精品解析：广东省广州市华南师范大学附属中学2024-2025学年下学期八年级数学期末模拟卷

2024-2025学年第二学期八年级数学期末一模学情调研（问卷） 考试时间：120分钟 满分120分 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知下列各三角形三边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. ， ， B. ，， C. ， D. ， ， 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平行四边形 中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，数学兴趣小组想测量湖面 的宽度，在湖面外任意取点 ，先连接和，接着分别取和的中点 ， ，测得的长为，则 的宽度为（ ） A. B. C. D. 6. 矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是（    ） A. 两组对边分别相等 B. 两条对角线互相平分 C. 两条对角线互相垂直 D. 两条对角线相等 7. 已知直线经过点，则 的值等于（ ） A. 5 B. C. 7 D. 8. 如图，经过点B(1，0)的直线y＝kx+b与直线y＝4x+4相交于点A(m，)，则kx+b＜4x+4的解集为(　　) A. x＞ B. x＜ C. x＜1 D. x＞1 9. 如图，点A的坐标为，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B在直线上运动．当线段 最短时，点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，，点D在边上（与B，O不重合），四边形为正方形，过点F作，交的延长线于点C，连接交于点H，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，点D坐标为，点A坐标为，给出以下结论：①四边形为矩形；②；③；④点H的坐标；⑤．其中正确的答案是（　　） A. ①③④⑤ B. ①②③⑤ C. ②③④⑤ D. ①②③④ 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若有意义，则 的取值范围是_____． 12. 在菱形中，已知厘米，则________厘米 13. 已知一次函数的图象如图所示，则关于 的方程的解为_____． 14. 如图，分别以 的三条边为边向外作正方形，面积分别记为，，．若，，则的值为______________． 15. 如图，分别是和 的平分线，．若，则 的周长为______． 16. 如图，已知四边形 为正方形，点E为对角线 上一动点，连接 ，过点E作，交的延长线于点F，连接 ，下列结论：①；②；③是等腰三角形；④．其中结论正确的序号有_______． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或计算步骤） 17. 解方程：． 18. 计算： ； 19. 已知：如图，在菱形 中，点 ， 分别在边，上，且，连结 ，.求证：. 20. 如图，直线 与x轴交于点，与y轴交于点 （1）求直线 的解析式； （2）若直线 上的点C在第一象限，且求点C的坐标． 21. 某校积极践行阳光体育特色大课间活动，现需购买一批霸王鞭和小皮鼓．已知购进2套霸王鞭和1套小皮鼓共花费70元，购进3套霸王鞭和5套小皮鼓共花费245元． （1）求购进的霸王鞭和小皮鼓的单价； （2）现需购买这两类运动设备共120套，并且购买霸王鞭的数量要不超过小皮鼓数量的3倍，当购买这两类运动设备各多少套时学校花费最少？最少的费用是多少元？ 22. 如图，在中，连接． （1）用尺规作线段的垂直平分线，垂足为点O，交于点E，交 于点F，连接，；（保留作图痕迹，不写作法，标记字母） （2）猜想四边形是什么图形，并加以证明． 23. 操作：将一把三角尺放在如图①的正方形 中，使它的直角顶点 在对角线 上滑动，直角的一边始终经过点 ，另一边与射线 相交于点 ，探究： (1)如图②，当点 在 上时，求证：. (2)如图③，当点 在 延长线上时，①中的结论还成立吗？简要说明理由. 24. 如图1，已知直线l与x轴交于点，与y轴交于点，以A为直角顶点在第一象限内作等腰 ，其中上， ． （1）求直线l的解析式和点C的坐标； （2）如图2，点M是的中点，点P是直线l上一动点，连接、 ，求的最小值，并求出当取最小值时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，当取最小值时，在直线上是否存在一点Q，使？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 已知□ABCD，∠BAD＝30°，AD⊥BD于点D，且AB＝6．点P是射线BA上一动点，过点P作PE⊥BD，交BD所在直线于点E．点Q是射线CD上一动点，且CQ＝2AP．设BP的长度为m． （1）当点P在边AB上时， ①请用含m的代数式表示DE； ②当m＝3.6时，求证：QE=QD； （2）在点P的整个运动过程中， ①当m为何值时，△DEQ为直角三角形？ ②若以QD，QE为邻边构造□DFEQ．当点F恰好落在□ABCD的边界上时，直接写出m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期八年级数学期末一模学情调研（问卷） 考试时间：120分钟 满分120分 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的定义：被开方数不含能开的尽的因数或因式，被开方数的因数数整数，因式是整式．