精品解析：山东省泰安第一中学2024-2025学年高一下学期6月月考数学试题

高一数学6月份月考测试题 一、单选题 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用复数的除法运算，结合复数的几何意义即可. 详解】复数， 则其在复平面所对应的点为，故其在第四象限， 故选：D. 2. 已知向量，满足，，则（ ）． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合向量坐标运算法则，准确计算，即可求解. 【详解】由向量，可得， 因为，所以. 故选：D. 3. 在正方体中，异面直线与所成角的正弦值是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】首先画出图象，然后确定异面直线与所成角的大小，进而求出其正弦值. 【详解】如图，连接，，则∥， 所以为异面直线BD与所成角， 因为为等边三角形， 所以， 所以， 所以异面直线BD与所成角的正弦值是， 故选：A 故选：A. 4. 已知事件与事件相互独立，且，则（ ） A. 0.1 B. 0.12 C. 0.58 D. 0.7 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的概率及概率的基本性质计算得解. 【详解】由事件与事件相互独立，，得， 所以. 故选：C 5. 如图，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）称对称形态，图（2）称不规则形态，图（3）称“右拖尾”形态，根据图形作出以下判断，正确的是（ ） A. 图（1）：平均数>中位数=众数 B. 图（2）：众数>平均数 C. 图（3）：众数<中位数<平均数 D. 图（3）：众数<平均数<中位数 【答案】C 【解析】 【分析】在频率分布直方图中，我们根据图形的形态特点来分析这三个统计量的大小关系。对于对称形态，平均数、中位数和众数大致相等；对于不规则形态，需根据图形具体分析；对于“右拖尾”形态，由于右侧有较大的极端值，会拉高平均数，从而使得众数、中位数和平均数有特定的大小关系。 【详解】A中应有平均数=中位数=众数； B中众数<平均数； C，D中，平均数易受极端值影响，与中位数相比，平均数更接近“拖尾”的一边，所以平均数>中位数，而最高峰偏左，因此众数最小. 故选：C. 6. 已知平面，点是外一点，过点的直线与分别交于点，过点的直线与分别交于点，且，则长（ ） A. 6 B. 6或30 C. D. 6或 【答案】B 【解析】 【分析】根据面面平行的性质定理得到线线平行，再分点在平面的同侧和点在平面之间两种情况，利用相似三角形的性质求出的长. 【详解】当点位于平面同侧时， 如图（1），则， ∴， ∴； 当点位于平面之间时， 如图（2），， ∴， ∴. 故选：B. 7. 交通锥，又称锥形交通路标，如图1，常用于进行工程、发生事故时提醒行人或车辆，以保证工程人员及道路使用者的人身安全等．某数学课外兴趣小组对一个去掉底座的圆锥形交通锥筒进行研究，发现将该交通锥筒放倒在地面上，如图2，使交通锥筒在地面上绕其顶点滚动，当这个交通锥筒首次转回原位置时，交通锥筒恰好滚动了3周．若交通锥筒近似看成无底的圆锥，将地面近似看成平面，该圆锥的底面半径为，则该圆锥的侧面积为（交通锥筒的厚度忽略不计）（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆的周长公式、圆锥的侧面积公式或利用圆的面积公式、圆锥的侧面积公式运算即可得解. 【详解】解法一：设圆锥的母线长为，则圆锥绕顶点滚动所形成的圆的半径为，周长为， 又圆锥的底面圆半径，则该圆锥的底面周长为， 故由题意，，解得：， 所以圆锥的侧面积，故该圆锥的侧面积为． 故选：B. 解法二：设圆锥的母线长为，则圆锥绕顶点滚动所形成的圆的半径为，面积为， 又圆锥的底面圆半径，则该圆锥的侧面积为， 故由题意，，解得：， 所以圆锥的侧面积，故该圆锥的侧面积为． 故选：B. 8. 如图，复数对应向量，且，则向量在向量上的投影向量坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图示表示出复数，结合已知条件算出的值，进一步得到向量和向量的坐标表示，最后使用投影向量公式即可算出答案. 【详解】，， ，可解， ，，向量在向量上的投影向量为. 故选：B. 二、多选题 9. 设中角所对的边分别为，若，则下列结论中正确的是 （ ） A. 可能是锐角三角形 B. 的面积一定小于 C. D. 若为等腰三角形，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式逐一判断各选项即得. 