第13周 任意角与弧度制-【周测必刷】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教A版2019）

—90 — 参考答案 (1)a=-1 (2)f(x)在(0,+∞),(-∞,0)上单调递 减. (3)m∈ 134,+∞ 综合·一练到底 1.解 (1)依题意,φ(x)=2loga(a x-t),设函数h(t)=ax-t的值域 为D,由φ(x)的值域为 R,得(0,+∞)⊆D,而a x>0,则ax-t> -t,因此-t≤0,解得t≥0,所以的取值范围为[0,+∞). (2)依题意,2loga(x-t)<logax⇔loga(x-t)<loga x在 116,4 上恒成立,由0<a<1,得函数y=logax 在定义域内单调递减,则 x-t> x>0,于是t<x- x对x∈ 116,4 恒成立,而y=x- x = x-12 2 -14 ,x∈ 116,4 ,则当 x=12,即x=14时,(x- x)min=- 1 4 ,因此t<-14 ,此时满足x-t>0, 所以t的取值范围为 -∞,-14 . 【破题技巧】 (1)根据给定条件,利用对数函数的值域与定义域 的对应关系,结合指数函数值域求解. (2)利用对数函数的单调性变形不等式,分离参数,借助二次函 数求出最小值即得. 2.解 (1)当a=-10时,f(x)=log2(4x-10×2x+16), 由4x-10×2x+16>0得(2x-2)(2x-8)>0, 故2x<2或2x>8,得x<1或x>3,故函数f(x)=log2(4x-10× 2x+16)的定义域为(-∞,1)∪(3,+∞); (2)由f(x)>x得log2(4x+a·2x+16)>x=log22x, 得4x+a·2x+16>2x,即4x+(a-1)·2x+16>0, 设t=2x,g(t)=t2+(a-1)·t+16 因x∈[1,+∞),故t=2x≥2, 所以当x∈[1,+∞)时,f(x)>x恒成立, 即为g(x)=t2+(a-1)·t+16在t∈[2,+∞)上最小值大于0, 函数g(t)=t2+(a-1)·t+16的对称轴为t=1-a2 , 当1-a 2 <2 即a>-3时,函数g(t)在[2,+∞)上单调递增, 此时g(2)=22+2(a-1)+16>0,得a>-9, 即a>-3满足题意; 当1-a 2 ≥2 ,即a≤-3时,函数g(t)在对称轴取得最小值, 此时g 1-a2 = 1-a2 2 +(a-1) 1-a2 +16>0,得-7<a< 9,即-7<a≤-3满足题意; 故a的取值范围为(-7,+∞). 【技法点拨】 (1)由真数大于0列出不等式即可求解; (2)先根据函数y=log2x为单调递增函数,将f(x)>x转化为 4x+(a-1)·2x+16>0,根据题意可转化为g(t)=t2+(a-1) ·t+16在t∈[2,+∞)上最小值大于0,然后结合二次函数的 性质即可求得. 选做·一飞冲天 解 (1)因为f(x)是定义在 R上的奇函数,所以f(0)=a-1=0, 解得a=1. 经验证,a=1符合题意. 当x≥0时,2x≥1,所以0< 2 2x+1 ≤1,所以0≤1- 2 2x+1 <1, 即f(x)在[0,+∞)上的值域为[0,1). 因为f(x)是奇函数,所以f(x)在(-∞,0)上的值域为(-1,0), 则f(x)的值域为(-1,1). (2)因为对 任 意 的x1∈[1,2],存 在 x2∈[0,1],使 得 g(x1)= f(x2)+m,所以函数g(x)在[1,2]上的值域是函数f(x)+m 在 [0,1]上的值域的子集. g(x)=log2 x 2 ·log2x=(log2x-1)·log2x=(log2x)2-log2x= log2x-12 2 -14. 因为1≤x≤2,所以0≤log2x≤1,所以- 1 2≤log2x- 1 2≤ 1 2 , 则0≤ log2x-12 2 ≤14 ,所以-14≤ log2x-12 2 -14≤0 , 即-14≤g (x)≤0. 因为0≤x≤1,所以2≤2x+1≤3,则23≤ 2 2x+1 ≤1,所以0≤1- 2 2x-1 ≤13 ,即0≤f(x)≤13 ,所以m≤f(x)+m≤13+m , 则 m≤-14 , 1 3+m≥0 , 解得-13≤m≤-14,即m的取值范围是 -13,-14 . 第十二周 函数的应用(二) 考点·一应俱全 1.AD [当2-x≤2时,x≥0,f(2-x)=2-|2-x|= x ,0≤x≤2 4-x,x>2 ; 当2-x>2时,x<0,f(2-x)=(2-x-2)2=x2.f(2-x)= x2,x<0 x,0≤x≤2 4-x,x>2 ,所以f(2-x)的大致图象为 当b=0时,g(x)=b-f(2-x)有零点0,4;当b=2时,由x2=2解 得x=- 2,所以g(x)=b-f(2-x)有零点- 2,2.故选AD.] 2.-1和4 [依题意,x<0ln(-x)=0 或 x>0x2-3x-4=0 ,解得x=-1 或x=4(负根舍去).故答案为:-1和4.] 3.D [函数y=x3-9x的零点,即方程x3-9x=0的实数根.由x3 -9x=x(x+3)(x-3)=0解得,x=0或±3.故函数y=x3-9x 的零点个数是3.故选D.] 4.D [函数f(x)=ln|x|+8-x的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), 当x<0时,f(x)=ln(-x)+8-x,显然函数y=ln(-x),y=8- x在(-∞,0)上都单调递减,因此函数f(x)在(-∞,0)上单调递 减,而f(-e-9)=-1+e-9<0,f(-1)=9>0,则函数f(x)在 (-∞,0)上有唯一零点;当x>0时,f(x)=lnx+8-x,显然f (e-9)=-1-e-9<0,f(1)=7>0,f(e3)=11-e3<0,因此函数 f(x)在区间(e-9,1)(1,e3)上至少各有一个零点,当x>0时,由f (x)=0,得lnx=x-8,则f(x)在(0,+∞)上的零点即为函数y= lnx的图象与直线y=x-8的交点横坐标,在同一坐标系内作出 函数y=lnx的图象与直线y=x-8,如图, 观察图象知,函数y=lnx的图象与直线y=x-8有两个交点,即 lnx=x-8有两个解,所以函数f(x)=ln|x|+8-x的零点个数 为3.故选D.] 【破题技巧】 求解函数零点个数的基本方法 (1)直接法:令f(x)=0,方程有多少个不同的实数根,则f(x) 有多少个零点. (2)定理法:利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调 性、奇偶性等. (3)图象法:一般是把函数拆分为两个简单函数,依据两函数图 象的交点个数得出函数的零点个数. 5.B [因为f(x)的定义域为(0,+∞),且y=ln(2x),y=-1x 在 (0,+∞)内单调递增,可知f(x)在(0,+∞)内单调递增,且f(1) =ln2-1<0,f(2)=ln4-12>0 ,所以函数f(x)的唯一一个零 点所在的区间是(1,2).故选B.] 【破题技巧】 确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b] 上的图象是否连续;再看是否有f(a)·f(b)<0,若有,则函数 y=f(x)在区间(a,b)内必有零点. (2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间 上是否有交点来判断. 6.B [由y=f(x)-m2 有两个不同的零点, 即方程f(x)=m2 有两个不同的解,即函数 y=f(x)与y=m2 的图象有两个不同的交 点,画出函数y=f(x)的图象,如图所示,结 合图象可得m2=1或 m2=0,解 m=±1或 m=0,即m∈{-1,0,1}.故选B.] 【破题技巧】 根据函数零点的情况求参数的三种常用方法 (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组),再 通过解不等式确定参数(范围). (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域确定参数 范围. (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画 出函数的图象,然后利用数形结合法求解.本题根据题意,转化 为y=f(x)与y=m2 的图象有两个不同的交点,画出y=f(x) 的图象,结合图象,即可求解. 7.D [若函数f(x)=log2x+x2+m 在区间(2,4)上存在零点,由函 数f(x)在(2,4)的图象连续不断,且为增函数,则根据零点存在定 理可知,只需满足f(2)·f(4)<0,即(m+5)(m+18)<0,解得 -18<m<-5,所以实数m 的取值范围是(-18,-5).故选D.] 8.BC [因为函数f(x)=lnx+2x-6在其定义域上单调递增,结合 表格可知,方程lnx+2x-6=0的近似解在(2.5,3),(2.5,2.75), (2.5,2.625),(2.5,2.5625)内,又精确度0.1,所以方程lnx+2x -6=0的近似解(精确度0.1)可取为2.52,2.55.故选BC.] 9.(1,2) [令f(x)=lgx+x-2,因为f(x)在定义域内单调递增, 且f(1)=-1<0,f(3)=lg3+1>0,f(2)=lg2>0,因为f(1)· f(2)<0,所以第一次用二分法求其近似解时,根所在区间应取(1, 2).故答案为:(1,2).] 【破题技巧】 令f(x)=lgx+x-2,利用零点存在性定理,满 足f(a)·f(b)<0,即可找到零点所在区间. 10.A [因为指数函数y=1.05x 的底数大于1,其增长速度随着时 间的推移会越来越快,比幂函数y=x2,对数函数y=lg(x+1), 一次函数y=50x增长的速度快,所以从足够长远的角度看,使得 公司获益最大的函数模型是y=10×1.5x,故选A.] 探究·一举突破 探究路径 (1)f(x)+f(2-x)= 12x+m + 1 22-x+m = 1 2x+m + 2 x 4+m·2x = (4+m·2x)+2x(2x+m) (2x+m)(4+m·2x) = 4 x+2m·2x+4 m·4x+(4+m2)2x+4m , 若f(x)+f(2-x)为定值则应1m= 2m 4+m2 =44m ,解得m2=4, 即m=±2. 当m=2时,f(x)+f(2-x)=12 ,当m=-2时,f(x)+f(2-x) =-12. 所以存在m=±2符合要求. (2)m =1 时,方 程 即 为 12x+1- 1 2 = k 2x+1 ,整 理 得 1-2x 2(2x+1) = k 2x+1 ,即|2x-1|=2k, 因为方程有两个根x1<0,x2>0,由图象可 知,0<2k<1,即0<k<12 , 且-2x1+1=2k,得x1=log2(1-2k),同理 有2x2-1=2k,得x2=log2(1+2k), 所以x1+x2=log2(1-2k)+log2(1+2k)= log2(1-4k2),由0<k< 1 2 ,得x1+x2<0,所 以x1+x2 的取值范围是(-∞,0). 参考答案 (1)m=±2 (2)(-∞,0) 综合·一练到底 1.解 (1)若f(1)=4,则a+2a+1=4,解得a=1, 所以f(x)=x2+2x+1, 由 y=x 2+2x+1 y=4x+4 解得 x=3y=16 ,或 x=-1y=0 , 所以f(x)与g(x)=4x+4交点的横坐标为x=3或x=-1; (2)若a=0,则f(x)=1在区间(1,2)上没零点,不符合题意, 所以a≠0,所以f(x)=ax2+2ax+1的图象为抛 物线,对称轴为x=-2a2a=-1 , 所以要使f(x)在区间(1,2)上恰有一个零点,只须 f(1)f(2)<0, 即(a+2a+1)(4a+4a+1)<0,解得-13<a< -18.a 的取值范围 -13,-18 . 【技法点拨】 (1)f(1)=4求出a,再解f(x)与g(x)=4x+4组 成的方程组可得答案; (2)a=0时不符合题意,a≠0时只须f(1)f(2)<0解不等式可 得答案. 2.解 (1)因为f(x)= a+ln (-x),x<0, -x2+2x+3,x≥0, 且f(-e)=3, 所以f(-e)=a+ln(e)=3,解得a=2; (2)由(1)可得 f(x)= 2+ln (-x),x<0 -x2+2x+3,x≥0 , 当x<0时,f(x)=2+ln(-x),函 数 f(x)在(-∞,0)上 单 调 递 减,且 f(x) ∈R; 当x≥0时,f(x)=-x2+2x+3=-(x -1)2+4,则f(x)在[0,1]上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 且f(1)=4,f(0)=3,即f(x)∈(-∞,4]; 所以f(x)的图象如图所示: 因为函数g(x)=f(x)-k在 R上恰有两个零点, 即函数y=f(x)与y=k在 R上恰有两个交点, 由图可知k<3或k=4,即实数k的取值范围为(-∞,3)∪{4}. 【破题技巧】 (1)根据分段函数解析式代入计算可得; (2)由(1)可得f(x)的解析式,即可分析函数在各段的单调性与 取值范围,再画出f(x)的图象,依题意函数y=f(x)与y=k在 R上恰有两个交点,数形结合即可求出参数的取值范围. 选做·一飞冲天 解 (1)①当x≥0时,f(x)= 2 x,0≤x≤2 |x-6|,x>2 列表: x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 f(x)1 2 4 3 2 1 0 1 2 3 4 描点连线,图象如图,因为f(x)为偶函数,所以f(x)的图象关于y 轴对称,所以f(x)在[-10,10]上的图象如图所示; ②f(x)=a恰有6个不相等的实根,等价于y=f(x)与y=a有6 个交点,由图象可知当1<a<4时,有6个交点,所以实数a的取 值范围为(1,4); (2)由题意,g(x)=log2(x2+1)- 12 x , 因为t=x2+1在[1,+∞)上为增函数,y=log2t在(0,+∞)上为 增函数,所以y=log2(x2+1)在[1,+∞)上为增函数, 因为y=- 12 x 在[1,+∞)上为增函数,所以g(x)=log2(x2+ 1)- 12 x 在[1,+∞)上为增函数, 所以g(x)min=g(1)=log2(12+1)- 12 1 =12 , 由(1)可知f(x)在 R上的最小值为0, 因为∀x1∈R,∃x2∈[1,+∞),使得f(x1)+3a≥g(x2)成立, 所以f(x)min+3a≥g(x)min, 所以0+3a≥12 ,解得a≥16 ,所以实数a的最小值为16. 【技法点拨】 (1)①先利用描点法作出区间[0,10]上的函数图 象,结合偶函数的对称性可得[-10,10]上的图象,②利用图象 和实数根的个数可得实数a的取值范围; (2)先根据复合函数求出g(x)的最小值,利用f(x)min+3a≥ g(x)min可得答案. 第十三周 任意角与弧度制 考点·一应俱全 1.B [因为α∈ 0,π2 锐角,所以小于π2的角不一定是锐角,故① 不成立;因为钝 角β∈ π2,π ,第 二 象 限 角θ∈ π2 +2kπ,π+ 2kπ ,k∈Z,所以钝角一定是第二象限角,故②成立;若两个角的 终边不重合,则这两个角一定不相等,故③成立;例如α=120°,β= 390°,但α<β,故④不成立.故选B.] 2.B [∵-2024°4'=-5×360°-224°4',∴与角-2024°4'终边相 同的角是-224°4'.故选B.] 3.{θ|k·360°-30°<θ<k·360°+75°,k∈Z} [阴影部分内的角的 集合为{θ|k·360°-30°<θ<k·360°+75°,k∈Z}.故答案为:{θ|k ·360°-30°<θ<k·360°+75°,k∈Z}.] 【破题技巧】 利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的 角,方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通 过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 89 — —92 — 4.B [集合{α|k·180°≤α≤k·180°+45°,k∈Z}中,当k为偶数时, 此集合与{α|0°≤α≤45°}表示终边相同的角,位于第一象限;当k 为奇数时,此集合与{α|180°≤α≤225°}表示终边相同的角,位于第 三象限.所以集合{α|k·180°≤α≤k·180°+45°,k∈Z}中角表示 的范围为选项B中阴影所示.故选B.] 【破题技巧】 当k取偶数时,确定角的终边所在的象限;当k取 奇数时,确定角的终边所在的象限,再根据选项即可确定结果. 5.A [由题意可知α是第二象限角,π2+2kπ<α<π+2kπ ,k∈Z,则 π 4+kπ< α 2 < π 2 +kπ ,k∈Z,则 α2 是 第 一 或 第 三 象 限 角.故 选A.] 6.BD [对于A选项,1弧度的角就是长为半径的弧所对的圆心角, 故A错误;对于B选项,若α是第一象限的角,则-α是第四象限 的角,所以-α+π2 是第一象限的角,故B正确;对于C选项,当α =30°,β=390°时,α与β终边重合,但两个角不相等,故C错误;对 于D选项,不论是用角度制还是弧度制度量角,由角度值和弧度 值的定义可知度量角与所取圆的半径无关,故D正确.故选BD.] 7.C [终边落在y= 33x 上的角为π 6+kπ (k∈Z),终边落在y= 3x 上 的 角 为 π 3 + kπ (k ∈ Z),故 角 α 的 集 合 为 α π6+kπ<α< π 3+kπ ,k∈Z .故选C.] 8.A [单位圆 O 中,弦 AB 长度为 3,C 为AB 中点,则有OC⊥AB,BC= 32 ,sin∠BOC=BCBO = 32 ,由0<∠BOC< π2 ,得∠BOC= π3 ,弦 AB 所对 的 劣 弧,所 对 的 圆 心 角 为∠AOB,则 ∠AOB=2∠BOC=2π3 ,由圆的半径为1,所以 弦AB 所对的劣弧长等于2π3. 故选A.] 9.C [由一个扇形的半径为1,圆心角为30°,即为π6 ,所以该扇形的 面积为1 2× π 6×1 2=π12. 故选C.] 10.3π [由扇形的圆心角是3π8 ,半径为4,则该扇形的面积为S=12× 3π 8×4 2=3π.故答案为:3π.] 【破题技巧】 应用弧度制解决问题时应注意 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是 弧度. (2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值 问题. (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所 在的三角形. 探究·一举突破 探究路径 (1)由α=60°=π3 ,则S=12aR 2=12× π 3×10 2=50π3 (cm2). (2)由 Rα+2R=20 1 2αR 2=9 ,解得α= 29 或18,因 为0<α<2π,所 以α =29. (3)由2R+αR=C,得R= C2+α , 则S=12αR 2=12α · C 2 α2+4α+4 =C 2 2 · 1 a+4α+4 , 由0<α<2π,则S≤C 2 2 · 1 2 α·4α +4 =C 2 16 ,当且仅当α=2时,等 号成立, 当α=2时,扇形面积有最大值C 2 16. 参考答案 (1)50π3 (2)α=29 (3)当α=2时,扇形面积有最大 值,为C 2 16 综合·一练到底 1.解 (1)弧AB 的长度l1= 4π 3 ,弧CD 的长度l2= 12π 3 , 所以扇形环面展台周长为:l1+l2+2×4= 16π 3 +8 米; (2)设∠COD=θ,OA=r米, 则弧AB 的长度l1=θr,弧CD 的长度l2=θ(r+4)=θr+4θ, 因为该扇形环面的周长为14米,所以l1+l2+4×2=14,即θr+θr +4θ+8=14,整理得θr+2θ=3, 则该扇形环面展台的面积:S=12θ (r+4)2-12θr 2=4θr+8θ= 4(θr+2θ)=12平方米, 所以布置该扇形环面展台的总费用为:12×500=6000元. 2.解 (1)α=60°=π3 ,故扇形的周长为l+2R=π3×6+2×6=2π+12 ; (2)扇形的周长为20,则αR+2R=20,所以R= 20α+2 , 则扇 形 的 面 积 S= 12αR 2 = 12α · 400 (α+2)2 = 200 α+4α+4 ≤ 200 2 α·4α +4 =25,当且仅当α=4α ,即α=2时取等号, 所以扇形面积的最大值为25,此时扇形的圆心角α为2弧度. 选做·一飞冲天 解 (1)由α=π3 ,R=10cm,则扇形的弧长l=|α|R=π3×10= 10π 3 (cm). (2)由已知得,l+2R=20,则l=20-2R, ∴S=12lR= 1 2 (20-2R)·R≤14 (20-2R)+2R2 2 =25 当且仅当20-2R=2R,即R=5时扇形的面积最大, 此时圆心角α=lR = 10 5=2. (3)设弓形面积为S弓形,由α=π3 ,R=2cm,得l=αR=2π3 (cm), 所以S弓形 =12× 2π 3×2- 1 2×2 2×sinπ3= 2π3- 3 cm2. 【破题技巧】 (1)直接利用弧长公式即可; (2)由扇形的周长得2R+l=20,表示出扇形的面积,求最值 即可; (3)弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积. 第十四周 三角函数的概念、同角三角函数的 基本关系 考点·一应俱全 1.C [根据三角函数的定义,cosα=35 ,由同角三角函数关系得: sinα=± 1-cos2α=±45 ;当sinα=45 ,cosα=35 ,代入解得 sinα+2cosα 3sinα-cosα= 10 9 ;当 sinα= - 45 ,cosα= 35 ,代 入 解 得 sinα+2cosα 3sinα-cosα=- 2 15. 综上所述,原式等于10 9 或-215. 故选C.] 2.C [r=|OP|= (3m)2+(-4m)2=5|m|=-5m,O 为坐标原 点,则sinα=yr = -4m -5m= 4 5 ,cosα=xr = 3m -5m=- 3 5 ,故sinα+ cosα=45- 3 5= 1 5. 故选C.] 3.- 32 [由三角函数的定义可得cosα= - 3 (- 3)2+12 =- 32 ,故 答案为:- 32. ] 【破题技巧】 (1)利用三角函数的定义,已知角α终边上一点P 的坐标,可以求出α的三角函数值;已知角α的三角函数值,也 可以求出点P 的坐标. (2)利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时,特别要注 意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况. 4.-2 [由于角θ的终边经过点P(4,m),由角θ正弦的定义得: sinθ= m 42+m2 ,且sinθ=- 55 ,得: m 42+m2 =- 55 ,解方程 得:5m2=m2+42,即m2=4,得 m=±2,由于 m 42+m2 =- 55< 0,则m<0,所以m=-2.故答案是:-2.] 【破题技巧】 由三角函数的定义求出角θ的正弦值,且sinθ= - 55 ,建立等式,求参数m 的值即可. 5.B [因为cosθ>0,tanθ<0,所以θ的终边在第四象限,即3π2+ 2kπ<θ<2π+2kπ(k∈Z),则3π4+kπ< θ 2<π+kπ (k∈Z),当k=0 时,θ 2 的终边在第二象限;当k=1时,θ2 的终边在第四象限;故 选B.] 6.A [因为tanα=-34 ,所以sinα=-34cosα ,又sin2α+cos2α= 1,所以 -34cosα 2 +cos2α=1,所以cos2α=1625 ,又α为第二象限 角,所以cosα=-45. 故选A.] 7.BD [因 为 tanx tan2x + sinx 1-cos2x + cosx 1-sin2x = tanx|tanx|+ sinx |sinx|+ cosx |cosx| ,所以x≠kπ且x≠kπ+π2 (k∈Z),若x在第一 象限,则sinx>0,tanx>0,cosx>0,故原式=1+1+1=3,若x 在第二象限,则sinx>0,tanx<0,cosx<0,原式=-1+1-1= -1,若x在第三象限,则sinx<0,tanx>0,cosx<0,原式=1- 1-1=-1,若x在第四象限,则sinx<0,tanx<0,cosx>0,原 式=-1-1+1=-1.故选BD.] 8.- 55 [由sinθ=a,cosθ=-2a,θ为第四象限的角,得sinθ<0, cosθ>0,则a<0,又sin2θ+cos2θ=1,则a2+(-2a)2=1,解得a =- 55. 故答案为:- 55. ] 9.D [因为tanx=sinxcosx=-2 2⇒sinx=-2 2cosx ,又sin2x+ cos2x=(-2 2cosx)2+cos2x=9cos2x=1,又x∈(0,π),tanx= -2 2<0,所以x∈ π2,π ,所以cosx=-13,故选D.] 10.0或 43 [由 已 知 可 得,sin2α+cos2α=1,所 以, m+1m+2 2 + mm+2 2 =2m 2+2m+1 m2+4m+4 =1,整理可得,m2-2m-3=0,解得 m =-1或m=3.当m=-1时,sinα=0,cosα=-1,tanα=sinαcosα =0;当m=3时,sinα=45 ,cosα=35 ,tanα=sinαcosα= 4 3. 综上所 述,tanα=0或tanα=43. 故答案为:0或43. ] 【破题技巧】 根据sin2α+cos2α=1,代入整理求解得出 m 的 值,进而得出sinα,cosα的值, 利用sinα cosα=tanα 可以实现角α的弦切互化. 探究·一举突破 探究路径 (1)由题意可得:f(x)= 1+sinx1-sinx- 1-sinx 1+sinx = (1+sinx)2 (1+sinx)(1-sinx)- (1-sinx)2 (1+sinx)(1-sinx) =1+sinx|cosx|- 1-sinx |cosx|= 2sinx |cosx| 因为α为第三象限角,则f(α)=2sinα-cosα=-2tanα=- 2 3 ,即tanα= 1 3 ,所以原式=3sinα-2cosα2sinα+3cosα= 3tanα-2 2tanα+3= 3×13-2 2×13+3 =-311. (2)由(1)可知:tanα=13 , 由题意可得:cos 4α+2cosαsinα-sin4α 2cos2α+1 = (cos2α-sin2α)(cos2α+sin2α)+2cosαsinα 2cos2α+1 =cos 2α-sin2α+2cosαsinα 3cos2α+sin2α =1-tan 2α+2tanα 3+tan2α =12. 参考答案 (1)-311 (2)12 综合·一练到底 1.解 (1)原式= (cos10°+sin10°)2 cos10°+sin10° = |cos10°+sin10| cos10°+sin10° =cos10°+sin10cos10°+sin10°=1. (2)原式=sin2α·sinαcosα+cos 2α·cosαsinα+2sinαcosα =sin 4α+cos4α+2sin2αcos2α sinαcosα = (sin2α+cos2α)2 sinαcosα = 1sinαcosα 2.解 (1)由sinθ+2cosθ=0⇒tanθ=-2, 所以cosθ-sinθ 2sinθ+cosθ= 1-tanθ 2tanθ+1= 1+2 -4+1=-1 (2)3sin2θ-2sinθcosθ=3sin 2θ-2sinθcosθ sin2θ+cos2θ =3tan 2θ-2tanθ tan2θ+1 =12+44+1= 16 5. 【破题技巧】 (1)先求出tanθ的值,在分式的分子分母中同时 除以cosθ,实现弦化切,再将tanθ的值代入分式计算即可; (2)首先将原式变形为3sin 2θ-2sinθcosθ sin2θ+cos2θ ,再将齐次分式化简为 tanθ表示,计算求值. 选做·一飞冲天 解 由sin2x+cos2x=1, 故f(x)= 32sin2x+1 + 8 3cos2x+2 = 3 2sin2x+1 + 8 5-3sin2x = 9 6sin2x+3 + 16 10-6sin2x , 由sin2x∈[0,1],故6sin2x+3>0、10-6sin2x>0, f(x)= 96sin2x+3+ 1610-6sin2x × (6sin2x+3+10-6sin2x) 13 =113 9+16+9(10-6sin 2x) 6sin2x+3 +16 (6sin2x+3) 10-6sin2x ≥113 25+2 9(10-6sin 2x) 6sin2x+3 × 16(6sin2x+3) 10-6sin2x =113 (25+2×12)=4913 , 当且仅当9(10-6sin 2x) 6sin2x+3 =16 (6sin2x+3) 10-6sin2x ,即sin2x=37 时,等号成 立.故答案为:4913. 第十五周 诱导公式 考点·一应俱全 1.C [sin2025°=sin(5×360°+225°)=sin225°=sin(180°+45°) =-sin45°=- 22 ,故A不正确;cos2025°=cos(5×360°+225°) =cos225°=cos(180°+45°)=-cos45°=- 22 ,故B不正确; tan2025°=sin2025°cos2025°= - 22 - 2 2 =1,故 C正 确;|sin2025°|= - 22 = 22 ,cos2025°=- 22 ,故D不正确.故选C.] 2.-12 - 3 6 [sin -14π3 +cos -20π3 +tan -11π6 = sin -5π+π3 +cos -7π+π3 +tan -2π+π6 =-sin π3 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 91 — — 50 — 第十三周 任意角与弧度制 (时间:60分钟 满分:100分) 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀦌 􀦌 􀦌􀦌 周推好题 第8题.该题主要考查求单位圆中弦所对的劣弧长,题目设置紧扣概念,对学生的 理解应用能力要求较高,值得推荐. 【考点·一应俱全】(共50分) 考点一 任意角的概念 1.(2025·上海·阶段练习)在平面直角坐标系中,给出下列命题:①小于π2 的角一定是锐角;②钝角 一定是第二象限的角;③终边不重合的角一定不相等;④第二象限角大于第一象限角.其中假命 题的个数是 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 考点二 终边相同的角 2.(2025·辽宁沈阳·质量检测)与角-2024°4'终边相同的角是 ( ) A.-404°4' B.-224°4' C.315°56' D.675°56' 考点三 区域角 3.(2025·黑龙江哈尔滨·阶段练习)如图所示,写出顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合,终 边落在阴影部分内的角的集合 . 4.(2025·广西钦州·阶段练习)集合{α|k·180°≤α≤k·180°+45°,k∈Z}中角表示的范围(用阴 影表示)是图中的 ( ) 考点四 确定n等分角的终边所在的象限 5.(2025·辽宁辽阳·质量检测)已知角α的终边经过点A(-3,4),则α2 是 ( ) A.第一或第三象限角 B.第二或第四象限角 C.第一或第二象限角 D.第三或第四象限角 考点五 弧度制的概念 6.(多选)(2025·江西新余·阶段练习)下列命题中,正确的是 ( ) A.1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角 B.若α是第一象限的角,则π2-α 也是第一象限的角 C.若两个角的终边重合,则这两个角相等 D.用角度制和弧度制度量角,都与圆的半径无关 考点六 用弧度表示角或范围 7.(2025·河北承德·质量检测)已知角θ的终边落在阴影区域内(不含边界), 角α的终边和θ相同,则角α的集合为 ( ) A.α π6+2kπ<α< π 3+2kπ ,k∈Z B.α π6+ kπ 2<α< π 3+ kπ 2 ,k∈Z C.α π6+kπ<α< π 3+kπ ,k∈Z D.α π6+ 3kπ 2 ≤α≤ π 3+≤ 3kπ 2 ,k∈Z 考点七 弧长公式 8.(2025·辽宁沈阳·阶段练习)在单位圆中,长度为 3的弦所对的劣弧长是 ( ) A.2π3 B. π 3 C. π 6 D. 5π 6 考点八 扇形面积公式 9.(2025·重庆·质量检测)若一个扇形的半径为1,圆心角为30°,则该扇形的面积为 ( ) A.15 B.30 C.π12 D. π 6 10.(2025·云南昆明·质量检测)已知某扇形的圆心角是3π8 ,半径为4,则该扇形的面积为 . 【探究·一举突破】(共15分) 探究主题 扇形中的最值问题 已知一个扇形的中心角是α,所在圆的半径是R. 探究问题: (1)若α=60°,R=10cm,求扇形的面积; (2)若扇形的周长为20cm,面积为9cm2,求扇形圆心角的弧度数; (3)若扇形的周长为定值C,当α为多少弧度时,该扇形面积最大? 并求出最大值. — 49 — — 52 — 【综合·一练到底】(35分) 1.(2025·辽宁辽阳·质量检测)如图,这是一个扇形环面(由扇形OCD 挖去扇形OAB 后构成)展 台,AD=4米. (1)若∠COD=2π3 ,OA=2米,求该扇形环面展台的周长; (2)若该扇形环面展台的周长为14米,布置该展台的平均费用为500元/ 平方米,求布置该扇形环面展台的总费用. 2.(2025·海南省直辖县级单位·阶段练习)已知一扇形的圆心角为α,半径为R,弧长为l. (1)若α=60°,R=6,求扇形的周长; (2)若扇形的周长为20,求扇形面积的最大值,此时扇形的圆心角α为多少弧度. 【选做·一飞冲天】(尖子生选做) (2025·广东清远·质量检测)已知扇形的圆心角是α,半径为R,弧长为l. (1)若α=π3 ,R=10cm,求扇形的弧长l. (2)若扇形的周长是20cm,当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个扇形的面积最大? (3)若α=π3 ,R=2cm,求扇形的弧所在的弓形的面积. 【错题重做】 错因 基础不牢 题意不明 思路不对 理解不够 分析不透 方法不对 根本不会 其他原因 题号 题号 题号 — 51 —