根据最简二次根式的定义即可选出正确选项． 【详解】解：A、不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、 是最简二次根式，故此选项符合题意； C、不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意． 故选：B． 2. 已知下列各三角形三边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. ， ， B. ，， C. ， D. ， ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三边能否构成直角三角形，根据勾股定理的逆定理判断即可．如果三角形的三边长 ，，满足，那么这个三角形就是直角三角形． 【详解】解：A、， 本选项中三边长不能构成直角三角形，不符合题意； B、， 本选项中三边长不能构成直角三角形，不符合题意； C、， 本选项中三边长不能构成直角三角形，不符合题意； D、， 本选项中三边长能构成直角三角形，符合题意； 故选：D． 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．根据二次根式的运算法则，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、，此选项计算正确，符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意； C、与不是同类二次根式，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意； D、，故此选项计算错误，不符合题意； 故选：A． 4. 在平行四边形 中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得出，即可求出的度数． 【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 故选：B 5. 如图，数学兴趣小组想测量湖面 的宽度，在湖面外任意取点，先连接和 ，接着分别取和 的中点 ， ，测得 的长为，则 的宽度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理中的数量关系：三角形的中位线等于第三边的一半．先确定 是的中位线，则． 【详解】解： 点 ， 是和 的中点， 是的中位线， ， 故选：B． 6. 矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是（    ） A. 两组对边分别相等 B. 两条对角线互相平分 C. 两条对角线互相垂直 D. 两条对角线相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如，矩形的对角线相等．根据平行四边形和矩形的性质容易得出结论． 【详解】解：A、两组对边分别相等，矩形和平行四边形都具有，故不合题意； B、两条对角线互相平分，矩形和平行四边形都具有，故不合题意； C、两条对角线互相垂直，矩形和平行四边形都不一定具有，故不合题意； D、两条对角线相等，矩形具有而平行四边形不一定具有，符合题意． 故选：D． 7. 已知直线经过点，则的值等于（ ） A. 5 B. C. 7 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，属于基础题型，掌握一次函数图象上点的坐标特点是解题的关键． 把点代入函数解析式求解即可． 【详解】解：∵直线经过点， ∴，解得：； 故选：D． 8. 如图，经过点B(1，0)的直线y＝kx+b与直线y＝4x+4相交于点A(m，)，则kx+b＜4x+4的解集为(　　) A. x＞ B. x＜ C. x＜1 D. x＞1 【答案】A 【解析】 【分析】将点A（m，）代入y=4x+4求出m的值，观察直线y=kx+b落在直线y=4x+4的下方对应的x的取值即为所求． 【详解】∵经过点B（1，0）的直线y=kx+b与直线y=4x+4相交于点A（m，）， ∴4m+4=， ∴m=-， ∴直线y=kx+b与直线y=4x+4的交点A的坐标为（-，），直线y=kx+b与x轴的交点坐标为B（1，0）， ∴当x＞-时，kx+b＜4x+4， 故选A． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 9. 如图，点A的坐标为，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B在直线上运动．当线段 最短时，点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质与判定等待，当线段 最短时，，判定出 是等腰直角三角形，得出，作于点H，根据等腰三角形三线合一的性质和直角三角形斜边中线的性质，得出，进而得出，即点B的横坐标，然后把点B的横坐标代入，即可得出点B的坐标． 【详解】解：当线段 最短时，， 在中，当时，；当时，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴ 是等腰直角三角形， ∴． 作于点H，则都是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即点B的横坐标为， 把点B的横坐标代入，可得：， ∴． 故选：A． 10. 如图，，点D在边 上（与B，O不重合），四边形为正方形，过点F作，交的延长线于点C，连接交于点H，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，点D坐标为，点A坐标为，给出以下结论：①四边形为矩形；②；③；④点H的坐标；⑤．其中正确的答案是（　　） A. ①③④⑤ B. ①②③⑤ C. ②③④⑤ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】由正方形的性质得到，，证明，得到，，再证明，即可证明四边形是矩形，故①正确；则，再由，可得，故②正确；在中，由勾股定理得，则，在中，由勾股定理得，，故③正确；如图所示，过点E作轴于T，同理可证明，可得；求出直线 解析式为，可得，故④正确；则，故⑤错误． 【详解】解：∵点 坐标为，点坐标为， ∴； 四边形为正方形， ，， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形，故①正确； ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴，故③正确； 如图所示，过点E作轴于T， 同理可证明， ∴， ∴， ∴； 设直线 解析式为， ∴， ∴， ∴直线 解析式为， 在中，当时，， ∴，故④正确； ∴，故⑤错误； ∴正确的是①②③④， 故选D． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，正确利用一线三垂直模型证明三角形全等是解题的关键． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若有意义，则 的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出关于x的一元一次不等式，求解即可得到x的取值范围． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件为被开方数是非负数．有意义， ∴． 解得． 12. 在菱形中，已知厘米，则________厘米 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形四条边相等． 根据菱形四条边相等即可求解． 【详解】解：如图，在菱形 中， ∵四边形 为菱形，厘米， ∴厘米， 故答案为：5． 13. 已知一次函数的图象如图所示，则关于 的方程的解为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，方程的解即为一次函数的函数值 为0时对应的 的值，利用数形结合的思维解答是解题的关键． 【详解】解：由图象知，当时， ∴关于 的方程的解为， 故答案为： ． 14. 如图，分别以 的三条边为边向外作正方形，面积分别记为，，．若，，则的值为______________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理得到，即，进而即可解答． 【详解】解：∵在 中，， ∴， ∴． 故答案为：4 15. 如图，分别是和 的平分线，．若，则 的周长为______． 【答案】30 【解析】 【分析】由分别是和 的角平分线推出即和都是等腰三角形，根据三角形中位线定理可得，即可解题． 此题考查了三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定与性质，属于基础题． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴． 同理：． 又∵， ∴E、D分别是和的中点， ∴是的中位线， ∴， 则 的周长为： ， 由，得 的周长为30， 故答案为：30． 16. 如图，已知四边形 为正方形，点E为对角线 上一动点，连接 ，过点E作，交 的延长线于点F，连接 ，下列结论：①；②；③是等腰三角形；④．其中结论正确的序号有_______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形,全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质．证明即可证明，故①正确；过点E作于点M，作于点N，证明，推出是等腰三角形，故③正确；过点E作交 于点H，由和都是等腰三角形，，利用等腰三角形的性质求解即可推出． 【详解】解：∵四边形 是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，故①正确； 过点E作于点M，作于点N，如图所示， 则， ∵四边形 是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故③正确； ∵点E为对角线 上一动点， ∴没办法说明，故②错误； 过点E作交 于点H，如图， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵和都是等腰三角形，， ∴，， ∴， ∴，故④正确． 综上可知①③④正确． 故答案为：①③④， 三、解答题（本大题共7小题，满分72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或计算步骤） 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了利用直接开平方法解一元二次方程，准确计算是解题的关键． 