的位置，得到，当点运动到点的时候，最小为，，勾股定理求出的值，判断A；当时，点运动到点，根据三线合一，得到，进而求出的值，判断B；连接，勾股定理求出的长，确定的纵坐标，判断C，求出时，点的位置，再利用勾股定理求出，判断D，即可． 【详解】解：如图，作，当时，动点运动到点的位置，则由题意和图象可知，当点运动到点的时候，最小，即：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得：，故选项A错误； ∴，， 当时，点运动到点，则， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项B错误； ∴当，即点在点时， ∴； ∴点的纵坐标为；故选项C错误； 当时，点运动到点，则：， ∴， ∴， ∴点在该函数图象上，故选项D正确； 故选D． 【点睛】本题考查动点的函数图象，勾股定理，垂线段最短，三线合一等知识点，熟练掌握相关知识点，从函数图象中有效的获取信息，确定点的位置，是解题的关键． 非选择题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，掌握立方根的定义是解题的关键． 分别计算绝对值和立方根，再进行加法计算即可． 【详解】解：， 故答案为：2． 12. 不等式组的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的解集．熟练掌握解一元一次不等式组的解集是解题的关键． 先求第二个不等式的解集，进而可得不等式组的解集． 【详解】解：， 由①得：， ∴原不等式组的解集为：， 故答案为：． 13. 无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得A处到P处的距离为，从点A观测点P的仰角为，则A处到B处的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用仰角余弦解答即可． 本题考查了仰角的计算，熟练掌握角的余弦是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 14. 现有六张分别标有数字的卡片，其中标有数字的卡片在甲手中，标有数字的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图为： 由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中甲出的卡片数字比乙大的结果数有4种， ∴甲出的卡片数字比乙大的概率是． 故答案为： 15. 【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】 已知，则m的值为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式规律探究，根据展开，即可求解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 16. 如图，矩形内接于是上一点，连接分别交于点．若，则的直径为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，矩形的性质； 根据题意证出，得到，设，则，表示出，，连接，在中，求出，在和中，表示出，，列式计算出，再利用勾股定理计算直径即可． 【详解】解：∵为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴ ∴， 在中，， 连接， ∵为直径， ∴， 在中，， ∴在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴解得：， ∴， 的直径为：， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 化简求值：，其中． 【答案】，13 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，掌握运算法则是解题的关键． 先计算单项式乘以多项式，再进行合并同类项，然后再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 方程两边同时乘以得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 19. 【问题背景】 如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线上． 【数学理解】 （1）该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出的证明过程． （2）若裁剪过程中满足，求“机翼角”的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，等边对等角，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）由正方形的性质可得，据此可利用证明； （2）由正方形性质可得，再由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 20. 2024年11月9日是浙江省第31个消防日，为增强师生消防安全意识、提高自数防范能力，某县教育与消防部门共同组织消防知识竞赛．全县九年级共120个班，每班选派10名选手参加．随机抽取其中10个班级，统计其获奖人数，结果如下表． 班级 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 获奖人数 7 8 6 8 6 6 9 7 8 5 （1）若①班获奖选手的成绩分别为（单位：分）：，求该班获奖选手成绩的众数与中位数． （2）根据统计信息，估计全县九年级参赛选手获奖的总人数． 【答案】（1）众数为，中位数为 （2）全县九年级参赛选手获奖的总人数为人． 【解析】 【分析】本题考查了中位数，众数，用样本估计总体的知识，正确理解题意是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义即可求解； （2）用样本估计总体的方法求解即可． 【小问1详解】 解：将①班获奖选手的成绩从小到大排列为：， ∵出现了次，且次数最多， ∴众数为， 共7个数，第个数据为， ∴中位数为； 【小问2详解】 解：10个班级获奖人数平均数为：， ∴估计全县九年级参赛选手获奖的总人数为：（人）， 答：全县九年级参赛选手获奖的总人数为人． 21. 【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 【答案】（1）； （2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高， 理由如下；∵，， ∴， ∴用①的形式得出的的近似值的精确度更高． 【解析】 【分析】（1）设，其中，则仿照题意可得，比较小，将忽略不计，则，据此可得，则； （2）可求出，据此可得结论． 【详解】解：（1）设，其中， ∴， ∴， ∵比较小，将忽略不计， ∴， ∴， ∴； （2）略 22. 如图，在中，，点O在边上，以点O为圆心，长为半径的半圆，交于点D，与相切于点E，连接 （1）求证：． （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据等边对等角导角得到，再结合圆的切线性质得到，即可证明垂直； （2）先得到是等边三角形，则，解求出，根据，求出，再由梯形面积公式求解． 【小问1详解】 证明：由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵以点O为圆心，长为半径的半圆与相切于点E， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：． 23. 已知抛物线（a为常数）经过点． （1）求a的值． （2）过点与x轴平行的直线交抛物线于两点，且点B为线段的中点，求t的值． （3）设，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线之间．若直线之间的距离为16，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3）8 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象性质，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出对称轴，由题意，可知，关于对称轴对称，的纵坐标均为，中点得到，对称性得到，求出，再代入函数解析式求出的值即可； （3）根据题意，易得要使最大，则，为一条直线与抛物线的交点，和关于对称轴对称，根据直线之间的距离为16，为定值，得到当一条直线恰好经过抛物线的顶点，即：时，最大，此时另一条直线的解析式为，令，求出的值，进而确定的值，进行求解即可． 【小问1详解】 解：把代入，得：， 解得：； 【小问2详解】 由（1）知：， ∴对称轴为直线， ∵点在轴上，过点与x轴平行的直线交抛物线于两点， ∴关于对称轴对称，的纵坐标均为， 又∵点B为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴代入，得：， ∴； 【小问3详解】 ∵， ∴抛物线的顶点坐标， 当抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线之间时， 为直线与抛物线的交点， ∴要使最大，则，为一条直线与抛物线的交点，和关于对称轴对称， 又∵直线之间的距离为16，为定值， ∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点，即：时，最大，此时另一条直线的解析式为，如图： ∴当时，解得：， 即：， ∴的最大值为：． 24. 在菱形中，． （1）如图1，求的值． （2）如图2，E是延长线上的一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点P，连接． ①当时，求的长． ②求的最小值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）先根据菱形的性质可得，再根据勾股定理可得，然后根据正弦的定义求解即可得； （2）①连接，设交于点，同理求出，则；证明，得到，由轴对称的性质可得，则，据此可得，即可得到； ②根据题意得出点P一定在线段的延长线上，由勾股定理得，根据，可求出，根据，可推出当有最小值时，有最小值，即此时有最大值，即当有最小值时，有最小值；过点B作于H，于T，由等面积法可得，则由轴对称的性质可得，由勾股定理得，则当有最小值时，有最小值，由垂线段最短可知，故当点P与点T重合时，有最小值，最小值为，据此求解即可． 【小问1详解】 解：如图1，设交于点， ∵在菱形中，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①如图所示，连接，设交于点， ∵四边形菱形， ∴，，，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴， ∴； ②∵菱形， ∴点A与点C关于对称， 当点E与点D重合时，此时点F与点C、P重合， ∵E是延长线上的一点， ∴点P一定在线段的延长线上， 在中，由勾股定理得 ∵， ∴ ， ∵， ∴要使的值最小，则要最大， ∴要有最小值， 又∵的值随着的值增大而增大， ∴的值随着的值增大而增大， ∴当有最小值时，有最小值，即此时有最大值， ∴当有最小值时，有最小值； 如图所示，过点B作于H，于T， ∵， ∴， ∴由轴对称的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴当有最小值时，有最小值， 由垂线段最短可知， ∴当点P与点T重合时，有最小值，最小值为， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $