精品解析：海南省海口市琼山区海南中学2024—2025学年下学期九年级第二次模拟考试数学科试题

海南中学2024-2025学年初三年级第二次模拟考 数学 （全卷满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（本大题满分36分，每小题3分） 1. 用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的定义，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离．到原点距离最近的点，即绝对值最小的点，首先求出各个数的绝对值，即可作出判断． 【详解】解：∵，，，，， ∴与原点距离最近的是1， 故选：B． 2. 2025年五一假期海南离岛免税购物金额为5.1亿元，购物人数达7.91万，人均消费约6448元．其中，数据“510000000”可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选C． 3. 下列图案中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，根据图形沿着某条直线对折，直线两侧的图形能完全重合，则该图形为轴对称图形． 【详解】解：由轴对称图形的定义可知A、C、D均是轴对称图形， 只有B不是轴对称图形， 故选：B． 4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查由三视图判断几何体，关键是熟悉三视图的定义． 【详解】解：根据三视图的形状，结合三视图的定义以及几何体的形状特征可得该几何体为D选项． 故选：D． 5. 若某三角形的三边长分别为3，5，m，则m的值可以是（ ） A. 2 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解答的关键．根据三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：根据三角形三边关系可得：， 即， 符合要求的值为7， 故选：B． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了单项式除以单项式，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，根据单项式除以单项式，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法法则分别判断即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 详解】、，原选项计算错误，不符合题意； 、与不能合并，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 故选：． 7. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式，然后在数轴上表示不等式的解集即可求解． 【详解】解： 解得：， 数轴上表示不等式的解集 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，数形结合是解题的关键． 8. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》与《四元玉鉴》的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率．画树状图表示出所有等可能的情况和恰好选中《算学启蒙》与《四元玉鉴》的情况，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：令《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》《四元玉鉴》分别为A、B、C、D， 画树状图法如下： 由树状图可以看出，所有可能的结果有种，并且这种结果出现的可能性相等，其中恰好选中《算学启蒙》与《四元玉鉴》的情况有种， ∴恰好选中《算学启蒙》与《四元玉鉴》的概率是， 故选：D 9. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，，．将线段平移至线段，若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直角坐标系中的平移，由题意，线段由线段向右平移个单位，再向下平移个单位得到，即可得出点的坐标． 【详解】解：点A，B分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，，， ∴、． ∵线段平移至线段．点的坐标为， ∴点A向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度， ∵点B向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后为． 故选：B． 10. 如图，在中，直径与弦相交于点P，连接，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据圆周角定理得出，再由三角形外角和定理可知，再根据直径所对的圆周角是直角，即，然后利用进而可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵为直径，即， ∴， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了圆周角定理，三角形外角和定理等知识，解题关键是熟知圆周角定理的相关知识． 11. 如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由作图可知平分，设与交于点O，与交于点R，作于点Q，根据角平分线的性质可知，进而证明，推出，设，则，解求出．利用三角形面积法求出，再证，根据相似三角形对应边成比例即可求出． 【详解】解：如图，设与交于点O，与交于点R，作于点Q， 矩形中，， ， ． 由作图过程可知，平分， 四边形是矩形， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ． ． ， ． ，， ， ，即， 解得． 故选A． 【点睛】本题考查角平分线的作图方法，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，涉及知识点较多，有一定难度，解题的关键是根据作图过程判断出平分，通过勾股定理解直角三角形求出． 12. 下面是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为（ ） A. 148 B. 152 C. 174 D. 202 【答案】C 【解析】 【分析】观察各图可知，第一个图案需要黑色棋子的个数为(1+2+3)×2（个），第二个图案需要的个数为[(1+2+3+4)×2+2×1]（个），第三个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5)×2+2×2]（个），第四个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5+6)×2+2×3]（个）…由此可以推出第n个图案需要的个数为（个），所以第10个图案需要的个数只需将n=10代入即可． 【详解】解：由图知第一个图案需要黑色棋子的个数为(1+2+3)×2（个）； 第二个图案需要的个数为[(1+2+3+4)×2+2×1]（个）； 第三个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5)×2+2×2]（个）； 第四个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5+6)×2+2×3]（个）； … 第n个图案需要的个数为（个） ∴第10个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12)×2+2×9=174（个） 故选C． 【点睛】本题考查了图形的变化．解题的关键是观察各个图形找到它们之间的规律． 二、填空题（本大题满分9分，每小题3分） 13. 反比例函数的图象在_____________象限． 【答案】第二、第四． 【解析】 【分析】根据反比例函数的k值与图象的关系判断即可． 【详解】当反比例函数k＜0时，函数图象经过二、四象限， 因为-6＜0，则该反比例函数图象经过二、四象限， 故答案为：第二、第四． 【点睛】本题考查反比例函数图象的性质，熟记基本性质是解题关键． 14. 分式方程的解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是"转化思想"，把分式方程转化为整式方程求解，注意解分式方程一定注意要验根． 两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解析 方程两边同乘， 得．解得． 检验：当时，． 原分式方程的解为． 故答案：． 15. 如图，正方形的边长为3，E，F是对角线上的两个动点，且，连接，，则的长为________，周长的最小值为________． 【答案】； 【解析】 【分析】连接，，以，为邻边作平行四边形，即可推出，则当G，F，C在同一直线上时，的最小值等于的长，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，， 以，为邻边作平行四边形， 则，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当G，F，C在同一直线上时，的最小值等于的长， 在中，， 在中，， ∴的最小值等于， 又∵， ∴周长的最小值为， 故答案为：；． 【点睛】本题考查轴对称-最短问题，正方形的性质、勾股定理、平行四边形的判定和性质、全等三角形的性质与判定等知识，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 三、解答题（本大题满分75分） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）3（2）； 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算和整式的化简求值，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答本题的关键． （1）原式先计算负整数指数幂、化简绝对值和零指数幂，再计算乘除法，最后进行加减运算即可； （2）原式先根据平方差公式将括号展开，合并后将代入计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； 当时，原式． 17. 乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包了一些田地．采用新技术种植两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如表： 农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金（万元） 已知农作物种植人员共位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共万元．问这两种农作物的种植面积各多少公顷？ 【答案】农作物的种植面积为公顷，农作物的种植面积为公顷． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设农作物的种植面积为公顷，农作物的种植面积为公顷，根据题意列出二元一次方程组即可求解，根据题意，找到等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设农作物的种植面积为公顷，农作物的种植面积为公顷， 由题意可得，， 解得， 答：农作物的种植面积为公顷，农作物的种植面积为公顷． 18. 如图，已知四边形，，P是边上的一点，，． （1）求证：； （2）若的面积为8，，求的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，含的直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定以及含的直角三角形的性质是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质判断出，即可证明； （2）先求出，然后得出，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 19. 端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗，在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于的整数、为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取名学生的活动成绩作为样本进行活整理，并绘制统计图表，部分信息如下： 八年级名学生活动成绩统计表 成绩/分 人数 已知八年级名学生活动成绩的中位数为分． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）样本中，七年级活动成绩为分的学生数是______________，七年级活动成绩的众数为______________分； （2）______________，______________； （3）若认定活动成绩不低于分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）优秀率高的年级不是平均成绩也高，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据扇形统计图得出七年级活动成绩为分的学生数的占比为，即可得出七年级活动成绩为分的学生数，根据扇形统计图结合众数的定义，即可求解； （2）根据中位数的定义，得出第名学生为分，第名学生为分，进而求得，的值，即可求解； （3）分别求得七年级与八年级的优秀率与平均成绩，即可求解． 【小问1详解】 解：根据扇形统计图，七年级活动成绩为分学生数的占比为 ∴样本中，七年级活动成绩为分的学生数是， 根据扇形统计图，七年级活动成绩的众数为 故答案为：． 【小问2详解】 ∵八年级名学生活动成绩的中位数为分， 第名学生分，第名学生为分， ∴， ， 故答案为：． 【小问3详解】 优秀率高的年级不是平均成绩也高，理由如下， 七年级优秀率为，平均成绩为：， 八年级优秀率为，平均成绩为：， ∴优秀率高的年级为八年级，但平均成绩七年级更高， ∴优秀率高的年级不是平均成绩也高 【点睛】本题考查了扇形统计图，统计表，中位数，众数，求一组数据的平均数，从统计图表获取信息是解题的关键． 20. 综合与实践： 【问题情境】 某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动． 【操作发现】 第一小组的同学想到借助正方形网格解决问题．如图1是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．在其中画出，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边，分别经过点A，B，他们借助此图求出了的面积． （1）在图1中，所画的的三边长分别是________，________，________，的面积为________； （2）在图2所示的正方形网格中画出（顶点都在格点上），使，，，并求出的面积； 【继续探究】 第二小组的同学想到借助曾经阅读的数学资料来解决问题．“已知三角形的三边长分别为a，b，c，求其面积”，古今中外的数学家曾经对此问题进行过深入的研究．古希腊几何学家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶都给出过计算的公式： 海伦公式：，其中； 秦九韶公式：． （3）一个三角形的三边长依次为，，，请你从上述材料中选用适当的公式求这个三角形的面积（写出计算过程）． 【答案】（1），，，；（2）图见解析；的面积为3；（3）． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理计算的三边长；利用所在正方形的面积减去周围直角三角形的面积可求其面积； （2）仿照第一小组的方法利用勾股定理在正方形网格中画出，并利用割补法求其面积即可； （3）利用秦九韶公式，代入求值即可． 【详解】解：（1），，， 的面积， 故答案为，，，； （2）如图所示， 的面积； （3）将，，代入秦九韶公式， 得 ． 【点睛】本题主要考查的是勾股定理的应用以及二次根式的运算，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． 21. 在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，点C为抛物线与y轴的交点． （1）如图，若该抛物线经过点； ①求抛物线的解析式，并直接写出抛物线与x轴的另一个交点B的坐标； ②连接．若点E为直线上方抛物线上的动点，连接、，则四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点E的横坐标；若不存在，请说明理由． （2）当时，对于任意的正数t，若点，在该抛物线上，则________（填“”“”或“”）； （3）已知点，，若该抛物线与线段恰有一个公共点，求a的取值范围． 【答案】（1）①，点B的坐标的坐标为；②存在， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）①利用待定系数法求出表达式，然后根据对称性求出点B坐标； ②首先求出，所占直线解析式为，如图所示，过点E作轴交x轴于点G，交于点F，设，则，表示出，得到，然后根据二次函数的性质求解即可； （2）首先得到抛物线开口向上，然后判断出点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，即可得到； （3）首先得到抛物线，然后分两种情况讨论：和，然后分别求解即可． 【小问1详解】 ①∵抛物线的对称轴是直线，经过点 ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为 ∵，对称轴是直线 ∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标的坐标为； ②∵， ∴ ∵ 当时， ∴，即 ∴ 设所占直线解析式 ∴将代入得， 解得 ∴所占直线解析式为 如图所示，过点E作轴交x轴于点G，交于点F ∵点E为直线上方抛物线上的动点 ∴设，则 ∴ ∴ ∵ ∴当时，由最大值 ∴此时； 【小问2详解】 ∵当时， ∴抛物线开口向上 ∵对于任意的正数t，若点，在该抛物线上， ∴， ∵ ∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离 ∴； 【小问3详解】 ∵抛物线的对称轴是直线 ∴ ∴抛物线 如图所示，当时，抛物线开口向上，当抛物线经过点时， ∴ 解得 ∴若该抛物线与线段恰有一个公共点 ∴； 如图所示，当时，抛物线开口向下，当抛物线的顶点在线段上时，此时抛物线与线段只有一个交点 ∴此时抛物线顶点坐标为 ∴ 解得 综上所述，若该抛物线与线段恰有一个公共点，a的取值范围为或． 【点睛】本题考查抛物线综合，二次函数的性质，抛物线与线段的公共交点问题，掌握抛物线的顶点坐标，二次函数的性质，抛物线与线段的公共交点，掌握二次函数的性质是解题关键． 22. 如图1，在中，，点M，N分别为边，的中点，连接． 【初步尝试】（1）与的数量关系是________，与的位置关系是________． 【特例研讨】（2）如图2，若，，先将绕点B顺时针旋转（为锐角），得到，当点A，E，F在同一直线上时，与相交于点D，连接，． ①猜想的形状并证明； ②求出的长． 【深入探究】（3）若，将绕点B顺时针旋转，得到，连接，．当旋转角满足，点C，E，F在同一直线上时，利用所提供的备用图探究与的数量关系，直接写出你的结论． 【答案】（1）；；（2）①是等边三角形；证明见解析；②；（3）或 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理解答即可； （2）①根据等腰三角形的性质可得，再由旋转的性质可得，，进而得到，继而得到，即可解答；②连接，设，则，，根据，可得，在中，根据勾股定理可求出x的值，即可求解； （3）分两种情况讨论：当点E在线段上时，当点E在线段的延长线上时，即可求解． 【详解】解：（1）∵点M，N分别为边，的中点， ∴是的中位线， ∴且， 即与的数量关系是，与的位置关系是； 故答案为：；； （2）①是等边三角形，证明如下： 由（1）得：，， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质得：，， ∵点C，E，F在同一直线上， ∴， ∵点M为边的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形； ②如图，连接， ∵，，， ∴， ∵点M为边的中点， ∴， ∵点N是的中点， ∴，， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴； （3）如图，当点E在线段上时， ∵， ∴， 设，则， ∵是的中位线， ∴， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， ∵点C，E，F在同一条直线上， ∴， ∴， ∴点A，B，E，C四点共圆， ∴， ∴ ∵， ∴； 如图，当点E在线段的延长线上时， ∵， ∴点A，B，E，C四点共圆， 设，则， 由旋转性质，可设，则，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，或． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，中位线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南中学2024-2025学年初三年级第二次模拟考 数学 （全卷满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（本大题满分36分，每小题3分） 1. 用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 2. 2025年五一假期海南离岛免税购物金额为5.1亿元，购物人数达7.91万，人均消费约6448元．其中，数据“510000000”可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列图案中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A. B. C D. 5. 若某三角形的三边长分别为3，5，m，则m的值可以是（ ） A. 2 B. 7 C. 8 D. 9 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》与《四元玉鉴》的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴正半轴和y轴的正半轴上，，．将线段平移至线段，若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，直径与弦相交于点P，连接，若，，则（ ） A B. C. D. 11. 如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（ ） A. B. C. D. 4 12. 下面是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为（ ） A. 148 B. 152 C. 174 D. 202 二、填空题（本大题满分9分，每小题3分） 13. 反比例函数的图象在_____________象限． 14. 分式方程的解为__________． 15. 如图，正方形的边长为3，E，F是对角线上的两个动点，且，连接，，则的长为________，周长的最小值为________． 三、解答题（本大题满分75分） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包了一些田地．采用新技术种植两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如表： 农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金（万元） 已知农作物种植人员共位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共万元．问这两种农作物的种植面积各多少公顷？ 18. 如图，已知四边形，，P是边上的一点，，． （1）求证：； （2）若的面积为8，，求的大小． 19. 端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗，在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于的整数、为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取名学生的活动成绩作为样本进行活整理，并绘制统计图表，部分信息如下： 八年级名学生活动成绩统计表 成绩/分 人数 已知八年级名学生活动成绩的中位数为分． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）样本中，七年级活动成绩为分的学生数是______________，七年级活动成绩的众数为______________分； （2）______________，______________； （3）若认定活动成绩不低于分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由． 20. 综合与实践： 【问题情境】 某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动． 【操作发现】 第一小组的同学想到借助正方形网格解决问题．如图1是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．在其中画出，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边，分别经过点A，B，他们借助此图求出了的面积． （1）在图1中，所画的的三边长分别是________，________，________，的面积为________； （2）在图2所示的正方形网格中画出（顶点都在格点上），使，，，并求出的面积； 【继续探究】 第二小组的同学想到借助曾经阅读的数学资料来解决问题．“已知三角形的三边长分别为a，b，c，求其面积”，古今中外的数学家曾经对此问题进行过深入的研究．古希腊几何学家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶都给出过计算的公式： 海伦公式：，其中； 秦九韶公式：． （3）一个三角形的三边长依次为，，，请你从上述材料中选用适当的公式求这个三角形的面积（写出计算过程）． 21. 在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，点C为抛物线与y轴的交点． （1）如图，若该抛物线经过点； ①求抛物线的解析式，并直接写出抛物线与x轴的另一个交点B的坐标； ②连接．若点E为直线上方抛物线上动点，连接、，则四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点E的横坐标；若不存在，请说明理由． （2）当时，对于任意的正数t，若点，在该抛物线上，则________（填“”“”或“”）； （3）已知点，，若该抛物线与线段恰有一个公共点，求a取值范围． 22. 如图1，在中，，点M，N分别为边，的中点，连接． 【初步尝试】（1）与的数量关系是________，与的位置关系是________． 【特例研讨】（2）如图2，若，，先将绕点B顺时针旋转（为锐角），得到，当点A，E，F在同一直线上时，与相交于点D，连接，． ①猜想的形状并证明； ②求出的长． 【深入探究】（3）若，将绕点B顺时针旋转，得到，连接，．当旋转角满足，点C，E，F在同一直线上时，利用所提供的备用图探究与的数量关系，直接写出你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $