精品解析：云南省保山市腾冲市第八中学2024-2025学年高一下学期6月月考数学试题

腾冲市第八中学2024--2025学年下学期高一年级6月月考 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第4页至第6页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知是虚数单位，复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的四则运算化简复数，即可得出结果. 【详解】，因此，复数的虚部为. 故选：D. 2. 若向量，满足，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量的定义求在上的投影向量. 【详解】由投影向量的定义，在上的投影向量为. 故选：D 3. 2025年春节档上映的动画电影《哪吒之魔童闹海》引发全民观影热潮．某数据平台实时统计了该片上映前10天的全国单日票房（单位：亿元），并生成如图所示的折线图．假设横轴为上映时间（日期），纵轴为单日票房（亿），则下列说法正确的是（ ） A. 前十日之后，随着上映时间的增加，单日票房一定会呈现下降趋势 B. 上映前十天的票房极差为4.76（亿） C. 上映前十天的票房中位数为6.34（亿） D. 上映前十天的票房第70百分位数为7.30（亿） 【答案】C 【解析】 【分析】根据极差、中位线、百分位的定义计算可得. 【详解】对于A：根据折线统计图，无法预测前十日之后，随着上映时间的增加，单日票房一定会呈现下降趋势，故A错误； 对于B：上映前十天的票房极差为（亿），故B错误； 对于C：上映前十天的票房从小到大排列为、、、、、、、、、， 所以上映前十天的票房中位数为（亿），故C正确； 对于D：因为，所以上映前十天的票房第70百分位数为（亿），故D错误. 故选：C 4. 已知偶函数在上有且仅有一个极大值点，没有极小值点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用辅助角公式和三角函数的性质把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步利用余弦型函数的性质的应用求出的取值范围. 【详解】由题可知，为偶函数， ∴，即．∵，∴． ∴， 令，由得， ∴转化为，． 如图，在上有且仅有一个极大值点没有极小值点时，，∴． 故选：A． 5. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A. 10 B. 20 C. 24 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】 各顶点都在一个球面上的正四棱柱，棱柱的体对角线即为球的直径，再由球表面积公式即可求解. 【详解】因为正四棱柱高为4，体积为16， 所以正四棱柱的底面积为，正四棱柱的底面的边长为， 正四棱柱的底面的对角线为， 正四棱柱的对角线为，而球的直径等于正四棱柱的对角线， 即，, 故选：C 6. 已知三点．若三点在同一条直线上，则实数的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标表示求解即可. 【详解】由已知可得， 当三点在同一条直线上时，即，解得， 故选：C. 7. 如图，底面是边长为2的正方形，半圆面底面，点为圆弧上的动点．当三棱锥的体积最大时，二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意当三棱锥的体积最大时,此时点处于半圆弧的正中间位置.此时建立适当的空间直角坐标系，求出平面，平面的法向量，由法向量夹角余弦的坐标公式即可求解. 【详解】三棱锥的体积与到平面的距离成正比， 故当三棱锥的体积最大时,此时点处于半圆弧的正中间位置. 点处于半圆弧的正中间位置时，记的中点为，以其为原点，分别作为轴正方向，建立空间直角坐标系. 平面显然有法向量， ， 设为平面的法向量， 则该向量与和均垂直， 所以，从而. 令，解得， 故符合条件， 显然二面角为锐角， 因此所求余弦值为. 故选：D. 8. 赵爽是我国古代著名的数学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”．亦称“赵爽弦图”．如图1，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．我们通过类比得到图2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，若图2中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在中利用两角差的正弦公式求出，由正弦定理求出，再由余弦定理求出，最后由面积公式计算可得. 【详解】在中，，而， 所以， ， 由正弦定理得，， 即，解得，所以， 在中由余弦定理， 即， 所以，， 所以. 故选：C 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 已知表示直线，表示平面，下列正确的是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】CD 【解析】 【分析】 根据直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系进行判断即可. 【详解】对A项，若，则与可能异面或平行，故A错误； 对B项，若，则与可能异面，平行，相交，故B错误； 对C项，由线面垂直的性质可得，若，则，故C正确； 对D项，当时，根据线面平行的判定定理可知，若在平面外，则，若在平面内，则，故D正确； 故选：CD 【点睛】本题主要考查了空间中直线，平面的位置关系，属于中档题. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，某个个体被抽到的概率是0.2 B. 已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5 C. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的分位数是18 D. 若样本数据的平均值为8，则数据的平均值为15 【答案】ACD 【解析】 【分析】A根据简单随机抽样的概率求法判断；B由平均数求参数，应用方差公式求方差；C根据百分数定义求分位数；D应用平均数的性质求新数据的均值. 【详解】A：一个总体含50个个体，以简单随机抽样方式从总体中抽取一个容量为10的样本， 则某个个体被抽到的概率为，正确； B：数据1，2，m，6，7的平均数是，则， 这组数据的方差，错误； C：由，第50百分位数为，正确； D：依题意，则，正确； 故选：ACD 11. 如图，在棱长为2的正方体中，，，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 三棱锥的体积最大值为1 C. 若，则点到直线的距离为 D. 三棱锥外接球球心轨迹的长度近似为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意直接建立空间直角坐标系，利用空间向量证明选项A是否正确；求出三棱锥体积的表达式，利用二次函数即可得到选项B中最大值；利用点到线的距离公式即可求得点到直线的距离为，故C正确；先等量转化找出外接球球心，再利用轨迹方程即可求得近似值，得出选项D正确. 【详解】 以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示.设， 则，，，，. 对于选项A：因为，，所以， 所以，所以，A正确. 对于选项B：三棱锥的体积， 所以当时，三棱锥的体积取得最大值，B错误. 对于选项C：若，则，，，所以，， 所以点到直线的距离，C正确. 对于选项D：设，的中点分别为，，过点作平面的垂线，过点作与棱垂直的平面，直线与平面交于点， 则点为外接球的球心，显然点的轨迹长度与点的轨迹长度相等.因为，， 所以. 在平面内，点的轨迹方程为，且，， 故点的轨迹长度近似为，即三棱锥外接球球心轨迹的长度近似为，D正确. 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如下图，是用“斜二测画法”画出的直观图，其中，，那么的周长是__________． 【答案】 【解析】 【分析】结合斜二测直观图的画法原则可得，从而可得到，进而求出三角形的周长. 【详解】斜二测直观图的画法原则，横坐标不变，纵坐标减半，所以，又因为，所以，因此的周长为， 故答案为：. 13. 如图正方形的边长为，已知，将沿边折起，折起后点在平面上的射影为点，则翻折后的几何体中有如下描述： ①与所成角的正切值是； ②； ③的体积是； ④平面⊥平面； ⑤直线与平面所成角为． 其中正确的有__________．（填写你认为正确的序号） 【答案】①④⑤ 【解析】 【分析】利用线面角的定义判断①，根据异面直线定义判断②，由等体积法计算，判断③，由面面垂直的判定定理以及线面角的定义判断④⑤. 【详解】 因为，所以与所成角为，容易证明面，所以，故，①正确；与是异面的，②错误；，③正确；由①及面面垂直的判定定理知④正确；连接交于点，易证明面，故直线与平面所成角为，，故⑤正确 故答案为：①④⑤ 14. 在边长为的菱形中，为的中点，，点在线段上运动，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的定义可求得，然后以点为坐标原点，的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，设点，其中，利用二次函数的基本性质结合平面向量数量积的坐标运算可求出的取值范围. 【详解】因为， 所以，， 因为，故， 以点为坐标原点，的方向为轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、，设点，其中， ，， 所以， 因为，函数在上单调递减， 故，即， 因此，的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量，，，，，（单位：克）中，经统计得频率分布直方图如图： （1）经计算估计这组数据的中位数： （2）某经销商来收购芒果，以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，用样本估计总体，该种植园巾还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商提出如下两种收购方案： A：所有芒果以0.01元/克收购： B：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，高于或等于250克的以3元/个收购. 通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多? 【答案】（1）中位数为268.75； （2）应选B方案. 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图可得中位数在内，利用中位数两侧的频率和相等列方程即可得解； （2）由题意结合频率分布直方图求得每个芒果的平均质量，即可得方案可获得的利润；由频率分布直方图估计质量低于250克、高于或等于250克的芒果的数量，即可得方案可获得的利润；比较大小即可得解. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得， 前3组的频率和为 前4组的频率和为， 所以中位数在内，设中位数为x， 则有，解得. 故中位数为268.75. 【小问2详解】 方案A： 元. 方案B： 由题意得低于250克：元； 高于或等于250克元， 故的总计元， 由于， B方案获利更多，应选B方案. 16. 在中，角的对边分别为，且满足. （1）求角； （2）已知面积为，为7，求边上中线长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，利用内角和定理变角，即可求角； （2）利用面积公式和余弦定理列出等式，再由向量中线的线性表示，借助向量的运算得到方程求解即可. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理边化角得 利用三角形内角和定理可得 即 因为所以，即 因为，所以. 【小问2详解】 由得① 由得② 由①②得 由， 得. 17. 如图，在四面体中，D为棱上一点，，，，且，，二面角的大小为． （1）证明：平面； （2）求四面体外接球的体积； （3）求的长． 【答案】（1） 由，，，可得：， 则由勾股定理得：，又，，平面， 所以平面； （2）； （3）. 【解析】 【分析】(1)利用勾股定理证明一个线线垂直，再利用一个已知的垂直关系，即可证明线面垂直； (2)利用线面垂直可得线线垂直，再证明平面，从而可得直角四面体，利用补形法求外接球半径，即可求出体积； (3)利用换底面建立空间直角坐标系，把所求的线段长设为参数，结合已知数据表示各点坐标，通过法向量夹角余弦值的绝对值为，建立相等关系求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 则四面体满足平面，， 因此这个四面体可以放在一个长方体里， 所以外接球的直径就是该长方体的体对角线， 因为，所以外接球的半径， 即该外接球的体积， 【小问3详解】 把这个三棱锥换成以作底面，因为，所以以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， 由于平面，，，, 设，则， 即， ， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 所以， 因为二面角的大小为， 所以，解得 故 18. 已知向量，，其中，函数，且． （1）求函数的解析式； （2）求在上的值域； （3）若对，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，由，求得，结合，求得，即可得函数解析式. （2）由，得到，结合三角函数的图象与性质，即可求解； （3）根据题意，将所给不等式等价转化，将其化成在恒成立，设，将函数化成，结合函数的单调性，求得函数的最小值，进而得到参数范围. 【小问1详解】 解：由向量和， 可得 ， 因为，可得， 可得，解得， 又因为，所以，所以. 【小问2详解】 解：由（1）知，函数， 因为，可得， 当时，即时，； 当时，即时，， 所以函数的值域为. 【小问3详解】 解：因为在上恒成立， 则， 又由 ， 所以， 即在恒成立， 令， 因为，可得，所以， 又因为， 设，则在上单调递增，所以， 所以，即，所以故的取值范围为. 19. 在三棱锥中，和均为斜边是的等腰直角三角形，，，的中点分别为，，，经过，，三点的平面与相交于； （1）证明： ； （2）若平面平面，且，求点到面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证平面，利用面面平行的性质定理可得； （2）根据等体积变换法可得. 【小问1详解】 如图，连接， 因为，分别为，的中点，所以, 又平面，平面，所以平面， 由题意平面平面， 平面，所以. 【小问2详解】 如图，连接，， 因和均为斜边是的等腰直角三角形，， 所以，，，， 又因 平面平面，可知，， 又，平面，平面， 所以平面， 因，所以， 设点到面的距离为， 由得， 得，得， 故点到面的距离为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 腾冲市第八中学2024--2025学年下学期高一年级6月月考 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第4页至第6页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知是虚数单位，复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 若向量，满足，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 2025年春节档上映的动画电影《哪吒之魔童闹海》引发全民观影热潮．某数据平台实时统计了该片上映前10天的全国单日票房（单位：亿元），并生成如图所示的折线图．假设横轴为上映时间（日期），纵轴为单日票房（亿），则下列说法正确的是（ ） A. 前十日之后，随着上映时间的增加，单日票房一定会呈现下降趋势 B. 上映前十天的票房极差为4.76（亿） C. 上映前十天的票房中位数为6.34（亿） D. 上映前十天的票房第70百分位数为7.30（亿） 4. 已知偶函数在上有且仅有一个极大值点，没有极小值点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A. 10 B. 20 C. 24 D. 32 6. 已知三点．若三点在同一条直线上，则实数的值为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，底面是边长为2的正方形，半圆面底面，点为圆弧上的动点．当三棱锥的体积最大时，二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 赵爽是我国古代著名的数学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”．亦称“赵爽弦图”．如图1，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．我们通过类比得到图2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，若图2中，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 已知表示直线，表示平面，下列正确的是（ ） A. B. C. D. 或 10. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，某个个体被抽到的概率是0.2 B. 已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5 C. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的分位数是18 D. 若样本数据的平均值为8，则数据的平均值为15 11. 如图，在棱长为2的正方体中，，，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 三棱锥的体积最大值为1 C. 若，则点到直线的距离为 D. 三棱锥外接球球心轨迹的长度近似为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如下图，是用“斜二测画法”画出的直观图，其中，，那么的周长是__________． 13. 如图正方形的边长为，已知，将沿边折起，折起后点在平面上的射影为点，则翻折后的几何体中有如下描述： ①与所成角的正切值是； ②； ③的体积是； ④平面⊥平面； ⑤直线与平面所成角为． 其中正确的有__________．（填写你认为正确的序号） 14. 在边长为的菱形中，为的中点，，点在线段上运动，则的取值范围是___________. 四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量，，，，，（单位：克）中，经统计得频率分布直方图如图： （1）经计算估计这组数据的中位数： （2）某经销商来收购芒果，以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，用样本估计总体，该种植园巾还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商提出如下两种收购方案： A：所有芒果以0.01元/克收购： B：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，高于或等于250克的以3元/个收购. 通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多? 16. 在中，角的对边分别为，且满足. （1）求角； （2）已知面积为，为7，求边上中线长. 17. 如图，在四面体中，D为棱上一点，，，，且，，二面角的大小为． （1）证明：平面； （2）求四面体外接球的体积； （3）求的长． 18. 已知向量，，其中，函数，且． （1）求函数的解析式； （2）求在上的值域； （3）若对，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围. 19. 在三棱锥中，和均为斜边是的等腰直角三角形，，，的中点分别为，，，经过，，三点的平面与相交于； （1）证明： ； （2）若平面平面，且，求点到面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $