第6周 函数的概念，函数的表示法-【周测必刷】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教A版2019）

— 22 — 第六周 函数的概念、函数的表示法 (时间:60分钟 满分:100分) 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀦌 􀦌 􀦌􀦌 周推好题 第5题.该题主要考查函数的定义域及恒成立问题的解法,题目设置紧扣概念,考查 学生的灵活性,对学生的理解应用能力要求较高,值得推荐. 【考点·一应俱全】(共50分) 考点一 函数的概念 1.(2025·安徽淮南·质量检测)设 M= x0≤x≤2 ,N= y0≤y≤2 ,给出下列四个图形,其中 能表示从集合 M 到集合N 的函数关系的是 ( ) 2.(2025·浙江杭州质量检测)下列各组函数表示同一函数的是 ( ) A.y=x和y=(x)2 B.y= 3 x3和y= x2 C.y= x 和y= x,x≥0 -x,x<0 D.y=x-1与y=x 2 x-1 考点二 求函数值 3.(2025·黑龙江·质量检测)已知函数fx = x 2 1+x2 ,则f3 +f 13 = . 考点三 函数的定义域 4.(2025·广东韶关·阶段练习)函数fx = 1-x4x+7 的定义域是 . 5.(2025·河北衡水质量检测)已知函数y= kx2-6kx+9的定义域为R,则实数k的取值范围是 ( ) A.k≤0或k≥1 B.k≥1 C.0≤k≤1 D.0<k≤1 考点四 函数的值域 6.(2025·广西南宁·阶段练习)函数y=x2-2x+3(0≤x≤3)的值域为 . 7.(2025·安徽专题练习)已知函数fx =2x- x-1,则fx 的值域为 . 考点五 函数的表示法 8.(2025·全国·专题练习)函数y=fx 的图象如图所示,则其解析式为 . 考点六 求分段函数的值 9.(2025·北京·质量检测)设f(x)= x+2,x≥0 1,x<0 ,则f[f(-1)]= ( ) A.3 B.5 C.-1 D.1 10.(2025·安徽马鞍山·质量检测)设函数f(x)= x2+2,x≤2 2x,x>2 ,若f(m)=18,则m= ( ) A.9 B.4 C.9或-4 D.9或4 【探究·一举突破】(共15分) 探究主题 函数与不等式的综合问题 已知f(x)=ax2-(a+1)x+1,a∈R. 探究问题: (1)当a=1时,求f(x)>0的解集; (2)若f(x)<0的解集为 14,1 ,求实数a的值; (3)当a>0时,求关于x的不等式f(x)<0的解集. — 21 — — 24 — 【综合·一练到底】(35分) 1.(2025·河南濮阳·阶段练习)已知函数fx = x2,x≤0 1-x x ,0<x<1 x-3 -2,x≥1 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 . (1)画出函数fx 的图象; (2)当fx ≥2时,求实数x的取值范围. 2.(2025·广东潮州·质量检测)已知函数fx = x-4 x ,x≤-1 1-x 1+x ,x>-1 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 g (x)=x2-1. (1)求f2 ,g2 的值; (2)若f(g(a))=-79 ,求实数a的值. 【选做·一飞冲天】(尖子生选做) (2025·辽宁大连·阶段练习)设函数fx 在其图象上横坐标与纵坐标相等的点称为这个函数 的稳定点. (1)求函数y=3-2x的稳定点; (2)若函数y=3x+182x+a 有两个关于原点对称的稳定点A,B,求a的值及函数的稳定点; (3)已知函数y=ax2+ b+1 x+ b-4 ,a≠0 .若∀b∈R,函数恒有两个相异的稳定点,求a 的取值范围. 