21.3 实际问题与一元二次方程　教学设计　2024-2025学年人教版数学九年级上册

21.3 实际问题与一元二次方程 一、教学目标 1.学生能够准确识别实际问题中的等量关系，并据此列出一元二次方程。 2.熟练掌握一元二次方程的解法，正确求解方程并检验答案的合理性。 3.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，增强数学应用意识。 二、教学重难点 1.重点：分析实际问题中的数量关系，建立一元二次方程模型并求解。 2.难点：如何将实际问题转化为数学问题，找到合适的等量关系列出方程。 三、教学方法 讲授法、讨论法、练习法相结合，引导学生自主思考与合作交流。 四、教学过程 （一）知识回顾 提问： 什么是一元二次方程？它的一般形式是什么？（答案：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程；一般形式是ax2 + bx + c = 0（）） 一元二次方程有哪些解法？（答案：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法） 回顾解题步骤：以方程x2- 5x + 6 = 0为例，引导学生回顾用因式分解法求解的步骤： 先将方程左边因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0； 再根据 “若两个数的乘积为 0，则至少其中一个数为 0”，得到x - 2 = 0或x - 3 = 0； 最后解得x1 = 2，x2 = 3 。 （二）例题精讲（20 分钟） 例 1：传播问题 问题：有一人患了流感，经过两轮传染后共有 121 人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人。第一轮传染后，患病的人数为1 + x；第二轮传染是在第一轮的基础上进行的，所以第二轮传染后患病的人数为(1 + x) + x(1 + x)，即(1 + x)2。由此可列出方程(1 + x)2 = 121。 求解： 利用直接开平方法，1 + x = ； 当1 + x = 11时，x = 10；当1 + x = -11时，x = -12（人数不能为负数，舍去）。 答案：每轮传染中平均一个人传染了 10 个人。 例 2：增长率问题 问题：某工厂工业废气年排放量为 450 万立方米，为改善大气环境质量，决定分两期投入治理，使废气的年排放量减少到 288 万立方米，如果每期治理中废气减少的百分率相同，求每期减少的百分率是多少？ 分析：设每期减少的百分率为x，则第一期治理后废气年排放量为450(1 - x)万立方米，第二期治理后废气年排放量为450(1 - x)2万立方米，可列出方程450(1 - x)2 = 288。 求解： 方程两边同时除以 450，得到(1 - x)2 = 0.64； 利用直接开平方法，1 - x = 当1 - x = 0.8时，x = 0.2 = 20%；当1 - x = -0.8时，x = 1.8（增长率不能大于 1，舍去）。 答案：每期减少的百分率是 20%。 例 3：几何图形问题 问题：如图，在一块长为 32m，宽为 20m 的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分建成花园，要使花园的面积为 540m^2，道路的宽应为多少？ 分析：设道路的宽为x米，将两条道路平移到矩形的边缘，此时花园的长为(32 - x)米，宽为(20 - x)米，根据矩形面积公式可列出方程(32 - x)(20 - x) = 540。 求解： 展开方程得640 - 32x - 20x + x2 = 540，整理为x2- 52x + 100 = 0； 利用因式分解法，(x - 2)(x - 50) = 0； 解得x1 = 2，x2 = 50（50大于矩形的宽，不符合实际，舍去）。 答案：道路的宽应为 2 米。 （三）课堂检测 1.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡 72 张，则这个小组共有（ ）人。 A. 12 B. 10 C. 9 D. 8 2.某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的 125 元降到 80 元，则平均每次降价的百分率为（ ） A. 10% B. 15% C. 20% D. 25% 3.用一条长 40cm 的绳子围成一个面积为 64cm^2的矩形。设矩形的一边长为xcm，则可列方程为（ ） A. x(20 + x) = 64 B. x(20 - x) = 64 C. x(40 + x) = 64 D. x(40 - x) = 64 4.为执行 “两免一补” 政策，某地区 2023 年投入教育经费 2500 万元，预计 2025 年投入 3600 万元。设这两年投入教育经费的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. 2500x2 = 3600 B. 2500(1 + x)2 = 3600 C. 2500(1 + x%)2 = 3600 D. 2500(1 + x) + 2500(1 + x)2 = 3600 5.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛 90 场，共有多少个队参加比赛？ 6.一个直角三角形的两条直角边的和是 14cm，面积是 24cm^2，求两条直角边的长。 （四）课堂小结 总结本节课学习的重点内容：如何从实际问题中找出等量关系，列出一元二次方程并求解，以及检验答案的合理性。 强调解决实际问题的关键是理解题意，将实际问题转化为数学问题。 （五）布置作业 课本习题 21.3 中相关练习题。 思考：生活中还有哪些问题可以用一元二次方程来解决，并尝试编一道题目。 五、教学反思 在教学过程中，关注学生对实际问题的理解和分析能力，及时发现学生在建立方程模型过程中遇到的困难并给予指导。通过例题精讲和课堂检测，帮助学生巩固知识，提高解题能力。同时，鼓励学生积极思考，培养学生的创新思维和应用数学的意识。 这份教案覆盖了知识回顾、例题讲解和课堂检测。你可以和我说说对内容难度、题型的看法，或提出其他修改需求，让教案更贴合教学。 学科网（北京）股份有限公司 $$