精品解析：内蒙古自治区包头市2025年中考一模数学试题

机密★启用前 2025年初中学业水平考试模拟试卷 数学 注意事项：1．本试卷共6页，满分100分． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 以下四个城市中某天中午12时气温如下表，此时气温最低的城市是（　　） 包头 北京 大连 太原 A. 包头 B. 北京 C. 大连 D. 太原 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数大小比较的应用，掌握有理数大小比较法则是解题关键．根据有理数比较大小时，正数大于0，0大于负数；两个负数时，绝对值大的反而小，据此判断即可． 【详解】解：由题意得：， ∴气温最低的是包头， 故选：A． 2. 有着冰上“国际象棋”之称的冰壶如图放置时，它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三视图，理解三视图的定义是解题关键． 根据从上面看到的图形是俯视图，即可得答案． 【详解】解：的俯视图是， 故选：D． 3. 我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快速发展．据中国汽车工业协会发布的消息显示．2025年1至2月，我国新能源汽车完成出口28.2万辆．28.2万用科学记数法表示为，则的值是（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，据此求解即可． 【详解】解：∵28.2万， ∴． 故选B． 4. 如图，一条公路的两侧铺设了，两条平行管道，并与纵向管道连通．若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据两直线平行，同旁内角互补进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ∴． 故选：B． 5. 把某不等式组中的两个不等式的解集表示在数轴上，如图所示，则这个不等式组可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数轴表示不等式解集，掌握数轴上表示不等式解集的方法是关键． 数轴上表示不等式的解集的方法：小于向左，大于向右，包含端点时用实心点，不包含端点用空心点表示，由此即可求解． 【详解】解：根据图示可得这个不等式组可能是， 故选：A ． 6. 某校为了促进学生对数学文化知识的了解，开展了讲数学家故事的活动，选手通过抽取卡片的形式选取故事的主人公．学校收集了祖冲之、刘徽、韦达、殴拉四位数学家的画像，依次制成编号为，，，的四张卡片（除编号和内容外．其余完全相同），将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，一人从中随机抽取一张，放回洗匀后，另一人再从中随机抽取一张，则甲、乙两名同学恰好都抽到中国数学家的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了画树状图法求概率，根据画树状图法求概率即可，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：画树状图如图， 共有种等可能的结果，恰好都抽到中国数学家的结果数为种， ∴甲、乙两名同学恰好都抽到中国数学家的概率是， 故选：． 7. 在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质．首先根据当时，有则判断函数图象所在象限，再根据所在象限判断的取值范围． 【详解】解：时，， 反比例函数图象在第一，三象限， ， 解得：． 故选C． 8. 某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，如图．在建筑物旁边有一高度为20米的小楼房，小王同学在小楼房楼底处测得建筑物的顶部处的仰角为，在小楼房楼顶处测得建筑物的顶部处的仰角为（在同一平面内，在同一水平面上），则该建筑物的高为（　　）（参考数据：，tan） A. 34米 B. 35米 C. 36米 D. 37米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 作于点，得到四边形是矩形，继而得到，米，得出，得到，即，求出米，即可得到答案． 【详解】解：如图，作于点， ，四边形是矩形， ，米， ， ， ， ， 在中，， ， ， 米， 米， 故选：C． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先化简二次根式，计算零指数幂，然后合并即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 10. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则=______．（写出一个满足条件的值） 【答案】0（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，理解题意，掌握根的判别式的计算是关键． 根据题意得到，由此即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得，， ∴满足条件， 故答案为：（答案不唯一） ． 11. 如图，是半圆的直径，是半径上一点，过点作，交半圆于点，连接．若，，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】在中，由，，可得，进而可得，由圆周角定理可得，再根据三角函数的定义可求出、的长，最后根据即可得解． 本题主要考查了根据三角函数的定义解直角三角形，圆周角定理，以及求扇形的面积．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：如图，连接 ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ． 故答案为： 12. 如图，在平面直角坐标系中，是原点，的顶点的坐标分别是，点在对角线上，且，连接并延长交于点，连接，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与平面，平行四边形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质等知识点，正确构造直角三角形是解题的关键． 过点作轴于点，根据平行四边形的性质以及顶点的坐标分别是，求出，再由求出，最后根据正切的定义即可求解． 【详解】解：过点作轴于点， ∵的顶点的坐标分别是， ∴， ∴， 由平移可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. （1）解方程：． （2）先化简，然后从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】（1）；（2），当时，原式 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，分式的化简求值、分式有意义的条件： （1）先去分母，化分式方程为整式方程，解整式方程求得x的值，再检验并作结论即可； （2）先运用分式的混合运算法则化简，然后再选择合适的x的值代入求解即可． 【详解】解：（1）方程两边都乘．得． 解得． 经检验，是原方程的根； （2）原式 ． ∵，，且为整数， 可取， 当时，原式． 14. 《全国版图知识竞赛（中小学组）》有助于增强学生国家主权意识和民族自豪感．某校为了解学生国家版图等知识的掌握情况，从该校八、九年级学生中各随机抽取10名学生参加国家版图知识竞赛，对数据（百分制）进行整理和分析．下面给出了相关信息： 八年级10名学生的竞赛成绩是：72，75，80，83，84，85，89，92，92，98． 九年级10名学生的竞赛成绩是：70，71，80，81，86，86，93，93，93，97． 八、九年级各抽取10名学生党赛成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 八年级 85 84.5 九年级 85 93 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出的值； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的国家版图知识竞赛成绩较好？并说明理由；（写出一条理由即可） （3）若该校八年级有400名学生、九年级有300名学生参加此次国家版图知识竞赛，请估计该校八、九年级参加此次国家版图知识竞赛成绩优秀（）的学生人数有多少名？ 【答案】（1） （2） 九年级学生国家版图知识竞赛成绩较好．理由如下（写出一条理由即可）： ①九年级被抽取的学生国家版图知识竞赛成绩的中位数86大于八年级被抽取的学生国家版图知识竞赛成绩的中位数84.5． ②九年级被抽取的学生国家版图知识竞赛成绩的众数93大于八年级被抽取的学生国家版图知识竞赛成绩的众数92． （3）240名 【解析】 【分析】本题考查了平均数，中位数，众数，以及用样本估计总体． （1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）从中位数和众数中选一个说明即可； （3）把八、九年级优秀人数相加即可． 【小问1详解】 ∵八年级10名学生的竞赛成绩出现次数最多的是92， ∴． ∵九年级10名学生的竞赛成绩从小到大排列排在第5和第6位的数是86，86， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （名） 答：估计该校八、九年级参加此次国家版图知识竞赛成绩优秀的学生人数有240名． 15. 2025年包头马拉松赛将于5月开赛，越来越多来自国内外的马拉松爱好者相聚包头．本市某知名小吃店为了迎接本次活动，计划购买甲，乙两种食材制作小吃．甲，乙两种食材的数量与总费用有如下关系： 甲种食材数量（千克） 乙种食材数量（千克） 甲，乙两种食材总费用（元） 2 3 166 4 1 182 （1）求甲，乙两种食材的单价； （2）该小吃店计划购买这两种食材共24千克，其中购买甲种食材的数量不少于乙种食材数量的2倍，当甲，乙两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？最少为多少元？ 【答案】（1）甲种食材的单价为38元，乙种食材的单价为30元 （2）当甲，乙两种食材分别购买16千克，8千克时，总费用最少，最少为848元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程组，不等式以及一次函数关系式是解题的关键． （1）设甲种食材单价为元，乙种食材单价为元．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设小吃店购买甲种食材千克：则购买乙种食材千克，总费用为元，根据题意，得，再根据购买甲种食材的数量不少于乙种食材数量的2倍，列出不等式，得出，根据一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设甲种食材单价为元，乙种食材单价为元． 根据题意，得， 解得， 答：甲种食材的单价为38元，乙种食材的单价为30元． 【小问2详解】 解：设小吃店购买甲种食材千克：则购买乙种食材千克，总费用为元，根据题意，得， 购买甲种食材的数量不少于乙种食材数量的2倍， ， 解得， ， 的值随着值的增大而增大， 当取最小值时， 有最小值， 当时，，此时． 答：当甲，乙两种食材分别购买16千克，8千克时，总费用最少，最少为848元． 16. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，过点作的切线，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若的半径为，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵所对的弧为， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线，是半径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）． 【解析】 【分析】（）连接，由圆周角定理可得，则，从而有，得到，从而求证； （）连接，由圆周角定理可得，根据三角函数可得，又四边形是的内接四边形，则，则有，所以，然后根据，最后通过勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵的半径为， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在Rt中，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，圆内接四边形，切线的性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 17. 如图，在矩形中，是边上一点，连接．将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别是点，． （1）如图1，若是边的中点，且点恰好落在的延长线上，连接．求的度数； （2）如图2，若点恰好落在的延长线上，连接，交于点． ①求证：垂直平分； ②当时，探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） ①证明：如图所示： ， ， 将绕点顺时针旋转得到． ． 点在线段的垂直平分线上． 在和中， ， ， ， 点在线段的垂直平分线上 垂直平分． ②． 理由如下： 垂直平分， ， ． ， ， ． ， ， ， ． 设， ， ， ， ， 旋转得到 ， ． 在中，． 设，则， ， ， 在中，， ． 【解析】 【分析】（1）由矩形性质得到相关边与角，再由等腰直角三角形的判定与性质得到，然后结合旋转性质得到，最后由等腰三角形的性质即可得到答案； （2）①由平角定义、旋转性质得到点在线段的垂直平分线上，再由两个直角三角形全等的判定定理得到，结合垂直平分线的判定即可得证；②由垂直平分线性质，结合互余得到，从而由相似三角形的判定确定，由相似性质得到，根据条件，设，则有，由旋转性质，解直角三角形即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示： 四边形是矩形． ，， ， ， 是边的中点， ． ， ， ， 是等腰直角三角形， ． 将绕点顺时针旋转得到 ， ； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查四边形综合，综合性强，难度较大，涉及矩形性质、等腰直角三角形的判定与性质、旋转性质、垂直平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、三角函数定义、勾股定理等知识．灵活运用相关几何判定与性质是解决问题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点左侧），与轴相交于点，连接． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若点在线段上，直线交第一象限的抛物线于点，连接．当时，求的面积； （3）在（2）的条件下，第二象限的抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）5 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）过点作轴，垂足为，证明，得出，设，根据，得出，求出，得出，求出，根据，求出结果即可； （3）过点作的垂线交线段的延长线于点，证明为等腰直角三角形，得出，过点作轴，垂足为．