【错题重做】 错因 基础不牢 题意不明 思路不对 理解不够 分析不透 方法不对 根本不会 其他原因 题号 题号 题号 — 23 — —82 — 所以m≥ (10-2ab)(2a+b) a+2b+5 =- (2a+4b)(2a+b) ab =- 2b+4a (2a+b),因 为 2b + 4a (2a+b)=4ab +2+8+4ba ≥10+ 2 4ab ·4b a =18 ,当且仅当4a b = 4b a ,即a=b=3+ 292 时取等号, 所以- 2b+4a 2a+b ≤-18,所以不等式 m2a+b≥10-2aba+2b+5 恒成立,只需m≥-18即可.故答案为:m≥-18 【技法点拨】 分离参数得m≥- 2b+4a (2a+b)恒成立,即 m≥ - 2b +4a (2a+b) max,然后结合基本不等式求解即 可. 第五周 二次函数与一元二次方程、不等式 考点·一应俱全 1.B [因为(x-1)(x-2023)≥0,所以x≥2023或x≤1,故不等式 (x-1)(x-2023)≥0的解集为{x|x≤1或x≥2023}.故选B.] 2.B [因为(x-2)(3-2x)≥0,所以(x-2)(2x-3)≤0,解得32≤x≤2 , 则不等式(x-2)(3-2x)≥0的解集为 x 32≤x≤2 .故选B.] 3.A [由0<a<1,得1a>1>a>0 ,解不等式(x-a) x-1a <0, 得a<x< 1a ,所 以 不 等 式(x-a) x- 1a <0 的 解 集 是 x a<x<1a .故选A.] 4.B [关于x 的 不 等 式(ax-2)(2x-4)<0,若a=0,不 等 式 为 -2(2x-4)<0,解得x>2,此时解集为(2,+∞);若a≠0,方程 (ax-2)(2x-4)=0,解得x=2a 或x=2,a<0时,不等式(ax-2) (2x-4)<0解得x<2a 或x>2,此时解集为 -∞,2a ∪(2,+∞); 0<a<1时,2a>2 ,不等式(ax-2)(2x-4)<0解得2<x<2a , 此时解集为 2,2a ;a=1时,2a=2,不等式(ax-2)(2x-4)<0 解集为⌀,a>1时,2a<2 ,不等式(ax-2)(2x-4)<0解得2a<x <2,此时解集为 2a,2 ;所以不等式(ax-2)(2x-4)<0的解集 不可能是(-∞,2)∪ 2a,+∞ .故选B.] 【破题技巧】 对含参的不等式,应对参数进行分类讨论,常见的 分类有 (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类. (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数. (3)有两个根时,有时还需根据两根的大小进行讨论. 5.D [因为关 于x 的 一 元 二 次 不 等 式ax2+bx-c<0的 解 集 为 x|3<x<5 ,所以a>0且方程ax2+bx-c=0的解为3,5,所以 -ba =8 ,-ca =15 ,所以b=-8a,c=-15a,则不等式cx2+bx- a>0,即为不等式-15ax2-8ax-a>0,则15x2+8x+1<0,解得 -13 <x< - 1 5 ,所 以 不 等 式 cx2 +bx-a>0 的 解 集 为 x -13<x<-15 .故选D.] 【技法点拨】 由题意可得a>0且方程ax2+bx-c=0的解为 3,5,利用韦达定理将b,c用a 表示,再根据一元二次不等式的 解法即可得解. 6.ABD [由 关 于 x 的 不 等 式 ax2 +bx+c>0 的 解 集 为 x x<-2 或x>3 ,知-2和3是方程ax2+bx+c=0的两个实 根,且a>0,故A正确;根据根与系数的关系知:-ba =-2+3=1 >0,ca =-2×3=-6<0 ,所以b=-a,c=-6a,a>0,选项B,不 等式bx+c>0化简为x+6<0,解得:x<-6,即不等式bx+c>0 的解集是{x x<-6},故B正确;选项C,由于a>0,故a+b+c= a-a-6a=-6a<0,故C不正确;选项D,不等式cx2-bx+a<0 化简为:6x2-x-1>0,解得:x∈ x x<-13或x>12 ,故D 正确;故选ABD.] 7.A [不等式 2x-1≤1 ,即3-x x-1≤0 ,等价于 (3-x)(x-1)≤0 x-1≠0 ,解 得x≥3或x<1,所以原不等式的解集为{x|x≥3或x<1}.故 选A.] 8. x -4<x≤12 [2x-1x+4≤0⇒(2x-1)(x+4)≤0且x+4≠ 0,(2x-1)(x+4)≤0⇒x∈ -4,12 ①,x+4≠0⇒x≠-4 ②,由①②可得2x-1x+4≤0 的 解 集 为: x -4<x≤12 .故 答 案 为: x -4<x≤12 .] 9.D [当a=0时,ax2+(a+2)x+9a=0即为2x=0,不符合题意; 故a≠0,ax2+(a+2)x+9a=0即为x2+ 1+2a x+9=0,令y =x2+ 1+2a x+9,由于关于x 的方程ax2+(a+2)x+9a=0 有两个不相等的实数根x1,x2,且x1<1<x2,则y=x2+(1+ 2 a ) x+9与x轴有两个交点,且分布在1的两侧,故x=1时,y<0,即 1+ 1+2a ×1+9<0,解得2a<-11,故-211<a<0,故选D.] 【技法点拨】 说明a=0时,不合题意,从而将ax2+(a+2)x+ 9a=0化为x2+ 1+2a x+9=0,令y=x2+ 1+2a x+9, 结合其与x轴有两个交点,且分布在1的两侧,可列不等式即可 求得答案. 10.m≤12 [当m=0时,方程为2x+2=0,有一个负根, 当m≠0时,mx2+2x+2=0为一元二次方程, 关于x的方程mx2+2x+2=0至少有一个负根,设根为x1,x2, 当Δ=4-8m=0时,即m=12 时,方程为1 2x 2+2x+2=0,解得 x=-2,满足题意,当Δ=4-8m>0,即m<12 时,且m≠0时, 若有一个负根,则x1x2= 2 m<0 ,解得m<0, 若有两个负根,则 x1+x2=- 2 m<0 x1x2= 2 m>0 ,解得0<m<12, 综上所述,则实数m 的取值范围是m≤12 故答案为m≤12. ] 【破题技巧】 一元二次方程根的分布 解决由一个一元二次方程根的分布情况,确定方程中系数的取 值范围问题,主要从以下三个方面建立关于系数的不等式(组) 进行求解. (1)判别式Δ的符号. (2)对称轴x=-b2a 与所给区间的位置关系. (3)区间端点处函数值的符号. 探究·一举突破 探究路径 (1)设该种玻璃的售价提高到x(x≥25)欧元/平方米, 由题知[80-2(x-25)]x≥2000,即x2-65x+1000≤0,解得25 ≤x≤40,所以该种玻璃的售价最多提高到40欧元/平方米. (2)由题意得mn≥2000+500+2m+53 (m2-600),整理得mn≥ 1500+2m+53m 2,两边同除以m 得n≥1500m + 5 3m+2. 又1500 m + 5 3m+2≥2 1500 m ·5 3m+2=102 ,当且仅当1500 m = 5 3m ,即m=30>25时取等号, 所以n≥102,故该种玻璃的销售量n(单位:万平方米)至少达到 102万平方米时,才可能使2025年的销售收入不低于2024年销 售收入与2025年投入之和,此时的售价为30欧元/平方米. 参考答案 (1)40 (2)102万平方米,30欧元/平方米 综合·一练到底 1.解 (1)因为f(x)<0的解集是 x 1<x<3 ,所以1和3为关 于x的方程(a+1)x2-8x+6=0的两根且a+1>0, 所以1×3= 6a+1 ,解得a=1. (2)由(1)可得关于x的不等式x2+mx+4≥0的解集为 R, 所以Δ=m2-4×4≤0,解得-4≤m≤4, 即m 的取值范围为-4≤m≤4. 2.解 (1)不等式y<0即为2x2-(a+2)x+a<0,∴(2x-a)(x-1)<0, 当a<2,即a2<1 时,不等式的解集为 x a2<x<1 , 当a=2,即a2=1 时,不等式的解集为⌀, 当a>2,即a2>1 时,不等式的解集为 x 1<x<a2 , 综上可知:当a<2时,不等式的解集为 x a2<x<1 , 当a=2时,不等式的解集为⌀, 当a>2时,不等式的解集为 x 1<x<a2 . (2)方程2x2-(a+2)x+a=x+1有两个正实数根x1,x2, 即2x2-(a+3)x+a-1=0有两个正实数根x1,x2 故 Δ=(a+3)2-8(a-1)≥0 x1+x2= a+3 2 >0 x1x2= a-1 2 >0 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ,解得a>1, 所以 x2 x1 + x1 x2 = x21+x22 x1x2 = (x1+x2)2-2x1x2 x1x2 =a 2+2a+13 2(a-1) 令t=a-1,则t>0,故x2x1 + x1 x2 =t2+ 8 t+2≥2+2 t 2 ·8 t =6 当且仅当t 2= 8 t 即t=4,a=5时取得等号, 故 x2 x1 + x1 x2 的最小值为6. 【破题技巧】 根据方程2x2-(a+2)x+a=x+1有两个正实 数根x1,x2 可得相应不等式组,进而表示出 x2 x1 + x1 x2 ,采用换元 法结合基本不等式即可求得答案. 选做·一飞冲天 解 (1)由题意知x2-x-3=x,即x2-2x-3=0,则(x-3)(x+ 1)=0, 解得x1=-1,x2=3,所以不动点为-1和3. (2)依题意,2x2-(3+a)x+a-1=x有两个不相等的正实数根, 即方程2x2-(4+a)x+a-1=0有两个不相等的正实数根, 所以 (4+a)2-8(a-1)>0 4+a 2 >0 a-1 2 >0 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ,解得a>1, 所以 x1 x2 + x2 x1 = x21+x22 x1·x2 = (x1+x2)2-2x1·x2 x1·x2 = (x1+x2)2 x1·x2 -2 = 4+a2 2 a-1 2 -2= (a+4)2 4 a-1 2 -2= (a-1+5)2 2(a-1) -2= (a-1)2+10(a-1)+25 2(a-1) -2= a-1 2 + 25 2(a-1)+3 , 因为a>1,所以a-1>0,所以a-12 + 25 2(a-1)+3≥ 2 a-12 · 25 2(a-1)+3=8 ,当且仅当a-1 2 = 25 2(a-1) ,即a=6时 等号成立,所以x1 x2 + x2 x1 的最小值为8. (3)由题知:ax2+(b+1)x+(b-1)=x(a≠0), 所以ax2+bx+(b-1)=0,由于函数y=ax2+(b+1)x+(b-1) (a≠0)恒有不动点, 所以Δ=b2-4a(b-1)≥0,即b2-4ab+4a≥0, 又因为b是任意实数,所以Δ'=(-4a)2-16a≤0,即a(a-1)≤0 (a≠0),解得0<a≤1,所以a的取值范围是(0,1]. 【破题技巧】 本题主要考查了新定义,解题关键是把握不动点 的定义,转化为一元二次方程根的问题,结合根与系数、判别式 来求解. 第六周 函数的概念、函数的表示法 考点·一应俱全 1.B [对于A,定义域为 x 0≤x≤1 ,定义域是M 的真子集,故错 误;对于B,定 义 域 为 x 0≤x≤2 ,值 域 为 y 0≤y≤2 ,且 图 像也满足函数定义,故正确;对于C,不满足“从定义域中任意取一 个x 有 唯 一 的 y 与 之 对 应”,故 错 误;对 于 D,定 义 域 为 x 0≤x<2 ,定义域是 M 的真子集,故错误;故选B.] 2.C [对 于 A,y=x 的 定 义 域 为 R,y=(x)2 的 定 义 域 为[0, +∞),定义域不同,不是同一函数,故 A错误;对于B,y= 3 x3= x,y= x2=|x|,表达式不同,不是同一函数,故B错误;对于C, 两函数的定义域,表达式和值域均相同,是同一函数,故C正确;对 于D,y=x-1的定义域为 R,y=x 2 x-1 的定义域为{x|x≠0},定 义域不同,不是同一函数,故D错误.故选C.] 【破题技巧】 函数的含义及判断两个函数是同一个函数的方法 (1)函数概念中有两个要求:①A,B 是非空的实数集;②第一个 集合A 中的每个元素在第二个集合B 中有且只有一个元素与 之对应. (2)两个函数满足定义域和对应关系相同时,才是同一个函数. 3.1 [因为f(x)= x 2 1+x2 ,所以f(3)+f 13 = 3 2 1+32 + 1 32 1+1 32 = 9 10+ 1 9 10 9 =1.故答案为:1.] 4. x x≤1且x≠-74 [由题意得 1-x≥04x+7≠0 ,解得x≤1且x≠ - 74 ,∴ 函 数 的 定 义 域 为 x x≤1且x≠-74 .故 答 案 为: x x≤1且x≠-74 .] 5.C [因为函数y= kx2-6kx+9的定义域为 R,则kx2-6kx+9 ≥0恒成立.①当k<0时,函数f(x)=kx2-6kx+9是开口向下 的抛物线,不符合题意;②当k=0时,函数f(x)=9恒满足f(x) =kx2-6kx+9≥0,符合题意;③当k>0时,函数f(x)=kx2- 6kx+9满足f(x)=kx2-6kx+9≥0恒成立的条件是Δ=b2-4ac ≤0,即36k2-4×9k≤0,解得0<k≤1.由①②③知实数k的取值 范围是0≤k≤1;正确答案为C.] 6.[2,6] [由函数y=x2-2x+3=(x-1)2+2, 根据二次函数的性质,当x=1时,得到ymin=2;当x=3时,得到 ymax=6,所以函数y=x2-2x+3在[0,3]的值域为[2,6]. 故答案为:[2,6].] 7. 158,+∞ [令t= x-1,则t≥0,x=t2+1, y=f(x)=2(t2+1)-t=2 t-14 2 +158 , 当t=14 时,y=2(t2+1)-t取的最小值,最小值为158 , 则f(x)的值域为 158,+∞ .故答案为: 158,+∞ .] 【破题技巧】 换元后,转化为二次函数问题,求出值域. 8.f(x)= 2x,0≤x≤1 2,1<x<2 3,x≥2 [当0≤x≤1时,设f(x)=kx(k≠0),又图 象过点(1,2),故k=2,∴f(x)=2x; 当1<x<2时,f(x)=2;当x≥2时,f(x)=3. 综上,f(x)= 2x,0≤x≤1 2,1<x<2 3,x≥2 .故答案为:f(x)= 2x,0≤x≤1 2,1<x<2 3,x≥2 . ] 【破题技巧】 分0≤x≤1,1<x<2与x≥2三种情况,求出解 析式,得到答案. 9.A [f(x)= x+2 ,x≥0 1,x<0 ,则f[f(-1)]=f(1)=1+2=3.故选A.] 10.C [因 为 f(x)= x 2+2,x≤2 2x,x>2 ,又 f(m)=18,所 以 m≤2 m2+2=18 或 m>22m=18 ,解得m=-4或m=9.故选C.] 【技法点拨】 分段函数求值问题的解题思路 (1)求函数值:当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值. (2)求自变量的值:先假设所求的值在分段函数定义区间的各段 上,然后求出相应自变量的值,切记要代入检验. 探究·一举突破 探究路径 (1)当a=1时,由f(x)>0,即x2-2x+1>0,解得x≠1, 所以f(x)>0的解集为 x x≠1 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 81 — —84 — (2)由f(x)<0的解集为 14,1 ,可知a>0,且14,1是方程ax2 -(a+1)x+1=0的解,则 a+1 a =1+ 1 4 1 a= 1 4 ,解得a=4,所以实数a 的值为4. (3)由题意可得:f(x)=(ax-1)(x-1)<0, 因为a>0,令f(x)=0,解得x=1a 或1,则有: 当0<a<1时,解集为 x 1<x<1a ; 当a=1时,解集为⌀;当a>1时,解集为 x 1a<x<1 参考答案 (1)x x≠1 (2)4 (3)答案见解析 综合·一练到底 1.解 (1)因为f(x)= x2,x≤0 1-x x ,0<x<1 x-3 -2,x≥1 ,所以f(x)的图象如图 所示: (2 ) 由 题 可 得 x≤0x2≥2 或 0<x<1 1-x x ≥2 或 x≥1x-3 -2≥2 , 解得x≤- 2或0<x≤13 或x≥7, 所以实数x的取值范围为(-∞,- 2] ∪ 0,13 ∪[7,+∞). 2.解 (1)因为2>-1,且f(x)= x-4 x ,x≤-1 1-x 1+x ,x>-1 ,所以f(2)=1-21+2 =-13. 因为g(x)=x2-1,所以g(2)=22-1=3. (2)依题意,令g(a)=t, 若t≤-1,则f(g(a))=f(t)=t-4t =- 7 9 ,解得t=94>-1 , 与t≤-1矛盾,舍去; 若t>-1,则f(g(a))=f(t)=1-t1+t=- 7 9 ,解得t=8>-1, 故g(a)=a2-1=8,解得a=±3,所以实数a的值为±3; 综上所述:a的值为±3. 选做·一飞冲天 解 (1)由题意可知3-2x=x,得x=1,故函数y=3-2x的稳定 点为(1,1) (2)设点(x0,x0)是稳定点,则有x0= 3x0+18 2x0+a 即2x20+(a-3)x0- 18=0,由题意知方程有两个根,且这两个根互为相反数.故a-3 =0,且-18<0,解得a=3. 得x20=9,x0=±3则稳定点为A(-3,-3),B(3,3) (3)对任意实数b,函数恒有两个相异的稳定点, 即ax2+(b+1)x+(b-4)=x恒有两个不相等实数根, 即ax2+bx+(b-4)=0有两不等实数根, ∴Δ1=b2-4a(b-4)>0恒成立, 令u=b2-4ab+16a>0,视作关于b的不等式恒成立, 所以Δ2=16a2-4×16a<0,解得0<a<4. 第七周 函数的单调性 考点·一应俱全 1.A [f(x)=|x-2|x= x 2-2x,x≥2 -x2+2x,x<2 ,画 出f(x)的 图 象 如 下:f(x)的 单 调 减 区 间 为 [1,2],故选A.] 2. -∞,- 32 , - 32,+ ∞ [f(x)= 4x-3 2x+3= 4x+6-9 2x+3 =2- 9 2x+3 ,由2x+3≠0, 得x≠-32 ,当x∈ -∞,-32 时,y= 92x+3单调递减,f(x)单 调递增;当x∈ -32,+∞ 时,y= 92x+3单调递减,f(x)单调递 增,所以f(x)的单调增区间为 -∞,-32 , -32,+∞ .故答案 为: -∞,-32 , -32,+∞ .] 3. 14,32 [令-2x2+x+3≥0,解得x∈ -1,32 ,设y=t= t 1 2,t=-2x2+x+3,外函数y=t 1 2 为增函数,则复合函数的减区 间即为内函数的减区间,t=-2x2+x+3,对称轴为x=14 ,其开 口向下,故其减区间为 14,32 .故答案为: 14,32 .] 【破题技巧】 首先求出函数的定义域为 -1,32 ,利用复合 函数单调性,同增异减的原则,先确定外函数的单调性,再确定 内函数的单调性即可得到答案. 4.D [由函数f(x)=ax2+2x-3在区间(-∞,4)上为单调递增函 数,当a=0时,f(x)=2x-3在(-∞,4)上为单调递增函数,符合 题意;当a≠0时,则满足 a<0 -1a≥4 ,解得-14≤a<0,综上可得, 实数的取值范围为 -14,0 .故选D.] 5.D [因为函数f(x)= -x2-ax-5,x≤1 a x ,x>1 是 R上的增函数,所以 a<0 -a2≥1 -1-a-5≤a ,解得-3≤a≤-2,即的取值范围是[-3,-2]. 故选D.] 【破题技巧】 根据函数在各段单调递增且断点左侧的函数值不 大于右侧的函数值得到不等式组,解得即可. 6.A [∵ 函 数 f(x)是 定 义 在 (0,+ ∞)上 的 增 函 数,∴ 有 x>0 8x-16>0 x>8x-16 ,解得2<x<167,∴不等式f(x)>f(8x-16)的解集 为 2,167 ,故选A.] 7. 23,1 [因为函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且 f(2a-1)<f(1-a),所以 -1<2a-1<1 -1<1-a<1 2a-1>1-a ,解得a∈ 23,1 ,故 答案为: 23,1 .] 【易错警示】 (1)比较函数值的大小时,先转化到同一个单调区 间内,然后利用函数的单调性解决. (2)求解函数不等式时,由条件脱去“f”,转化为自变量间的大 小关系,应注意函数的定义域. (3)利用单调性求参数的取值(范围).根据其单调性直接构建参 数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降,再结 合图象求解.对于分段函数,要注意衔接点的取值. 8.BC [∵y=x2-3x-4= x-32 2 -254 ,作 出函数y=x2-3x-4在区间[0,m]上的图象 如图 所 示.由 图 象 可 知,当 x= 32 时,ymin= -254. 令y=x2-3x-4=-4得出x=0或x =3.当0<m<32 时,函数y=x2-3x-4在区 间[0,m]上单调递减,此时ymin=m2-3m-4> -254 ,不符合题意;当3 2≤m≤3 时,且当x∈ [0,m]时,由图象可知ymin=- 25 4 ,ymax=-4,符合题意;当 m>3 时,且当x∈[0,m]时,由图象可知ymin=- 25 4 ,ymax=m2-3m-4 >-4,不符合题意.综上所述,实数 m 的取值范围是 32,3 .故 选BC.] 9.AD [函数f(x)=x2-2x+1的对称轴为x=1,开口向上.当a≥ 1时,函数f(x)在区间[a,a+8]上单调递增,所以f(x)min=f(a) =a2-2a+1=9,解得a=-2或a=4,因为a≥1,所以a=4;当a +8≤1,即a≤-7时,函数f(x)在区间[a,a+8]上单调递减,所 以f(x)min=f(a+8)=a2+14a+49=9,解得a=-10或a=-4, 因为a≤-7,所以a=-10;当-7<a<1时,f(x)在[a,1]上递 减,在(1,a+8]上递增,所以f(x)min=f(1)=0,不合题意;综上: 实数a可能的取值4或-10.故选AD.] 10.D [f(x)=(x+2a)2+2-4a2, 当-2a≤-1,即a≥12 时,f(x)min=f(-1)=1-4a+2=1,则a =12 ;当 -1<-2a<3,即 - 32 <a< 1 2 时,f(x)min(x)= f(-2a)=4a2-8a2+2=1,则a=-12 ;当-2a≥3,即a≤-32 时,f(x)min(x)=f(3)=9+12a+2=1,无解.所以a=± 1 2. 故 ABC错误;故D正确.故选D.] 【破题技巧】 把f(x)配方后找到对称轴与给定区间的关系,结 合其单调性求出相应最小值并结合题意判断即可. 探究·一举突破 探究路径 (1)函数f(x)= -x 2+1,|x|<1 |x|-1,|x|≥1 ,当-1<x<1时,f(x)=-x2 +1的图象是开口向下的抛物线在(-1,1)的一段, 当x≤-1或x≥1时,f(x)= -x-1 ,x≤-1 x-1,x≥1 的图象是射线y= -x-1,x≤-1和射线y=x-1,x≥1组成, 函数f(x)的图象,如图, (2)f f -32 =f 32-1 =f 12 =- 12 2 +1=34. (3)当-1<x<1时,f(x)=-x2+1在[0,1)上单调递减, 当x≤-1或x≥1时,f(x)= -x-1 ,x≤-1 x-1,x≥1 在(-∞,-1]上单 调递减,所以函数f(x)的单调递减区间是(-∞,-1],[0,1). 参考答案 (1)作图见解析 (2)34 (3)(-∞,-1],[0,1). 综合·一练到底 1.解 (1)当a=1时,f(x)=x2-x+3, 联立方程 y=x 2-x+3 y=3x ,解得:x=1y=3 或 x=3y=9 , 即交点坐标为(1,3)和(3,9). (2)函数f(x)=x2-ax+3在 a2,+∞ 上单调递增,在 -∞, a 2 上单调递减;又函数f(x)在(-∞,0)上不具有单调性, 所以a 2<0 ,即a<0. (3)函数f(x)=x2-ax+3在 a2,+∞ 上单调递增,在 -∞, a 2 上单调递减; 当a 2≤-2 时,f(x)=x2-ax+3在x∈[-2,2]上 单 调 递 增, f(x)的最小值f(-2)=4+2a+3=7+2a. 当a 2≥2 时,f(x)=x2-ax+3在x∈[-2,2]上单调递减,f(x) 的最小值f(2)=4-2a+3=7-2a. 当-2<a2<2 时,f(x)=x2-ax+3在 a2,2 上单调递增,在 -2,a2 上单调递减,f(x)的最小值f a2 =a 2 4- a 2×a+3= 3-a 2 4. 当a≤-4,f(x)的最小值f(-2)=7+2a. 当a≥4,f(x)的最小值f(2)=7-2a. 当-4<a<4,f(x)的最小值f a2 =3-a 2 4. 2.解 (1)f(x)=-x2+ax-a=- x-a2 +a 2 4-a , 因为f(x)的最大值为0,所以a 2 4-a=0 ,所以a=0或a=4. (2)函数f(x)=-x2+ax-a的对称轴为x=a2 ,当a 2≤0 ,即a≤ 0时,f(x)在[0,2]上是减函数,所以 M(a)=f(0)=-a; 当0<a2<2 ,即0<a<4时,当x∈ a2,2 时,f(x)是减函数,当 x∈ 0,a2 时,f(x)是增函数,所以 M(a)=f a2 =a 2 4-a ; 当a 2≥2 ,即a≥4时,f(x)在[0,2]上是增函数,所以 M(a)=f(2) =a-4,所以 M(a)= -a,a≤0 a2 4-a ,a∈(0,4) a-4,a≥4 . (3)由题意g(x)=-f (x) x =x+ a x -a ,令x=ax 可得x= a,简图 如下,当0< a≤1时,即0<a≤1时, g(x)在x∈[1,2]是增函数, 所以g(1)=1+a-a=1,成立. 当1< a<2时,即1<a<4时, g(x)在[1,a]上是减函数,在[a,2]上 是增函数,所以g(a)= a+ a-a=1, 解得a=1,不成立; 当 a≥2时,即a≥4时,g(x)在[1,2]上 是减函数,所以g(2)=2+12a-a=1 ,解 得a=2,不成立;综上所述,0<a≤1. 选做·一飞冲天 解 f(x)=-4x-8- 9x-2=-4 (x-2)- 9x-2-16 ,x∈[0,1], ∵x∈[0,1],∴x-2∈[-2,-1],设t=x-2,则t∈[-2,-1], 则函数f(x)等价为y=-4t-9t-16 , 由对勾函数的单调性可得, t∈ -2,-32 时,y=-4t-9t-16单调递减, t∈ -32,-1 时,y=-4t-9t-16单调递增, 当t=-32 时,函数取得最小值,ymin=-4× -32 - 9-32 -16 =6+6-16=-4,当t=-2时,y=8- 9-2-16=- 7 2 ,当t=-1 时,y=4+9-16=-3, 设函数f(x)的值域为 M,则函数f(x)的值域 M=[-4,-3]; 由g(x)=x2-4mx-2m(m≥1),∴g(x)在[0,1]上是减函数, 则最大值为g(0)=-2m,最小值g(1)=1-4m-2m=1-6m,(m≥1), 设g(x)的值域为 N,则 N=[1-6m,-2m], 若对于任意x1∈[0,1],总存在x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成 立,则等价为 M⊆N,即 -2m≥-3 1-6m≤-4 m≥1 ,解得1≤m≤32, 所以实数的取值范围是 1,32 . 【破题技巧】 根据对于任意x1∈[0,1],总存在x2∈[0,1],使 得f(x1)=g(x2)成立,得出g(x)的值域包含f(x)的值域,是 解决本题的关键. 第八周 函数的奇偶性 考点·一应俱全 1.C [对 于 A,因 为f(x)=x2+1的 定 义 域 为 R,且f(-x)= (-x)2+1=x2+1=f(x),所以f(x)=x2+1为偶函数;对于B, 因为f(x)=x3-1的定义域为 R,且f(-x)=(-x)3+1=-x3 +1≠-f(x),所以f(x)=x3-1不是奇函数;对于C,因为f(x) =x3+1x 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f(-x)=(-x)3+ 1 -x=-x 3-1x=- x3+1x =-f(x),所以f(x)=x3+1x 为 奇函数;对于D,因为f(x)=x4+2x2 的定义域为 R,且f(-x)= (-x)4+2(-x)2=x4+2x2=f(x),所以f(x)=x4+2x2 为偶函 数;故选C.] 【破题技巧】 判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件 (1)定义域关于原点对称,否则即为非奇非偶函数. (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系,在判断奇偶性的运 算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x) =0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 83 —