【详解】对于A，中，由余弦定理，，即为钝角，故A错误； 对于B，由A项，得，则的面积，故B正确； 对于C，由和正弦定理，可得，故C正确； 对于D，若为等腰三角形，因为钝角，则，又，故，则D正确. 故选：BCD. 10. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是 （ ） A. 点到平面的距离不变 B. 平面截该正方体所得截面面积为 C. 当点在线段上运动时，始终有平面 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，证得平面，由点在上，可判定A正确；连接，得到平面截该正方体所得的截面为平面，得到四边形为菱形，求得四边形的面积，可判定B错误；连接，证得平面平面，得到平面，可判定C正确；连接，把平面沿展开到平面所在平面，在中，利用余弦定理，求得的长，可判定D正确. 【详解】对于A中，因为分别是的中点，可得， 因为平面，平面，所以平面， 又因为点在线段上，所以点到平面的距离不变，所以A正确； 对于B中，如图1所示，连接，因为分别是的中点， 可得，，用平面截该正方体所得的截面为平面， 又因为正方体的棱长为， 可得，且， 则四边形为菱形，可得四边形的面积为，所以B错误； 对于C中，如图2所示，连接， 在正方体中，可得且， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证：平面， 又因为，且平面，所以平面平面, 又因为平面，所以始终有平面，所以C正确； 对于D中，如图3所示，连接，把平面沿展开到平面所在平面， 如图4所示，连接交于点，此时取得最小值，即最小值为， 在中，，， 由余弦定理可得，所以D正确. 故选：ACD. 11. 对非零向量，定义变换，得到一个新的向量，关于该变化，下列说法正确的是 （ ） A. B. 若，则 C. 设为线段的中点，则 D. 设为坐标原点，且点构成等腰三角形，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据定义的变换代入计算即可，对B，可设，在代入定义变换运算法则即可判断；对C，先求点，然后得出，代入定义变换直接计算即可；对D，先计算，再得，再利用点构成等腰三角形，列出方程再解方程即可. 【详解】，，A正确； 若，不妨记，由A选项，，∴，B正确； 为线段的中点，，C错误； ，，， ，，， ∴构成等腰三角形，只可能，联立可解，D正确; 故选：ABD. 三、填空题 12. 中，已知点满足，若，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】结合图形，利用向量的加减数乘运算即可求出的值. 【详解】∵，∴， 即，故， ∴. 故答案为：. 13. 某学生5天的生活费（单位:元）分别为：，，8，9，6．已知这组数据的平均数为8，方差为2，则_______ . 【答案】3 【解析】 【详解】试题分析：依题意得 ， ，解得 或 ，故 . 考点：样本平均数和方差的计算 14. 《九章算术》中，将底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.如图，已知三棱柱是一“堑堵”，，，点为的中点.则①所在直线与平面所成线面角为___________；②三棱锥的外接球表面积为______________. 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】通过线线垂直证明线面垂直，求得线面所成角；由等边三角形的中心，找到三棱锥的外接球球心，借助于直角梯形即可求得外接球半径，从而得到其表面积. 【详解】在三棱柱中，平面，因平面，则， 因面，，则平面， 故所在直线与平面所成线面角为； 由图，三棱锥即三棱锥，因， 即底面是边长为2的等边三角形，设其中心为点， 设三棱锥的外接球球心为点，半径为，连，则平面， 连，则，则， 由图可得：，解得，则外接球表面积. 故答案为：；. 四、解答题 15. 已知，复数． （1）若z是纯虚数，求m的值； （2）若z对应的点为直线第一象限上一点，求． 【答案】（1）m＝－2 （2） 【解析】 【分析】（1）先将复数化简，让实部为零且虚部不为零，解出m即可. （2）由题知：实部大于零且虚部大于零，并且满足直线方程，将实部、虚部代入直线方程，求出m的值，检验是否符合要求.再写出共轭复数即可. 【小问1详解】 复数． 若z是纯虚数，则，解得m＝－2． 所以当m＝－2时，复数z为纯虚数． 【小问2详解】 由，化简可得， 解得m＝－1或5． 当m＝－1时，z＝0，不符合题意； 当m＝5时，，满足z对应的点为直线x−y=0第一象限上一点， 所以． 16. 某校举行一次知识竞赛，共900名学生参加，为了解竞赛成绩，抽取部分学生成绩（得分均为整数，满分100分）进行统计.请根据未完成的频率分布表和频率分布直方图，解答下列问题： 分组 频数 频率 4 0.08 0.16 10 16 0.32 合计 50 （1）将频率分布表和频率分布直方图补充完整； （2）成绩在内的学生获得奖章，请估计该校获得奖章的人数； （3）依据频率分布直方图的统计信息估计该校学生竞赛成绩的第70百分位数（结果保留整数）. 【答案】（1）答案见解析 （2）504 （3）88 【解析】 【分析】（1）在频率分布表中，各组的频数频率样本容量，再根据频率的和等于1建立等式解之即可， 根据频率分布表补全频数分布直方图； （2）首先求出样本中成绩在内的频率，结合共有900名学生参加了这次竞赛可得答案； （3）依据频率分布直方图的统计信息估计该校学生竞赛成绩的第70百分位数. 【小问1详解】 由已知样本容量为，故第二组的频数为，第三组的频率为，第五组的频数为：，频率为：， 故频率分布表为： 分组 频数 频率 [50,60) 4 0.08 [60,70) 8 0.16 [7080) 10 0.20 [80,90) 16 0.32 [90,100] 12 0.24 合计 50 1 频率分布直方图 【小问2详解】 估计该校获得奖章的人数为 【小问3详解】 设该校学生竞赛成绩的70%分位数为，依据频率分布直方图，， 保留到整数，解得. 17. 中，∵，∴常用到这一组诱导公式：.已知不是直角三角形，内角的对边分别为，. （1）求； （2）边上中线为，从以下三个条件中选两个，使存在且唯一确定，并求和的长度. 条件①：；条件②：；条件③：的面积. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由代入，结合两角和差的余弦公式化简即可； （2）选择①②，由余弦定理确定，再结合余弦定理及即可求解； 选②③，由面积公式得到，再结合余弦定理及即可求解；选①③，由余弦定理确定，结合面积公式求得，再结合余弦定理及即可求解； 【小问1详解】 因为，结合， 所以， 即，不是直角三角形，， ∴， ∴. 【小问2详解】 选①②， 转化条件①：， 即，∴， 因为，， ∴， 中线对应的向量， 所以， ∴ 选②③，转化条件③：， ∴， 因为， 所以，∴， 中线对应的向量，， ∴. 选①③，转化条件①：， 即，∴， 转化条件③：， ∴， 所以， 因为， 所以，∴， 中线对应的向量， ， ∴. 18. 如图，在等腰梯形中，，.将沿着翻折，使得点到点，且. （1）求证：平面平面； （2）求二面角平面角的正切值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）要证明面面垂直，可通过线面垂直推导出面面垂直，即证明平面即可. （2）首先作适当的辅助线，根据线面垂直找出二面角的平面角，然后根据边角关系求出正切值. （3）根据等体积法，，即可求出点到平面的距离. 【小问1详解】 证明： 连接，根据余弦定理， ∴，，∴， 又已知，平面， ∴平面，∵平面， ∴平面平面； 【小问2详解】 由（1）知平面平面，平面平面， 作于（中点），则平面， 作于，连接，因为平面， 所以平面， ∴，所以为二面角的平面角， 因为， ∴. 所以二面角平面角的正切值为. 【小问3详解】 记点到平面的距离为， ∵，∴， 由（2）知，所以根据勾股定理可得， ∴. 所以点到平面的距离为. 19. 某种质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别标有数字0，1，2，3，将这个玩具抛掷次，记第次抛掷后玩具与桌面接触的面上所标的数字为. （1）分别计算事件“”和“”的概率； （2），令.记是3的倍数的概率为； ①求； ②试推导与之间的关系. 【答案】（1） （2）①；；② 【解析】 【分析】（1）通过列举法，利用古典概型概率公式计算即得； （2）①与（1）同法运用古典概型概率公式求解；②记分别表示被3整除、被3除余1，被3除余2的事件，记分别表示被3整除、被3除余1，被3除余2的事件，依题意，建立①②③组成的方程组，消去，即得，将代入整理即得与之间的关系式. 【小问1详解】 记事件为“”，事件为“”， ①求：样本空间为：，，则； ②求，样本空间为： ， ，则. 【小问2详解】 ①求，先令事件“是3的倍数”，由（1），，则； 求，先令事件“是3的倍数”，由（1），， 因，则. ②记事件为“被3整除”，为“被3除余1”， 为“被3除余2”，∵，∴两两互斥，且， 记事件为“被3整除”，为“被3除余1”， 为“被3除余2”，则两两互斥，且， 由于每次抛掷得到的数字互不影响， 则 由：， 将代入上式，整理得：， 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学6月份月考测试题 一、单选题 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2 已知向量，满足，，则（ ）． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 在正方体中，异面直线与所成角的正弦值是（ ） A. B. C. D. 1 4 已知事件与事件相互独立，且，则（ ） A. 0.1 B. 0.12 C. 0.58 D. 0.7 5. 如图，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）称对称形态，图（2）称不规则形态，图（3）称“右拖尾”形态，根据图形作出以下判断，正确的是（ ） A. 图（1）：平均数>中位数=众数 B. 图（2）：众数>平均数 C. 图（3）：众数<中位数<平均数 D. 图（3）：众数<平均数<中位数 6. 已知平面，点是外一点，过点的直线与分别交于点，过点的直线与分别交于点，且，则长（ ） A. 6 B. 6或30 C. D. 6或 7. 交通锥，又称锥形交通路标，如图1，常用于进行工程、发生事故时提醒行人或车辆，以保证工程人员及道路使用者的人身安全等．某数学课外兴趣小组对一个去掉底座的圆锥形交通锥筒进行研究，发现将该交通锥筒放倒在地面上，如图2，使交通锥筒在地面上绕其顶点滚动，当这个交通锥筒首次转回原位置时，交通锥筒恰好滚动了3周．若交通锥筒近似看成无底的圆锥，将地面近似看成平面，该圆锥的底面半径为，则该圆锥的侧面积为（交通锥筒的厚度忽略不计）（ ） A. B. C. D. 8. 如图，复数对应向量，且，则向量在向量上的投影向量坐标为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 设中角所对的边分别为，若，则下列结论中正确的是 （ ） A. 可能是锐角三角形 B. 的面积一定小于 C. D. 若为等腰三角形，则 10. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是 （ ） A. 点到平面的距离不变 B. 平面截该正方体所得的截面面积为 C. 当点在线段上运动时，始终有平面 D. 的最小值为 11. 对非零向量，定义变换，得到一个新的向量，关于该变化，下列说法正确的是 （ ） A. B. 若，则 C. 设为线段中点，则 D. 设为坐标原点，且点构成等腰三角形，则 三、填空题 12. 中，已知点满足，若，则___________. 13. 某学生5天的生活费（单位:元）分别为：，，8，9，6．已知这组数据的平均数为8，方差为2，则_______ . 14. 《九章算术》中，将底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.如图，已知三棱柱是一“堑堵”，，，点为的中点.则①所在直线与平面所成线面角为___________；②三棱锥的外接球表面积为______________. 四、解答题 15. 已知，复数． （1）若z是纯虚数，求m的值； （2）若z对应的点为直线第一象限上一点，求． 16. 某校举行一次知识竞赛，共900名学生参加，为了解竞赛成绩，抽取部分学生成绩（得分均为整数，满分100分）进行统计.请根据未完成频率分布表和频率分布直方图，解答下列问题： 分组 频数 频率 4 008 0.16 10 16 0.32 合计 50 （1）将频率分布表和频率分布直方图补充完整； （2）成绩在内的学生获得奖章，请估计该校获得奖章的人数； （3）依据频率分布直方图的统计信息估计该校学生竞赛成绩的第70百分位数（结果保留整数）. 17. 中，∵，∴常用到这一组诱导公式：.已知不是直角三角形，内角的对边分别为，. （1）求； （2）边上中线为，从以下三个条件中选两个，使存在且唯一确定，并求和的长度. 条件①：；条件②：；条件③：的面积. 18. 如图，在等腰梯形中，，.将沿着翻折，使得点到点，且. （1）求证：平面平面； （2）求二面角平面角的正切值； （3）求点到平面的距离. 19. 某种质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别标有数字0，1，2，3，将这个玩具抛掷次，记第次抛掷后玩具与桌面接触的面上所标的数字为. （1）分别计算事件“”和“”的概率； （2），令.记是3的倍数的概率为； ①求； ②试推导与之间的关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $