21.3 实际问题与一元二次方程（第1课时）-【七彩课堂】2025-2026学年九年级数学上册同步教学设计（人教版）

21.3 实际问题与一元二次方程 第1课时 一、教学目标 【知识与技能】 会根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程并求解，能根据问题中的实际意义，检验所得结果的合理性. 【过程与方法】 经过“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的过程中，进一步锻炼学生的分析问题，解决问题的能力. 【情感态度与价值观】 通过建立一元二次方程解决实际问题，体验数学的应用价值，增强学习数学的兴趣. 二、课型 新授课 三、课时 第1课时，共3课时。 四、教学重难点 【教学重点】 构建一元二次方程解决实际问题. 【教学难点】 会用代数式表示问题中的数量关系，能根据问题的实际意义，检验所得结果的合理性. 五、课前准备 课件 六、教学过程 （一）导入新课 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？（出示课件2） 你能解决这个问题吗？（出示课件4） （二）探索新知 出示课件5：设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 传染源记作小明，其传染示意图如下： （1）第一轮传染后共有 人患了流感； （2）第二轮传染后共 人患了流感. 根据示意图，列表如下：（出示课件6） 传染源人数 第1轮传染后的人数 第2轮传染后的人数 1 最后师生共同完成解答过程： 解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，列方程为 1+x+(1+x)·x=121 提取公因式，得(1+x)(1+x)=121,即(1+x)2=121. ∴x1=10,x2=-12(不合题意，应舍去)， 故平均一个人传染了10个人. 教师强调：一元二次方程的解有可能不符合题意，所以舍去. 想一想：如果按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感?（出示课件7） 第一轮传染后的人数 第二轮传染后的人数 第三轮传染后的人数 师生共同分析： 生1口答：第1种做法：以1人为传染源,3轮传染后的人数是: (1+x)3=(1+10)3=1331(人). 生2口答：第2种做法：以第2轮传染后的人数121为传染源,传染一次后就是:121(1+x)=121(1+10)=1331（人）. 思考：如果按这样的传染速度，n轮后传染后有多少人患了流感？（出示课件8） 师生共同分析： 传染源 新增患者人数 本轮结束患者总人数 第一轮 第二轮 第三轮 第n轮 达成共识：经过n轮传染后共有(1+x)n人患流感. 出示课件9:例1 某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支? 师生共同分析后解答如下： 解：设每个支干长出x个小分支，由题意可列方程为 1+x+x2=91,即 x2+x-90=0. 解得x1=9,x2=-10(不合题意，应舍去), 答：每个支干长出9个小分支. 出示课件10:引导学生思考并解答如下问题： 1.在分析引例和例1中的数量关系时它们有何区别？ 答案：每个树枝只分裂一次，每名患者每轮都传染. 2.解决这类传播问题有什么经验和方法？ 答案：（1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答； （2）可利用表格梳理数量关系； （3）关注起始值、新增数量，找出变化规律. 教师问：运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？（出示课件11） 学生自主思考后，教师归纳如下： 出示课件12:电脑勒索病毒的传播非常快，如果开始有6台电脑被感染，经过两轮感染后共有2400台电脑被感染. 每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ 学生思考后自主解决. 解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑. 依题意得6+6x+6x(1+x)=2400. 6(1+x)²=2400. 解得x1=19或x2=-21(舍去). 答：每轮感染中平均一台电脑会感染19台电脑. 出示课件13:例2 一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共多少人？ 引导学生积极思考，寻求出实际问题中所蕴含的等量关系，最后师生共同完成解答过程. 解：设这个小组共x人，根据题意列方程，得 x(x-1)=72. 化简，得x2-x-72=0. 解方程，得x1=9，x2=-8（舍去）. 答：这个小组共9人. 出示课件14:生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，求全组有多少名同学？ 学生独立思考，自主探究，找出题目中的等量关系后自主解答： 解：全组有x名同学，根据题意，得 x（x-1）=182. 解得x1=14，x2=-13（不合题意，舍去）. 答：全组有14名同学. （三）课堂练习（出示课件15-22） 1.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（　 ） A．9人 B．10人 C．11人 D．12人 2.某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 3.元旦将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九年级一班共有多少名学生？设九年级一班共有x名学生，那么所列方程为（ ） A.x2=1980 B.x(x+1)=1980 C.x(x-1)=1980 D.x(x-1)=1980 4.有一根月季，它的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是73，设每个枝干长出x个小分支，根据题意可列方程为（ ） A.1+x+x(1+x)=73 B.1+x+x2=73 C.1+x2=73 D.(1+x)²=73 5.早期，甲肝流行，传染性很强，曾有2人同时患上甲肝.在一天内，一人平均能传染x人，经过两天传染后128人患上甲肝，则x的值为（ ）？ A.10 B.9 C.8 D.7 6.为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有111个人参与了传播活动，则n=______. 7.某校初三各班进行篮球比赛（单循环制），每两班之间共比赛了6场，求初三有几个班？ 8.某生物实验室需培育一群有益菌，现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌. (1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？ (2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有益菌？ 参考答案： 1.C 2.C 3.D 4.B 5.D 6.10 7.解：初三有x个班，根据题意列方程，得 化简，得x2-x-12=0. 解方程，得x1=4，x2=-3（舍去）. 答：初三有4个班. 8.分析：设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益菌. 传染源 本轮分裂成有益菌数目 本轮结束有益菌总数 第一轮 60 60x 60(1+x) 第二轮 60(1+x) 60(1+x)x 60(1+x)2 第三轮 60(1+x)2 60(1+x)2x 60(1+x)3 解：设每个有益菌一次分裂出x个有益菌. 60+60x+60(1+x)x=24000. x1=19，x2=-21（舍去）. 因此每个有益菌一次分裂出19个有益菌. 三轮后有益菌总数为24000×(1+19)=480000. （四）课堂小结 通过这节课的学习，你对传播类的应用问题的处理有哪些体会和收获？谈谈你的看法. （五）课前预习 预习下节课（21.3第2课时）的相关内容. 七、课后作业 配套练习册内容 八、板书设计： 九、教学反思： 1.教师引导学生熟悉列一元二次方程解应用题的步骤，创设问题推导出列一元二次方程解应用题的步骤，有利于学生熟练掌握用一元二次方程解应用题的步骤. 2.传播类和增长率问题是一元二次方程中的重点问题，本设计问题中反映出不同的“传播”和增长率，有利于学生更好地掌握这一问题. 学科网（北京）股份有限公司 $