福建省泉州市福建师范大学泉州附属中学2024—2025学年下学期八年级期末数学试卷　

2024-2025学年福建师大泉州附中八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列代数式是分式的是(    ) A. B. C. D. 2.点关于原点对称的点的坐标为(    ) A. B. C. D. 3.据悉，毕节市今年的油菜计划种植任务是万亩，其中金沙、黔西、织金属于油菜生产重点县市已知一粒油菜籽的质量约为数据用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 4.如图，在▱中，，则等于(    ) A. B. C. D. 5.如图，在矩形中，，交于点若，则的长为(    ) A. B. C. D. 6.一支蜡烛长若点燃后每小时燃烧则燃烧剩余的长度与燃烧时间小时之间的函数关系的图象大致为(    ) A. B. C. D. 7.某市测得一周的日均值单位：微克每立方米为：，，，，，，这组数据的众数是(    ) A. B. C. D. 8.已知，点和点在直线图象上，则和的大小关系是(    ) A. B. C. D. 不能确定 9.如图，点为正方形内一点，连接、、、，，则图中的等腰三角形含等边三角形共有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 10.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与轴相交于点，把线段绕点逆时针旋转，若点的对应点在函数的图象上，则的值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.若分式有意义，则的取值范围为          ． 12.将直线向上平移个单位后的函数解析式是______． 13.如图，已知菱形中，对角线与交于点，，，则该菱形的面积是______． 14.年月日，农业农村部农产品质量安全中心公示了“年第三批全国名特优新农产品名录”，汕尾市个农产品入选，分别是凤山红灯笼荔枝、华侨红杨桃、陆河油柑和陆丰莲藕“凤山红灯笼”是汕尾的名优荔枝，是糯米糍与怀枝自然杂交的优良品种现抽查出个单果，质量单位：克分别为，，，，，，这些数据的中位数是______． 15.▱中，的平分线交于，，，则的长______． 16.如图有一张平行四边形纸片，其中，点，分别是边，上的动点不与端点重合将平行四边形纸片沿直线折叠，点落在点处点落在点处，连接，，，，，若与相交交点为，连接给出下面四个结论： 四边形一定是平行四边形； 当时，四边形是矩形； 当点落在平行四边形的边上时，四边形是菱形； 当点固定点在边上运动时，四边形的面积不变． 上述结论中，所有正确结论的序号是______． 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 计算：． 18.本小题分 解分式方程：． 19.本小题分 先化简，再求值：，其中． 20.本小题分 如图，在菱形中，点、分别在、边上，，连接、． 求证：． 21.本小题分 哪吒上映后非常火爆，哪吒的造型深受儿童喜爱为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定购进，两种哪吒玩偶已知一个种哪吒玩偶比一个种哪吒玩偶价格贵元，玩具店用元购进种哪吒玩偶的数量是用元购进种哪吒玩偶数量的倍求购进，两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ 22.本小题分 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴相交于点． 求点、点的坐标和反比例函数的表达式； 观察图象，直接写出不等式的解集． 23.本小题分 某班以小组为单位开展知识竞赛，规定满分为分，分及以上为优秀． 有甲、乙两组同学，每组各人，按照号进行编号，他们的成绩统计图如下： 小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析： 平均数分 中位数分 众数分 方差 优秀率 甲组 乙组 请阅读上述信息，回答下列问题： 填空： ______， ______， ______； 根据所学的统计知识，请你利用数据，从不同角度对甲、乙两组的成绩进行比较与评价． 24.本小题分 情景呈现：小明同学在研究平行四边形对角线的长度与边长的联系． 提出问题：当平行四边形的形状发生变化，对角线的长度与边长是否存在等量关系？ Ⅱ探究问题：首先通过举例计算特殊的平行四边形对角线长度： 正方形的边长为，则 ______； 矩形中，，，则 ______； 在菱形中，，，则 ______； 再通过几何图形一般化具体分析找规律： 如图，在正方形中，，则 ______；请用含的代数式表示 如图，在矩形中，，，则 ______请用含、的代数式表示． Ⅲ猜想并证明： 如图，在▱中，，，大胆猜想与、的数量关系为______，如何用已学的数学知识证明呢？小明通过询问人工智能了解到有两种方法可以解决：第一是采用几何法，利用勾股定理证明；第二是建立平面直角坐标系，数形结合解决请选择其中一种方法写出证明过程． Ⅳ解决问题：如图，在▱中，，，，将线段绕点旋转，在旋转的过程中，当时，请直接写出此时线段的长． 25.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线经过轴负半轴上的点，且． 求直线的函数表达式； 直线向上平移个单位，平移后的直线与直线交于点，连结，求面积； 在的条件下，平移后的直线与轴交于点，点为轴上的一点，直线上是否存在点不与点重合，使以点，，为顶点的三角形与全等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：、、是整式，不是分式，不符合题意；是分式，符合题意 故选：． 根据分式的定义逐项分析即可判断． 本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：由关于原点对称的点的坐标是， 故选：． 根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案． 本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数是解题关键． 3.【答案】  【解析】解：， 故选：． 根据科学记数法的方法进行解题即可． 本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边第一个不为零的数字前面的的个数所决定．绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为． 4.【答案】  【解析】解：在▱中，， ， ， 故选：． 根据平行四边形的性质得出，根据平行线的性质，即可求得． 本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握和运用平行四边形的性质是解决本题的关键． 5.【答案】  【解析】解：四边形是矩形， ， 即的长为， 综上所述，只有选项C正确，符合题意， 故选：． 根据矩形的性质，即可求解． 本题考查了矩形的性质，熟练掌握和运用矩形的性质是解决本题的关键． 6.【答案】  【解析】解：一支蜡烛长点燃后每小时燃烧， 这支蜡烛可以燃烧：， ，随的增大而减小， 故选：． 根据题意，可以得到与的函数图象，从而可以解答本题． 本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 7.【答案】  【解析】解：这组数据中出现次数最多， 所以这组数据的众数为， 故选：． 根据众数的定义求解即可． 本题主要考查众数，解题的关键是掌握众数的定义． 8.【答案】  【解析】解：当时，； 当时，． ， ． 故选：． 利用一次函数图象上点的坐标特征可求出，的值，比较后即可得出结论． 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键． 9.【答案】  【解析】解：四边形是正方形， ，， ， 是等边三角形， ， ，， ，都是等腰三角形， ，， ，， ， 在和中， ， ≌， ， 是等腰三角形， 综上所述：图中的等腰三角形含等边三角形是：，，，，共个． 故选：． 根据得是等边三角形，再根据等边三角形和正方形性质得，则，都是等腰三角形，证明和全等得，则是等腰三角形，综上所述即可得出答案． 此题主要考查了正方形的性质，等边三角形的判定，熟练掌握正方形的性质，等边三角形的判定是解决问题的关键． 10.【答案】  【解析】解：点在反比例函数的图象上， ，解得：， ， 点在一次函数的图象上， ，解得：， 一次函数的解析式为， 一次函数与轴相交于点， ， 过点作轴于点，过点作于点，则， 由题意可得：，， ， 又， ， ≌， ，， ， ， 又点在反比例函数的图象上， ． 故选：． 先将点坐标代入反比例函数解析式中，求出点的横坐标，从而可得点的坐标，再将点的坐标代入一次函数解析式中，求出，再求出点的坐标，过点作轴于点，过点作于点，可得，从而可证明≌，再利用全等三角形的性质可得，，从而可求得的坐标，再求得中的值． 本题考查了旋转的性质，一次函数与反比例函数的综合运用，待定系数法求反比例函数解析式，全等三角形的性质与判定综合，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零得出不等式是解题的关键． 根据分母不为零，分式有意义，可得答案． 【解答】 解：由题意，得． 解得， 故答案为：． 12.【答案】  【解析】解：平移后的函数解析式是， 故答案为：． 根据“上加下减”即可得到答案． 本题主要考查一次函数的平移，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：根据菱形面积等于对角线乘积的一半可得：． 故答案为：． 根据菱形面积等于对角线乘积的一半进行计算即可． 本题考查了菱形的性质，解答本题的关键是掌握菱形面积等于对角线乘积的一半． 14.【答案】  【解析】解：将数据从小到大排列：，，，，，，． 所以中位数为：， 故答案为：． 根据中位数的定义进行解答． 本题考查了中位数，解题的关键是掌握中位数的定义． 15.【答案】  【解析】解：▱中，的平分线交于，，， ，，， ， ， ， ． 故答案为：． 在平行四边形中，的平分线交于点，易证得是等腰三角形，继而求得答案． 本题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意证得是等腰三角形是解此题的关键． 16.【答案】  【解析】解：不一定成立，当时，如图所示： 将平行四边形纸片沿直线折叠，点落在点处，点落在点处， ，， 但没有足够理由证明点是中点， 不一定等于， 四边形不一定是平行四边形； 当时， 将平行四边形纸片沿直线折叠，点落在点处，点落在点处， 垂直平分和，，，， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是矩形； 当点落在平行四边形的边上时，如图所示， 将平行四边形纸片沿直线折叠，点落在点处，点落在点处， ，，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是菱形； 根据折叠的性质可知，≌， ， ， 点固定，即为定值，且以为底边时，高为平行四边形的高， 的面积不变， 四边形的面积不变，故正确． 故答案为：． 当时，，，但没有足够理由证明点是中点，故不一定成立；根据折叠，可知垂直平分和，，，，可证明四边形是平行四边形，从而推出，，从而得到，，从而证明出四边形是平行四边形，接着证明即可；根据折叠，，，，然后利用平行四边形的性质，可证，从而得到四边相等；根据折叠，可知≌，由，可证为定值，故得出答案． 本题考查了图形与折叠，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，矩形的判定，三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 17.【答案】解： ．  【解析】先计算负整数指数幂、有理数的乘方和零指数幂，再计算加减． 本题主要考查了负整数指数幂和零指数幂，熟练掌握运算法则是解题关键． 18.【答案】．  【解析】解：， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 解得：， 检验：把代入， 分式方程的解为． 把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出的值，然后检验即可． 本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 19.【答案】，原式．  【解析】解： ， 当时，原式． 先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 20.【答案】证明见解析．  【解析】证明：四边形是菱形， ，， 在和中， ， ≌， ． 由菱形的性质推出，，即可证明≌，推出． 本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是由菱形的性质推出≌． 21.【答案】种哪吒玩偶的单价是元，种哪吒玩偶的单价是元．  【解析】解：设种哪吒玩偶的单价是元，则种哪吒玩偶的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 元． 答：种哪吒玩偶的单价是元，种哪吒玩偶的单价是元． 设种哪吒玩偶的单价是元，则种哪吒玩偶的单价是元，利用数量总价单价，结合用元购进种哪吒玩偶的数量是用元购进种哪吒玩偶数量的倍，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值即种哪吒玩偶的单价，再将其代入中，即可求出种哪吒玩偶的单价． 本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 22.【答案】点坐标为，点的坐标为，反比例函数的表达式为；   或．  【解析】将点代入得， ， 解得， 所以点坐标为． 将点代入得， ， 解得， 所以点的坐标为． 将点代入得， ， 所以反比例函数的表达式为． 由函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即， 所以不等式的解集为或． 将点和点坐标分别代入一次函数解析式，可求出，两点坐标，据此可求出反比例函数的表达式． 利用数形结合的数学思想即可解决问题． 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． 23.【答案】；；；   见解析．  【解析】将甲组的成绩从小到大顺序排列，中位数为第位和第位的平均数， ， 乙组的成绩出现次数最多的是分，共次， ， 乙组的成绩分及以上有人， 优秀率， 故答案为：；；； 甲组成绩的优秀率为，乙组成绩的优秀率为， 从优秀率的角度来看，甲组的成绩比乙组的成绩好； 甲组成绩的中位数为，乙组成绩的中位数为， 从中位数的角度来看，甲组的成绩比乙组的成绩好； 甲组成绩的方差为，乙组成绩的方差为， 从方差的角度来看，乙组的成绩比甲组的成绩更稳定． 根据中位数、众数、优秀率的定义即可求解； 从优秀率、中位数和方差等角度进行分析即可． 本题考查了求中位数、求众数、方差的意义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 24.【答案】            【解析】如图，正方形的边长为，， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， 故答案为：； 如图，矩形中，，， ，，， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， 故答案为：； 如图，在菱形中，，， ，， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， ， 故答案为：； 如图，正方形的边长为，，， ， ； 故答案为：； 如图，在矩形中，，， ，， ， ； 故答案为：； 结论：，理由如下： 方法一：采用几何法： 四边形是平行四边形如图，过点作于，过点作交延长线于， ，，， ，， ， 四边形是矩形， ，， ，， ， 设，则，， ，， 同理可得：， ； 方法二：如图，四边形为平行四边形，以点为原点，以边所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 则，，， 由平行四边形性质，点的坐标为：， ，，， ， ； 故答案为：； 解：在▱中，，，， ，， ， ， ， ， ， 根据前面的结论得， ， ， ，不合题意舍去， ， 点绕点旋转，当对应点在点上方时，设点的对应点为， ， 过点作于点， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 由勾股定理得：； 当对应点在点下方时，设点的对应点为， 同理可得： ， 由勾股定理得：； 综上所述，的长为或． 利用正方形、矩形、菱形的性质结合勾股定理求解即可；根据菱形的性质，得，，根据勾股定理得，变形得，整理得； 方法一：过点作于，过点作交延长线于，利用平行四边形的性质，矩形判定和性质，勾股定理证明即可． 方法二：如图，四边形为平行四边形，以点为原点，以边所在直线为轴，建立平面直角坐标系，根据两点之间的距离公式计算即可； 根据题意，得到，证明，再根据前面的结论得，求出得到，旋转时，当时，当对应点在点上方和下方时两种情况计算，构造直角三角形求解即可． 本题主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理，矩形的性质与判定，菱形的性质，平行四边形的性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 25.【答案】解：将点代入直线：得， 直线：， 直线：与轴交于点， ，， ， ， 设直线的函数表达式为， 则，解得， 直线的函数表达式为； 直线向上平移个单位，直线的函数表达式为， 直线的解析式为， 直线：， 点的坐标， ，， ， ； 直线：与轴交于点， 点， ， 当，如图：设， ， ， 点或； 当，则点为的中点， 点， 综上，存在，点的坐标为或或  【解析】由点可得，根据直线的解析式可以求得点的坐标，再结合得点的坐标，用待定系数法可以求出直线的解析式； 根据直线的平移规律得出直线的解析式为，从而求得的坐标，即可求解； 先根据直线的解析式求出点，分为对角线和为对角线两种情况，根据平行四边形的性质，利用勾股定理可求出点的坐标． 本题属于一次函数综合题．考查平移变换，坐标与图形的性质，面积的计算，矩形的判定和性质，勾股定理等知识．解题的关键是熟练掌握待定系数法，利用两直线平行的性质，学会构建一次函数解决直线的交点问题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$