利用直接开平方法求解即可； 【详解】解：， ， ，． 18. 计算： ； 【答案】6 【解析】 【分析】观察式子的特点，它符合平方差公式，利用平方差公式计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 19. 已知：如图，在菱形 中，点 ， 分别在边 ， 上，且，连结 ，.求证：. 【答案】 ∵四边形 是菱形， ∴，， ∵ ∴． ∴ 【解析】 【分析】由菱形性质得，，，，根据全等三角形判定SAS可得，由全等三角形性质即可得证. 【详解】略 【点睛】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答． 20. 如图，直线 与x轴交于点，与y轴交于点 （1）求直线 的解析式； （2）若直线 上的点C在第一象限，且求点C的坐标． 【答案】（1）直线 的解析式为： （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图像上点的坐标特征，三角形面积，解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法求一次函数解析式． （1）设直线 的解析式为，把点与点代入直线解析式进行求解即可； （2）设点 的坐标，由，可得，再由，列出方程，由此求解即可． 【小问1详解】 解：设直线 的解析式为：，因点A、B在直线上， 依题意得：， 解得：， 所以直线 的解析式为：． 【小问2详解】 解：因点C在直线 上，设， 由题意得：， 解得：， 所以． 21. 某校积极践行阳光体育特色大课间活动，现需购买一批霸王鞭和小皮鼓．已知购进2套霸王鞭和1套小皮鼓共花费70元，购进3套霸王鞭和5套小皮鼓共花费245元． （1）求购进的霸王鞭和小皮鼓的单价； （2）现需购买这两类运动设备共120套，并且购买霸王鞭的数量要不超过小皮鼓数量的3倍，当购买这两类运动设备各多少套时学校花费最少？最少的费用是多少元？ 【答案】（1）购进的霸王鞭单价是15元，小皮鼓单价是40元； （2）当购买霸王鞭90套，小皮鼓30套时，学校花费最少，最少的费用是2550元． 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一次函数，不等式的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）设购进的霸王鞭单价是x元，小皮鼓单价是y元，由此列二元一次方程组求解即可； （2）设购买霸王鞭a套，则购买小皮鼓套，购买两类运动设备的总费用为w元，可得，结合一次函数的增减性，不等式的取值方法求解即可． 【小问1详解】 解：设购进的霸王鞭单价是x元，小皮鼓单价是y元， 根据题意，得， 解得， 答：购进的霸王鞭单价是15元，小皮鼓单价是40元； 【小问2详解】 解：设购买霸王鞭a套，则购买小皮鼓套，购买两类运动设备的总费用为w元， ， ∵， ∴w随a的增大而减小， ∵， 解得， ∴当时，w有最小值，，， 答：当购买霸王鞭90套，小皮鼓30套时，学校花费最少，最少的费用是2550元． 22. 如图，在中，连接． （1）用尺规作线段的垂直平分线，垂足为点O，交于点E，交 于点F，连接，；（保留作图痕迹，不写作法，标记字母） （2）猜想四边形是什么图形，并加以证明． 【答案】（1） 如图，直线即为所求． （2） 四边形是菱形． 证明：∵直线垂直平分线， ∴，，． ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，垂直平分线的性质，菱形的性质，全等三角形的判定，利用全等三角形的性质证明边的等长是解题的关键． （1）分别以为圆心，以大于的等长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点做直线，交于E，交 于F，交于点O，以此作图即可； （2）先根据平行四边形的性质证明，然后根据垂直平分线的性质证明，，接下来证，，最后根据四边相等的四边形是菱形来证明即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 23. 操作：将一把三角尺放在如图①的正方形 中，使它的直角顶点 在对角线 上滑动，直角的一边始终经过点 ，另一边与射线 相交于点 ，探究： (1)如图②，当点 在 上时，求证：. (2)如图③，当点 在 延长线上时，①中的结论还成立吗？简要说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)成立，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）过点P作MN//BC，可以证明△PMQ≌△BNP，从而得出BP=QP； （2）过点 作于 ,交 于点 ，可以证明△PMQ≌△BNP，从而得出BP=QP； 【详解】(1)证明：过点 作，分别交 于点 ，交 于点 ， 则四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰直角三角形． ∴NP=NC=MB ∵∠BPQ=90° ∴∠QPN+∠BPM=90°，而∠BPM+∠PBM=90° ， ∴∠QPN=∠PBM，又∠QNP=∠PMB=90°， 在△QNP和△BMP中， ∠QNP=∠PMB，MB=NP，∠QPN=∠PBM ∴△QNP≌△PMB（ASA）， ∴PQ=BP． (2)成立. 过点 作于 ,交 于点 在正方形 中, ∴ ∴是矩形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定，解题的关键在根据正方形的性质得到判定全等三角形的条件，进而得到结论成立. 24. 如图1，已知直线l与x轴交于点，与y轴交于点，以A为直角顶点在第一象限内作等腰 ，其中上， ． （1）求直线l的解析式和点C的坐标； （2）如图2，点M是 的中点，点P是直线l上一动点，连接、 ，求的最小值，并求出当取最小值时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，当取最小值时，在直线上是否存在一点Q，使？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）5； （3）存在；或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法即可求得直线的解析式，过点 作轴，利用证明，结合其性质可得点 的坐标； （2）根据中点坐标公式可得，延长至 ，使得，即点为的中点，可知， 垂直平分，连接，则，得，当点 在直线上时取等号，由勾股定理求得，利用待定系数法得直线的解析式为，当点 在直线上时，即直线与直线 相交，联立方程组即可求得此时点 的坐标为； （3）根据题意得，过点作轴交直线于 ，可知，分情况：当点 在点 右侧时，当点 在点 、点 之间时，当点 在点 左侧时，结合三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 ∵，， ∴， ， 设直线的解析式为， 将，，代入得，， 解得：， ∴， 过点 作轴，则， ∴， ∴， 又∵ ， ∴， ∴，， ∴， 则点 的坐标为； 【小问2详解】 由（1）可知，点的坐标为，点 的坐标为，点 的坐标为， ∵点 是 的中点， ∴点 的坐标为，即：， 延长至 ，使得，即点为的中点， ∴点 的坐标为，即， ∵， ∴ 垂直平分， 连接，则， ∴，当点 在直线上时取等号， 由勾股定理可得：， 设直线的解析式为：， 则，解得：， ∴直线的解析式为：， 当点 在直线上时，即直线与直线 相交， 得，解得：， 即此时点 的坐标为， 综上，的最小值为5，此时点 的坐标为； 【小问3详解】 存在，理由如下： ∵， 则， 过点作轴交直线于 ， 此时 ，则，即， ∴，则， 当点 在点 右侧时，， ∴， 解得：， 当时，， 即此时点 的坐标为； 当点 在点 、点 之间时，，不符合题意； 当点 在点 左侧时，， ， 解得：， 当时，， 即此时点 的坐标为； 综上，存在点 的坐标为或时，． 【点睛】本题考查了图形与坐标，待定系数法求函数解析式，一次函数，两直线交点坐标与二元一次方程组解的关系，全等三角形的判定及性质，勾股定理等知识，熟练掌握知识点是解题的关键． 25. 已知□ABCD，∠BAD＝30°，AD⊥BD于点D，且AB＝6．点P是射线BA上一动点，过点P作PE⊥BD，交BD所在直线于点E．点Q是射线CD上一动点，且CQ＝2AP．设BP的长度为m． （1）当点P在边AB上时， ①请用含m的代数式表示DE； ②当m＝3.6时，求证：QE=QD； （2）在点P的整个运动过程中， ①当m为何值时，△DEQ为直角三角形？ ②若以QD，QE为邻边构造□DFEQ．当点F恰好落在□ABCD的边界上时，直接写出m的值． 【答案】（1）①；②见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）①利用△BPE是含30°的直角三角形求出BE，再用即可求；②求出QD，可得DE=QD，从而得出△DEQ是等边三角形，从而得证． （2）①P在边AB上和当P在边AB的延长线上两种情况讨论，分别求出m的值；②分点F在AD和BC两种情况讨论，利用含30°的直角三角形的性质可得结果． 【小问1详解】 解：①∵PE⊥BD，AD⊥BD ∴PEAD 又∵∠BAD＝30° ∴∠BPE=30° ∴． ∵AB=6，AD⊥BD，∠BAD＝30° ∴， ∴． ②∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD=AB=6，ABCD ∵AB=6，BP=m， ∴AP=6-m， ∵CQ＝2AP ∴CQ＝12-2m， ∴ ∴当m＝3.6，， ∴， ∵AD⊥BD，∠BAD＝30°， ∴∠ABD=60°， 又∵ABCD ∴∠EDQ=∠ABD=60°， ∴△DEQ是等边三角形， ∴QE=QD． 【小问2详解】 ①（i）当P在边AB上时，点Q在CD上即3<m<6，否则∠EDQ=120°不可能构成直角三角形， ∴，． 当∠DQE=90°时，如下图所示： ∵∠EDQ=60°，∠DQE=90° ∴， 即：， 解得 当∠DEQ=90°时，如下图所示： ∵∠EDQ=60°，∠DEQ=90° ∴， 即：， 解得 （ii）当P在边AB的延长线上时，点Q在CD的延长线上即m>9，否则∠EDQ=120°不可能构成直角三角形， 则同理可得：，． 当∠DQE=90°时，如下图所示： ∵∠EDQ=60°，∠DQE=90° ∴， 即：， 解得 当∠DEQ=90°时，如下图所示： ∵∠EDQ=60°，∠DEQ=90° ∴， 即：， 解得 综上所述：当时，△DEQ为直角三角形． ②当点F在AD上时，情况同（2）①的第二种情况，此时， 当点F在BC上时，如下图所示： 同理可得： ∵EFCD ∴∠BEF=∠BDC=60°， ∴，即， 解得：， 综上所述：． 【点睛】本题考查平行四边的性质，等边三角形的判定与性质，含30°的直角三角形的性质，用m表示各边长和分类讨论时解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $