第19周 三角函数的应用-【周测必刷】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教A版2019）

— 74 — 第十九周 三角函数的应用 (时间:60分钟 满分:100分) 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀦌 􀦌 􀦌􀦌 周推好题 第9题.该题主要考查三角函数模型在实际问题中的应用,题目设置紧扣概念,考 查学生的灵活性,对学生的理解应用能力要求较高,值得推荐. 【考点·一应俱全】(共50分) 考点一 三角函数模型在物理学中的应用 1.(2025·全国·专题练习)阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置,我国第一高 楼上海中心大厦的阻尼器减震装置,被称为“镇楼神器”,如图(1).由物理学知识可知,某阻尼器 的运动过程可近似为单摆运动,其离开平衡位置的位移y(单位:m)和时间t(单位:s)的函数关系 为y=sin(ωπ+φ)(ω>0,|φ|<π),如图(2).若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达位置y0(-1 <y0<1)的时间分别为t1,t2,t3(0<t1<t2<t3),且t1+t2=2,t2+t3=6,则在一个周期内阻尼器 离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为 ( ) A.13s B. 2 3s C.1s D. 4 3s 2.(2025·上海徐汇质量检测)智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机 两端的噪声采集器采集周围的噪声,然后通过主动降噪芯片生成与噪声 相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声(如图).已知噪声的声波曲线y =Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,0≤φ<2π)的振幅为1,周期为2π,初 相为π 2 ,则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为 ( ) A.y=sinx B.y=cosx C.y=-sinx D.y=-cosx 3.(多选)(2025福建宁德·质量检测)从物理学知识可知,图中弹簧振子中的小球相对平衡位置的 位移与时间t(单位:s)的关系符合函数y=Asin(ωx+φ)(|ω|<100).从某一时刻开始,用相机的 连拍功能给弹簧振子连拍了20张照片.已知连拍的间隔为0.01s,将照片按拍照的时间先后顺序 编号,发现仅有第5张、第13张、第17张照片与第1张照片是完全一样的,则小球正好处于平衡 位置的所有照片的编号有 ( ) A.4 B.6 C.12 D.18 4.(2025·安徽质量检测)声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波,每一个声音都是由纯音 合成的,纯音的数学模型是三角函数,如音叉发出的纯音振动可表示为y=Asinωx,其中x表示 时间,y表示纯音振动时音叉的位移,|ω|2π 表示纯音振动的频率(对应音高),A 表示纯音振动的振 幅(对应音强).已知某音叉发出的纯音振动可表示为y=13sin3x ,则该纯音振动的频率为( ) A.16π B. 2 3π C. 3 2π D. 3 π 考点二 三角函数模型在圆周运动问题中的应用 5.(2025·全国·专题练习)如图,一个大风车的半径为6m,12min旋转一周,它 的最低点P0 离地面2m,风车翼片的一个端点P 从P0 开始按逆时针方向旋 转,则点P 离地面距离h(m)与时间t(min)之间的函数关系式是 ( ) A.h(t)=-6sinπ6t+6 B.h (t)=-6cosπ6t+6 C.h(t)=-6sinπ6t+8 D.h (t)=-6cosπ6t+8 6.(多选)(2025·湖北荆州·质量检测)如图,摩天轮的半径为50米,摩天轮 的中心O点距离地面的高度为55米,摩天轮匀速逆时针旋转,每24分钟转 一圈,摩天轮上点P 的起始位置在最高点处,下列结论正确的是 ( ) A.经过12分钟,点P 首次到达最低点 B.第16分钟和第32分钟点P 距离地面一样高 C.从第28分钟至第40分钟点P 距离地面的高度一直在降低 D.摩天轮在旋转一周的过程中,点 P 有8分钟距离地面的高度不低于 80米 7.(多选)(2025·广东肇庆·质量检测)如图,一个半径为4m的筒车按逆时针 方向每分钟转2圈,筒车的轴心O距离水面的高度为2.5m.设筒车上的某个 盛水筒P 到水面的距离为d(单位:m)(在水面下时,d为负数).若以盛水筒 P 刚浮出水面时开始计算时间,d与时间t(单位:s)之间的关系为d=Asin (ωx+φ)+b A>0,ω>0,-π2<φ<π2 ,则 ( ) A.A=4 B.ω=π30 C.b=2.5 D.sinφ= 5 8 8.(2025·广东茂名·质量检测)如图,在直角坐标系中,已知圆O 是以原点O 为圆心,半径长为4的圆,一个质点在圆O 上,以B 为始点,沿逆时针方向匀 速运动,每3秒转一圈,则该质点的纵坐标y关于时间t(单位:秒)的函数解 析式是 . 考点三 数据拟合三角函数模型问题 9.(2025·北京昌平·质量检测)海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的 现象叫潮汐.一般早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近船坞;卸货后落 潮时返回海洋.下面是某港口在某季节某天的时间与水深值(单位:m)的部分记录表. 时间 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 水深值 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 据分析,这个港口的水深值与时间的关系可近似的用三角函数来描述.试估计13:00的水深值为 ( ) A.3.75 B.5.83 C.6.25 D.6.67 10.(2025·全国·专题练习)如表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深关系. 时刻t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 水深y(m) 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0 若该港口的水深y(m)和时刻t(0≤t≤24)的关系可用函数y=Asinωt+h(其中A>0,ω>0,h> 0)来近似描述,则该港口在11:00的水深为 m. — 73 — — 76 — 【探究·一举突破】(共15分) 探究主题 数据拟合三角函数模型问题 某地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现,但生猪养殖成本逐月递增.下表是2025年 前四个月的统计情况: 月份 1月份 2月份 3月份 4月份 收购价格(元/斤) 8 9 8 7 养殖成本(元/斤) 5 5.58 6 6.32 现打算从以下两个函数模型:①y=Asin(ωx+φ)+B,(A>0,ω>0,-π<φ<0);②y=log2(x+ a)+b中选择适当的函数模型,分别来拟合今年生猪收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关 系、养殖成本(元/斤)与相应月份之间的函数关系. 探究问题: (1)请你选择适当的函数模型,分别求出这两个函数模型解析式; (2)按照你选定的函数模型,分析今年该地区生猪养殖户在5,6,7,8月份分别是盈利还是亏损? 【综合·一练到底】(35分) 1.(2025·上海质量检测)心脏跳动时,血压在增加或减少.血压的最大值、最小值分别称为收缩压 和舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压,读数120/80mmHg为标准值.设某人的血压满 足函数式p(t)=115+25sin160πt,其中p(t)为血压(mmHg),t为时间(min),试回答下列问题: (1)求函数y=p(t)的周期; (2)求此人每分钟心跳的次数; (3)画出函数y=p(t)的草图,并求出此人的血压在血压计上的读数. 2.(2025·四川绵阳·质量检测)风力发电的原理是利用风力带动风机叶片 旋转,当风吹向叶片时驱动风轮转动,风能转化成动能,进而来推动发电机 发电.如图,风机由一座塔和三个叶片组成,每两个叶片之间的夹角均为 2π 3 ,现有一座风机,叶片旋转轴离地面100米,叶片长40米.叶片按照逆时 针方向匀速转动,并且每5秒旋转一圈.风机叶片端点P 从离地面最低位置开始,转动t秒后离地 面的距离为h米,在转动一周的过程中,h关于t的函数解析式为h(t)=Asin(ωx+φ)+B(A>0, ω>0,|φ|<π). (1)求函数h(t)的解析式; (2)当风机叶片端点P 从离地面最低位置开始,在转动一周的过程中,求点P 离地面的高度不低 于80米的时长. 【选做·一飞冲天】(尖子生选做) (2025·广东 广州·质量检测)如图,有一块半径为 R 的扇形草地OMN, ∠MON=π2 ,现要在其中圈出一块矩形场地ABCD 作为儿童乐园使用,其中 点A,B 在弧MN 上,且线段AB 平行于线段MN. (1)设∠AOB=2θ 0<θ<π4 ,用θ分别表示AB 和AD; (2)当θ为何值时,矩形场地ABCD 的面积S 最大? 最大值为多少? 【错题重做】 错因 基础不牢 题意不明 思路不对 理解不够 分析不透 方法不对 根本不会 其他原因 题号 题号 题号 — 75 — —100 — 故由题意可得g(x)= 22sin 4x+π4 +12, 当x∈ 0,π4 ,4x+π4∈ π4,5π4 , 故由正弦函数图像性质可得sin 4x+ π 4 ∈ - 22,1 , 所以 2 2sin 4x+ π4 + 12 ∈ 0, 2+1 2 即g(x)∈ 0,2+12 , 所以函数y=g(x)在区间 0,π4 上的值域为 0,2+12 . 2.解 (1)由图象可得 A+B=1 -A+B=-3 ,T2=7π12-π12,解得A=2, B=-1,T=π,所以2πω=π ,得ω=2, 所以f(x)=2sin(2x+φ)-1 |φ|<π2 , 因为f(x)的图象过点 π12,1 ,所以2sin π6+φ -1=1, 所以sin π6+φ =1,所以π6+φ=π2+2kπ,k∈Z, 所以φ= π 3+2kπ ,k∈Z 因为|φ|< π 2 ,所以φ= π 3 ,所以f(x)=2sin 2x+π3 -1; (2)先把函数f(x)的图象向左平移π6 个单位长度, 得y=2sin 2 x+π6 +π3 -1=2sin 2x+2π3 -1, 再向上平移1个单位长度,得y=2sin 2x+2π3 , 所以g(x)=2sin 2x+2π3 , 由x∈ -π12,π12 ,得2x∈ -π6,π6 ,则2x+2π3∈ π2,5π6 , 所以1 2≤sin 2x+2π3 ≤1,所以1≤2sin 2x+2π3 ≤2,即g(x) ∈[1,2],由g(x)+2a-1=0,得g(x)=1-2a,因为关于x 的方 程g(x)+2a-1=0有实数根,所以y=g(x)与y=1-2a的图象 有交点,所以1≤1-2a≤2,解得-12≤a≤0 ,即实数a的取值范 围为 -12,0 . 选做·一飞冲天 解 (1)由图象知A=2. 因为f(x)的图象过点P(0,-1),所以2sinφ=-1, 又|φ|< π 2 ,所以φ=- π 6 ,所以f(x)=2sin ωx-π6 . 又f(x)的图象过点Q 7π12,0 ,由“五点作图法”可得7πω12-π6=π, 所以ω=2.所以f(x)=2sin 2x-π6 . (2)由题意知g(x)=2sin x+π3 -π6 =2sin x+π6 , 当x∈ -π2 ,0 时,x+π6∈ -π3,π6 , 所以sin x+π6 ∈ - 32,12 ,则2sin x+π6 ∈ - 3,1 , 所以g(x)在区间 -π2 ,0 上的最小值为- 3,最大值为1. 第十九周 三角函数的应用 考点·一应俱全 1.D [由题意得12 (t1+t2)=1, 1 2 (t2+t3)=3,故函数y=sin(ωπ+ φ)(ω>0,|φ|<π)的周期为T=2×(3-1)=4,ω= 2π 4= π 2 ,可得y =sin π2t+φ ,令sin π2t+φ >0.5,解得4k+13-2πφ<t<4k +53- 2 πφ ,k∈Z,故总时间为4k+53- 2 πφ- 4k+13-2πφ = 4 3 ,综上在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时 间为4 3s. 故选D.] 2.D [由噪声的声波曲线y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,0≤φ ≤2π)的振幅为1,周期为2π,初相为π2 ,可得ω=2πT= 2π 2π=1 ,A= 1,φ= π 2 ,所 以 噪 声 的 声 波 曲 线 的 解 析 式 为y=sin x+ π2 = cosx,所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为y=- cosx.故选D.] 【破题技巧】 根据振幅可求出A,根据周期可求出ω,根据初相 可求出φ,化简后可得答案. 3.BCD [因为仅有第5张,第13张,第17张照片与第1张照片完 全一样,则弹簧振子运动时的最小正周期为T=12×0.01=0.12 =325s ,则ω=2π3 25 =50π3 ,所以y=Asin 50πt3 +φ ,由题意可知, Asin 50π3 × 1100+φ =Asin 50π3 × 5100+φ ,所以sin π6+φ = sin 5π6+φ ,则12cosφ+ 32sinφ=12cosφ- 32sinφ,所以sinφ =0,则φ=mπ,(m∈Z),则y=Asin 50πt3 +mπ ,令y=0,可得 50πt 3 +mπ=nπ (m,n∈Z),所以t=350 (n-m),令k=n-m∈Z,则t =350k (k∈Z),由0<3k50≤ 1 5 ,可得0<k≤103 ,因为k∈Z,则k∈ {1,2,3},当k=1时,t=350=0.06s ,对应第6张照片,当k=2时, t=650=0.12s ,对应第12张照片,当k=3时,t=950=0.18s ,对 应第18张照片.故选BCD.] 【破题技巧】 首先分析出弹簧振子运动时的最小正周期 T= 3 25s ,并求出ω的值,然后结合已知条件求出φ的值,令y=0, 可求出结果. 4.C [频率为|ω|2π= 3 2π ,故选C.] 5.D [根据题意可设h(t)=Acosωt+B,则A<0,B>0. ∵12min旋转一周,∴2πω =12 ,∴ω=π6.∵ 最大值与最小值分别 为14,2,∴ -A+B=14A+B=2 ,解得A=-6,B=8.∴h(t)=-6cosπ6t +8.故选D.] 【破题技巧】 利用待定系数法设出函数解析式后,由题意可得 函数周期、最大最小值等,即可计算出函数中相应系数,即可得 解. 6.ABD [设t为摩天轮匀速逆时针旋转的时间,单位为分钟,则h (t)=50sin π12t+π2 +55=50cosπ12t+55,t≥0.对于A选项,由 于摩天轮匀速逆时针旋转,每24分钟转一圈,因为t≥0,则π12t≥ 0,令π12t=π ,解得t=12,所以经过12分钟,点P 首次到达最低点, 故A选项正确;对于B选项,因为h(16)=50cos43π+55=30 , h(32)=h(8)=50cos23π+55=30 ,即h(16)=h(32),所以第16 分钟和第32分钟点P 距离地面一样高,B选项正确;对于C选项, 由于摩天轮匀速逆时针旋转,每24分钟转一圈,所以第28分钟至 第40分钟,相当于第4分钟至第16分钟,根据 A选项可知,经过 12分钟,点P 首次到达最低点,所以第4分钟至第12分钟,摩天 轮高度降低,第12分钟至第16分钟,摩天轮高度上升,所以C选 项错误;对于D选项,由h(t)=50cosπ12t+55≥80 ,则cosπ12t≥ 1 2 ,其中0≤t≤24,即0≤π12t≤2π ,则0≤π12t≤ π 3 或5π 3≤ π 12t≤2π ,解 得0≤t≤4或20≤t≤24,故摩天轮在旋转一周的过程中点P 有4+4 =8分钟距离地面不低于80米,D选项正确.故选ABD.] 7.AC [对于A,振幅A 即为半径,A=4,A正确;对于B,筒车按逆 时针方向每分钟转2圈,则ω=2×2π60 = π 15 ,B错误;对于C,b= dmax+dmin 2 = (4+2.5)+(2.5-4) 2 =2.5 ,C正确;对于D,由t=0, d=0,得0=4sinφ+2.5,则sinφ=- 2.5 4 =- 5 8 ,D错 误.故 选AC.] 【技法点拨】 根据实际含义分别求A,ω,b的值即可,再根据t =0,d=0可求得sinφ,进而判断各个选项即可. 8.y=4sin 2π3t+π3 (t≥0) [依题意设y=Asin(ωx+φ)(t≥0), A>0,ω>0,|φ|≤π2 ,由于每3秒转一圈,故最小正周期为3, 则ω=2πT= 2π 3 ,由于圆O 半径为4,故A=4,又初相为π3 ,故φ= π 3 ,所以y=4sin 2π3t+ π3 (t≥0).故 答 案 为:y=4sin 2π3t+ π 3 (t≥0).] 9.C [记时间为x,水深值为y,设时间与水深值的函数关系式为y =f(x)=Asin(ωx+φ)+b,(A>0,ω>0),由表中数据可知,T= 12,f(x)max=7.5,f(x)min=2.5,所以ω= 2π 12= π 6 ,A=7.5-2.52 =52 ,b=7.5+2.52 =5 ,所以f(x)=52sin π6x+φ +5,又x=3 时,y=7.5,所以52sin π6×3+φ +5=7.5,所以π2+φ=π2+ 2kπ,即φ=2kπ,k∈Z,所以f(x)= 5 2sin π6x+2kπ +5=52sinπ6x +5,f(13)=52sin 13π 6 +5= 5 2sin π 6+5= 5 2× 1 2+5=6.25 ,即 13:00的水深值大约为6.25.故选C.] 【破题技巧】 观察表中数据求出周期和最大最小值,然后可得 A,ω,b,将表中最大值点坐标代入解析式可得φ,然后可得所求. 10.4 [由题意得函数y=Asinωt+h(其中A>0,ω>0,h>0)的周 期为T=12,所以2πω=12 ,得ω=2π12= π 6 ,由表中数据可知最大值 为7,最小值为3,则 A+h=7-A+h=3 ,解得 A=2h=5 ,所以y=2sin π6t +5,所以该港口在11:00的水深为y=2sin116π+5=4 (m).故答 案为:4.] 【破题技巧】 由表中的数据可得T=12,可求出ω,由最大值和 最小值可求出A,h,从而可求出函数关系式,然后将t=11代入 可求得答案. 探究·一举突破 探究路径 (1)由表中数据可知,收购价格月份变化上下波动,应选模型①, 由表中数据可知,养殖成本逐月递增,应选模型②, 对于模型①,由点(1,8)及(3,8),可得函数周期满足T2=3-1=2 , 即2π ω=4 ,所以ω=π2 ,又函数最大值为A+B=9,最小值为-A+ B=7,解得A=1,B=8,所以y=sin π2x+φ +8,又π2+φ= 2kπ,k∈Z,所以φ=- π 2 +2kπ ,k∈Z,又-π<φ<π,所以φ= -π2 ,所以模型①y=sin π2x-π2 +8(x∈N*); 对于模型②,y=log2(x+a)+b图象过点(1,5),(3,6), 所以 5=log2(1+a)+b 6=log2(3+a)+b , 解得:a=1 b=4 ,所以模型②y=log2(x+1)+4; (2)由(1)设y1=sin π2x-π2 +8,y2=log2(x+1)+4, 若y1>y2 时则盈利,若y1<y2 则亏损; 当x=5时,y1=8>y2=log26+4;当x=6时,y1=9>y2=log27 +4;当x=7时,y1=8>y2=log28+4;当x=8时,y1=7<y2= log29+4; 这说明第5,6,7月份可能盈利,8月份生猪养殖户可能出现亏损. 参考答案 (1)模型①y=sin π2x-π2 +8(x∈N*),模型②y= log2(x+1)+4 (2)答案见解析 综合·一练到底 1.解 (1)由于ω=160π,代入周期公式T=2π|ω| ,可得T=2π160π= 1 80 (min), 所以函数p(t)的周期为180min. (2)每分钟心跳的次数即为函数的频率f=1T=80 (次). (3)列表: t 0 1320 1 160 3 320 1 80 y=p(t) 115 140 115 90 115 描点、连线并向左右扩展得到函数y=p(t)的简图如图所示: 由图可知此人的收缩压为140mmHg,舒张压为90mmHg. 【破题技巧】 (1)由周期公式T=2π|ω| 即可求解; (2)由频率和周期的关系即可求解; (3)由五点画图法直接作图即可,并直接得出读数即可. 2.解 (1)由题意,得风机的角速度ω=2π5 每秒,当t=0时h=60. A+B=140, -A+B=60, Asinφ+B=60, 解得 A=40, B=100, φ=- π 2. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴h(t)=40sin 2π5t-π2 +100(0≤t≤5). (2)令h(t)≥80,则h(t)=40sin 2π5t-π2 +100≥80,即cos2π5t≤12, ∴π3≤ 2π 5t≤ 5π 3 ,解得5 6≤t≤ 25 6 ,∴256- 5 6= 10 3. ∴当风机叶片端点P 从离地面最低位置开始,在转动一周的过程 中,点P 离地面的高度不低于80米的时长为103 秒. 选做·一飞冲天 解 (1)如图:过O 做OH⊥AB 于H. 则∠AOH=θ,所 以 AH=Rsinθ⇒AB= 2Rsinθ,AD=R(cosθ-sinθ). (2)S=AB·AD=2R2sinθ(cosθ-sinθ) =R2(2sinθcosθ-2sin2θ)=R2(sin2θ+ cos2θ-1) =R2 2sin 2θ+π4 -1 ≤(2-1)R2, 当且仅当2θ+π4= π 2 即θ=π8 时取“=”. 故当θ=π8 时矩形场地的面积最大且最大为(2-1)R2. 【破题技巧】 借助三角函数表示AB 和AD,进一步表示矩形的 面积,可求矩形面积的最大值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 99 —