精品解析：河北省沧州市泊头市第一中学2024-2025学年高一下学期6月月考数学试题

24级高一年级测试数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. “且复数”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】复数属于实数，则虚部为0，根据条件求出参数，判断正确选项. 【详解】，虚部，解得， 所以“”是“” 必要不充分条件， 故选：B. 2. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的面积（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理角化边，得出，再根据同角三角函数的平方关系得出，由三角形面积公式即可求解． 【详解】由题意，在中， 由正弦定理可得， 又B为的内角， ， 的面积， 故选：D． 3. 设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则是异面直线 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用线面垂直的判定，线面平行的判定，线线的位置关系及面面平行的性质逐一判断即可． 【详解】对于A中，，若，则直线可能平行或异面，所以A错误． 对于B中，若，则或，所以B错误． 对于C中，若，则位可能平行、相交或异面，所以C错误． 对于D中，根据垂直于同一个平面的两条直线互相平行，所以D正确． 故选：D 4. 已知向量，且在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式求出的值，再计算，最后根据向量垂直的判定条件判断与的夹角. 【详解】根据向量在上的投影向量为，已知在上的投影向量为，所以. 先计算，根据向量数量积的坐标运算公式，可得. 再计算，根据向量模长公式：可得，那么. 所以. 所以.  得，所以与的夹角为.  故选：C. 5. 一组单调递增数据，，…，的平均数、极差、中位数、方差依次为，，m，，构造一组新的数据，，…，，其中，新数据的平均数、极差、中位数、方差依次为，，n，，则下列结论中不正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】利用极差和中位数的定义即可判断BC，由平均数和方差的性质即可判断AD. 【详解】对于A：因为，所以，因为，所以，故A错误； 对于B：因为数据，，…，单调递增，所以数据，，…，也单调递增， 所以极差，，故B正确； 对于C：由A知，因为，所以，故C正确； 对于D：因为，所以，即， 因为，所以，故D正确. 故选：A. 6. 如图所示，为了测量湖中两处亭子间的距离，湖岸边现有相距100米的甲､乙两位测量人员，甲测量员在处测量发现亭子位于北偏西亭子位于东北方向，乙测量员在处测量发现亭子位于正北方向，亭子位于北偏西方向，则两亭子间的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知，结合图形，利用三角形的性质以及正弦定理、余弦定理求解. 【详解】 连接，在中，由条件可得，则， ， 在中，由正弦定理得， 在中，由条件得，且， 在中，由余弦定理得 ， ，故A，C，D错误. 故选：B. 7. 已知，，，是半径为15的球的球面上四点，，，则三棱锥体积的最大值为（ ） A. 384 B. 1152 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用直角三角形的斜边就是其外接圆的直径，再利用过球心垂直于截面的直线必过截面圆的圆心，就可以构成勾股定理求距离，从而可求得最大体积. 【详解】因为，，所以为的外接圆的直径，即半径， 由过球心垂直于截面的直线必过截面圆的圆心可知， 球心到平面的距离， 又直角面积， 当且仅当时取等号， 而点到平面的距离的最大值为， 所以三棱锥体积的最大值为． 故选:B． 8. 七巧板，又称七巧图、智慧板，是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，于明、清两代在民间广泛流传．某同学用边长为4dm的正方形木板制作了一套七巧板，如图所示，包括5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形．若该同学从这七块小木板中随机抽取2块，这两块的面积相等的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先算出各个小木板的面积，进而根据古典概型加法公式求得答案. 【详解】如图，设正方形EGHI的边长为x（dm），根据题意可知，AE=CE，即. 容易求得,记为S=4，，记为，，记为. 所以所求概率. 故选：A. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 设样本空间含有等可能样本点，且，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与为互斥事件 B. 事件与为对立事件 C. 事件两两相互独立 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据互斥事件的定义判断A；根据对立事件的定义判断B；根据独立事件的定义判断C；选项D需验证三事件同时发生的概率是否等于各自概率的乘积. 【详解】因为，即件与能同时发生，不是互斥事件，A错； 因为且，即事件与不能同时发生且必有一个发生， 事件与为对立事件，B正确； ，， ，故独立； ，，，故独立； ；，故独立, 综上事件两两相互独立，C正确； 选项D：，故,,，选项D错误. 故选：BC. 10. 在中，在边上，且，，若，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 为锐角三角形 C. 的外接圆半径为 D. 的内切圆半径为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，同角三角函数基本关系，将各个选项逐一分析求解即可． 【详解】 设，则， 由，，可得， 在中，由正弦定理可得， 故A正确； 在中，由余弦定理，有：， 即：，解得， 故 在中，， ， 故 ， 所以， 又， 由， 可知为钝角三角形，故B错误； 设的外接圆半径， 由正弦定理可得，，故C正确； 设的内切圆半径为， 则， 解得，故D正确． 故选:ACD． 11. 正方体的棱长为2，动点P，Q分别在棱上，将过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，设，，其中，下列命题正确的是（ ） A. 当时，S的面积为 B. 当时，S为等腰梯形 C. 当时，以为顶点，S为底面的棱锥的体积为定值 D. 当时，S为矩形，其面积最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正方体截面的特征，结合各个选项逐一分析判断即可得出答案. 【详解】解：对于A，当时，为的中位线，， ∵，∴， ∴S为等腰梯形，过P作于E，如图， ∴，∴，∴， ∴，故A不正确； 对于B，当时，，即， ∵，∴，∴S为等腰梯形，故B正确； 对于C，当时，以为顶点，S为底面的棱锥为， 当时，以为定点，S为底面的棱锥为，如图， ，故C正确； 对于D，当时，点P与点B重合，∴， 如图，此时S为矩形，当点Q与点重合时，S的面积最大，，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分：第14题的第一个空2分，第二个空3分） 12. 某地区为了解最近11天该地区的空气质量，调查了该地区过去11天小颗粒物的浓度（单位：），数据依次为．已知这组数据的极差为，则这组数据的第百分位数为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据极差求得的值，计算，根据百分位数的含义即可确定答案即可. 【详解】由题意得，数据的极差为，因为数据中最小值为， 故应为最大值，为81，则 ， 将数据从小到大排列为： ， 故这组数据的第百分位数为第九个数据. 故答案为：79 13. 在直三棱柱中，若，则直线到平面的距离为__________.. 【答案】## 【解析】 【分析】先证得平面，转化为到平面的距离，再证得平面，得到平面平面，过点作，证得平面，得到的长即为点到平面的距离，在直角中，即可求解. 【详解】在直三棱柱中，可得， 因为平面，且平面，所以平面， 所以到平面的距离，即为到平面的距离， 因为为直三棱柱，且，可得， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，平面平面， 过点作，由平面平面，且平面， 所以平面，则的长即为点到平面的距离， 在直角中，可得， 所以点到平面的距离为. 故答案为：. 14. 在梯形中， ，且分别为线段和的中点，若，用表示__________.若，则余弦值的最小值为__________. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】第一空使用向量线性运算求解即可；第二空以为基底，用数量积的形式表示出，再由基本不等式求解即可. 【详解】如图， 由已知，得 ， 所以， 设，即的夹角为， ， ∴若，则， ∴， 又∵， ∴由基本不等式，得， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：，. 三、解答题（本题共3小题，共77分） 15. 在中，角所对的边分别为，已知且． （1）求角的大小． （2）若的面积为，求的周长． （3）若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由正弦边角关系及和角正弦公式得，再由三角形内角的性质及辅助角公式得，即可得； （2）由三角形面积公式得，再应用余弦定理求边长，即可得； （3）由题设得、，再应用三角恒等变换有，最后由正弦型函数的性质求范围. 【小问1详解】 由题设及正弦边角关系，知， 又， 所以，又， 则，即， 因为，所以，所以，即； 【小问2详解】 由题设，则， 所以， 所以三角形周长为； 【小问3详解】 由（1）知，则，而，得， 所以， 而，故，则的范围为. 16. 射箭是群众喜闻乐见的运动形式之一，某项赛事前，甲、乙两名射箭爱好者各射了一组（72支）箭进行赛前热身训练，下表是箭靶区域划分及两人成绩的频数记录信息： 用赛前热身训练的成绩估计两名运动员的正式比赛的竞技水平，并假设运动员竞技水平互不影响，运动员每支箭的成绩也互不影响． 箭靶区域 环外 黑环 蓝环 红环 黄圈 区域颜色 白色 黑色 蓝色 红色 黄色 环数 1-2环 3-4环 5环 6环 7环 8环 9环 10环 甲成绩（频数） 0 0 1 2 3 6 36 24 乙成绩（频数） 0 1 2 4 5 12 36 12 （1）甲乙各射出一支箭，求有人命中8环及以上的概率； （2）甲乙各射出两支箭，求共有3支箭命中黄圈的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设“甲运动员一箭命中8环及以上”，“乙运动员一箭命中8环及以上”，“有人命中8环及以上”，由独立事件的概率可得求解即可； （2）设“甲运动员第i箭命中黄圈”，“乙运动员第i箭命中黄圈”， “共有3支箭命中黄圈”，由题意可得，由独立事件、互斥事件的概率公式求解即可. 【小问1详解】 解：设“甲运动员一箭命中8环及以上”，“乙运动员一箭命中8环及以上”，“有人命中8环及以上”，则，， 显然事件A，B相互独立，， ， 所以甲乙各射出一支箭，有人命中8环及以上的概率为． 【小问2详解】 解：设“甲运动员第i箭命中黄圈”，“乙运动员第i箭命中黄圈”， ∴，， 设“共有3支箭命中黄圈”， ， ∵，，，相互独立， ，，，互斥， ∴甲乙各射出两支箭，共有3支箭命中黄圈的概率为： . 17. 如图，三棱柱中，，点在底面上的射影在上． （1）求证：； （2）当时，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，可得平面平面，再利用面面垂直的性质、线面垂直的判定性质推理得证； （2）取中点，利用几何法求出二面角的余弦值. 【小问1详解】 三棱柱中，连接，由点在底面上的射影在上， 得平面平面，而平面平面， 平面，，则平面， 而平面，则， 由，得平行四边形是菱形，则， 又平面， 因此平面，而平面，所以； 【小问2详解】 在菱形中，，则是正三角形， 取中点，连接， 则，而平面平面， 而平面平面，平面， 则平面，而平面，则， 过作于，连接， 由平面，得平面， 又平面， 因此，是二面角的平面角， 令，则，，， 在中，，， 在中，， 所以二面角的余弦值是. 18. 近几年以华为为代表的中国高科技企业正在不断突破科技封锁．多项技术已经“遥遥领先”．国产光刻机作为芯片制造的核心设备，也已经取得了突飞猛进的发展．已知一芯片生产商用某国产光刻机生产的型芯片经过十项指标全面检测后，分为Ⅰ级和Ⅱ级，两种芯片的某项指标的频率分布如图所示： 若只利用该指标制定一个标准，需要确定临界值，将该指标大于的产品应用于A型手机，小于或等于的产品应用于型手机．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． （1）求型芯片Ⅰ级品该项指标的第70百分位数； （2）当临界值时，求型芯片Ⅱ级品应用于A型手机的概率； （3）已知，现有足够多的型芯片Ⅰ级品、Ⅱ级品，分别应用于A型于机、型手机各1万部的生产： 方案一：直接将型芯片Ⅰ级品应用于A型手机，其中该指标小于等于临界值的芯片会导致芯片生产商每部手机损失700元；直接将型芯片Ⅱ级品应用于型手机，其中该指标大于临界值的芯片，会导致芯片生产商每部手机损失300元； 方案二：重新检测型芯片Ⅰ级品，Ⅱ级品，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需要101万元； 请从芯片生产商的成本考虑，选择合理的方案． 【答案】（1）第70百分位数为86； （2）； （3） 为降低芯片生产商的成本，当临界值时，选择方案二； 当临界值时，选择方案一和方案二均可； 当临界值时，选择方案一． 【解析】 【分析】（1）在Ⅰ级品频率分布直方图中求出频率对应的值即得； （2）在Ⅰ级品频率分布直方图中求出的频率即得； （3）用表示出方案一的损失值与方案二的缺失值101万元比较可得． 【小问1详解】 设型芯片Ⅰ级品该项指标的第70百分位数为， 则该指标在80以下的榞率为0.55，该指标在90以下的概率为0.8，因此该项指标的第70百分位数为一定在内， ， （也可以用）， 得， 所以型芯片Ⅰ级品该项指标的第70百分位数为86； 【小问2详解】 当临界值时， 型芯片Ⅱ级品应用于A型手机的概率为； 【小问3详解】 设直接将型芯片Ⅰ级品、Ⅱ级品应用于A型、型手机时，该芯片生产商支出为（万元）， ， 所以当时，， 当时，， 当时， ， 综上：为降低芯片生产商的成本，当临界值时，选择方案二； 当临界值时，选择方案一和方案二均可； 当临界值时，选择方案一． 19. 定义向量的“相关函数”为；函数的“相关向量”为. （1）求函数的“相关向量”的模长； （2）在中，角的对边分别为，若函数的“相关向量”为，且已知. ①求周长的最大值； ②求的取值范围. 【答案】（1）1； （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式及和角的余弦公式化简，再求出函数的“相关向量”，进而求出模. （2）①利用定义求出，再利用余弦定理及基本不等式求出最大值；②利用数量积的定义及运算律列式，由（1）求出范围，换元借助二次函数求出范围. 【小问1详解】 函数， 因此函数的“相关向量”为，， 所以所求模长为1. 【小问2详解】 ①由函数的“相关向量”为，得， 由，得，在中，由余弦定理得， 则， ，当且仅当时取等号，， 所以周长的最大值为 ②由①知， ，而， 即，当且仅当时取等号，于是， 令，则 所以的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 24级高一年级测试数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. “且复数”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的面积（ ） A. 1 B. C. D. 3. 设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则是异面直线 D. 若，则 4. 已知向量，且在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 一组单调递增数据，，…，的平均数、极差、中位数、方差依次为，，m，，构造一组新的数据，，…，，其中，新数据的平均数、极差、中位数、方差依次为，，n，，则下列结论中不正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 若，则 6. 如图所示，为了测量湖中两处亭子间的距离，湖岸边现有相距100米的甲､乙两位测量人员，甲测量员在处测量发现亭子位于北偏西亭子位于东北方向，乙测量员在处测量发现亭子位于正北方向，亭子位于北偏西方向，则两亭子间的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 已知，，，是半径为15的球的球面上四点，，，则三棱锥体积的最大值为（ ） A. 384 B. 1152 C. D. 8. 七巧板，又称七巧图、智慧板，是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，于明、清两代在民间广泛流传．某同学用边长为4dm的正方形木板制作了一套七巧板，如图所示，包括5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形．若该同学从这七块小木板中随机抽取2块，这两块的面积相等的概率是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 设样本空间含有等可能样本点，且，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与为互斥事件 B. 事件与为对立事件 C. 事件两两相互独立 D. 10. 在中，在边上，且，，若，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 为锐角三角形 C. 的外接圆半径为 D. 的内切圆半径为 11. 正方体的棱长为2，动点P，Q分别在棱上，将过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，设，，其中，下列命题正确的是（ ） A. 当时，S的面积为 B. 当时，S为等腰梯形 C. 当时，以为顶点，S为底面的棱锥的体积为定值 D. 当时，S为矩形，其面积最大值为 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分：第14题的第一个空2分，第二个空3分） 12. 某地区为了解最近11天该地区的空气质量，调查了该地区过去11天小颗粒物的浓度（单位：），数据依次为．已知这组数据的极差为，则这组数据的第百分位数为________. 13. 在直三棱柱中，若，则直线到平面的距离为__________.. 14. 在梯形中， ，且分别为线段和的中点，若，用表示__________.若，则余弦值的最小值为__________. 三、解答题（本题共3小题，共77分） 15. 在中，角所对的边分别为，已知且． （1）求角的大小． （2）若的面积为，求的周长． （3）若为锐角三角形，求的取值范围． 16. 射箭是群众喜闻乐见的运动形式之一，某项赛事前，甲、乙两名射箭爱好者各射了一组（72支）箭进行赛前热身训练，下表是箭靶区域划分及两人成绩的频数记录信息： 用赛前热身训练的成绩估计两名运动员的正式比赛的竞技水平，并假设运动员竞技水平互不影响，运动员每支箭的成绩也互不影响． 箭靶区域 环外 黑环 蓝环 红环 黄圈 区域颜色 白色 黑色 蓝色 红色 黄色 环数 1-2环 3-4环 5环 6环 7环 8环 9环 10环 甲成绩（频数） 0 0 1 2 3 6 36 24 乙成绩（频数） 0 1 2 4 5 12 36 12 （1）甲乙各射出一支箭，求有人命中8环及以上的概率； （2）甲乙各射出两支箭，求共有3支箭命中黄圈的概率． 17. 如图，三棱柱中，，点在底面上的射影在上． （1）求证：； （2）当时，求二面角的余弦值． 18. 近几年以华为为代表的中国高科技企业正在不断突破科技封锁．多项技术已经“遥遥领先”．国产光刻机作为芯片制造的核心设备，也已经取得了突飞猛进的发展．已知一芯片生产商用某国产光刻机生产的型芯片经过十项指标全面检测后，分为Ⅰ级和Ⅱ级，两种芯片的某项指标的频率分布如图所示： 若只利用该指标制定一个标准，需要确定临界值，将该指标大于的产品应用于A型手机，小于或等于的产品应用于型手机．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． （1）求型芯片Ⅰ级品该项指标的第70百分位数； （2）当临界值时，求型芯片Ⅱ级品应用于A型手机的概率； （3）已知，现有足够多的型芯片Ⅰ级品、Ⅱ级品，分别应用于A型于机、型手机各1万部的生产： 方案一：直接将型芯片Ⅰ级品应用于A型手机，其中该指标小于等于临界值的芯片会导致芯片生产商每部手机损失700元；直接将型芯片Ⅱ级品应用于型手机，其中该指标大于临界值的芯片，会导致芯片生产商每部手机损失300元； 方案二：重新检测型芯片Ⅰ级品，Ⅱ级品，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需要101万元； 请从芯片生产商的成本考虑，选择合理的方案． 19. 定义向量的“相关函数”为；函数的“相关向量”为. （1）求函数的“相关向量”的模长； （2）在中，角的对边分别为，若函数的“相关向量”为，且已知. ①求周长的最大值； ②求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $