精品解析：天津市咸水沽第一中学2024-2025学年高一下学期第二次月考数学试题

2024~2025学年第二学期第二次月考试卷 高一数学 一、选择题（共9题，每题5分，满分45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知i为虚数单位，复数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 复数的虚部为 B. 复数的共轭复数为 C. 复数的模为 D. 复数在复平面内对应的点在第二象限 2. 某区县共有在校中小学生15000人，为了解学生对人工智能AI技术认知情况，用分层抽样的方法从小学、初中、高中三个学段中抽取容量为200的样本，其中小学段抽取80人，高中段抽取40人，则初中段的学生人数为（ ） A. 3000 B. 4000 C. 4500 D. 6000 3. 已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是 A. 若则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4. 如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（ ） A. B. 1 C. D. 5. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，，则角（ ） A. 或 B. 或 C. D. 6. 某人工智能公司为优化新开发的语言模型，在其模型试用人群中开展满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度并绘制成如下频率分布直方图，图中，则下列结论不正确的是（ ） A. B. 满意度计分的众数约为75分 C. 满意度计分的平均分约为79分 D. 满意度计分的第25百分位数约为70分 7. 在中，角A、、所对的边分别为、、，且若，则的形状是（ ） A. 等腰且非等边三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 8. 在中，点M是上一点，且，P为上一点，向量，则的最小值为（ ） A. 18 B. 16 C. 12 D. 8 9. 已知正方体的体积为，则四棱锥与四棱锥重叠部分的体积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6题，每题5分，满分30分.） 10. i是复数单位，化简的结果为________. 11. 若一个圆锥的高和底面直径相等且它的体积为，则此圆锥的侧面积为______. 12. 已知向量，，，则=________. 13. 一组数据按从小到大的顺序排列为1，2，2，，5，10，其中，已知该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的标准差为___________． 14. 四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，异面直线AC与PD所成的角的余弦值为，则四棱锥外接球的表面积为________________. 15. 《哪吒2》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代，内饰充满了中国文化符号．某中学数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动．如图，正八边形ABCDEFGH，边长为2，，点P在线段CH上，且，则的值为________；若点Q为线段CD上的动点，则的最小值为________． 三、解答题（共5题，满分75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16. 已知向量，，. （1）若，求实数的值； （2）若，①求与的夹角的余弦值；②求在的投影向量的坐标；③求. 17. 已知在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，，且. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 18. 如图，在直三棱柱中，，，，M、N、P分别是、、的中点. （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 19. 如图，四棱锥中，平面，，，，，，是的中点. （1）求证：平面； （2）若， ①求平面与平面所成角的余弦值； ②在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 20. 已知在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且. （1）求角的大小； （2）若，求的值； （3）若，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年第二学期第二次月考试卷 高一数学 一、选择题（共9题，每题5分，满分45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知i为虚数单位，复数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 复数的虚部为 B. 复数的共轭复数为 C. 复数的模为 D. 复数在复平面内对应的点在第二象限 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简求得复数，再根据复数的虚部，共轭复数，复数的模，复数的几何意义依次判断各个选项. 【详解】由，则， 对于A，复数的虚部为，故A错误； 对于B，复数的共轭复数为，故B错误； 对于 C，复数的模，故C正确； 对于 D，复数在复平面内对应的点为在第四象限，故D错误. 故选：C. 2. 某区县共有在校中小学生15000人，为了解学生对人工智能AI技术认知情况，用分层抽样的方法从小学、初中、高中三个学段中抽取容量为200的样本，其中小学段抽取80人，高中段抽取40人，则初中段的学生人数为（ ） A. 3000 B. 4000 C. 4500 D. 6000 【答案】D 【解析】 【分析】利用分层抽样比即可求解. 【详解】由题，抽取容量为200的样本中，初中段的学生人数为80， 所以在校初中段的学生人数为. 故选：D. 3. 已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是 A. 若则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B正确. 考点：空间点线面位置关系． 4. 如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二测画法的定义，画出平面图形，求得原三角形的直角边，从而面积可得． 【详解】利用斜二测画法的定义，画出原图形， 由是等腰直角三角形，，斜边，得， 因此，， 所以原平面图形的面积是. 故选：A 5. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，，则角（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理求出，得解. 【详解】由正弦定理，可得，又， 或. 故选：B. 6. 某人工智能公司为优化新开发的语言模型，在其模型试用人群中开展满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度并绘制成如下频率分布直方图，图中，则下列结论不正确的是（ ） A. B. 满意度计分的众数约为75分 C. 满意度计分的平均分约为79分 D. 满意度计分的第25百分位数约为70分 【答案】C 【解析】 【分析】由频率分布直方图的面积和为1可得A正确；由频率分布直方图计算众数，平均数，第25百分位数可得B正确，C错误，D正确. 【详解】对于A，由频率分布直方图可得，又， 解得，，故A正确； 对于B，满意度计分的众数为最高矩形底边中点横坐标75分，故B正确； 对于C，满意度计分的平均分约为，故C错误； 对于D，前两组的频率之和为，所以满意度计分的第25百分位数约为70分，故D正确. 故选：C. 7. 在中，角A、、所对的边分别为、、，且若，则的形状是（ ） A. 等腰且非等边三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦定理求得，由正弦定理化边为角得，代入另一已知得，从而得三角形形状． 【详解】∵，所以，又，∴， ∵，∴， ，，∴，从而，为等边三角形， 故选：C． 8. 在中，点M是上一点，且，P为上一点，向量，则的最小值为（ ） A. 18 B. 16 C. 12 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由三点共线及平面向量基本定理得的关系，然后结合基本不等式得最小值． 【详解】因为，所以， 又三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即，时，取等号， 所以的最小值为16. 故选：B. 9. 已知正方体的体积为，则四棱锥与四棱锥重叠部分的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】易知四棱锥与四棱锥重叠部分为一个三棱柱加上一个四棱锥，作出图形，结合棱柱和棱锥的体积公式计算即可求解. 【详解】如图， 四棱锥与四棱锥重叠部分为五面体， 又该正方体的体积为，即， 解得，则， 所以，得， 又该五面体由一个三棱柱和一个四棱锥组成，如图， 故该五面体的体积为 . 故选：D 二、填空题（共6题，每题5分，满分30分.） 10. i是复数单位，化简的结果为________. 【答案】 【解析】 【分析】由复数代数形式的乘法、除法运算即可求解. 【详解】， 故答案为： 11. 若一个圆锥的高和底面直径相等且它的体积为，则此圆锥的侧面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】先由圆锥的体积公式求出圆锥的底面半径，再结合圆锥的侧面积公式求解即可. 【详解】解：设圆锥的底面半径为， 则圆锥的高为，母线长为， 由圆锥的体积为， 则，即， 则此圆锥的侧面积为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了圆锥的体积公式，重点考查了圆锥的侧面积公式，属基础题. 12. 已知向量，，，则=________. 【答案】5 【解析】 【分析】两边平方后，结合，，求出答案. 【详解】两边平方得，， 即， 因为，， 故，解得. 故答案为：5 13. 一组数据按从小到大的顺序排列为1，2，2，，5，10，其中，已知该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的标准差为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据条件求出，然后可算出答案. 【详解】由题意，可得该组数据的众数为2，所以，解得， 故该组数据的平均数为． 所以该组数据的方差为，即标准差为3． 故答案为：3 14. 四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，异面直线AC与PD所成的角的余弦值为，则四棱锥外接球的表面积为________________. 【答案】 【解析】 【分析】将该四棱锥放在长方体中，由异面直线的夹角的余弦值求出棱锥的高，再由外接球的直径等于长方体的对角线求出半径，进而求出外接球的表面积． 【详解】解：将此四棱锥放在长方体中，连接，由题意知，所以与所成的角等于与所成的角， 所以，设，因为底面是边长为2的正方形， 在中，由余弦定理可得， 即 解得，设外接球的半径为，则， 所以外接球的表面积为：， 故答案为：． 【点睛】考查棱锥的外接球的半径与棱长的关系及球的表面积公式，属于中档题． 15. 《哪吒2》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代，内饰充满了中国文化符号．某中学数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动．如图，正八边形ABCDEFGH，边长为2，，点P在线段CH上，且，则的值为________；若点Q为线段CD上的动点，则的最小值为________． 【答案】 ①. ②. 0 【解析】 【分析】在正八边形中，各边夹角都是已知的，各边长也是已知的，把目标向量用边长向量表示出来，再根据向量乘法运算律求出结果. 【详解】 如图所示,连接，因为三点共线，且 ，解得， 则， 与夹角为,与夹角为, . 设,可知, , , , , ,当或时, 有最小值,最小值为0. 故答案为: ； 0. 三、解答题（共5题，满分75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16. 已知向量，，. （1）若，求实数的值； （2）若，①求与的夹角的余弦值；②求在的投影向量的坐标；③求. 【答案】（1）或 （2）①；②；③ 【解析】 【分析】（1）根据两向量平行的坐标关系列式求解； （2）先根据条件求得的值，再利用向量的数量积求夹角，利用投影向量公式及向量的坐标求模即可. 【小问1详解】 因为向量，， 若，则，解得或. 【小问2详解】 因为，所以， 即，解得， 此时，. ①依题得； ②依题，在的投影向量为； ③因为，所以. 17. 已知在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，，且. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和正弦定理求得，再由平方关系和商数关系求得答案； （2）由余弦定理代入运算得解； （3）先求出，再由两角差的正弦公式求解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得：，所以， 所以，故. 【小问2详解】 由余弦定理可得：， 所以，解得：或，因为，所以. 【小问3详解】 因为，， 所以. 18. 如图，在直三棱柱中，，，，M、N、P分别是、、的中点. （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，求出坐标，利用向量证明，，根据线面垂直的判定定理证明； （2）求出平面的一个法向量，利用向量法求线面角； （3）由（1）平面的一个法向量为，利用向量法求解. 【小问1详解】 在直三棱柱中，，则，，两两垂直， 如图，以为原点建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 由，则， 由，则， 由，且都在平面内，则平面. 【小问2详解】 设平面的一个法向量，，， 所以，取，则， 所以， 故与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 由（1）知平面的一个法向量为，由（2）知， 所以点到平面的距离. 19. 如图，四棱锥中，平面，，，，，，是的中点. （1）求证：平面； （2）若， ①求平面与平面所成角的余弦值； ②在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 取中点，为中点， ，且， 又，， ，且， 四边形为平行四边形，即， 平面，平面， 平面； （2）①；②存在， 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，根据线线平行证明线面平行； （2）①建立空间直角坐标系，利用坐标法可求得平面的法向量，利用向量法可得面面角余弦值；②设，利用向量法表示点到平面的距离，列方程，解方程即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①平面，且， 则以点为坐标原点，，，方向为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 得，，，，， ，，，， 易知平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，令，则， ， 平面与平面所成角的余弦值为； ②存在点满足题意， 易知，， 假设存在点满足题意， 设，， ，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以点到平面的距离， 解得，即. 20. 已知在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且. （1）求角的大小； （2）若，求的值； （3）若，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知条件化简，结合正弦定理和余弦定理求解； （2）由三角形面积公式结合，得，利用正弦定理边化角结合和平方关系，求得答案； （3）根据向量的线性运算用表示，根据向量数量积运算得，令，利用基本不等式求出最大值. 【小问1详解】 ∵， ∴， 即，即， 由正弦定理得， 所以，， 所以. 【小问2详解】 由（1），， ，得， ，又， ，展开整理得， 又，解得. 【小问3详解】 ，， 又， 所以， 令， 所以 ， 当且仅当取等号，所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $