精品解析：河南省周口市郸城县2024-2025学年九年级下学期4月期中考试数学试题

2024-2025学年度第二学期期中考试卷 九年级数学 注意事项：1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．请用蓝、黑色水笔或圆珠笔直接答在答题卡上． 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题(每小题3分，共30分)下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确选项的代号字母填入题后括号内． 1. 的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 5 2. 据“交通运输部”微信公众号消息，根据国务院物流保通保畅工作领导小组办公室监测汇总数据，2025年2月3日-2月9日，全国货运物流有序运行，其中国家铁路累计运输货物6989万吨，环比增长7.49%．数据6989万用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是一个几何体的三种视图，则这个几何体是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知直线，则 的度数为（ ） A B. C. D. 5. 如图，利用图中的面积关系可以验证的等式关系为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一次函数的图象经过点，则一元一次不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在四边形中，，点、、、分别是线段、、、的中点，则四边形的周长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 8. 某学校食堂为更好地服务学生，让全体学生给食堂服务情况进行打分，以便了解存在的问题，及时改进．如图是学生给食堂的打分情况(满分5分)，其中相应分数的众数和中位数分别是（ ） A. 3，3 B. 3，4 C. 4，4 D. 4，3 9. 如图，矩形中，，以为圆心，长为半径画弧交于点，以为圆心， 的长为半径画弧，交于点 F，则阴影部分的面积为（ ） A. 12π B. C. D. 10. 九年级同学在研究某种化学试剂的挥发情况时，发现可以用数学的相关知识解决问题．小组同学在A，B两种不同的场景下做对比实验，得到该试剂在挥发过程中剩余质量 (克)随时间x(分钟)变化的数据．他们建立平面直角坐标系，以时间为横坐标，剩余质量为纵坐标，在坐标系内描出对应点，得到如图所示的图象，下面判断错误的是（ ） A. 是关于x的二次函数 B. 是关于x一次函数 C. 当时，A场景用的时间大于 B 场景用的时间 D. 10分钟时，A场景剩余质量小于 B 场景剩余质量 二、填空题(每小题3分，共15分) 11. 请写出一个小于的整数：_______． 12. 方程 的解的情况为______． 13. 只有河南————戏剧幻城用沉浸的方式讲出厚重的河南．它不仅仅是河南文旅的新名片，更是河南人更加认同自己、介绍自己、让更多人了解河南最好的载体．景区以沉浸式戏剧艺术为手法，以独特的“幻城”建筑为载体，通过讲述关于“土地、粮食、传承”的故事，让更多人感受戏剧文化的魅力．小明假期期间去景区参观，由于时间关系，他只能在《李家村剧场》《幻城剧场》《火车站剧场》和文明之光(闭园大秀)中随机选择两个参观，则他选中《李家村剧场》和文明之光(闭园大秀)的概率为________． 14. 对于任意实数a、b，规定运算∶．判定关于x的方程的根的情况：________． 15. 如图，点D 是等边三角形边上一点，，连接，将沿 翻折，得到，线段绕点D 旋转，点A 的对应点为点，当点是一边的中点时，的长度为_________． 三、解答题(本大题8个小题，共75分) 16. （1）计算∶； （2）计算∶ ． 下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 甲 乙 解：原式 …… 解：原式 …… ①甲同学解法的依据是 ，乙同学解法的依据是 ；(填字母) A．等式的基本性质 B．分式的基本性质 C．乘法分配律 D．乘法交换律 ②请选择一种解法，写出完整的解答过程． 17. 为进一步落实立德树人根本任务，全面推进素质教育，提升学生综合素养，某校组织了春季体育艺术节活动，在体育艺术节开幕式中，对各班的入场式按照服装整齐、艺术表现、创新能力、精神面貌这四项进行打分(百分制)．九(1)班、九(2)班的得分(单位：分)如下表： 班级 服装整齐 艺术表现 创新能力 精神面貌 九（1）班 88 87 82 87 九（2）班 76 89 89 86 两个班级的得分整理情况如下： 班级 平均分 中位数 众数 方差 九（1）班 86 87 87 九（2）班 85 89 （1）你认为九（1）班和九（2）班的入场式得分哪个更好？结合数据，从两个角度进行分析． （2）若将这四个方面的得分分别按权重计算综合得分，请分别计算九（1）班和九（2）班的综合得分． 18. 观察下列算式： ，，，，…… （1）通过观察上述4组算式得到的规律是 ； （2）请证明你得到的规律． （3）利用上面的规律计算． 19. 某休闲广场水平地面上放置两个同样大小的球形石墩，石墩在阳光下形成自己的影子分别是、．如图所示，和是两球的主视图，均与地面l相切． （1）求与的关系，并说明理由． （2）已知太阳光线与地面的夹角是，，，请根据以上数据求出球的半径．(参考数据： ，，，结果精确到) 20. 如图，平面直角坐标系中，点A、B在反比例函数 的图象上，点A 的坐标为，点 C在x轴上． （1）求k的值． （2）已知轴，轴，两条直线相交于点N，请用无刻度的直尺和圆规在图中作图∶过点A作轴，轴， 相交于点M(不写作法，保留作图痕迹)． （3）求证：点O、N、M在同一条直线上，判断四边形的形状，并说明理由． （4）直接写出与数量关系． 21. 朱仙镇木版年画是中国木版年画的鼻祖，主要分布于河南省开封、朱仙镇及其周边地区．朱仙镇木版年画构图饱满，线条粗扩简炼，造型古朴夸张，色彩新鲜艳丽．年，朱仙镇木版年画经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录．某商场需要购买、两种年画．如果购买种幅和 B种幅，共需元；如果购买种幅和 种幅，共需元． （1）种年画和种年画单价各是多少元？ （2）若该商场需要购买种年画和种年画共幅(两种年画均需购买)，其中种数量不少于幅，为使购买年画的总费用最低，应购买种年画和种年画各多少幅？购买年画的总费用最低为多少元？ 22. 掷实心球是中学生体育测试项目之一，小明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化，实心球的竖直高度是水平距离的二次函数．已知实心球出手时候的高度是，当水平距离是时，实心球达到最大高度． （1）求满足条件的抛物线的关系式． （2）根据中学生体育测试评分标准(男生版)，在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于时，即可得满分10分，小明在此次投掷中是否得到满分？请说明理由． 23. 【课本再现】 （1）如图1，正方形的中心为点O，正方形与正方形的边长相等，且正方形绕点O旋转． 在正方形旋转过程中阴影部分的面积 （填写“改变”或“不变”），阴影部分的面积和正方形的面积S之间的数量关系为 ． 【深入思考】 （2）如图2，在旋转过程中，线段与的位置关系是什么？请写出并证明． 【问题迁移】 （3）如图2，如果正方形的边长为4，正方形在旋转中边长与有交点，设，请求出阴影部分的周长y与x的函数关系式． 【拓展应用】 （4）如图3，如果正方形边长为4，边长为4且的菱形 绕点O旋转，请直接写出两个图形重叠部分（阴影部分）面积的最大值和最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期期中考试卷 九年级数学 注意事项：1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．请用蓝、黑色水笔或圆珠笔直接答在答题卡上． 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题(每小题3分，共30分)下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确选项的代号字母填入题后括号内． 1. 的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据异号两数相加的法则进行计算即可． 【详解】解：； 故选C． 2. 据“交通运输部”微信公众号消息，根据国务院物流保通保畅工作领导小组办公室监测汇总数据，2025年2月3日-2月9日，全国货运物流有序运行，其中国家铁路累计运输货物6989万吨，环比增长7.49%．数据6989万用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：数据6989万用科学记数法可以表示为， 故选：C． 3. 如图是一个几何体的三种视图，则这个几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查由三视图判断几何体，熟知三视图的定义是解题的关键． 根据三视图的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、B、C的俯视图都和题干中给出的图形不符，故不符合题意， 故选：D． 4. 如图，已知直线，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】题目主要考查平行线的性质，理解题意，熟练掌握平行线的性质是解题关键 根据题意得出，确定，再由平行线的性质即可求解 【详解】解：如图所示： 根据题意得：， ∴， ∵， ∴， 故选：D 5. 如图，利用图中的面积关系可以验证的等式关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查完全平方公式几何意义，解题关键在于结合面积的计算方法进行验证 整体观察这个图形，用两种方法表示阴影部分的面积即可得出结果 【详解】解：根据面积得：， 故选B 6. 如图，一次函数的图象经过点，则一元一次不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是掌握数形结合思想．认真体会一次函数与一元一次不等式之间的内在联系． 首先利用图象过，确定函数值，再考虑函数的增减性利用不等式求解集即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过， 时， 又由图像知，一次函数随的增大而增大， ∴关于不等式的解集是． 故选：C． 7. 如图，在四边形中，，点、、、分别是线段、、、的中点，则四边形的周长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线定理．熟练掌握中位线定理，是解题的关键．利用中位线定理，进行求解即可． 【详解】解：∵，点分别是的中点， ∴， ∴四边形的周长为； 故选：C． 8. 某学校食堂为更好地服务学生，让全体学生给食堂的服务情况进行打分，以便了解存在的问题，及时改进．如图是学生给食堂的打分情况(满分5分)，其中相应分数的众数和中位数分别是（ ） A. 3，3 B. 3，4 C. 4，4 D. 4，3 【答案】A 【解析】 【分析】根据扇形统计图中得分情况的所占比多少来判断即可； 本题主要考查众数、中位数的概念，扇形统计图，根据扇形统计图获取相关信息是解题关键． 【详解】解：由扇形统计图可知：3分所占百分比最大，故3分出现的次数最多， ∴所打分数的众数为3； ∵1分占比，2分占比，3分占比， ∴， ∴中位数为3分， 故选：A． 9. 如图，矩形中，，以为圆心，长为半径画弧交于点，以为圆心， 的长为半径画弧，交于点 F，则阴影部分的面积为（ ） A. 12π B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查扇形面积的计算，根据是解答本题的关键． 先分别求出， ，再根据即可得解． 【详解】解：∵， ，， ∴， 故选：D． 10. 九年级同学在研究某种化学试剂的挥发情况时，发现可以用数学的相关知识解决问题．小组同学在A，B两种不同的场景下做对比实验，得到该试剂在挥发过程中剩余质量 (克)随时间x(分钟)变化的数据．他们建立平面直角坐标系，以时间为横坐标，剩余质量为纵坐标，在坐标系内描出对应点，得到如图所示的图象，下面判断错误的是（ ） A. 是关于x的二次函数 B. 是关于x的一次函数 C. 当时，A场景用的时间大于 B 场景用的时间 D. 10分钟时，A场景剩余质量小于 B 场景剩余质量 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，一次函数与二次函数图象的识别，根据函数图象所给的信息逐一判断即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，是关于x的二次函数，是关于x的一次函数，故A、B都正确，不符合题意； 由函数图象可知，当时，A场景用的时间大于 B 场景用的时间，故C正确，不符合题意； 由函数图象可得，10分钟时，A场景剩余质量大于 B 场景剩余质量，故D错误，符合题意； 故选：D． 二、填空题(每小题3分，共15分) 11. 请写出一个小于的整数：_______． 【答案】（答案不唯一，不大于的整数均正确） 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，解题的关键是明确与接近的整数． ，写出一个不大于1的整数即可． 【详解】解：∵， ∴小于整数为负整数、、， 故答案为：（答案不唯一，不大于的整数均正确） ． 12. 方程 的解的情况为______． 【答案】无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解，掌握解分式方程的方法及步骤是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 检验：时，， ∴原分式方程无解， 故答案为：无解． 13. 只有河南————戏剧幻城用沉浸的方式讲出厚重的河南．它不仅仅是河南文旅的新名片，更是河南人更加认同自己、介绍自己、让更多人了解河南最好的载体．景区以沉浸式戏剧艺术为手法，以独特的“幻城”建筑为载体，通过讲述关于“土地、粮食、传承”的故事，让更多人感受戏剧文化的魅力．小明假期期间去景区参观，由于时间关系，他只能在《李家村剧场》《幻城剧场》《火车站剧场》和文明之光(闭园大秀)中随机选择两个参观，则他选中《李家村剧场》和文明之光(闭园大秀)的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查用树状图或列表法求概率，分别用字母A，B，C，D表示《李家村剧场》《幻城剧场》《火车站剧场》和文明之光（闭园大秀），再画树状图所有等可能的结果数和选中《李家村剧场》和文明之光（闭园大秀）的结果数，再运用概率公式求解即可． 【详解】解：用字母A，B，C，D表示《李家村剧场》《幻城剧场》《火车站剧场》和文明之光（闭园大秀）， 画树状图如下： 由树状图可得，共有12种等可能的结果，其中选中《李家村剧场》和文明之光（闭园大秀）的有2种， 所以，选中《李家村剧场》和文明之光（闭园大秀）的概率为， 故答案为：． 14. 对于任意实数a、b，规定运算∶．判定关于x的方程的根的情况：________． 【答案】有两个实数根 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程以及实数的运算，根据新的运算法则列出一元二次方程，再用因式分解法直接求解即可解答． 【详解】解：根据题意得：可化为， 解得：， ∴关于x的方程有两个实数根． 故答案为：有两个实数根． 15. 如图，点D 是等边三角形边上一点，，连接，将沿 翻折，得到，线段绕点D 旋转，点A 的对应点为点，当点是一边的中点时，的长度为_________． 【答案】3或 【解析】 【分析】本题考查了圆的有关性质、图形的折叠、等边三角形的判定与性质及勾股定理等知识点，解决本题的关键是运用分类讨论的方法解决问题． 分为当圆D过边的中点时，及当圆D过边的中点时，，两种情况分类讨论来求解即可． 【详解】解：由折叠的性质得：， ∵线段绕点D 旋转， ∴点A在以点D为圆心，长为半径的圆上运动， 设圆D的半径为r，即， 如图，当圆D过边的中点时，设与圆D交于点，过点D作于点G，此时， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴ 解得：或（舍去）， ∴； 如图，当圆D过边的中点时，设与圆D交于点，连接，此时， ∵是等边三角形， ∴， 在中，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 综上所述，的长度为或3． 故答案为：或3 三、解答题(本大题8个小题，共75分) 16 （1）计算∶； （2）计算∶ ． 下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 甲 乙 解：原式 …… 解：原式 …… ①甲同学解法的依据是 ，乙同学解法的依据是 ；(填字母) A．等式的基本性质 B．分式的基本性质 C．乘法分配律 D．乘法交换律 ②请选择一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】（1）；（2）①B；C；② 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据所给的解题过程即可得到答案； （2）①甲同学的解法：先根据分式的基本性质把小括号内的分式先同分，然后根据分式的加法计算法则求解，最后根据分式的乘法计算法则求解即可；乙同学的解法：根据乘法分配律去括号，然后计算分式的乘法，最后合并同类项即可；②选择一位同学的解法解答即可． 【详解】解：（1） ； （2）①甲同学解法的依据是分式的基本性质；乙同学解法的依据是乘法分配律； 故答案为：B ；C ②选择甲同学的解法： 原式 ； 选择乙同学的解法： 原式 ． 17. 为进一步落实立德树人根本任务，全面推进素质教育，提升学生综合素养，某校组织了春季体育艺术节活动，在体育艺术节开幕式中，对各班的入场式按照服装整齐、艺术表现、创新能力、精神面貌这四项进行打分(百分制)．九(1)班、九(2)班的得分(单位：分)如下表： 班级 服装整齐 艺术表现 创新能力 精神面貌 九（1）班 88 87 82 87 九（2）班 76 89 89 86 两个班级的得分整理情况如下： 班级 平均分 中位数 众数 方差 九（1）班 86 87 87 九（2）班 85 89 （1）你认为九（1）班和九（2）班入场式得分哪个更好？结合数据，从两个角度进行分析． （2）若将这四个方面的得分分别按权重计算综合得分，请分别计算九（1）班和九（2）班的综合得分． 【答案】（1）见解析 （2）九（1）班综合得分分；九（2）班综合得分分 【解析】 【分析】本题主要考查根据平均数、方差、中位数和众数做决策，求加权平均数，解题的关键是熟练掌握计算公式． （1）根据方差和平均数进行分析判断即可； （2）根据加权平均数的计算公式计算即可． 【小问1详解】 解：从平均数看，九（1）班的平均分高于九（2）班，九（1）班的整体成绩比较好；从方差看，九（1）班的方差小于九（2）班，所以九（1）班的成绩更加稳定，所以九（1）班的成绩更好； 【小问2详解】 解：九（1）班综合得分：（分）； 九（2）班综合得分：（分）． 18. 观察下列算式： ，，，，…… （1）通过观察上述4组算式得到的规律是 ； （2）请证明你得到的规律． （3）利用上面的规律计算． 【答案】（1）乘积的末两位是21，前面的数字是十位数字与十位数字加1的乘积 （2）见解析 （3）15621 【解析】 【分析】本题考查规律型—数字的变换类，列代数式，整式的乘法运算，解题的关键是找出规律． （1）观察所给式子，不难发现乘积的末两位是21，前面的数字是十位数字与十位数字加1的乘积． （2）设数字为，，然后相乘根据整式的乘法计算即可证明． （3）根据（2）中的规律计算即可． 【小问1详解】 解：， ，乘积的末两位是21，前面的数字是：， ，乘积的末两位是21，前面的数字是：， ，乘积的末两位是21，前面的数字是：， 则上述4组算式得到的规律是：乘积的末两位是21，前面的数字是十位数字与十位数字加1的乘积． 【小问2详解】 证明：设数字为，， 则(． 【小问3详解】 解： 19. 某休闲广场水平地面上放置两个同样大小的球形石墩，石墩在阳光下形成自己的影子分别是、．如图所示，和是两球的主视图，均与地面l相切． （1）求与的关系，并说明理由． （2）已知太阳光线与地面的夹角是，，，请根据以上数据求出球的半径．(参考数据： ，，，结果精确到) 【答案】（1），理由见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了切线的性质，解直角三角形，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）如图，设太阳光线与、的切点分别为点 D、C，由切线得到，然后证明出，得到，同理可得：，然后结合求解即可； （2）设球的半径为r，求出，然后在中，解直角三角形求出，进而求解即可． 【小问1详解】 ，理由如下： 如图，设太阳光线与、 的切点分别为点 D、C， ∵与直线l相切， ∴． 在和中， ， 同理可得： ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 设球的半径为r． 由（1）可知，， ∴， 在中，， ， ∵，， ， 解得． 答∶球半径为． 20. 如图，平面直角坐标系中，点A、B在反比例函数 的图象上，点A 的坐标为，点 C在x轴上． （1）求k的值． （2）已知轴，轴，两条直线相交于点N，请用无刻度的直尺和圆规在图中作图∶过点A作轴，轴， 相交于点M(不写作法，保留作图痕迹)． （3）求证：点O、N、M在同一条直线上，判断四边形的形状，并说明理由． （4）直接写出与的数量关系． 【答案】（1）1 （2）见解析 （3）矩形，见解析 （4） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）根据作一个角等于已知角的，作已知直线的垂线，画出图形，即可求解； （3）先证明四边形是平行四边形，再由，可得四边形是矩形；根据题意得可设，则，点N的纵坐标为m，可设点B的坐标为，则，，再由勾股定理可得，从而得到，再由，可得点，，点M的坐标为，再求出直线的关系式为，再判断出点M在直线上，即可； （4）延长交x轴于点E，设直线交x轴于点F，在x轴取点D，使，则轴，可得，在中，根据勾股定理可求出，可得到，从而得到，即可求解． 【小问1详解】 解：把点代入得： ； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：四边形是矩形，理由如下： ∵轴，轴， ∴轴， ∵轴， ∴轴， ∵轴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵，即， ∴四边形是矩形； ∵点A 的坐标为， ∴， ∵， ∴， 根据题意得可设，则，点N的纵坐标为m， ∴可设点B的坐标为，则，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∵， ∴或（舍去）， ∴点，， ∴点M的坐标为， 设直线的关系式为， 把点代入得：， ∴直线的关系式为， 当时，， ∴点M在直线上， 即点O、N、M在同一条直线上． 【小问4详解】 解：如图，延长交x轴于点E，设直线交x轴于点F，在x轴取点D，使，则轴， ∴， ∴， ∵点M的坐标为， ∴，， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∵点A 的坐标为， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比函数的几何应用，涉及了勾股定理，矩形的判定和性质，锐角三角函数等，利用数形结合思想解答是解题的关键． 21. 朱仙镇木版年画是中国木版年画的鼻祖，主要分布于河南省开封、朱仙镇及其周边地区．朱仙镇木版年画构图饱满，线条粗扩简炼，造型古朴夸张，色彩新鲜艳丽．年，朱仙镇木版年画经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录．某商场需要购买、两种年画．如果购买种幅和 B种幅，共需元；如果购买种幅和 种幅，共需元． （1）种年画和种年画单价各是多少元？ （2）若该商场需要购买种年画和种年画共幅(两种年画均需购买)，其中种数量不少于幅，为使购买年画的总费用最低，应购买种年画和种年画各多少幅？购买年画的总费用最低为多少元？ 【答案】（1）种年画的单价为元，种年画的单价为元 （2）购进、两种年画各幅，购买年画的总费用最低为元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程及一次函数解实际应用题，读懂题意，准确得到方程组及一次函数解析式是解决问题的关键． （1）设种年画的单价为元，种年画的单价为元，根据“购买种幅和 B种幅，共需元；如果购买种幅和 种幅，共需元”列方程组求解即可； （2）设购买种年画幅，则购进种年画幅，设购买的总费用为元，则，利用一次函数的增减性即可求解． 【小问1详解】 解：设种年画的单价为元，种年画的单价为元， 则， 解得：， 答：种年画的单价为元，种年画的单价为元； 【小问2详解】 解：设购买种年画幅，则购进种年画幅，设购买的总费用为元， 则， 因为， 所以随的增大而增大， 又因为， 所以当时，购买年画的总费用最低，此时购进、两种年画各幅， 购买年画的总费用最低为（元）． 答：购进、两种年画各幅，购买年画的总费用最低为元． 22. 掷实心球是中学生体育测试项目之一，小明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化，实心球的竖直高度是水平距离的二次函数．已知实心球出手时候的高度是，当水平距离是时，实心球达到最大高度． （1）求满足条件的抛物线的关系式． （2）根据中学生体育测试评分标准(男生版)，在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于时，即可得满分10分，小明在此次投掷中是否得到满分？请说明理由． 【答案】（1） （2）小明在这次投掷中得到了满分，见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解答本题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质． （1）设抛物线的解析式为，再代入即可求出解析式； （2）把代入，即可求出x的值，再与满分成绩比较即可得到结果． 【小问1详解】 解：由题意可知,抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的关系式是， 把点代入得： 解得：， ∴ 抛物线的关系式为； 【小问2详解】 解：当时, ， 解得： （舍去）， ∵， ∴小明在这次投掷中得到了满分． 23. 【课本再现】 （1）如图1，正方形的中心为点O，正方形与正方形的边长相等，且正方形绕点O旋转． 在正方形旋转过程中阴影部分的面积 （填写“改变”或“不变”），阴影部分的面积和正方形的面积S之间的数量关系为 ． 【深入思考】 （2）如图2，在旋转过程中，线段与的位置关系是什么？请写出并证明． 【问题迁移】 （3）如图2，如果正方形的边长为4，正方形在旋转中边长与有交点，设，请求出阴影部分的周长y与x的函数关系式． 【拓展应用】 （4）如图3，如果正方形的边长为4，边长为4且的菱形 绕点O旋转，请直接写出两个图形重叠部分（阴影部分）面积的最大值和最小值． 【答案】（1）不变；；（2），见解析；（3）；（4）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质证明出，得到，进而求解即可； （2）由得到，然后由等腰直角三角形的性质得到，，得到，得到； （3）如图所示，过点作于点，求出，设，则，勾股定理求出，然后由得到，进而求解即可； （4）根据题意，分两种情况讨论：①两个图形重叠部分为三角形；②两个图形重叠部分为四边形，分别利用三角形外接圆的性质、解直角三角形、图形的面积公式等知识求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积， ∴在正方形旋转过程中阴影部分的面积不变，阴影部分的面积和正方形的面积S之间的数量关系为； 故答案为：不变；； （2），证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （3）如图所示，过点作于点， ∵正方形的边长为4，， ∴， ∵设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的周长， ∴函数关系式为； （4）①若两个图形重叠部分为，如图所示， 作于点，作的外接圆，作于点，连接、、， ∵正方形的边长为4，， ∴， ∵的外接圆，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵在中，，， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴面积的最小值为， ∴两个图形重叠部分面积的最小值为； ②若两个图形重叠部分为四边形，如图所示， 作于点，于点，在上截取，作的外接圆，作于点，连接、、， ∵正方形的边长为4，，， ∴，，， ∴四边形是边长为2的正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，即， ∵的外接圆， ∴，， ∴是等边三角形，，， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∵，即， ∴， ∴ ， ∴四边形面积的最大值为， ∴两个图形重叠部分面积的最大值为； ∴综上所述，两个图形重叠部分（阴影部分）面积的最大值为，最小值为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、勾股定理、三角形外接圆的性质、解直角三角形，熟练掌握相关知识点，结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形，利用三角形外接圆的性质求线段最值是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理能力，适合有能力解决几何难题的学生． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $