双变量导数中的主元法 讲义-2026届高三数学一轮复习

15.双变量导数中的主元方法 偏导数是高等数学中多元函数微分学里的重要概念之一. 例如二元函数，其偏导数的基本求法便是：对求导时，就假定是常数，仅对函数中所有变元求导得到，对求导时，方法亦然. 比如：若函数，则求导可得：. 我们都知道，高中阶段很多函数问题都是含参数的，对于含参数的函数，可以将其简记为，若将参数也视为自变量的话，那么就是一个二元函数，那么我们就可以用偏导数的思想来研究该函数，这就产生了一个重要的方法：主元法. 近年来，在高考试题中，主元法思想考察的相当频繁，例如2019年浙江卷导数压轴题和2020年天津卷导数压轴题，2022北京卷等，在这些问题中，使用主元法往往会起到意想不到的好处，从而使得整个问题得到圆满的解决. 典例分析 例1．已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)当时，对任意的买数，证明：. 解析：（1） ①当时，，此时，在单调递增； ②当时，令，可以判断在是单调递减的 注意到：,,则必存在使得，即,且当时，，于是，此时在单调递增；当时，，于是，此时在单调递减； （2）当时，对于给定的，令 则 ,因此在是递增的，于是，，即： 进而 例2．若定义在区间上的函数，其图象上存在不同两点处的切线相互平行，则称函数为区间上的“曲折函数”，“现已知函数. (1)证明：是上的“曲折函数”； (2)设，证明：，使得对于，均有 . 解析：（1）要证是上的曲折函数， 即证存在两个不同的，使得， 令， 即证：，使得. 任取，考虑方程的正数解的情况. ， 判别式，故方程有两个不等实根， 由韦达定理可知：，从而. 即有两个不同的正实数解， 所以，即是上的曲折函数. （2）取代入函数，可得： ， 设，则， 所以在上单调递减，，所以……①.再取代入函数，可得：， 设，， 则，因为，所以在上单调递减，所以，所以在上单调递减，所以，所以……②.又因为在上单调递减，结合①与②，由零点存在性定理， 必存在唯一的，使得，且对任意的，均有. 例3. 已知函数，若，试比较与的大小． 解析：不妨设，，，令(a)，则，当时，；当时，， 在上单调增，在上单调减，当时，(a)， 由，故，则． 例4. 设函数． （1）求的极值； （2）若，证明：． 解析：（1）函数，则， 令，解得：，且当时，，时， 因此：的极小值为 （2）构造函数，， ，，，在上是单调递增的；故(b)(a)，即：另一方面，构造函数 ，，在上是单调递减的，故即： 综上，． 例5．已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意，都有，求实数k的取值范围； （3）当时，对任意的，且，试比较与的大小． 解析：（1）当时，，所以，， 所以在点处的切线方程为． （2）对都有且，而，则， 所以，此时，故，则， 在上，即单调递增，且，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，满足题意，综上，． （3）不妨设，令， 所以，则， 又，，，且， 当，，而，， 所以，故，在上单调递增， 所以，所以单调递增，故， 所以，即． 例6．（2022年北京卷）已知函数． （1）求曲线在点，处的切线方程； （2）设，讨论函数在，上的单调性； （3）证明：对任意的，，有． 解析：（1）对函数求导可得：，将代入原函数可得，将代入导函数可得：，故在处切线斜率为1，故，化简得：. （2）由（1）有：，， 令，令， 设，恒成立，故在，单调递增，又因为 ，故在，恒成立，故，故在，单调递增. （3） 设,其中s>0,t>0.，由（2）有 在,单调递增，又因为t>0,所以在，即 ,所以在，单调递增，因为， 则,而，故，得证. 学科网（北京）股份有限公司 $$