精品解析：江苏省南京秦淮区钟英中学2024—2025学年下学期期末考试七年级数学模拟试题

数学期末模拟卷2 一、选择题（共8小题，每题2分，共16分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，涉及合并同类项、同底数幂的乘法及幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据合并同类项、同底数幂的乘法及幂的乘方运算法则逐一分析各选项即可． 【详解】解：A、，结果应为，而非，故A错误，不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，故B错误，不符合题意； C、，结果应为，而非，故C错误，不符合题意； D、，结果正确，故D正确，符合题意， 故选：D． 2. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，按照移项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可得到答案． 【详解】解； 移项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下所示： 故选：A． 3. 一个正方形的边长是a，若边长增加2，则这个正方形的面积增加了（　　） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式应用，整式的加减，解题的关键是掌握正方形的面积公式． 一个正方形的边长是a，若边长增加2，则边长变为，根据正方形的面积公式和作差法求得答案． 【详解】解：根据题意，得． 故选：D． 4. 当时，、、的大小顺序是（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：∵，令，那么，，∴．故选C． 考点：实数大小比较． 5. 下列命题中，真命题是（ ） A. 三角形的外角和等于 B. 有两个角互余的三角形是直角三角形 C. 两个相等的角是对顶角 D. 同位角相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据三角形外角和是、直角三角形的判定、对顶角的定义、平行线的性质判断即可． 【详解】解：A、三角形的外角和等于，故本选项命题是假命题，不符合题意； B、有两个角互余的三角形是直角三角形，是真命题，符合题意； C、两个相等的角不一定是对顶角，故本选项命题是假命题，不符合题意； D、两直线平行，同位角相等，故本选项命题是假命题，不符合题意； 故选：B． 6. 已知方程组的解是，则方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解．根据已知条件和二元一次方程组的解的定义得到，求出，即可． 【详解】解：方程组 的解是， ， 解得：， 方程组的解为：， 故选：A． 7. 在矩形中将边长分别为和的两张正方形纸片()按图1和图2两种方式放置(两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1、图2中阴影部分的面积分别为，．当 时，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，理解题意并用代数式表示出面积是解题的关键．根据题意设，则，根据面积公式分别用含、、的式子表示出和即可得到的值． 【详解】解： 设，则， 故选：B． 8. 如图，的边在直线上，与的平分线交于点D，的平分线交于点E．若，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，三角形内角和知识点，熟练运用三角形外角的性质是解题的关键；根据与的平分线交于点，的平分线交于点，设，，，可以得到，再结合，根据三角形内角和整理可以得到：． 【详解】解： 与的平分线交于点， ，， 的平分线交于点 , 是的外角， ， ， 是的外角， ， ， 在中，， ， ， 故选：B． 二、填空题（共10小题，每题2分，共20分） 9. 神舟十八号载人飞船控制台的导线直径约为．将数据用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：将数据用科学记数法表示为． 故答案为：． 10. 命题“正方形的四条边都相等”的逆命题是________________. 【答案】如果四边形的四条边都相等，那么它是正方形 【解析】 【分析】确定命题的题设和结论后交换题设和结论即可确定其逆命题． 【详解】解：命题“正方形的四条边都相等”的逆命题是如果四边形的四条边都相等，那么它是正方形， 故答案为：如果四边形的四条边都相等，那么它是正方形． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；也考查了逆命题． 11. 若与的乘积中，不含x的一次项，则常数k的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先进行多项式乘多项式的运算，使结果中的一次项的系数为0，进行求解即可． 【详解】解：， ∵与的乘积中，不含x的一次项， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查多项式乘多项式不含某一项．熟练掌握多项式乘多项式的法则，正确的计算，是解题的关键． 12. 已知一个多边形的每一个内角都是，则这个多边形的边数是______． 【答案】12 【解析】 【分析】此题考查的是求正多边形的边数，多边形的内角问题，掌握多边形的内角和公式是解决此题的关键． 设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式列出方程即可求出结论． 【详解】解：设这个多边形的边数为n，由题意得 ， 解得， ∴这个多边形的边数为12． 故答案为：12． 13. 若，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题主要考查了同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方．直接利用同底数幂的乘除运算法则和幂的乘方和积的乘方法则计算得出答案． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 14. 若整式 可以写成一个多项式的平方，则常数k的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方式，先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值． 【详解】解：∵整式 可以写成一个多项式的平方， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 已知方程组，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握知识点是解题的关键． 先将原方程组上下两式相加和相减得到，，再由平方差公式求解． 【详解】解：， 两式相加得：，则； 上式－下式得：， ∴， 故答案为：3． 16. 若关于x的不等式组，有解但没有整数解，则a的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先分别求出不等式组中两个不等式的解集，再根据原不等式组有解但没有整数解进行求解即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于x的不等式组，有解但没有整数解， ∴， 故答案为：． 17. 若，则y的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行计算，不等式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 利用完全平方公式将变形为，再利用非负性求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， 故答案为：． 18. 如图，将纸片先沿DE折叠，再沿FG折叠，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据邻角的性质得，，再利用三角形的内角和定理得，最后利用内角和的性质求解即可． 【详解】如图，设与相交于点M，与相交于点M， ∵，， ∴， ， ∵将纸片先沿折叠， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查折叠的性质和三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 三、解答题（共9小题，共64分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂与负整数指数幂、积的乘方与幂的乘方、单项式除以单项式等知识，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算零指数幂与负整数指数幂、有理数的乘方，再计算有理数的加减法即可得； （2）先计算积的乘方与幂的乘方、单项式除以单项式、同底数幂的乘法，再计算整式的加减法即可得． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式，整式的化简求值，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．根据平方差公式和完全平方公式化简得，再将，代入求解即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 21. （1）解方程组 （2）解不等式组．把解集在数轴上表示出来，并找出最小整数解． 【答案】（1）；（2），数轴见解析，最小整数解为 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握消元法和不等式组的解法是解题关键． （1）将第一个方程的两边同乘以2，减去第二个方程，消去，解方程可得的值，再将的值代入第一个方程，解方程可得的值，由此即可得； （2）先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后把解集在数轴上表示出来，据此找出最小整数解即可得． 【详解】解：（1）， 由①②得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 所以方程组解为． （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集为， 把解集在数轴上表示出来如下： 所以不等式组的最小整数解为． 22. 请将三角形内角和定理的推论补充完整并加以证明． 定理：三角形的外角等于_____________________的和． 已知： 求证： 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，三角形的外角等于与其不相邻的两个内角的和，据此补全定理，再写出对应的已知和求证，根据三角形内角和定理和平角的定义证明即可． 【详解】定理：三角形外角等于与其不相邻的两个内角的和． 已知：是的一个外角． 求证：． 证明：如图所示，在中，， ∵， ∴． 23. 某超市准备购进A，B两种商品，进3件A，4件B需要270元；进5件A，2件B需要310元． （1）种商品每件的进价和种商品每件的进价各是多少元？ （2）超市计划用不超过1560元的资金购进，两种商品共40件，其中种商品的数量不低于种商品数量的一半，该超市有几种进货方案？ 【答案】（1）种商品每件的进价是50元，种商品每件的进价是30元 （2）该超市有5种进货方案 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，熟练掌握方程组和不等式组的应用是解题关键． （1）设种商品每件的进价是元，种商品每件的进价是元，根据题意建立方程组，解方程组即可得； （2）设该超市购进种商品件，则购进种商品件，根据题意建立不等式组，求出不等式组的正整数解，由此即可得． 【小问1详解】 解：设种商品每件的进价是元，种商品每件的进价是元， 由题意得：， 解得， 答：种商品每件的进价是50元，种商品每件的进价是30元． 【小问2详解】 解：设该超市购进种商品件，则购进种商品件， 由题意得：， 解得， ∵是正整数， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 答：该超市有5种进货方案． 24. 如图，已知△ABC（AC＜AB＜BC），请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）： （1）在边BC上确定一点P，使得PA+PC=BC； （2）作出一个△DEF，使得：①△DEF是直角三角形；②△DEF周长等于边BC的长． 【答案】（1）作图见解析（2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）作AB的垂直平分线交BC于点P，点P即为所求作； （2）①在BC上取点D，过点D作BC的垂线， ②在垂线上取点E使DE=DB，连接EC， ③作EC的垂直平分线交BC于点F； Rt△DEF即为所求． 【详解】解：（1）作AB的垂直平分线交BC于点P即为所求作； （2）①在BC上取点D，过点D作BC的垂线， ②在垂线上取点E使DE=DB，连接EC， ③作EC的垂直平分线交BC于点F； ∴Rt△DEF即为所求． 点睛：本题考查了线段垂直平分线的作法以及垂线的作法．解题的关键是熟练掌握基本作图． 25. 定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式的解集范围内，则称一元一次方程为一元一次不等式的“伴随方程”．如：一元一次方程的解为，而一元一次不等式的解集为，不难发现在范围内，则一元一次方程是一元一次不等式的“伴随方程” （1）在①，②，③三个一元一次方程中，是一元一次不等式的“伴随方程”的有______（填序号）； （2）若关于x的一元一次方程是关于x一元一次不等式的“伴随方程”，且一元一次方程不是关于x的一元一次不等式的“伴随方程”． ①求a的取值范围； ②直接写出代数式的最大值． 【答案】（1）②③ （2）①；②7 【解析】 【分析】（1）分别解方程和不等式，根据结果判断即可； （2）①求出各方程和不等式的解和解集，根据伴随方程和非伴随方程列出不等式组，解之即可；②根据a的范围，利用绝对值的意义，可得结果． 【小问1详解】 解：解不等式得：， 解①得：，不在范围内，故不是的“伴随方程”； ②得：，在范围内，故是的“伴随方程”； ③得：，在范围内，故是的“伴随方程”； 故答案为：②③； 【小问2详解】 ①解得：， 解得：； 解得：， 解得：， 由题意可得：， 解得：； ②表示数轴上与0和3的距离之和， ∵， ∴当时，最大，且为． 【点睛】本题考查了解一元一次方程和一元一次不等式（组），绝对值的意义，解题的关键是理解伴随方程的意义，列出相应不等式． 26. 如图①，在中，；点在边上．将点绕点按逆时针方向旋转一定角度得到点，连接，，作，的角平分线交于点． （1）如图②，若，则______°； （2）如图③，当点恰好落在边上时，探索之间的关系，并说明理由； （3）随着点的旋转，当点不在边上时，探索之间的关系，直接写出结论． 【答案】（1） （2）； （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，四边形内角和定理，注意角的转换是解题的关键． （1）直接利用三角形内角和定理结合角平分线的定义求解即可； （2）直接利用直角三角形内角和定理结合角平分线的定义求解即可； （3）分两种情况讨论，当点在外时，利用四边形内角和定理结合角平分线的定义求解；当点在内时，利用三角形内角和定理结合角平分线的定义求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵平分，平分， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，，∴ ； 【小问3详解】 解：当点在外时，如图， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 在四边形中，， ∴， 整理得； 当点在内时，如图， 同理， 在中，， 在中，， ∴， ∴ ， 整理得； 综上，或． 27. 如图，直线，一副三角板（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． （1）求的度数； （2）如图②，若将绕B点以每秒的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G）．设旋转时间为t秒； ①在旋转过程中，若边，求t的值； ②若在绕B点旋转的同时，绕E点以每秒4°的速度按顺时针方向旋转．请直接写出旋转过程中有一边与平行时t的值． 【答案】（1） （2）①6；②或或或或或 【解析】 【分析】（1）如图，先求解，，由，可得，从而可得答案； （2）①如图，由，可得，可得，再列方程求解即可；②分当时，当时，当时三种情况求解即可． 