证明，得出，求出直线的函数表达式为，设，得出，解方程，即可得出答案． 【小问1详解】 解：， ∴， 解得 该抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：过点作轴，垂足为， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， 解得：（舍去）， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：存在点，使得．理由如下： 过点作的垂线交线段的延长线于点， ， 根据解析（2）可知：，，， ，， ， ， ∵， ∴为等腰直角三角形， ， 过点作轴，垂足为． ， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的函数表达式为， ， ， 解得， 直线的函数表达式为， 设， ， 解得（舍去），， ， ， 存在点，使得． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，求二次函数解析式，相似三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 机密★启用前 2025年初中学业水平考试模拟试卷 数学 注意事项：1．本试卷共6页，满分100分． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 以下四个城市中某天中午12时气温如下表，此时气温最低的城市是（　　） 包头 北京 大连 太原 A. 包头 B. 北京 C. 大连 D. 太原 2. 有着冰上“国际象棋”之称的冰壶如图放置时，它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 3. 我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快速发展．据中国汽车工业协会发布的消息显示．2025年1至2月，我国新能源汽车完成出口28.2万辆．28.2万用科学记数法表示为，则的值是（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 如图，一条公路的两侧铺设了，两条平行管道，并与纵向管道连通．若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 5. 把某不等式组中的两个不等式的解集表示在数轴上，如图所示，则这个不等式组可能是（　　） A. B. C. D. 6. 某校为了促进学生对数学文化知识的了解，开展了讲数学家故事的活动，选手通过抽取卡片的形式选取故事的主人公．学校收集了祖冲之、刘徽、韦达、殴拉四位数学家的画像，依次制成编号为，，，的四张卡片（除编号和内容外．其余完全相同），将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，一人从中随机抽取一张，放回洗匀后，另一人再从中随机抽取一张，则甲、乙两名同学恰好都抽到中国数学家的概率是（　　） A. B. C. D. 7. 在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 8. 某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，如图．在建筑物旁边有一高度为20米的小楼房，小王同学在小楼房楼底处测得建筑物的顶部处的仰角为，在小楼房楼顶处测得建筑物的顶部处的仰角为（在同一平面内，在同一水平面上），则该建筑物的高为（　　）（参考数据：，tan） A. 34米 B. 35米 C. 36米 D. 37米 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 计算：______． 10. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则=______．（写出一个满足条件的值） 11. 如图，是半圆的直径，是半径上一点，过点作，交半圆于点，连接．若，，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留） 12. 如图，在平面直角坐标系中，是原点，的顶点的坐标分别是，点在对角线上，且，连接并延长交于点，连接，则的值为_______． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. （1）解方程：． （2）先化简，然后从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值． 14. 《全国版图知识竞赛（中小学组）》有助于增强学生国家主权意识和民族自豪感．某校为了解学生国家版图等知识的掌握情况，从该校八、九年级学生中各随机抽取10名学生参加国家版图知识竞赛，对数据（百分制）进行整理和分析．下面给出了相关信息： 八年级10名学生的竞赛成绩是：72，75，80，83，84，85，89，92，92，98． 九年级10名学生的竞赛成绩是：70，71，80，81，86，86，93，93，93，97． 八、九年级各抽取10名学生党赛成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 八年级 85 84.5 九年级 85 93 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出的值； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的国家版图知识竞赛成绩较好？并说明理由；（写出一条理由即可） （3）若该校八年级有400名学生、九年级有300名学生参加此次国家版图知识竞赛，请估计该校八、九年级参加此次国家版图知识竞赛成绩优秀（）的学生人数有多少名？ 15. 2025年包头马拉松赛将于5月开赛，越来越多来自国内外的马拉松爱好者相聚包头．本市某知名小吃店为了迎接本次活动，计划购买甲，乙两种食材制作小吃．甲，乙两种食材的数量与总费用有如下关系： 甲种食材数量（千克） 乙种食材数量（千克） 甲，乙两种食材总费用（元） 2 3 166 4 1 182 （1）求甲，乙两种食材的单价； （2）该小吃店计划购买这两种食材共24千克，其中购买甲种食材的数量不少于乙种食材数量的2倍，当甲，乙两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？最少为多少元？ 16. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，过点作的切线，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若的半径为，，求的长． 17. 如图，在矩形中，是边上一点，连接．将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别是点，． （1）如图1，若是边的中点，且点恰好落在的延长线上，连接．求的度数； （2）如图2，若点恰好落在的延长线上，连接，交于点． ①求证：垂直平分； ②当时，探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 18. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点左侧），与轴相交于点，连接． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若点在线段上，直线交第一象限的抛物线于点，连接．当时，求的面积； （3）在（2）的条件下，第二象限的抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $