双变量放缩中的“剪刀”模型讲义-2026届高三数学一轮复习

16.双变量放缩中的“剪刀”模型 一．典例分析 （2025届杭州市高三一模）已知函数. （1）若，求的单调区间; （2）若，求证:; （3）若使，求证:. 解析：（3）因为，所以，令，则，所以在上单调递减，在上单调递增.因为，所以. 不妨设，则. 先证:，易知在处的切线方程为，该切线与直线的交点的横坐标.易知，所以. 再证.设，易知直线方程为，直线方程为 ，则直线与直线交点的横坐标分别为 ，所以.因为，同理可证，所以.类似的可以证明.所以，即 ，所以. 双变量导数中的剪刀模型起源于2015年天津卷，在2021年新高考1卷中名满天下！该模型的实质是凸凹函数切割线放缩（牛顿切线法），值得注意的是，该方法已经出现在人教版新教材选择性必修二82页阅读材料中，未来完全可能再度出现在高考试题中！本节我们就通过这两道高考题展示其基本原理与解题方法. 1. 函数凸凹性： 若函数在区间上有定义，若，则称为区间上的凸函数. 反之，称为区间上的凹函数. 2. 切线不等式： 在上为凸函数，，有. 反之，若为区间上的凹函数，则，有. 证明：取定，令，则，再次求导可得. 故在区间上递减，在区间上递增，故存在最小值，即，即证毕. 注：切线不等式是剪刀模型的理论依据. 3.剪刀模型 已知函数为定义域上的凸函数，且图象与交于两点，其横坐标为，这样如下图所示，我们可以利用凸函数的切线与的交点将的范围予以估计，这便是切线放缩的基本原理. 如图，在函数图象先减后增的情形下，两条切线和两条割线即可估计出零点的一个上下界，而切割线的方程均为一次函数，这样我们就可以得到一个显式解（精确解）的估计，下面我们通过例子予以分析. 三.更多案例 例2.（2021新课标1卷22题）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）设为两个不相等的正数，且，证明：. 解析：注意到函数不含参数，那就求导分析凸凹性.，再求,,,在其定义域上分别是凹函数与凸函数.另一方面，，即，若令，则原命题等价于，已知证明：. 证明③.由于，不妨假设这是函数假设的图象与直线的两个交点，考虑到的图象性质可知.故而，即为方程的两根，结合函数的凸凹性，我们使用切线放缩来证明③.观察③的结构及可得在点处切线为.由前文背景理论常用性质（2）可知：.如图所示，假设与，交于两点，其横坐标为.与切线交于点，其横坐标.由图1可知： .显然，再做函数图象的割线：，则显然：由图象可知：，，故.证毕. 例3．已知函数在点处的切线方程为. （1）求； （2）设曲线与轴负半轴的交点为点，曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意的实数，都有； （3）若关于的方程有两个实数根，，且，证明：. 解析 ：（3）；. . 设的根为，则.曲线在点处的切线方程为，有，设的根为，则. 由于.又，所以. 四．小结 1.观察题干是否考察零点之差的不等式：型； 2.验证函数的凸凹性； 3.在步骤2的基础上考察函数在关键特殊点处的切线，最终构造出剪刀模型，完成证明. 学科网（北京）股份有限公司 $$