【小问1详解】 解：如图①中， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 ①如图②中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴在旋转过程中，若边，t的值为6． ②当时， 如图，延长交于R． ∵， ∴， 过作，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 如图，延长交于W，作， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时， 如图，延长交于点K， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，延长交于点Z， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时， 如图，延长交于点S， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，满足条件的t的值为或或或或或． 【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，角平分线的含义，一元一次方程的应用，理解题意，利用数形结合，清晰的分类讨论都是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学期末模拟卷2 一、选择题（共8小题，每题2分，共16分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 一个正方形的边长是a，若边长增加2，则这个正方形的面积增加了（　　） A. 4 B. C. D. 4. 当时，、、大小顺序是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中，真命题是（ ） A. 三角形的外角和等于 B. 有两个角互余的三角形是直角三角形 C. 两个相等的角是对顶角 D. 同位角相等 6. 已知方程组的解是，则方程组的解为（ ） A. B. C. D. 7. 在矩形中将边长分别为和的两张正方形纸片()按图1和图2两种方式放置(两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1、图2中阴影部分的面积分别为，．当 时，的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，边在直线上，与的平分线交于点D，的平分线交于点E．若，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共10小题，每题2分，共20分） 9. 神舟十八号载人飞船控制台的导线直径约为．将数据用科学记数法表示为______． 10. 命题“正方形的四条边都相等”的逆命题是________________. 11. 若与的乘积中，不含x的一次项，则常数k的值是___________． 12. 已知一个多边形每一个内角都是，则这个多边形的边数是______． 13. 若，，则______． 14. 若整式 可以写成一个多项式的平方，则常数k的值为_______． 15. 已知方程组，则______． 16. 若关于x的不等式组，有解但没有整数解，则a的取值范围为_____． 17. 若，则y的取值范围是_____． 18. 如图，将纸片先沿DE折叠，再沿FG折叠，若，则______． 三、解答题（共9小题，共64分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 先化简，再求值：，其中，． 21. （1）解方程组 （2）解不等式组．把解集在数轴上表示出来，并找出最小整数解． 22. 请将三角形内角和定理的推论补充完整并加以证明． 定理：三角形的外角等于_____________________的和． 已知： 求证： 23 某超市准备购进A，B两种商品，进3件A，4件B需要270元；进5件A，2件B需要310元． （1）种商品每件进价和种商品每件的进价各是多少元？ （2）超市计划用不超过1560元的资金购进，两种商品共40件，其中种商品的数量不低于种商品数量的一半，该超市有几种进货方案？ 24. 如图，已知△ABC（AC＜AB＜BC），请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）： （1）在边BC上确定一点P，使得PA+PC=BC； （2）作出一个△DEF，使得：①△DEF是直角三角形；②△DEF的周长等于边BC的长． 25. 定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式的解集范围内，则称一元一次方程为一元一次不等式的“伴随方程”．如：一元一次方程的解为，而一元一次不等式的解集为，不难发现在范围内，则一元一次方程是一元一次不等式的“伴随方程” （1）在①，②，③三个一元一次方程中，是一元一次不等式的“伴随方程”的有______（填序号）； （2）若关于x的一元一次方程是关于x一元一次不等式的“伴随方程”，且一元一次方程不是关于x的一元一次不等式的“伴随方程”． ①求a的取值范围； ②直接写出代数式的最大值． 26. 如图①，在中，；点在边上．将点绕点按逆时针方向旋转一定角度得到点，连接，，作，的角平分线交于点． （1）如图②，若，则______°； （2）如图③，当点恰好落在边上时，探索之间的关系，并说明理由； （3）随着点的旋转，当点不在边上时，探索之间的关系，直接写出结论． 27. 如图，直线，一副三角板（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． （1）求的度数； （2）如图②，若将绕B点以每秒的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G）．设旋转时间为t秒； ①在旋转过程中，若边，求t的值； ②若在绕B点旋转的同时，绕E点以每秒4°的速度按顺时针方向旋转．请直接写出旋转过程中有一边与平行时t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$