精品解析：2025年吉林省长春市第八十七中学中考三模数学试题

九年级模拟试题 数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 要使算式的运算结果最大，则“□”内应填入的运算符号为（ ） A B. C. D. 2. 如图，点A，B对应的数分别为a，b，对于结论：①，②，③，其中说法正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ② D. ①②③ 3. 如图是某几何体的展开图，则此几何体是（ ） A. 五棱柱 B. 五棱锥 C. 六棱柱 D. 六棱锥 4. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是梯子两梯腿张开的示意图，AB＝AC，梯腿与地面夹角∠ACB＝∠，当梯子顶端离地面高度AD＝2.8m时，则梯子两梯脚之间的距离BC＝（ ）m． A. B. C. D. 6. 向一个容器内匀速地注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示．这个容器的形状可能是图中的（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将折叠，使点A、B重合，折痕为．连接 甲：能够比较与的大小 乙：能够比较与的长短 下列判断正确的是（ ） A. 甲、乙的说法都正确 B. 甲、乙的说法都不正确 C. 甲的说法正确，乙的说法不正确 D. 甲的说法不正确，乙的说法正确 8. 如图，点在函数的图象上，点在轴上，，将线段向左下方平移．得到线段，使点落在函数图象上，点落在轴负半轴上，且．则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 将整式分解因式结果正确的是______． 10. 若a是方程的一个根，则的值为______． 11. 若是整数，则正整数n的最小值为__________． 12. 《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人、物各几何？意思是：有一些人合买一个物品，每个人出元，还余剩元，每个人出元，则还差元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？若设一共有人，可列方程为__________． 13. 如图是工人师傅用边长均为的两块正三角形和一块正方形地砖绕着点进行的铺设．若将一块边长为的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是______． 14. 如图，正方形边长为1，点E是边上一动点（不与点B，C重合），过点E作交正方形外角的平分线于点F，交于点G，连接，有下列结论：①②③④面积的最大值为⑤连接，当最小时，上述结论中，正确结论的序号有______． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 甲、乙两人去超市选购奶制品，有两个品牌的奶制品可供选购，其中蒙牛品牌有两个种类的奶制品：A．纯牛奶，B．核桃奶；伊利品牌有三个种类的奶制品：C．纯牛奶，D．酸奶，E．核桃奶． （1）甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是_______； （2）若甲喜爱蒙牛品牌的奶制品，乙喜爱伊利品牌的奶制品，甲、乙两人从各自喜爱的品牌中随机选购一种奶制品，请利用画树状图或列表的方法求出两人选购到同一种类奶制品的概率． 17. 某高速公路工地需要实施爆破，操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到以外安全区域，已知导火线的燃烧速度是，人跑步的速度是，问：导火线必须超过多长，才能保证操作人员的安全？ 18. 如图，在中，D，E分别是的中点，，交的延长线于点A，，连接．求证：四边形为菱形． 19. 如图是由小正方形组成的6×7网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点．格点A、B、C在同一个圆上．只用无刻度直尺在分别在给定网格中按照下列要求作图，保留作图痕迹． （1）图①中，先画出圆心O，然后作经过B点的切线 （2）图②中，在上画点D，使 20. 某市为推进“绿色社区”建设，对全市150个社区的“雨水收集利用率”进行考核．根据要求，“雨水收集利用率”达到75%及以上即为合格．环保部门随机抽查了10个社区，其利用率数据如下（单位：%）： 68，77，72，85，80，65，78，88，70，82． 请根据以上信息，回答下列问题： （1）计算这组数据的平均利用率为______； （2）估计全市150个社区中，利用率合格的大约有多少个？ （3）若将这10个社区作为试点，对不合格的社区进行改造（合格的社区无需改造），改造后全部达标，且改造后数据的平均利用率提升至80%．那么，试点中改造社区的利用率平均至少提升了______个百分点． 21. 千百年来，手杆秤也可算作华夏“国粹”，是我国传统计重工具，方便了人们的生活，直至今日仍然有人还在使用杆秤进行交易． 【观察实践】如图①，某兴趣小组为了探究秤杆上秤砣到秤纽的水平距离x．（）厘米与秤钩所挂物重为y斤之间的关系，进行了6次称重记录出下表的一些数据． x（厘米） 4 12 20 24 28 36 y（斤） 0 1 2 2.5 3 4 【问题解决】 （1）在图②中，请以表格中的x值为横坐标，y值为纵坐标描出所有的点，并将这些点依次连接起来． （2）根据（1）描各点的分布规律，观察它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式，如果不在同一条直线上，请说明理由． （3）已知杆秤的设计利用了杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂，设秤砣质量为斤，称钩质量为斤，秤钩到称纽距离为厘米，则当钩上不放重物时：，挂物重为y斤时：， 则由上面两个等式进行变形可以得到 ，（横线上填关于，的代数式） 根据上式和（2）的结论，当秤砣质量为0.3斤时，求秤钩到称纽距离应该为多少厘米？ 22. 【问题原型】如图，菱形的边长为，．点分别在边上，且．点在直线上，试探究当的值最小时，点的位置． 【问题探究】（1）小丽同学由已知条件可以证明，为了求最小值问题，首先要探究点的轨迹问题．研究发现：当的边为定长，为定角且时，点在外接圆的劣弧上运动．以下是小丽求的度数的部分过程： 解：∵四边形是菱形，∴， 又∵， 是等边三角形， ∴，， 又∵，∴ 证明过程缺失 ∴______ ∴点在外接圆的劣弧上运动． 请您补全证明过程． 【问题解决】（2）请结合上述探究过程，用圆规和无刻度直尺，在图中作出【问题原型】中的点和点，使的值最小，则最小值是______． 23. 如图，在矩形中，，．点E是边的三等分点，且．点P是边上的动点（P不与点A重合），绕点E逆时针旋转得到线段，连结． （1）过点Q作边的垂线段，交于H，求证：； （2）当A，Q，C三点共线时，求线段的长； （3）线段的长度的最小值是______； （4）四边形面积的最大值是______，此时线段的长度是______． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点且对称轴为直线，点在抛物线上，其横坐标为． （1）求该抛物线对应的函数关系式； （2）已知点的坐标为，点的坐标为，连接，以点为位似中心将线段放大到原来的倍，得到线段（和位于点的同侧），以为边向右做正方形， 当时，连接、，试说明． 当时，若与抛物线图象交于点，连接；当平分时，求的值； 当时，连接，当两点中只有一个点在内部时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级模拟试题 数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 要使算式的运算结果最大，则“□”内应填入的运算符号为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别把加、减、乘、除四个符号填入括号，计算出结果即可； 【详解】当填入加号时： 当填入减号时： 当填入乘号时： 当填入除号时： 故这个运算符号是乘号； 故选：C 【点睛】本题考查的是有理数的运算，根据题意得出填入加、减、乘、除四个符号的得数是解答此题的关键 2. 如图，点A，B对应的数分别为a，b，对于结论：①，②，③，其中说法正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ② D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的加法和乘法计算，根据数轴可知，据此根据乘法和加法计算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可知， ∴，，， ∴正确的有①②③， 故选：D． 3. 如图是某几何体的展开图，则此几何体是（ ） A. 五棱柱 B. 五棱锥 C. 六棱柱 D. 六棱锥 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的展开图，熟记几种几何体的展开图是解题的关键． 根据简单几何体的展开图求解即可． 【详解】解：几何体的展开图为长方形和六边形，据此可判断该几何体为六棱柱，即C正确． 故选：C． 4. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角性质，根据题意结合图形可知是重力与斜面形成的三角形的外角，从而可求得的度数． 【详解】解：重力的方向竖直向下， 重力与水平方向夹角为， 摩擦力的方向与斜面平行，， ， 故选：C． 5. 如图，是梯子两梯腿张开的示意图，AB＝AC，梯腿与地面夹角∠ACB＝∠，当梯子顶端离地面高度AD＝2.8m时，则梯子两梯脚之间的距离BC＝（ ）m． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得到BD＝DC＝BC，根据正切的定义计算，得到答案． 【详解】解：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝DC＝BC， 在Rt△ADC中，tanC＝， ∴DC＝＝， ∴BC＝2DC＝， 故选：D． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 6. 向一个容器内匀速地注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示．这个容器的形状可能是图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象的性质在实际问题中的应用，判断出每段函数图象变化不同的原因是解题的关键． 根据每一段函数图象的倾斜程度，反映了水面上升高度的快慢，再观察容器的粗细，作出判断． 【详解】解：注水量一定，函数图象的走势是稍陡，平，陡；那么高度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关．则相应的排列顺序就为B． 故选：B． 7. 如图，将折叠，使点A、B重合，折痕为．连接 甲：能够比较与的大小 乙：能够比较与的长短 下列判断正确的是（ ） A. 甲、乙的说法都正确 B. 甲、乙的说法都不正确 C. 甲的说法正确，乙的说法不正确 D. 甲的说法不正确，乙的说法正确 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形三边关系，根据折叠的性质可得，即可得出，根据折叠可得，可得，即可判定，即可求解． 【详解】解：根据折叠可得， ， 根据折叠可得， ， 在中，，即， ∴甲、乙的说法都正确， 故选：A． 8. 如图，点在函数的图象上，点在轴上，，将线段向左下方平移．得到线段，使点落在函数图象上，点落在轴负半轴上，且．则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质和反比例函数的解析式，根据可得点，根据可得点，由平移规律可得点的坐标，根据点和点在函数的图象上，列方程可得的值，从而得的值，即可求解． 【详解】解：，， ，， 由平移可知：线段向下平移个单位，再向左平移个单位，得到线段， ， ， 点和点在函数的图象上， ， ， ， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 将整式分解因式结果正确是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，利用提公因式法解答即可，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 若a是方程的一个根，则的值为______． 【答案】2024 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，求代数式的值，利用整体代入思想解答是解题的关键． 根据一元二次方程的解的定义可得，，然后代入计算，即可求解． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴，， ∴ 故答案为：2024． 11. 若是整数，则正整数n的最小值为__________． 【答案】7 【解析】 【分析】根据题意可得是完全平方数，即可求解． 【详解】解∶∵，且是整数， ∴是整数，即是完全平方数， ∴， 即正整数n的最小值为7． 故答案为：7 【点睛】主要考查了算术平方根，解题的关键是分解成一个完全平方数和一个代数式的积的形式． 12. 《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人、物各几何？意思是：有一些人合买一个物品，每个人出元，还余剩元，每个人出元，则还差元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？若设一共有人，可列方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，根据物品的价格不变列出方程即可． 【详解】解：由题意，得：． 故答案为：． 13. 如图是工人师傅用边长均为的两块正三角形和一块正方形地砖绕着点进行的铺设．若将一块边长为的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平面密铺，熟练掌握多边形内角和是解题的关键． 根据多边形的内角和求出，则通过计算多边形的外角即可得到答案． 【详解】解：∵正三角形的内角为，正方形的内角为， ∴， ∴这块正多边形地砖的边数是， 故答案为：． 14. 如图，正方形的边长为1，点E是边上一动点（不与点B，C重合），过点E作交正方形外角的平分线于点F，交于点G，连接，有下列结论：①②③④面积的最大值为⑤连接，当最小时，上述结论中，正确结论的序号有______． 【答案】①②##②① 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，垂直、角平分线的定义，三角形全等等知识点，观察图形的变化规律，可以利用全等，判断；；同时也可判断；用的长表示的面积，用函数知识判断最大值．作点D关于的对称点M，连接交于点P，连接，先证明点M在线段的延长线上，求出，根据知最小值为，得出此时，故可求出答案． 【详解】解：连接，过E作交于H；过F作于I，如图． ∵四边形为正方形； ∴． ∵； ∴． 又∵， ∴； ∴； ∴． ∴； ∴．； ∵平分正方形外角， ∴； ∴； ∴． ∵， ∴； ∵， ∴； ∴． ∴． ∴，①正确． ∴； ∴． ∵平分正方形外角， ∴； ∴； ∴，②正确． ∵， ∴， ∴； 即，③不正确． 设，则； ∴面积：，最大值为，④不符合题意． 如图，作点关于的对称点M，连接交于点P，连接， ∵ ∴， ∵平分， ∴， ∵点D关于 的对称点M， ∴， ∴点M在线段的延长线上， ∴， ∵， ∴当且仅当点F与点P重合时最小，最小值为的长， 过点作于点，则，， ∴， ∴， 由于，所以 ∴， ∴当最小时，故⑤错误； 综上，正确的结论是①②， 故答案为：①②． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；1 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，先将原式的分子分解因式，约分后得最简结果，再把代入计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 16. 甲、乙两人去超市选购奶制品，有两个品牌的奶制品可供选购，其中蒙牛品牌有两个种类的奶制品：A．纯牛奶，B．核桃奶；伊利品牌有三个种类的奶制品：C．纯牛奶，D．酸奶，E．核桃奶． （1）甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是_______； （2）若甲喜爱蒙牛品牌的奶制品，乙喜爱伊利品牌的奶制品，甲、乙两人从各自喜爱的品牌中随机选购一种奶制品，请利用画树状图或列表的方法求出两人选购到同一种类奶制品的概率． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式直接计算即可； （2）画出树状图，得出所有可能的情况数和符合要求的情况数，再利用概率公式计算． 【详解】解：（1）∵两个品牌共有5个种类的奶制品，每个品牌都有一种纯牛奶， ∴选购到纯牛奶的概率=， 故答案为：； （2）画树状图如下： 可知共有6种等可能的结果，其中两人选购到同一种类奶制品的情况有2种， ∴两人选购到同一种类奶制品的概率为=． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 17. 某高速公路工地需要实施爆破，操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到以外的安全区域，已知导火线的燃烧速度是，人跑步的速度是，问：导火线必须超过多长，才能保证操作人员的安全？ 【答案】导火线必须超过多长，才能保证操作人员的安全 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用．设导火线的长度为，根据题意，列出不等式，即可求解． 【详解】解：设导火线的长度为，根据题意得： ， 解得：， 答：导火线必须超过多长，才能保证操作人员安全． 18. 如图，在中，D，E分别是的中点，，交的延长线于点A，，连接．求证：四边形为菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质．连接，证明，可得，可得到四边形为平行四边形，再由，可得，然后证明四边形为平行四边形，即可求证． 【详解】证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． 19. 如图是由小正方形组成的6×7网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点．格点A、B、C在同一个圆上．只用无刻度直尺在分别在给定网格中按照下列要求作图，保留作图痕迹． （1）图①中，先画出圆心O，然后作经过B点的切线 （2）图②中，在上画点D，使 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）取格点，连接交于O，则此点为圆心；取点F，连接，则为圆的切线； （2）取格点，连接交圆于点，则． 【小问1详解】 解：如图，点为圆心，为圆的切线； 【小问2详解】 解：如图，点即为所作． 【点睛】本题考查作图—应用与设计作图、垂径定理、切线的判定定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 20. 某市为推进“绿色社区”建设，对全市150个社区的“雨水收集利用率”进行考核．根据要求，“雨水收集利用率”达到75%及以上即为合格．环保部门随机抽查了10个社区，其利用率数据如下（单位：%）： 68，77，72，85，80，65，78，88，70，82． 请根据以上信息，回答下列问题： （1）计算这组数据的平均利用率为______； （2）估计全市150个社区中，利用率合格的大约有多少个？ （3）若将这10个社区作为试点，对不合格的社区进行改造（合格的社区无需改造），改造后全部达标，且改造后数据的平均利用率提升至80%．那么，试点中改造社区的利用率平均至少提升了______个百分点． 【答案】（1） （2）90 （3）3.5 【解析】 【分析】本题主要考查平均数的用样本估计总体，理解题意是解答本题的关键． （1）根据平均数的概念求解即可； （2）用样本估计总体即可； （3）根据提升后的利用率-改造前的利用率即可得解． 【小问1详解】 解：∵ ∴这组数据的平均利用率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：（个）， 答：估计全市150个社区中，利用率合格的大约有90个； 【小问3详解】 解：， 所以，试点中改造社区的利用率平均至少提升了3.5个百分点， 故答案为：3.5． 21. 千百年来，手杆秤也可算作华夏“国粹”，是我国传统的计重工具，方便了人们的生活，直至今日仍然有人还在使用杆秤进行交易． 【观察实践】如图①，某兴趣小组为了探究秤杆上秤砣到秤纽的水平距离x．（）厘米与秤钩所挂物重为y斤之间的关系，进行了6次称重记录出下表的一些数据． x（厘米） 4 12 20 24 28 36 y（斤） 0 1 2 2.5 3 4 【问题解决】 （1）在图②中，请以表格中的x值为横坐标，y值为纵坐标描出所有的点，并将这些点依次连接起来． （2）根据（1）描各点的分布规律，观察它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式，如果不在同一条直线上，请说明理由． （3）已知杆秤的设计利用了杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂，设秤砣质量为斤，称钩质量为斤，秤钩到称纽距离为厘米，则当钩上不放重物时：，挂物重为y斤时：， 则由上面两个等式进行变形可以得到 ，（横线上填关于，的代数式） 根据上式和（2）的结论，当秤砣质量为0.3斤时，求秤钩到称纽距离应该为多少厘米？ 【答案】（1）见解析 （2）在同一条直线上，这条直线所对应函数解析式为 （3）；秤钩到称纽距离应该为8厘米 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质知识点，解题的关键是根据给定的数据判断点是否共线，并能利用待定系数法求一次函数解析式，再根据函数解析式进行求值计算． （1）根据坐标描点连线； （2）判断点共线后，用待定系数法，将两点坐标代入一次函数一般式求解； （3）把物重代入函数解析式求解秤砣到秤纽水平距离． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：由（1）中图象可知，所描各点在同一条直线上， 设y关于x的函数解析式为， 将点和代入，得， 解得， ∴这条直线所对应的函数解析式为． 【小问3详解】 解：∵， ∴； 代入，得 ∴； 当时，， 解得：， 即秤钩到称纽距离应该为8厘米； 故答案为：． 22. 【问题原型】如图，菱形的边长为，．点分别在边上，且．点在直线上，试探究当的值最小时，点的位置． 【问题探究】（1）小丽同学由已知条件可以证明，为了求最小值问题，首先要探究点的轨迹问题．研究发现：当的边为定长，为定角且时，点在外接圆的劣弧上运动．以下是小丽求的度数的部分过程： 解：∵四边形是菱形，∴， 又∵， 是等边三角形， ∴，， 又∵，∴ 证明过程缺失 ∴______ ∴点在外接圆的劣弧上运动． 请您补全证明过程． 【问题解决】（2）请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图中作出【问题原型】中的点和点，使的值最小，则最小值是______． 【答案】[问题探究] 补全证明过程见解析；[问题探究]的值最小为． 【解析】 【分析】[问题探究]（）根据菱形的性质可得，然后证明是等边三角形，则，，然后证明，所以，，最后通过三角形内角和定理即可求解； [问题解决]（）作关于对称点，连接交于点，交于点，连接交延长线于点，所以，，根据两点之间线段最短可得的值最小，由四边形是菱形，故有，，则，，由是外接圆，取上一点，连接，通过，可得点是在以为直径的圆上，则，证明，然后证明，所以，则，求出，再由勾股定理得，则，从而求出，故有，从而得出的最小值． 【详解】解：[问题探究]（）∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在外接圆的劣弧上运动； [问题解决]（）如图， 作关于对称点，连接交于点，交于点，连接交延长线于点， ∴，，根据两点之间线段最短可得的值最小， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 由是外接圆，取上一点，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点是在以为直径的圆上， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值最小为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 23. 如图，在矩形中，，．点E是边的三等分点，且．点P是边上的动点（P不与点A重合），绕点E逆时针旋转得到线段，连结． （1）过点Q作边的垂线段，交于H，求证：； （2）当A，Q，C三点共线时，求线段的长； （3）线段的长度的最小值是______； （4）四边形面积的最大值是______，此时线段的长度是______． 【答案】（1）见解析 （2） （3） （4）；3 【解析】 【分析】（1）根据旋转和矩形的性质，利用证明结论即可； （2）先证明，再列出比例式，求出长，再利用勾股定理解答即可； （3）点Q在平行于到的距离为的直线上运动，即当点Q在上时，最小，然后利用线段的和差解答即可； （4）过点Q作于点Q，设，根据列函数关系式，配方得到最大值解答即可． 【小问1详解】 解：∵是矩形， ∴， 又∵于H，绕点E逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点Q作于点H， ∵点E是的三等分点， ∴， 由（1）可知， ∴，，， ∵是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）可得点到距离为， ∴点Q在平行于到的距离为的直线上运动，即当点Q在上时，最小， 即最小为； 【小问4详解】 解：过点Q作于点Q，设， 则，， ∴ ， ∴当时，最大为， 这时，， 故答案为：；3． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质的综合应用，相似三角形的判定与性质，二次函数的最值问题等知识，解题的关键是得到． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点且对称轴为直线，点在抛物线上，其横坐标为． （1）求该抛物线对应的函数关系式； （2）已知点的坐标为，点的坐标为，连接，以点为位似中心将线段放大到原来的倍，得到线段（和位于点的同侧），以为边向右做正方形， 当时，连接、，试说明． 当时，若与抛物线图象交于点，连接；当平分时，求的值； 当时，连接，当两点中只有一个点在内部时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）①见解析；②或；③当时，当时，当时，两点中只有一个点在内部 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法代入求解即可确定函数解析式； （2）①当时，此时，根据题意得出，，再计算三角形面积即可证明； ②当时，得出点的坐标为，点的坐标为，设，利用位似图形的性质求出点，再把点C坐标代入求解即可； ③根据题意得出点的坐标为，点的坐标为，，利用相似三角形的判定和性质得出，然后分情况分析：当共线时，；当，共线，且点A恰好在正方形对角线上时；当共线；当四点共线时，过点B作，当共线时，且点B在上时，然后作出图象，结合图象求解即可 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点且对称轴为直线， ∴，， 解得：， ∴该抛物线对应的函数关系式为； 【小问2详解】 解：当时，此时，如图， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴； 当时，如图， 设， ∵，点的坐标为，点的坐标为， ∴点的坐标为，点的坐标为， ， ，， ， 当平分时，则平分，即点C是的中点， ∴， ∴点的坐标为， 把代入， 则， 得， 化简得：， 解得：， ∴当平分时，求的值为或； 点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵以点为位似中心将线段放大到原来的倍，得到线段， ∴，， ∴， 如图，当共线时，， 如图，当，共线，且点A恰好在正方形对角线上时，如图所示： 设，， ∵，点的坐标为，点的坐标为， ∴，， 整理得：， ∵在函数上， 代入得：， 整理得：①， ∵点A在对角线上，， ∴， ∴， ∴， 即，② 将②代入①整理得：， 解得：或， 当时，， 当时，， ∴当时，符合题意； 如图，当共线，如图所示： 此时点P的纵坐标为4， ∴， 解得：或（舍去）； ∵根据当，共线，且点A恰好在正方形对角线上时，有2种情况， ， ∴当时，符合题意； 当四点共线时，过点B作，如图所示： 设，， ∵，点的坐标为，点的坐标为， ∴，， 整理得：， ∵在函数上， 代入得：， 整理得：①， ∵点B在对角线上，， ∴， ∴， ∴， 整理得即，② 将②代入①整理得：， 解得：或， 当时，（舍去）， 当时，，（符合题意） 当共线时，且点B在上时，如图所示： 设，， ∵，点的坐标为，点的坐标为， ∴，， 解得：， ∵在函数上， 代入得：， 解得：或，（不符合题意，舍去） ∴当时，符合题意； 综上可得：当时，当时，当时，两点中只有一个点在内部． 【点睛】题目主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数法确定函数解析式，动点问题等，理解题意，进行分情况分析，找出临界情况，作出相应图形求解是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $