第三章《函数的概念与性质》同步单元必刷卷-2025-2026学年高一数学必修第一册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019）

第三章《函数的概念与性质》同步单元必刷卷 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据根号内非负，以及分母不为0，列不等式求解即可． 【详解】因为的定义域满足解得． 故选：A. 2．以下函数是奇函数且在单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由各选项奇偶性及在上的单调性可得答案. 【详解】对于A，定义域为，为非奇非偶函数，故A不满足题意； 对于B，其为偶函数，故B不满足题意； 对于C，其为奇函数，又当时，，在区间上单调递增，故C不满足题意； 对于D，其为奇函数，又当时，，在区间上单调递减，故D满足题意. 故选：D 3．函数在单调递增，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用奇函数的性质将问题转化为，再利用单调性继续转化为，从而求得取值范围即可. 【详解】由题意得是奇函数，故， 又，可得， 因为是增函数，所以有，解得，故D正确. 故选：. 4．若函数 在上单调递减,则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数的单调性的性质可以得到不等式组,解这个不等式组即可. 【详解】因为是上单调递减函数, 所以有：. 故选：A 5．某投资公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资量成正比例，其关系如图1，B产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图2（利润与投资量单位：万元）；该公司已有20万元资金，并全部投入A，B两种产品中，进行科学合理投资，使公司获得最大利润为（    ） A．5.6万元 B．4.8万元 C．6万元 D．5万元 【答案】B 【分析】根据已给函数模型结合已知数据求出解析式，设A产品投入万元，则B产品投入万元，求出利润的表达式，然后利用换元法转化为二次函数求得最大值． 【详解】设投资为万元，A产品的利润为万元，B产品的利润为万元． 由题意设，． 由图知，．又，． 从而，． 设A产品投入万元，则B产品投入万元， 设企业利润为万元， 则， 设，则， ， 时，，此时． A产品投入16万元，则B产品投入4万元，才能使公司获得最大利润，最大利润为4.8万元， 故选：B. 6．若幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（   ） A．为偶函数 B．方程的实数根为 C．在上为增函数 D．的值域为 【答案】B 【分析】先代点求出幂函数的解析式，然后判断幂函数的性质即可. 【详解】设，代入点可得，所以， 所以，因为，所以，即函数的定义域为， 对于A：因为的定义域为，不关于原点对称， 所以既不是为偶函数也不是奇函数，故A错误； 对于B：令，所以，解得，故B正确； 对于C，因为，因为，所以在上为减函数，故C错误； 对于D：因为，所以，所以， 的值域为，故D错误. 故选：B. 7．我国在2020年9月22日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于2030年前实现碳达峰，争取在2060年前实现碳中和．为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y（单位：万元）与处理量x（单位：吨）之间的函数关系可近似表示为，当处理量x等于多少吨时，每吨的平均处理成本最少（    ） A．120 B．200 C．240 D．400 【答案】D 【分析】先根据题意求出每吨的平均处理成本与处理量之间的函数关系，然后分和分析讨论求出其最小值即可 【详解】由题意得二氧化碳每吨的平均处理成本为， 当时，， 当时，取得最小值240， 当 时，， 当且仅当，即时取等号，此时取得最小值200， 综上，当每月的理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低为200元， 故选：D 8．已知为上的奇函数，，若对，当时，都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简条件中的不等式得到，构造函数，得到函数在上的单调性，得到关于的不等式，转换为自变量不等式，求得在上不等式解集.再由是奇函数通过奇偶性定义得到函数为偶函数，同理可求得在上不等式解集，然后求并集即可得到不等式解集. 【详解】由，得， 因为，，所以，即. 设，则在上单调递减. 而， 则，解得. 因为为上的奇函数，所以， 则为上的偶函数，故在上单调递增， ，则，解得. 综上，原不等式的解集为. 故选：B. 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题中，正确的有（    ） A．函数与函数表示同一函数 B．已知函数，若，则 C．函数的值域是 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BC 【分析】对于A，根据两函数的定义域不同，即可求解； 对于B，求函数解析式，代入即可求解； 对于C，结合函数解析式求值域，即可求解； 对于D，由复合函数的定义域的求法，即可求解． 【详解】函数的定义域为，函数的定义域为， 两函数的定义域不同，不是同一函数，A选项错误； 函数，令，得， 若，解得，B选项正确； 由，有，则，所以函数的值域是，C选项正确； 若函数的定义域为，由，解得，则函数的定义域为，D选项错误. 故选：BC 10．已知函数是幂函数，则（   ） A． B． C．是偶函数 D．当时， 【答案】ABD 【分析】根据函数为幂函数可求出m的值，即可判断AB；结合函数的奇偶性判断C；根据函数解析式可判断D. 【详解】由是幂函数知，所以或-2， 所以或，所以，，AB正确； 当时，，是奇函数，C错误； 对于，当时，， 对于，当时，不成立，故当时，，D正确 故选：ABD. 11．定义在上的函数满足：对于任意正数，，都有，当时且，则下面结论正确的是（    ） A． B． C．的解集为 D．若，则实数 【答案】BCD 【分析】利用特殊值判断A、B，利用单调性的定义证明在上是减函数，再根据单调性解函数不等式即可判断C，求出，再结合C即可判断D. 【详解】令，，得，由，所以，故A错误； 令，得，因此， 所以，则，故B正确； 设，则，， ， 又因为，所以，所以， 即，所以在上是减函数， 由，所以，可得，所以的解集为，故C正确； 由，，知， 而，所以， 又因为在上是减函数，，唯一，因此，故D正确. 故选：BCD. 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．请写出一个同时满足下列两个条件：①是偶函数；②在上单调递增的幂函数 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据幂函数的定义及性质即可得到答案. 【详解】根据幂函数的定义，， 要使是偶函数，且在上单调递增， 例如，取，则. 故答案为：（答案不唯一） 13．如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，且.已知为定值l，腰CD与直线BC的夹角为，设等腰梯形的面积为S，高为h，则S关于h的函数解析式为 .    【答案】, 【分析】由给定的图形，结合等腰梯形的性质求出函数解析式. 【详解】如图，过点C作AD的垂线，交AD于点E，则，    在中，，，则， 而，于是，， 所以，. 故答案为：, 14．若幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先由函数单调性得，进而求出或，接着由幂函数奇偶性得，再结合函数的单调性分类讨论即可解不等式. 【详解】因为幂函数在上单调递减， 所以，解得， 又，所以或， 当时，幂函数为，图象关于y轴对称，满足题意； 当时，幂函数为，图象不关于y轴对称，舍去， 所以，不等式为， 因为函数在和上单调递减， 所以或或， 解得或. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知幂函数在区间上单调递增． (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义和性质来求得的值，从而求得的解析式. （2）根据函数的单调性化简不等式，从而求得的取值范围. 【详解】（1）是幂函数， ，解得或， 又幂函数在区间上单调递增， ，即． （2））易知在上单调递增， 又， ，即， 解得， 实数的取值范围为． 16．某企业生产某种产品的年固定成本为1000万元，每生产千件，需另投入生产成本（万元）.若年产量低于100千件，则生产成本；若年产量不低于100千件时，则生产成本.每千件产品售价为10万元，且生产的产品能全部售完.（“年利润”“年总收入”“生产成本”“固定成本”） (1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，企业所获得年利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当年产量为千件时，年利润最大，最大值为万元 【分析】（1）根据题意，分段求出年利润即可求解； （2）对每一段函数求出最大值，再进行比较即可求解. 【详解】（1）当时，， 当时，， 所以. （2）当时，， 所以当时，利润取最大值， 当时，， 当且仅当，即时等号成立，此时利润取最大值， 因为，所以该企业年产量为千件时，所获得的利润最大，为万元. 17．已知函数是上的奇函数，当时，. (1)求的解析式. (2)用定义法证明在上的单调性. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据奇偶性的定义来求得的解析式. （2）根据单调性的定义来证得在上的单调性. 【详解】（1）是定义在上的奇函数， 当时， 当时，， 当时，，. 所以. （2）任取， . 其中，所以， 所以在上递增. 18．已知是定义在上的奇函数,且,若a,,时,有成立． (1)判断在上的单调性,并用定义证明； (2)解不等式：； (3)若对所有的,以及所有的恒成立,求实数的取值范围． 【答案】（1）在上单调递增，证明见解析（2）或或 【分析】(1)利用函数单调性的定义,结合函数奇偶性和条件进行证明即可 (2)利用函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解 (3)结合不等式恒成立,利用参数分离法进行求解即可 【详解】解：(1)任取,且, 则,为奇函数, , 由已知得,, ,即, 在上单调递增． (2),在上单调递增, 在上,． 问题转化为, 即,对恒成立． 下面来求的取值范围． 设． ①若,则,对恒成立． ②若,则为a的一次函数,若,对恒成立,必须,且, 或． 的取值范围是或或． 【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的证明和应用,以及不等式恒成立问题的应用,利用参数分离法以及定义法是解决本题的关键． 19． 已知：定义在R上的函数，对于任意实数a, b都满足，且，当． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）证明在上是增函数； （Ⅲ）求不等式的解集. 【答案】（Ⅰ）1（Ⅱ）详见解析（Ⅲ） 【详解】试题分析：（1）利用赋值法求的值；（2）利用函数单调性的定义与赋值法进行证明；（3）先将 化为，即不等式化为，再利用函数的单调性进行求解． 解题思路:处理抽象函数问题时，往往是利用赋值法（合理赋值）进行处理，在证明函数的单调性或奇偶性时，要用定义进行证明；求解抽象不等式时，要利用函数的单调性． 试题解析：（Ⅰ）解：令 （Ⅱ）证明：当 由 得 设 （Ⅲ）解： 由（Ⅱ）可得： 解得 所以原不等式的解集是． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章《函数的概念与性质》同步单元必刷卷 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．以下函数是奇函数且在单调递减的是（   ） A． B． C． D． 3．函数在单调递增，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．若函数 在上单调递减,则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．某投资公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资量成正比例，其关系如图1，B产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图2（利润与投资量单位：万元）；该公司已有20万元资金，并全部投入A，B两种产品中，进行科学合理投资，使公司获得最大利润为（    ） A．5.6万元 B．4.8万元 C．6万元 D．5万元 6．若幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（   ） A．为偶函数 B．方程的实数根为 C．在上为增函数 D．的值域为 7．我国在2020年9月22日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于2030年前实现碳达峰，争取在2060年前实现碳中和．为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y（单位：万元）与处理量x（单位：吨）之间的函数关系可近似表示为，当处理量x等于多少吨时，每吨的平均处理成本最少（    ） A．120 B．200 C．240 D．400 8．已知为上的奇函数，，若对，当时，都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题中，正确的有（    ） A．函数与函数表示同一函数 B．已知函数，若，则 C．函数的值域是 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 10．已知函数是幂函数，则（   ） A． B． C．是偶函数 D．当时， 11．定义在上的函数满足：对于任意正数，，都有，当时且，则下面结论正确的是（    ） A． B． C．的解集为 D．若，则实数 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．请写出一个同时满足下列两个条件：①是偶函数；②在上单调递增的幂函数 ． 13．如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，且.已知为定值l，腰CD与直线BC的夹角为，设等腰梯形的面积为S，高为h，则S关于h的函数解析式为 .    14．若幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知幂函数在区间上单调递增． (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围． 16．某企业生产某种产品的年固定成本为1000万元，每生产千件，需另投入生产成本（万元）.若年产量低于100千件，则生产成本；若年产量不低于100千件时，则生产成本.每千件产品售价为10万元，且生产的产品能全部售完.（“年利润”“年总收入”“生产成本”“固定成本”） (1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，企业所获得年利润最大？最大利润是多少？ 17．已知函数是上的奇函数，当时，. (1)求的解析式. (2)用定义法证明在上的单调性. 18．已知是定义在上的奇函数,且,若a,,时,有成立． (1)判断在上的单调性,并用定义证明； (2)解不等式：； (3)若对所有的,以及所有的恒成立,求实数的取值范围． 19． 已知：定义在R上的函数，对于任意实数a, b都满足，且，当． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）证明在上是增函数； （Ⅲ）求不等式的解集. 2 学科网（北京）股份有限公司 $