5.1任意角和弧度制练习题-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

5.1任意角和弧度制练习题 一、单选题 1．已知一个扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 2．下列结论中错误的是（   ） A．终边经过点的角的集合是； B．扇形的圆心角为弧度，周长为，则它的面积为； C．将表的分针拨慢分钟，则分针转过的角的弧度数是； D．若是第三象限角，则是第二象限角． 3．是第几象限角（    ） A．一 B．二 C．三 D．四 4．下列与的终边相同的角的集合中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．在与角终边相同的角中，最大的负角是（    ） A． B． C． D． 6．如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（    ） A． B． C． D． 7．某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转6圈，若小轮的半径为，则小轮每秒转过的弧长是（　　） A． B． C． D． 8．下列说法正确的是（   ） A．角和角是终边相同的角 B．第三象限角的集合为 C．终边在y轴上角的集合为 D．第二象限角大于第一象限角 二、多选题 9．下列说法错误的是（   ） A．与的终边相同 B．若一扇形的圆心角为，半径为，则扇形面积为 C．终边在直线上的角的取值集合可表示为； D．设是第一象限角，则为第一或第三象限角 10．以下说法正确的有（   ） A．化成角度为 B．化成的形式是 C．将表的分针拨慢分钟，则分针转过的角的弧度是 D．在半径为的圆中，圆心角为的弧长为 11．下列结论正确的有（   ） A．是第二象限角 B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 C．与角终边相同的最小正角是 D．若角为锐角，则角为钝角 三、填空题 12．下列说法正确的是 ． ①三角形的内角是第一象限角； ②与终边相同的角的集合为； ③终边在直线上的角的集合为； ④若是第三象限角，则是第二象限角． 13．如图，（1）终边落在直线上的角的集合为 ； （2）角的终边与终边落在射线上的角的终边关于轴对称，则 ． 14．一个扇形的弧长和面积都是，则这个扇形的圆心角的弧度数为 . 四、解答题 15．（1）将化成角度； （2）用弧度表示第二象限的角的集合. 16．已知角. (1)把改写成为（，）的形式，并指出它是第几象限的角； (2)求，使与终边重合，且. 17．已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为． (1)若，，求扇形的弧长； (2)若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？ 18．如图,,分别是终边落在射线OA,OB位置上的两个角,且,. (1)求终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合; (2)求终边落在阴影部分(不包括边界),且在内的角的集合. 19．已知 (1)把写成的形式，并指出它是第几象限角; (2)求，使与的终边相同，且； (3)已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为，若，，求扇形的弧长． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】根据扇形的弧长公式与面积公式直接计算即可. 【详解】设扇形的半径为， 则扇形的弧长，即， 解得， 则扇形面积， 故选：A. 2．D 【分析】根据弧度制的定义、任意角的概念及扇形弧长与面积的公式可判断各选项. 【详解】A选项：终边经过点的角的集合是，A选项正确； B选项：设扇形的半径为，弧长为，由圆心角为弧度，则， 所以周长为，解得，， 所以面积，B选项正确； C选项：将表的分针拨慢分钟，则分针转过的角的弧度数是，C选项正确； D选项：当是第三象限角时，，， 则，，即是第二或第四象限角，D选项错误； 故选：D. 3．A 【分析】由终边相同，即可判断. 【详解】， 故终边相同， 又，第一象限的角， 所以是第一象限的角， 故选：A 4．C 【分析】利用终边相同的角的定义直接求解． 【详解】易知， 对于A,B，集合表达式中混合使用了角度制与弧度制，表示错误，故A，B错误； 对于D，当时，不成立，故D错误； 所以与的终边相同的角的集合为： ，故C正确． 故选：C． 5．B 【分析】写出与角终边相同的角的集合，列不等式求结论. 【详解】与角终边相同的角的集合为， 令，可得，又， 所以，且， 所以与角终边相同的角中，最大的负角是， 故选：B. 6．C 【分析】根据图形，找出边界对应的角，即可写出集合. 【详解】由图象知，终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是， 故选：C 7．B 【分析】先求出小轮每分钟转的圈数和小轮每秒钟转的弧度数，从而求出弧长. 【详解】大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转6圈， 故小轮每分钟转的圈数为， 因此小轮每秒钟转的弧度数为， 所以小轮每秒转过的弧长是． 故选：B． 8．C 【分析】根据角的定义判断． 【详解】，因此的解与角的终边相同，A错； 第三象限角的集合为，B错； 终边在y轴上角，终边可能在轴正半轴，， 终边在轴负半轴，，其中，终合为，C正确； 是第二象限角，是第一象限角，但，D错． 故选：C． 9．BC 【分析】由终边相同的角的关系可判断A；利用扇形面积公式可判断B；利用角的范围及其所在象限可判断C，D. 【详解】对于A：因为，故与的终边相同，故A正确； 对于B：圆心角，，故B错误； 对于C：终边在直线上的角的取值集合可表示为，故C错误； 对于D：若是第一象限角，即， 则，故为第一或第三象限角，故D正确. 故选：BC. 10．AD 【分析】利用角度与弧度的互化可判断AB选项；利用弧度的定义可判断C选项；利用扇形的弧长公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A对； 对于B选项，，B错； 对于C选项，将表的分针拨慢分钟，则分针转过的角的弧度是，C错； 对于D选项，在半径为的圆中，圆心角为的弧长为，D对. 故选：AD. 11．ABC 【分析】逐个分析选项，通过角的终边转化判断象限、利用弧长公式计算扇形面积、通过终边相同角的转化求最小正角、举反例验证锐角的二倍角性质. 【详解】选项A：，，对应第二象限，A正确. 选项B：由弧长公式，得半径. 扇形面积，B正确. 选项C：，故与终边相同的最小正角是，C正确. 选项D：取锐角，则仍为锐角，并非钝角，D错误. 故选：ABC 12．②③ 【分析】①根据三角形内角的取值范围为可知其错误；②因为，所以②正确；③直线与轴的夹角是，根据终边相同的角的定义可知③正确；④由是第三象限角可得其范围，再由此推出的范围，从而判断④错误. 【详解】因为三角形的内角的取值范围是， 所以三角形的内角是第一象限角或第二象限角或终边在轴正半轴上的角，①错误； 因为，所以与终边相同的角的集合为 ，②正确； 直线与轴的夹角是，所以终边在直线上的角的集合为 ，③正确； 因为是第三象限角，所以， 所以，故是第二象限角或第四象限角，④错误． 故答案为：②③. 13． 【分析】（1）设终边落在直线上的角为，先确定当时，的大小，再根据终边相等的角的集合的结论求结果； （2）先确定当时，的大小，再根据终边相等的角的集合的结论求结果； 【详解】（1）设终边落在直线上的角为， 角的终边是射线，则角的终边落在直线上时有两种情况：终边为射线和终边为 当终边为，且时，则， 当的终边为，且时，则， 所以当的终边在第一象限时，； 当终边在第三象限时，． 所以角的集合为． （2）因为大小为的角的终边落在射线上， 大小为的角的终边与大小为的角的终边关于轴对称， 所以． 故答案为：，. 14． 【分析】设该扇形的半径为r，圆心角的弧度数为，根据扇形的弧长和面积公式可得出关于、的方程组，即可求解. 【详解】设该扇形的半径为，圆心角的弧度数为， 由题意可得，解得， 因此，这个扇形的圆心角的弧度数为. 故答案为：. 15．（1）；（2） 【分析】（1）根据弧度与角度的互化公式求解即可； （2）根据象限角的定义，结合第二象限的角的特点进行求解即可. 【详解】（1）； （2）因为在第二象限， 所以终边落在第二象限的角的集合为： . 16．(1)，第三象限的角 (2) 【分析】（1）由除以可得答案； （2）利用求出可得答案. 【详解】（1）由除以，得商为5，余数为， ∴取，，， 又是第三象限的角，、终边相同， ∴为第三象限的角； （2）与终边重合的角：（）， 令（）， 解得（）， 所以， 当时，， 当时，， 当时，， 所以的值为. 17．(1)； (2)，. 【分析】（1）根据扇形的弧长公式进行计算即可； （2）根据扇形的周长和面积公式，可得，再结合二次函数的图像性质进行求解即可. 【详解】（1）由题意，扇形的圆心角，半径为， 所以扇形的弧长； （2）因为扇形的周长为，即，所以， 又，所以， 所以当时，面积取得最大值，为， 此时，所以. 所以若扇形周长为，当扇形的圆心角为弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是. 18．(1). (2). 【解析】（1）写出终边在边界上的角，即可得阴影部分角的集合（2）由（1）取适当的整数即可求满足条件角的集合. 【详解】（1）因为,， 可知终边在射线上的角分别是，，， 所以终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合为： . （2）当时，在内的角为， 当时，在内的角为， 所以终边落在阴影部分(不包括边界),且在内的角的集合： . 【点睛】本题主要考查了利用终边相同的角写出终边在指定区域内角的集合，属于中档题. 19．(1)；第三象限角 (2) (3) 【分析】（1）根据题中式子写出的分解式，利用终边相同的概念判断象限角； （2）令，根据其变化趋势给赋值即可； （3）将角度化为弧度制，再利用弧长公式计算. 【详解】（1）， 因是第三象限角，则是第三象限角； （2）因与终边相同，与终边相同，则， 因的值随着的增大而增大，且时；时； 时；时， 则满足题意的有； （3）因，则， 则扇形的弧长为. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $