三次函数的图像与性质及应用讲义-2026届高三数学一轮复习

8.三次函数的图像与性质及应用 三次函数是高中阶段可以系统研究的一个重要函数， 因为其导函数二次函数是中学阶段研究最深的函数之一，于是在学习完导数后，我们可以通过对其导函数二次函数的详细研究来弄清楚三次函数的基本性质. 通过对三次函数的系统研究，能够增强学生对导数的应用价值的认识和理解. 正因如此，三次函数在高考中自然也是热门的考察方向，特别是在24年连续出现在两套新高考试题中后，再一次引起了研究热潮. 本节试图从三次函数的基本性质出发，展示其重要的一些应用手法. 1. 基本命题原理 对于三次函数而言，其导函数为一个二次函数，那么根据其导函数的基本性质，可将三次函数的图象和性质梳理如下： 1.根的个数（）. 对于三次函数，其导函数为二次函数: ， 二次函数的判别式化简为：△=， （1）若，则恰有一个实根； （2）若,且，则恰有一个实根； （3）若,且，则有两个不相等的实根； （4）若,且，则有三个不相等的实根. 注：由图像可知：①含有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次， 即在上为单调函数（或两极值同号），所以（或，且 ）. ②有两个相异实根的充要条件是曲线与轴有两个公共点且其中之一 为切点，所以，且. ③有三个不相等的实根的充要条件是曲线与轴有三个公共点，即 有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.故且. 2.极值情况： 三次函数（）,导函数为二次函数 ， 二次函数的判别式化简为：△=， （1） 若，则在上为增函数； （2）若，则在和上为增函数，在上为减函数，其中. 证明：, △=， （1） 当 即时，在 R上恒成立， 即在为 增函数. （2） 当 即时，解方程，得 由得或，在和上为增函数.由得 ，在上为减函数. 总结以上得到结论:三次函数（） （1）若，则在上无极值； （2）若，则在上有两个极值；且在处取得极大值，在处取得极小值. 3.对称中心 三次函数的对称中心为点，该点是三 次函数的拐点，此点的横坐标也是二阶导数的零点. 4.三次方程根与系数得关系 （1）已知实系数多项式有三个根,设为 （2）由三次方程根与系数的关系： 二．典例应用 ★1.小题训练（主要围绕性质，多记多便利） 例1．（24-25高三上·贵州贵阳·开学考试）关于函数，下列说法正确的是（    ） ①曲线在点处的切线方程为； ②的图象关于原点对称； ③若有三个不同零点，则实数的范围是； ④在上单调递减. A．①④ B．②④ C．①②③ D．①③④ 解析：函数，求导得， 对于①，，而，则切线方程为，即，①正确； 对于②，，则的图象关于原点不对称，②错误； 对于③，当或时，；当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 因此函数在处取得极大值，在处取得极小值， 函数的零点，即直线与函数图象交点的横坐标， 因此当直线与函数图象有3个交点时，，③正确； 对于④，在上单调递减，④正确，故选：D 以下选择题均为多选题. 例2．（2024·全国·高考真题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在，使得为曲线的对称轴 D．存在，使得点为曲线的对称中心 解析：A选项，，由于，故时，故在上单调递增，时，，单调递减，则在处取到极大值，在处取到极小值，由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点，又，，则，则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减，时，单调递增，此时在处取到极小值，B选项错误； 不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项，任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，，由，于是该三次函数的对称中心为，由题意也是对称中心，故，即存在使得是的对称中心，D选项正确.故选：AD 例3．（24-25高三上广东省开学考试）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，无极值点 C．，使在上是减函数 D．图象对称中心的横坐标不变 解析：对于A，当时，，求导得， 令得或，由，得或，由， 得，于是在，上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，因此最多有一个零点，A错误； 对于B，，当时，，即恒成立，函数在上单调递增，无极值点，B正确； 对于C，要使在上是减函数，则恒成立，而不等式的解集不可能为，C错误； 对于D，由， 得图象对称中心坐标为，D正确.故选：BD 例4．（24-25高三上海南省开学考试）已知函数，则（    ） A．是函数的极小值点 B．存在3个不同的值，使得函数有2个零点 C．有且仅有一个值，使得曲线有对称轴 D．存在无数多个值，使得曲线有对称中心 解析：由题意可知：函数的定义域为，且， 对于选项A：例如，则，令，解得或；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增， 可知是函数的极大值点，故A错误； 对于选项B：因为，可知0不为的零点，令，可得，令，则，若函数有2个零点，则与有2个交点，令，则，当时，；当或时，，可知在内单调递增，在内单调递减，且， 当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于，    由图象可得或或，则或或，即存在3个不同的值，使得函数有2个零点，故B正确； 对于选项C：若曲线有对称轴，设为，则，即，整理可得， 结合的任意性可知，解得，所以有且仅有一个值，使得曲线有对称轴，故C正确； 对于选项D：若，则， 所以的对称中心为，即存在无数多个值，使得曲线有对称中心，故D正确；故选：BCD. 例5．（23-24高二下山东临沂期末）已知函数，则（    ） A．存在实数使得 B．当时，有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．若曲线有两条过点的切线，则 解析：对A，根据已知的导函数，令则，令，，当时， 根据函数零点存在定理存在实数使得，故A正确； 对B，根据题意知，令得到， 在和上，所以在和单调递增， 在上，所以在单调递减，是的极大值，且的极大值大于极小值，， ，所以在定义域内有且只有一个零点，故B错误； 对C，令，该函数定义域为R，且， 所以为奇函数，是的对称中心，将向下移动两个单位得到的图像，所以点是曲线的对称中心，故C正确； 对D，过的切线的切点为，切线斜率为， 则切线方程为，把点代入可得，化简可得，令， 则，令可得或，在和上大于零，所以在和上单调递增，在上小于零，所以在单调递减，要使有两个解，一个极值一定为，若函数在极值点时的函数值为，可得， 所以若函数在极值点时的函数值为，可得，所以，故D不正确.故选：AC 6．（2024·全国·高考真题）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 解析：对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以，而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减，所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确；故选：ACD. 解答题部分 例7.已知曲线在点处的切线与曲线的另外一个交点为为线段的中点,为坐标原点. （1）求的极小值并讨论的奇偶性. （2）当函数为奇函数时,直线的斜率记为,若,求实数的取值范围. 解析：（1），当时,；当时， .当时,显然，所以为奇函数.当时，显然. 且，所以为非奇非偶函数. （2）,所以曲线在点处的切线方程为 ，其与原曲线方程，联立化简 得:.从而. 所以,.由于； 即当时，都有.令,则 ，易知当时,；当 时,.即在上递减，在上递增，所以当 时,，所以，从而实数的取值范国为. 注：可以看到，切点的横坐标恰好便是方程①的二重根. 例8.（切割线定理） 如果我们将上述的内容再结合三次函数韦达定理，就可以得到更多有趣的结论.如图，过切点的切线与三次函数的图象交于点，同时，过的割线与三次函数的图象交于三点. 我们有以下结论： 三次函数切割线定理. （1） ； （2） ； （3）. 证明：显然，方程①整理可得：.结合上述重根个数定理以及韦达定理可得：，结论（1）证毕. （2）设直线的方程为，代入的表达式结合韦达定理可得： ,再联立，可证得：. （3）同理，如图，再联立，可得：. 同样是2020年全国三卷23题，不等式选做题，依然以三次方程根与系数的关系命制而 成，下面予以分析，希望各位读者在高三备考时重视对三次方程根与系数关系的认识程度， 有备无患！ 三．习题演练 1．（23-24高三上广东阶段练习）已知三次函数有三个不同的零点，若函数也有三个不同的零点，则下列等式或不等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 2．设直线与曲线的三个交点分别为，且．现给出如下结论： ①的取值范围是；②为定值；③. 其中正确结论的为 3.椭圆曲线加密算法运用于区块链． 椭圆曲线．关于x轴的对称点记为．C在点处的切线是指曲线在点P处的切线．定义“”运算满足：①若，且直线PQ与C有第三个交点R，则；②若，且PQ为C的切线，切点为P，则；③若，规定，且． （1）当时，讨论函数零点的个数； （2）已知“”运算满足交换律、结合律，若，且PQ为C的切线，切点为P，证明：； （3）已知，且直线PQ与C有第三个交点，求的坐标． 参考公式： 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.三次函数的图像与性质及应用 三次函数是高中阶段可以系统研究的一个重要函数， 因为其导函数二次函数是中学阶段研究最深的函数之一，于是在学习完导数后，我们可以通过对其导函数二次函数的详细研究来弄清楚三次函数的基本性质. 通过对三次函数的系统研究，能够增强学生对导数的应用价值的认识和理解. 正因如此，三次函数在高考中自然也是热门的考察方向，特别是在24年连续出现在两套新高考试题中后，再一次引起了研究热潮. 本节试图从三次函数的基本性质出发，展示其重要的一些应用手法. 1. 基本命题原理 对于三次函数而言，其导函数为一个二次函数，那么根据其导函数的基本性质，可将三次函数的图象和性质梳理如下： 1.根的个数（）. 对于三次函数，其导函数为二次函数: ， 二次函数的判别式化简为：△=， （1）若，则恰有一个实根； （2）若,且，则恰有一个实根； （3）若,且，则有两个不相等的实根； （4）若,且，则有三个不相等的实根. 注：由图像可知：①含有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次， 即在上为单调函数（或两极值同号），所以（或，且 ）. ②有两个相异实根的充要条件是曲线与轴有两个公共点且其中之一 为切点，所以，且. ③有三个不相等的实根的充要条件是曲线与轴有三个公共点，即 有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.故且. 2.极值情况： 三次函数（）,导函数为二次函数 ， 二次函数的判别式化简为：△=， （1） 若，则在上为增函数； （2）若，则在和上为增函数，在上为减函数，其中. 证明：, △=， （1） 当 即时，在 R上恒成立， 即在为 增函数. （2） 当 即时，解方程，得 由得或，在和上为增函数.由得 ，在上为减函数. 总结以上得到结论:三次函数（） （1）若，则在上无极值； （2）若，则在上有两个极值；且在处取得极大值，在处取得极小值. 3.对称中心 三次函数的对称中心为点，该点是三 次函数的拐点，此点的横坐标也是二阶导数的零点. 4.三次方程根与系数得关系 （1）已知实系数多项式有三个根,设为 （2）由三次方程根与系数的关系： 二．典例应用 ★1.小题训练（主要围绕性质，多记多便利） 例1．（24-25高三上·贵州贵阳·开学考试）关于函数，下列说法正确的是（    ） ①曲线在点处的切线方程为； ②的图象关于原点对称； ③若有三个不同零点，则实数的范围是； ④在上单调递减. A．①④ B．②④ C．①②③ D．①③④ 解析：函数，求导得， 对于①，，而，则切线方程为，即，①正确； 对于②，，则的图象关于原点不对称，②错误； 对于③，当或时，；当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 因此函数在处取得极大值，在处取得极小值， 函数的零点，即直线与函数图象交点的横坐标， 因此当直线与函数图象有3个交点时，，③正确； 对于④，在上单调递减，④正确，故选：D 以下选择题均为多选题. 例2．（2024·全国·高考真题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在，使得为曲线的对称轴 D．存在，使得点为曲线的对称中心 解析：A选项，，由于，故时，故在上单调递增，时，，单调递减，则在处取到极大值，在处取到极小值，由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点，又，，则，则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减，时，单调递增，此时在处取到极小值，B选项错误； 不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项，任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，，由，于是该三次函数的对称中心为，由题意也是对称中心，故，即存在使得是的对称中心，D选项正确.故选：AD 例3．（24-25高三上广东省开学考试）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，无极值点 C．，使在上是减函数 D．图象对称中心的横坐标不变 解析：对于A，当时，，求导得， 令得或，由，得或，由， 得，于是在，上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，因此最多有一个零点，A错误； 对于B，，当时，，即恒成立，函数在上单调递增，无极值点，B正确； 对于C，要使在上是减函数，则恒成立，而不等式的解集不可能为，C错误； 对于D，由， 得图象对称中心坐标为，D正确.故选：BD 例4．（24-25高三上海南省开学考试）已知函数，则（    ） A．是函数的极小值点 B．存在3个不同的值，使得函数有2个零点 C．有且仅有一个值，使得曲线有对称轴 D．存在无数多个值，使得曲线有对称中心 解析：由题意可知：函数的定义域为，且， 对于选项A：例如，则，令，解得或；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增， 可知是函数的极大值点，故A错误； 对于选项B：因为，可知0不为的零点，令，可得，令，则，若函数有2个零点，则与有2个交点，令，则，当时，；当或时，，可知在内单调递增，在内单调递减，且， 当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于，    由图象可得或或，则或或，即存在3个不同的值，使得函数有2个零点，故B正确； 对于选项C：若曲线有对称轴，设为，则，即，整理可得， 结合的任意性可知，解得，所以有且仅有一个值，使得曲线有对称轴，故C正确； 对于选项D：若，则， 所以的对称中心为，即存在无数多个值，使得曲线有对称中心，故D正确；故选：BCD. 例5．（23-24高二下山东临沂期末）已知函数，则（    ） A．存在实数使得 B．当时，有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．若曲线有两条过点的切线，则 解析：对A，根据已知的导函数，令则，令，，当时， 根据函数零点存在定理存在实数使得，故A正确； 对B，根据题意知，令得到， 在和上，所以在和单调递增， 在上，所以在单调递减，是的极大值，且的极大值大于极小值，， ，所以在定义域内有且只有一个零点，故B错误； 对C，令，该函数定义域为R，且， 所以为奇函数，是的对称中心，将向下移动两个单位得到的图像，所以点是曲线的对称中心，故C正确； 对D，过的切线的切点为，切线斜率为， 则切线方程为，把点代入可得，化简可得，令， 则，令可得或，在和上大于零，所以在和上单调递增，在上小于零，所以在单调递减，要使有两个解，一个极值一定为，若函数在极值点时的函数值为，可得， 所以若函数在极值点时的函数值为，可得，所以，故D不正确.故选：AC 6．（2024·全国·高考真题）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 解析：对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以，而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减，所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确；故选：ACD. 解答题部分 例7.已知曲线在点处的切线与曲线的另外一个交点为为线段的中点,为坐标原点. （1）求的极小值并讨论的奇偶性. （2）当函数为奇函数时,直线的斜率记为,若,求实数的取值范围. 解析：（1），当时,；当时， .当时,显然，所以为奇函数.当时，显然. 且，所以为非奇非偶函数. （2）,所以曲线在点处的切线方程为 ，其与原曲线方程，联立化简 得:.从而. 所以,.由于； 即当时，都有.令,则 ，易知当时,；当 时,.即在上递减，在上递增，所以当 时,，所以，从而实数的取值范国为. 注：可以看到，切点的横坐标恰好便是方程①的二重根. 例8.（切割线定理） 如果我们将上述的内容再结合三次函数韦达定理，就可以得到更多有趣的结论.如图，过切点的切线与三次函数的图象交于点，同时，过的割线与三次函数的图象交于三点. 我们有以下结论： 三次函数切割线定理. （1） ； （2） ； （3）. 证明：显然，方程①整理可得：.结合上述重根个数定理以及韦达定理可得：，结论（1）证毕. （2）设直线的方程为，代入的表达式结合韦达定理可得： ,再联立，可证得：. （3）同理，如图，再联立，可得：. 同样是2020年全国三卷23题，不等式选做题，依然以三次方程根与系数的关系命制而 成，下面予以分析，希望各位读者在高三备考时重视对三次方程根与系数关系的认识程度， 有备无患！ 三．习题演练 1．（23-24高三上广东阶段练习）已知三次函数有三个不同的零点，若函数也有三个不同的零点，则下列等式或不等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 解析：，因为原函数有三个不同的零点，则有两个不同的实根， 即，则，即，所以A错误； 因为三次函数有三个不同的零点，所以，所以， 同理，所以，故C正确，D错误；由的图象与直线的交点可知，B正确．故选：BC．    2．设直线与曲线的三个交点分别为，且．现给出如下结论： ①的取值范围是；②为定值；③. 其中正确结论的为 解析：设，则，令，解得：或；当或时，，当时，；∴在上是增函数，在（1，3）上是减函数，在（3，+∞）上是增函数；当时，取得极大值，当时，取得极小值；作出函数的图象如图所示： ∵直线与曲线有三个交点，由图象知.令，则是的三个实根． ∴， 即，∴，，，①③正确；∴，∴②正确； 综上，正确的命题序号是①②③．故答案为：①②③． 3.椭圆曲线加密算法运用于区块链． 椭圆曲线．关于x轴的对称点记为．C在点处的切线是指曲线在点P处的切线．定义“”运算满足：①若，且直线PQ与C有第三个交点R，则；②若，且PQ为C的切线，切点为P，则；③若，规定，且． （1）当时，讨论函数零点的个数； （2）已知“”运算满足交换律、结合律，若，且PQ为C的切线，切点为P，证明：； （3）已知，且直线PQ与C有第三个交点，求的坐标． 参考公式： 解析：（1）由题设可知，有，若，则，则，此时仅有一个零点；若，令，解得．当或时，，当时，，故在，上为单调递增；在上单调递减.因为，若，则，此时，而故此时有2个零点；若，则， 此时，而 故此时有2个零点；综上，当，所以有2个零点．当，所以有2个零点．当，有，则有1个零点． （2）因为为C在点P处的切线，且，所以，故，故，因为“”运算满足交换律、结合律， 故，故. （3）直线的斜率，设与C的第三个交点为， 则，代入得， 而，故， 整理得到：， 故即， 同理可得，两式相减得：，故， 所以，故，故， 所以，因此的坐标为： ． 学科网（北京）股份有限公司 $$