专题09 统计与概率（4大题型）（甘肃专用）-【好题汇编】2025年中考数学二模试题分类汇编

专题09 统计与概率 题型概览 题型01 数据的收集与整理 题型02 数据分析 题型03 根据概率公式计算概率 题型04 列表法或树状图法求概率 ( 题型01 )数据的收集与整理 1．（2025·甘肃平凉·二模）习近平总书记指出：“谁能把握大数据、人工智能等新经济发展机遇，谁就把准了时代脉搏．”作为一项通用技术，人工智能已成为国际竞争的焦点．为检验高校计算机专业在人工智能方向的学科建设成效，加速培养适应新兴科技领域学术专业人才，某高校对计算机专业的学生进行人工智能算法应用能力测试，满分为100分，规定测试成绩不低于70分为达标．现随机选取了部分学生的测试成绩（单位：分），整理并制作成了如下不完整的图表： 成绩x/分 频数 频率 各组总分/分 9 600 36 2700 27 2300 1690 请根据上述信息解答下列问题： (1)补全频数分布直方图； (2)表中______，______； (3)若该校共有1000名学生参加此次测试，请你估计该校此次测试达标的学生人数． 【答案】(1)见解析 (2)，18 (3)900名 【分析】本题主要考查了统计表和频数直方图相结合，利用样本频数估计总体的频数等内容，解题的关键是熟练掌握频数和频率的关系，并会求出总数． （1）根据频率和频数求出样本总数，样本总数乘其频率即可得出该组频数，补全频数直方图即可； （2）利用频数和频率的关系进行求解即可； （3）利用样本频数估计总体的频数即可． 【详解】（1）解：本次抽取的学生人数为， ∴， 补全频数分布直方图如下： （2）解：由（1）得， ， 故答案为：，18； （3）解：该校此次测试达标的学生人数为： （名）， ∴估计该校此次测试达标的学生人数为900名． 2．（2025·甘肃陇南·二模）为实现绿色可持续发展，倡导低碳生活，某市的商场、超市等场所均有偿使用可降解塑料袋．某小区为了了解每户家庭每周有偿使用可降解塑料袋的个数，随机抽取了若干户家庭，并对所抽取家庭每周有偿使用可降解塑料袋的个数进行统计，绘制成如下两幅统计图，请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)补全条形统计图，本次所抽取家庭每周有偿使用可降解塑料袋的个数的众数是______； (2)求本次所抽取家庭每周有偿使用可降解塑料袋个数的平均数； (3)已知该小区共有800户家庭，请你估计该小区每周有偿使用可降解塑料袋个数不超过3个的家庭户数． 【答案】(1)4 (2) (3)416户 【分析】本题考查了条形统计图的应用、众数和平均数的求解，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． （1）根据“个”的家庭数除以占比求出抽取的家庭数，然后计算“个”的家庭数，补全条形统计图，根据出现次数最多的数据为众数即可求解； （2）运用加权平均数的公式计算解题； （3）运用小区家庭数乘以样本中降解塑料袋个数不超过3个的占比解答即可． 【详解】（1）解：本次所抽取家庭数为：（户）， “4个”的家庭数为：（户）， 补全条形统计图如下： 根据条形统计图，本次所抽取家庭每周有偿使用可降解塑料袋的个数出现最多的是4个，∴众数是4． 故答案为：4； （2）解：本次所抽取家庭每周有偿使用可降解塑料袋个数的平均数为 ； （3）解：（户）， ∴该小区每周有偿使用可降解塑料袋个数不超过3个的家庭大约为416户． 3．（2025·甘肃白银·二模）随着初中学业水平考试的临近，某校连续四个月开展了学科知识模拟测试，并将测试成绩整理、绘制了如图所示的统计图（四次参加模拟测试的学生人数不变），下列四个结论中，不正确的是（   ） A．共有500名学生参加模拟测试 B．从第1月到第4月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长 C．第3月增长的“优秀”人数比第2月增长的“优秀”人数多 D．第4月测试成绩“优秀”的学生人数为85 【答案】C 【分析】本题考查的是折线统计图与条形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．根据条形统计图和折线统计图分别判断即可． 【详解】解：A、测试的学生人数为：（名），故本结论正确； B、由折线统计图可知，从第1周到第4周，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐周增长，故本结论正确； C、由折线统计图可知，第3月增长的“优秀”人数比第2月增长的“优秀”人数少，故本结论错误； D、第4月测试成绩“优秀”的学生人数为：（人），故本结论正确； 故选：C． 4．（2025·甘肃平凉·二模）为了贯彻落实党的二十大报告中提出的“推进文化自信自强，铸就社会主义文化新辉煌”的精神主旨，落实立德树人根本任务，切实提升学生人文素养与综合能力，某校开展了“书香沁心，悦读同行”为主题的系列读书活动．语文老师调查了全班同学的每月阅读不同种类书籍数量，并绘制了如图所示的统计图．下列说法错误的是（   ） A．该班同学阅读“艺术类”书籍的数量最少 B．该班同学阅读“历史类”书籍数量占 C．该班同学阅读“艺术类”书籍对应的扇形圆心角度数是 D．该班同学阅读“文学类”书籍的数量最多 【答案】C 【分析】本题考查了扇形统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，扇形统计图能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比大小．根据扇形统计图的信息依次进行判断即可． 【详解】解∶由扇形统计图知∶ 该班同学阅读“艺术类”书籍的数量占， 该班同学阅读“艺术类”书籍对应的扇形圆心角度数是， ∵， ∴该班同学阅读“艺术类”书籍的数量最少， 阅读“文学类”书籍的数量最多， 故选项A、B、D正确，选项C错误， 故选：C． 5．（2025·甘肃陇南·二模）某校就“了解情况”对全校学生进行问卷测试．现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的测试成绩，并进行整理、描述和分析（成绩用表示，共分为四个等级：不了解；比较了解；了解；非常了解，下面给出部分信息： 八年级被抽取的学生测试成绩中“了解”的数据： 82，82，82，89； 九年级被抽取的学生测试成绩的数据： 63，64，78，78，78，80，84，86，92，95． 八、九年级被抽取的学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 82 九年级 79 根据以上信息，解答下列问题： (1)图表中______，______，______； (2)根据以上数据，你认为在此次阅卷测试中，该校哪个年级被抽取的学生对的了解程度更高，请说明理由（写出一条即可）； (3)该校八年级，九年级各800名学生，估计此次问卷测试中，这两个年级学生对 “非常了解”的共有多少名？ 【答案】(1)82；78；20 (2)八年级学生对人工智能的知晓程度更高，理由见解析 (3)320名 【分析】本题考查的是从扇形图与统计表中获取信息，求解中位数，众数，利用样本估计总体； （1）由八年级被抽取的学生测试得分中第5个，第6个数据分别是：82，82，从而可得中位数的值，由九年级被抽取的学生测试得分中78出现的次数最多，可得的值，由八年级被抽取的学生测试得分中“非常了解”的人数有人，可得的值； （2）从中位数或众数的角度出发可得答案； （3）由九年级与八年级的总人数分别乘以“非常了解”的占比，再求和即可. 【详解】（1）解：由题意得，八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89； 而八年级被抽取的学生测试得分中“不了解”的数据有； 八年级被抽取的学生测试得分中“比较了解”的数据有； ∴第5个，第6个数据分别是：82，82， 所以中位数， 九年级被抽取的学生测试得分中78出现的次数最多， ， ∵八年级被抽取的学生测试得分中“非常了解”的人数有， ∴， ∴； 故答案为：82；78；20； （2）解：八年级学生对人工智能的知晓程度更高，理由如下（写出一条理由即可）： ①因为八年级学生测试得分的中位数82大于九年级学生测试得分的中位数79； ②因为八年级学生测试得分的众数82大于九年级学生测试得分的众数78． （3）解：（名）． 答：估计此次问卷测试中，这两个年级学生对人工智能“非常了解”的共有名． 6．（2025·甘肃陇南·二模）2025年春节，《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）横空出世，现已登顶全球动画电影票房榜，米小果同学为了了解这部电影在同学中的受欢迎程度，在初三年级随机抽取了10名男生和10名女生展开问卷调查（问卷调查满分为100分），并对数据进行整理，描述和分析（评分分数用表示，共分为四组：A：；B：；C：；D：，下面给出了部分信息： 10名女生对《哪吒2》的评分分数：67，77，79，83，89，91，98，98，98，100． 10名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：82，83，86 20名同学对《哪吒2》评分统计表 性别 平均数 众数 中位数 方差 满分占比 女生 88 a 90 112.2 10% 男生 88 100 b 200.2 50% 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的______________________，___________ (2)根据以上数据分析，你认为是女生更喜欢《哪吒2》还是男生更喜欢？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)我校初三年级有500名女生和600名男生去看过《哪吒2》，估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有多少人？ 【答案】(1)，， (2)男生更喜欢《哪吒2》，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了由样本所占百分比估计总体的数量、扇形统计图信息关联、中位数、众数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据中位数，众数的定义求得，进而得出评分在的人数，求得的值； （2）根据中位数和众数分析，即可求解； （3）用和分别乘以评分在D组的占比，即可求解． 【详解】（1）解：名女生对《哪吒2》的评分分数：，，，，，，，，，． 出现最多，则， 根据统计表可得满分的有人，则中位数为第和第6个数据，名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：，，． 则按从小到大排列，第个数据为，第个数据为， 则 根据扇形统计图可得评分分数为和的人数和为，且的人数都不为， ∴评分分数为和的人数都是人 ∴，则 故答案为：，，． （2）男生更喜欢《哪吒2》，理由如下： 根据中位数和众数分析，男生的中位数和众数都比女生的高，因此，男生更喜欢《哪吒2》 （3）（人） 即这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有人 7．（2025·甘肃陇南·二模）随着人工智能技术的不断突破，人形机器人行业备受关注，未来行业将持续保持高速发展．如图是某机构对2025～2030年全球人形机器人市场规模预测的数据： 根据预测数据，下列分析正确的是（   ） ①2025～2030年全球人形机器人市场规模逐年增长； ②2025～2030年全球人形机器人市场规模增长率逐年增大； ③2025～2030年全球人形机器人市场总规模超7000亿元； ④若保持与2030年相同的年增长率，到2032年全球人形机器人市场规模将超万亿元． A．①④ B．①② C．②③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题考查条形统计图及折线统计图，关键是从图中读取有效信息．根据条形统计图及折线统计图逐项分析即可． 【详解】解：根据市场规模条形统计图可知，年全球人形机器人市场规模逐年增长，故①正确； 根据增长率的折线统计图可知，年全球人形机器人市场规模增长率逐年降低，故②错误； 根据市场规模条形统计图可知，年全球人形机器人市场总规模为：（亿元），故③错误； 2032年全球人形机器人市场规模为：（亿元），故④正确． 故选：A． ( 题型02 )数据分析 8．（2025·甘肃兰州·二模）已知一组数据的平均数为4，方差是，则另一组数据的平均数和方差分别是（   ） A．4，5.2 B．8，6.4 C．10，12.8 D．12，16 【答案】C 【分析】本题主要考查了确定一组数据的方差和平均数，理解方差和平均数的意义是解题的关键． 根据平均数的定义和方差的定义解答即可． 【详解】解：∵一组数据的平均数为4， ∴， ∴ ； ∵一组数据的平均数为4，方差是3.2， ∴， ∴另一组数据的方差为 ． 故选C． 9．（2025·甘肃白银·二模）某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进行现场打分，将甲、乙、丙三位选手得分数据整理如下： 【整理数据】 【分析数据】 平均数/分 中位数/分 方差 甲 8.8 0.56 乙 8.8 9 0.96 丙 8 0.96 (1)表中________，________． (2)从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适？请说明理由． (3)若去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为，则________．（填“”“”或“”） 【答案】(1)9， (2)选甲更合适，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了中位数，平均数，众数以及方差，理解相关定义与意义，熟记方差公式是解题关键． （1）分别根据中位数、平均数的定义进行计算，即可得到答案； （2）根据（1）中表格，结合平均数和方差的意义进行分析，即可得到答案； （3）根据方差公式进行计算，再比较大小即可得到答案． 【详解】（1）解：由甲得分的折线统计图可知，甲得分的排序为：10、9、9、8、8， ∴甲得分的中位数为9， 由丙得分的扇形统计图可知，丙得分分别为：8，8，8，10，10， ∴丙得分平均数为． 故答案为：9，； （2）选甲更合适．理由如下： 因为甲、乙、丙三人平均成绩一样，说明三人实力相当，但是甲的方差最小，说明甲的成绩更稳定， 所以选甲更合适； （3）去掉一个最高分和一个最低分之后，甲的平均数为， 甲的方差， ， 故答案为：． 10．（2025·甘肃陇南·二模）若一组数据1，2，5，3，，的平均数是2，则众数是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了平均数“一般地，对于个数，我们把叫做这个数的算术平均数，简称平均数”、求众数“众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据”，熟记平均数的计算公式和众数的定义是解题关键．先根据平均数的计算公式求出的值，再根据众数的定义求解即可得． 【详解】解：∵一组数据1，2，5，3，，的平均数是2， ∴， 解得， ∴这组数据为1，2，5，3，2，，其中，2出现的次数最多， ∴这组数据的众数是2， 故答案为：2． 11．（2025·甘肃陇南·二模）新课标要求“中小学生要学煮饭炖汤、种菜养禽、维修家电……”为了解“家务劳动”落实情况，某初级中学随机抽查30名学生每周平均家务劳动的时间，并将结果绘制成统计图如图所示（部分污损）．关于家务劳动时间的统计量中，与被污损数据无关的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】B 【分析】本题考查了平均数，中位数，众数，方差的定义，熟练掌握以上定义是解题的关键．分别根据平均数，中位数，众数，方差的定义，结合统计图的信息逐项判断能否计算得到即可． 【详解】解：根据统计图可知，每周平均家务劳动的时间3小时人数为5人，4小时人数为12人，不确定5小时和6小时的人数，所以平均数和方差无法计算； 因为随机抽查30名学生，可知5小时和6小时的总人数，所以无法确定众数；而中位数为第15和16的平均值，所以中位数为； 故选：B． 12．（2025·甘肃陇南·二模）广西水果全国产量第一，而蓬勃发展的快递业，为广西的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．火龙果种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家火龙果种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： a．配送速度得分： 甲：6、6、7、7、7、8、9、9、9、10 乙：6、7、7、8、8、8、8、9、9、10 c．配送速度和服务质量得分统计表： 统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 m 7 乙 8 8 7 b．服务质量得分统计图：    根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中的 ； （填“”“=”或“”)． (2)综合上表中的统计量，你认为小丽应选择哪家公司？请说明理由． 【答案】(1) (2)小丽应选择甲公司，理由见解析 【分析】本题考查了中位数和方差，熟练掌握调查统计的相关知识是解题关键． （1）根据中位数和方差的公式求解即可得； （2）根据中位数、平均数和方差的意义进行决策即可得． 【详解】（1）解：将甲快递公司的配送速度得分按从小到大进行排序后，第5个数和第6个数的平均数即为中位数， 则， ， ， 则， 故答案为：． （2）解：小丽应选择甲公司. ∵配送速度得分甲和乙的得分相差不大， 服务质量得分甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差， ∴甲更稳定， ∴小丽应选择甲公司. 13．（2025·甘肃陇南·二模）某超市打算购进一批苹果，现从甲、乙两个供应商供应的苹果中各随机抽取10个，测得它们的直径（单位：mm），并制作统计图如下： 根据以上信息，解答下列问题： (1) 统计量供应商 平均数 中位数 众数 甲 80 80 乙 76 则__________，__________，__________． (2)苹果直径的方差越小，苹果的大小越整齐，据此判断，__________供应商供应的苹果大小更为整齐．（填“甲”或“乙”） (3)超市规定直径（含）以上的苹果为大果，超市打算购进甲供应商的苹果2000个，其中，大果约有多少个？ 【答案】(1)80，， (2)甲 (3)600 【分析】本题主要考查了平均数、中位数、众数、方差以及用样本估计总体等知识点，掌握相关统计量的计算方法是解答本题的关键． （1）分别根据算术平均数，中位数和众数的定义解答即可； （2）根据方差的意义解答即可； （3）利用样本估计总体，即用2000乘样本中直径（含）以上所占比例即可． 【详解】（1）解：由题意得：； 把乙的10个苹果的直径从小到大排列，排在中间的两个数分别是79，80，故中位数； 甲10个苹果的直径中，83出现的次数最多，故众数． 故答案为：80，，． （2）解：甲的方差为： ； 乙的方差为： ， 因为， 所以甲供应商供应的苹果大小更为整齐． 故答案为：甲． （3）解：（个）． 答：大果约有600个． 14．（2025·甘肃陇南·二模）为弘扬向善、为善优秀品质，助力爱心公益事业，我校组织“人间自有真情在，爱心助力暖人心”慈善捐款活动，八年级全体同学参加了此次活动.随机抽查了部分同学捐款的情况，统计结果如图①和图②所示. (1)本次共抽查了________人；并补全上面条形统计图； (2)本次抽查学生捐款的中位数为________；众数为________； (3)全校有八年级学生1100人，估计捐款金额超过15元（不含15元）的有多少人？ 【答案】(1)50，补图见解析 (2)15，15 (3)220人 【分析】本题考查扇形统计图，条形统计图，中位数、众数以及样本估计总体， （1）从两个统计图中可知，样本中“捐款为5元”的学生有8人，占调查人数的，根据频率可求出答案； （2）根据众数、中位数的定义进行计算即可； （3）求出样本捐款金额超过15元（不含15元）的所占百分比，估计总体中捐款金额超过15元（不含15元）人数． 【详解】（1）解： （人， “捐款为15元”的学生有（人，补全条形统计图如下： （2）学生捐款金额出现次数最多的是15元，共出现18次，因此捐款金额的众数是15元， 将这50名学生捐款金额从小到大排列处在中间位置的两个数都是15元，因此中位数是15元， 故答案为：15，15； （3）捐款金额超过15元（不含15元）的人数（人）， 所以全校八年级学生为1100名，捐款金额超过15元（不含15元）的人数为220人， 15．（2025·甘肃陇南·二模）为了帮助本市一名患“白血病”的高中生，某班15名同学积极捐款，他们捐款数额如表，关于这15名学生所捐款的数额，下列说法正确的是（　　） 捐款的数额（单位：元） 5 10 20 50 100 人数/人 2 4 5 3 1 A．众数是100 B．平均数是30 C．方差是20 D．中位数是20 【答案】D 【分析】根据方差、众数、中位数及平均数的定义，结合表格即可得出答案． 【详解】解：根据众数的概念可知这15名同学所捐款数额的众数是20，则A选项错误不符合题意； 根据平均数的计算公式，，故B选项错误不符合题意； ，故C错误不符合题意； 将这15名同学所捐款数额按从小到大的顺序排列为5、5、10、10、10、10、20、20、20、20、20、50、50、50、100，根据中位数的概念可知中位数是20，故D选项正确符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是方差、平均数的计算以及众数、中位数的概念，熟练掌握方差、平均数的计算公式以及众数、中位数的概念是解题的关键，侧重考查知识点的记忆、理解、应用能力． 16．（2025·甘肃陇南·二模）已知：一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是，那么另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数和方差分别是（　　） A．2， B．2，1 C．4， D．4，3 【答案】D 【分析】本题可将平均数和方差公式中的x换成3x-2，再化简进行计算． 【详解】解：∵x1，x2，…，x5的平均数是2，则x1+x2+…+x5=2×5=10． ∴数据3x1-2，3x2-2，3x3-2，3x4-2，3x5-2的平均数是： [（3x1-2）+（3x2-2）+（3x3-2）+（3x4-2）+（3x5-2）] = [3×（x1+x2+…+x5）-10] =4， S′2=×[（3x1-2-4）2+（3x2-2-4）2+…+（3x5-2-4）2]， =×[（3x1-6）2+…+（3x5-6）2] =9× [（x1-2）2+（x2-2）2+…+（x5-2）2] =3． 故选：D． 【点睛】本题考查的是方差和平均数的性质，熟练掌握方差的概念是解题的关键． ( 题型03 )根据概率公式计算概率 17．（2025·甘肃陇南·二模）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，出现点数为偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据概率公式计算概率，一枚质地均匀的骰子有个面，点数为偶数的面有个，据此即可求解． 【详解】解：∵一枚均匀的骰子有个面，点数为偶数的面有个， ∴抛掷一枚质地均匀的骰子一次，所得点数为偶数的概率为：， 故选：D． 18．（2025·甘肃陇南·二模）在一个不透明的袋子里有3个白球和1个红球，除颜色外全部相同，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了概率公式，注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．根据概率公式计算即可求得答案． 【详解】解：∵袋子里有3个白球和1个红球，共有4个球， ∴从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是． 故选：D． 19．（2025·甘肃陇南·二模）“二十四节气”是中国农历中表示季节变迁的24个特定节令，不仅是指导农耕生产的时间体系，还蕴含着丰富的民俗文化和生活智慧．一个不透明的盒子中装了4张关于“二十四节气”的卡片（除了画面内容外其他都相同），其中有2张“霜降”，1张“惊蛰”，1张“小满”，从中随机摸出一张卡片，恰好是“霜降”的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了运用概率公式求概率，掌握概率等于所求情况数与总情况数之比成为解题的关键． 根据在一个不透明的盒子中装了4张关于“二十四节气”的卡片，其中有2张“霜降”，然后运用概率公式计算即可． 【详解】解：∵在一个不透明的盒子中装了4张关于“二十四节气”的卡片，其中有2张“霜降”， ∴从中随机摸出一张卡片，恰好是“霜降”的可能性为． 故选：A． 20．（2025·甘肃陇南·二模）某班共有50名同学，其中有2名同学只会用左手写字，其余同学都用右手写字．老师随机选1名同学上台板演，选中左手写字同学的概率是（   ） A．0 B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查概率的求法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 让习惯用左手写字的学生数除以学生总数即为所求的概率． 【详解】解：根据题意，某班共有50名同学，其中有2名同学只会用左手写字， 而习惯用左手写字的同学被选中的有2种； 故其概率为； 故选：B ( 题型0 4 )列表法或树状图法求概率 21．（2025·甘肃陇南·二模）如图，在甲、乙两个不透明的口袋内，分则有大小、材质完全相同的若干个小球，其中甲袋内的小球上分别标有数字，，4，6乙袋内的小球上分别标有数字，，6．把小华从甲袋内任意摸出的一个小球上的数字记作，把小强从乙袋内任意摸出的一个小球上的数字记作．若，都是方程的解，则小华获胜；若，都不是方程的解，则小强获胜． (1)请用画树状图或列表的方法，求小华获胜的概率； (2)这个游戏对小华和小强公平吗？请说明理由． 【答案】(1)列表见解析， (2)这个游戏规则不公平，见解析 【分析】（1）列表得出所有种可能的结果，从中找到小华获胜的结果，计算小华获胜的概率即可； （2）根据（1）的列表，从中找到小强获胜的结果，计算小强获胜概率，比较即可得出答案． 【详解】（1）解：列表如下 4 6 6 共有12种等可能的结果，其中，都是方程的解，共有，，，这4种结果， ∴小华获胜； （2）解：，都不是方程的解，共有，这2种结果， ∴小强获胜． ∵小华获胜小强获胜， ∴这个游戏规则不公平． 22．（2025·甘肃平凉·二模）随着中考的临近，为了给即将参加中考的学生加油鼓励，九年级（1）班的班长制作了一个如图所示质地均匀的转盘（转盘被平均分成四等份），再将“中考加油”四个字分别写在每个扇形上，让班上的每个同学自由转动两次转盘，转盘停止后，指针所指扇形区域内的字即为转出的字（若指针指向分割线，则不计次数，重新转动，直至指针指向某一扇形区域为止）． (1)该班的小敏同学转动一次转盘，转出的字为“考”属于______事件；（选填“必然”“随机”或“不可能”） (2)该班的小凡同学转动转盘两次，利用列表或画树状图的方法求小凡同学两次转出的字可以组成词语“中考”或“加油”的概率． 【答案】(1)随机 (2) 【分析】本题主要考查了事件的分类，利用列表或画树状图求概率等知识点，解题的关键是熟练掌握事件的分类和求概率的方法． （1）根据事件的分类进行判断即可； （2）画树状图进行求概率即可． 【详解】（1）解：该事件属于随机事件， 故答案为：随机； （2）解：画树状图如下： 由树状图可知共有16种等可能的结果，其中两次转出的字可以组成词语“中考”或“加油”的结果有4种， ∴P（小凡同学两次转出的字可以组成词语“中考”或“加油”． 23．（2025·甘肃陇南·二模）在一个不透明的袋子里装有2个红球和1个白球，小球除了颜色不同外其余都相同．从中任意摸出两个小球，摸到两个红球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了列表法与树状图法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．应用列表法，求出从布袋里摸出两个球，摸到两个红球的概率是多少即可． 【详解】解：列表如下： 红1 红2 白 红1 -- 红1红2 红1白 红2 红2红1 -- 红2白 白 白红1 白红2 -- ∵从布袋里摸出两个球的情况一共有6种，摸到两个红球的情况有2种， ∴摸到两个红球的概率是． 故选：A． 24．（2025·甘肃陇南·二模）一只不透明的袋子中装有2块白色橡皮、1块黑色橡皮，这些橡皮除颜色外都相同，搅匀后，甲、乙两名同学分别从中任意摸出1块橡皮，请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两名同学恰好摸到不同颜色橡皮的概率． 【答案】 【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率，熟练掌握用列表法或画树状图法求概率的方法是解题的关键． 画树状图，得到共有种得可能的结果，其中甲、乙两名同学恰好摸到不同颜色橡皮的结果有种，用概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意画树状图如下， 由树状图可知共有种等可能的结果，其中甲、乙两名同学恰好摸到不同颜色橡皮的结果有种， 甲、乙两名同学恰好摸到不同颜色橡皮的概率为． 25．（2025·甘肃陇南·二模）数学老师为了帮助班上的后进生进行“日日清”训练，每天为作业中有多处错误的同学设计A，B，C，D四份基础题，并将基础题写在背面完全相同且大小一样的四张卡片上，然后让这部分同学随机抽取卡片进行过关训练． (1)小明同学从A，B，C，D四份基础题中任选一份，选中A的概率是_____； (2)小明和小红分别从A，B，C，D四份基础题中随机抽取一份，求这两名同学恰好抽到同一份基础题的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查概率的应用，掌握通过列举法求概率的方法是解题关键． （1）直接由概率公式求解即可； （2）通过列表，共有16个等可能的结果，两位同学恰好抽到同一份基础题的结果有4个，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）小明同学从A，B，C，D四份基础题中任选一份，选中A的概率是 （2）列表如下： A B C D A （A，A） （B，A） （C，A） （D，A） B （A，B） （B，B） （C，B） （D，B） C （A，C） （B，C） （C，C） （D，C） D （A，D） （B，D） （C，D） （D，D） 由上表知，一共有16种等可能的结果，其中这两名同学恰好抽到同一份基础题的结果有4种． P（这两名同学恰好抽到同一份基础题）． 26．（2025·甘肃陇南·二模）一个不透明的袋子中装有4个分别标有化学元素符号，，，的小球（除元素符号外无其他差别），从袋子中随机摸出两个小球，则所选小球含“”的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：根据题意列表如下： H O C N H O C N 共有种等可能出现的结果，所选小球含“”的有6种， 所选小球含“”的概率为， 故选：D． 27．（2025·河南新乡·二模）某博物馆开设了A，B，C三个安检通道，甲、乙两人随机选择一个通道进入博物馆，则甲、乙从不同通道进入博物馆的概率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是利用列表法或树状图法求概率，列出正确的表格或树状图找出符合条件的可能结果是解题关键． 先列表得出所有等可能结果，从中找出符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意列表如下： 甲乙 A B C A AA AB AC B BA BB BC C CA CB CC 总的情况有9种，其中甲、乙从不同通道进入博物馆的情况有6种， 则甲、乙从不同通道进入博物馆的概率 ． 故答案为：． 28．（2025·甘肃陇南·二模）若从四个数中任意选择一个数记作，再从该四个数中任意选择一个数记作，则成立的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列表法求概率，正确列表成为解题的关键． 先根据题意列表确定所有等可能结果数以及满足题意的结果数，然后运用概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意列表如下：    ab 2 4 ， ，2 ， ，4 2 2， 2，2 2， 2，4 ， ，2 ， ，4 4 4， 4，2 4， 4，4 由列表可得共有16中等可能结果，其中满足有8种，则概率为． 故选C． 29．（2025·甘肃陇南·二模）为了全面推进素质教育，助力学生健康成长，公能学校开设了多门选修课程．其中南南和开开想从刺绣、糖画、国家疆土、巧匠工坊中选修一门课程，两名同学恰好选修同一门课程的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出他们两人恰好选修同一门课程的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：用、、、分别表示刺绣、糖画、国家疆土、巧匠工坊， 画树状图如图， 共有种等可能的结果，其中他们两人恰好选修同一门课程的结果数为， 所以他们两人恰好选修同一门课程的概率为：． 30．（2025·甘肃陇南·二模）“宫、商、角、徵、羽”是我国五声音调中五个不同音的名称，最早的“官商角徵羽”的名称见于距今2600余年的春秋时期，在《管子·地员篇》中，有采用数学运算方法获得“宫、商、角、徵、羽”五个音的科学办法，这就是中国音乐史上著名的“三分损益法”．某音乐玩具的大致结构如图所示，音乐小球从中间A处沿轨道进入周围的5个音槽内，就可以发出相应的声音，且小球每次进入每个音槽内的可能性均相同，现有一个音乐小球从A处先后两次进入音槽． (1)第一次发出“羽”音的概率为__________； (2)请用列表法或画树状图的方法求这两次先发出“角”音，再发出“徵”音的概率． 【答案】(1) (2)，画树状图见解析 【分析】本题考查概率公式以及利用树状图求概率； （1）利用概率公式解题即可； （2）先画出树状图，得到总情况总共有25种，再找出符合题意得情况即可求解． 【详解】（1）解：（1）总共有“宫、商、角、徵、羽”五个音， ∴第一次发出“羽”音的概率为， 故答案为：． （2）根据题意画树状图如下： 由树状图可知，共有25种等可能的结果，其中先发出“角”音，再发出“徵”音的结果只有1种， 先发出“角”音，再发出“徵”音的概率为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 统计与概率 题型概览 题型01 数据的收集与整理 题型02 数据分析 题型03 根据概率公式计算概率 题型04 列表法或树状图法求概率 ( 题型01 )数据的收集与整理 1．（2025·甘肃平凉·二模）习近平总书记指出：“谁能把握大数据、人工智能等新经济发展机遇，谁就把准了时代脉搏．”作为一项通用技术，人工智能已成为国际竞争的焦点．为检验高校计算机专业在人工智能方向的学科建设成效，加速培养适应新兴科技领域学术专业人才，某高校对计算机专业的学生进行人工智能算法应用能力测试，满分为100分，规定测试成绩不低于70分为达标．现随机选取了部分学生的测试成绩（单位：分），整理并制作成了如下不完整的图表： 成绩x/分 频数 频率 各组总分/分 9 600 36 2700 27 2300 1690 请根据上述信息解答下列问题： (1)补全频数分布直方图； (2)表中______，______； (3)若该校共有1000名学生参加此次测试，请你估计该校此次测试达标的学生人数． 2．（2025·甘肃陇南·二模）为实现绿色可持续发展，倡导低碳生活，某市的商场、超市等场所均有偿使用可降解塑料袋．某小区为了了解每户家庭每周有偿使用可降解塑料袋的个数，随机抽取了若干户家庭，并对所抽取家庭每周有偿使用可降解塑料袋的个数进行统计，绘制成如下两幅统计图，请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)补全条形统计图，本次所抽取家庭每周有偿使用可降解塑料袋的个数的众数是______； (2)求本次所抽取家庭每周有偿使用可降解塑料袋个数的平均数； (3)已知该小区共有800户家庭，请你估计该小区每周有偿使用可降解塑料袋个数不超过3个的家庭户数． 3．（2025·甘肃白银·二模）随着初中学业水平考试的临近，某校连续四个月开展了学科知识模拟测试，并将测试成绩整理、绘制了如图所示的统计图（四次参加模拟测试的学生人数不变），下列四个结论中，不正确的是（   ） A．共有500名学生参加模拟测试 B．从第1月到第4月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长 C．第3月增长的“优秀”人数比第2月增长的“优秀”人数多 D．第4月测试成绩“优秀”的学生人数为85 4．（2025·甘肃平凉·二模）为了贯彻落实党的二十大报告中提出的“推进文化自信自强，铸就社会主义文化新辉煌”的精神主旨，落实立德树人根本任务，切实提升学生人文素养与综合能力，某校开展了“书香沁心，悦读同行”为主题的系列读书活动．语文老师调查了全班同学的每月阅读不同种类书籍数量，并绘制了如图所示的统计图．下列说法错误的是（   ） A．该班同学阅读“艺术类”书籍的数量最少 B．该班同学阅读“历史类”书籍数量占 C．该班同学阅读“艺术类”书籍对应的扇形圆心角度数是 D．该班同学阅读“文学类”书籍的数量最多 5．（2025·甘肃陇南·二模）某校就“了解情况”对全校学生进行问卷测试．现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的测试成绩，并进行整理、描述和分析（成绩用表示，共分为四个等级：不了解；比较了解；了解；非常了解，下面给出部分信息： 八年级被抽取的学生测试成绩中“了解”的数据： 82，82，82，89； 九年级被抽取的学生测试成绩的数据： 63，64，78，78，78，80，84，86，92，95． 八、九年级被抽取的学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 82 九年级 79 根据以上信息，解答下列问题： (1)图表中______，______，______； (2)根据以上数据，你认为在此次阅卷测试中，该校哪个年级被抽取的学生对的了解程度更高，请说明理由（写出一条即可）； (3)该校八年级，九年级各800名学生，估计此次问卷测试中，这两个年级学生对 “非常了解”的共有多少名？ 6．（2025·甘肃陇南·二模）2025年春节，《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）横空出世，现已登顶全球动画电影票房榜，米小果同学为了了解这部电影在同学中的受欢迎程度，在初三年级随机抽取了10名男生和10名女生展开问卷调查（问卷调查满分为100分），并对数据进行整理，描述和分析（评分分数用表示，共分为四组：A：；B：；C：；D：，下面给出了部分信息： 10名女生对《哪吒2》的评分分数：67，77，79，83，89，91，98，98，98，100． 10名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：82，83，86 20名同学对《哪吒2》评分统计表 性别 平均数 众数 中位数 方差 满分占比 女生 88 a 90 112.2 10% 男生 88 100 b 200.2 50% 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的______________________，___________ (2)根据以上数据分析，你认为是女生更喜欢《哪吒2》还是男生更喜欢？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)我校初三年级有500名女生和600名男生去看过《哪吒2》，估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有多少人？ 7．（2025·甘肃陇南·二模）随着人工智能技术的不断突破，人形机器人行业备受关注，未来行业将持续保持高速发展．如图是某机构对2025～2030年全球人形机器人市场规模预测的数据： 根据预测数据，下列分析正确的是（   ） ①2025～2030年全球人形机器人市场规模逐年增长； ②2025～2030年全球人形机器人市场规模增长率逐年增大； ③2025～2030年全球人形机器人市场总规模超7000亿元； ④若保持与2030年相同的年增长率，到2032年全球人形机器人市场规模将超万亿元． A．①④ B．①② C．②③④ D．①②④ ( 题型02 )数据分析 8．（2025·甘肃兰州·二模）已知一组数据的平均数为4，方差是，则另一组数据的平均数和方差分别是（   ） A．4，5.2 B．8，6.4 C．10，12.8 D．12，16 9．（2025·甘肃白银·二模）某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进行现场打分，将甲、乙、丙三位选手得分数据整理如下： 【整理数据】 【分析数据】 平均数/分 中位数/分 方差 甲 8.8 0.56 乙 8.8 9 0.96 丙 8 0.96 (1)表中________，________． (2)从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适？请说明理由． (3)若去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为，则________．（填“”“”或“”） 10．（2025·甘肃陇南·二模）若一组数据1，2，5，3，，的平均数是2，则众数是 ． 11．（2025·甘肃陇南·二模）新课标要求“中小学生要学煮饭炖汤、种菜养禽、维修家电……”为了解“家务劳动”落实情况，某初级中学随机抽查30名学生每周平均家务劳动的时间，并将结果绘制成统计图如图所示（部分污损）．关于家务劳动时间的统计量中，与被污损数据无关的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 12．（2025·甘肃陇南·二模）广西水果全国产量第一，而蓬勃发展的快递业，为广西的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．火龙果种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家火龙果种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： a．配送速度得分： 甲：6、6、7、7、7、8、9、9、9、10 乙：6、7、7、8、8、8、8、9、9、10 c．配送速度和服务质量得分统计表： 统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 m 7 乙 8 8 7 b．服务质量得分统计图：    根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中的 ； （填“”“=”或“”)． (2)综合上表中的统计量，你认为小丽应选择哪家公司？请说明理由． 13．（2025·甘肃陇南·二模）某超市打算购进一批苹果，现从甲、乙两个供应商供应的苹果中各随机抽取10个，测得它们的直径（单位：mm），并制作统计图如下： 根据以上信息，解答下列问题： (1) 统计量供应商 平均数 中位数 众数 甲 80 80 乙 76 则__________，__________，__________． (2)苹果直径的方差越小，苹果的大小越整齐，据此判断，__________供应商供应的苹果大小更为整齐．（填“甲”或“乙”） (3)超市规定直径（含）以上的苹果为大果，超市打算购进甲供应商的苹果2000个，其中，大果约有多少个？ 14．（2025·甘肃陇南·二模）为弘扬向善、为善优秀品质，助力爱心公益事业，我校组织“人间自有真情在，爱心助力暖人心”慈善捐款活动，八年级全体同学参加了此次活动.随机抽查了部分同学捐款的情况，统计结果如图①和图②所示. (1)本次共抽查了________人；并补全上面条形统计图； (2)本次抽查学生捐款的中位数为________；众数为________； (3)全校有八年级学生1100人，估计捐款金额超过15元（不含15元）的有多少人？ 15．（2025·甘肃陇南·二模）为了帮助本市一名患“白血病”的高中生，某班15名同学积极捐款，他们捐款数额如表，关于这15名学生所捐款的数额，下列说法正确的是（　　） 捐款的数额（单位：元） 5 10 20 50 100 人数/人 2 4 5 3 1 A．众数是100 B．平均数是30 C．方差是20 D．中位数是20 16．（2025·甘肃陇南·二模）已知：一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是，那么另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数和方差分别是（　　） A．2， B．2，1 C．4， D．4，3 ( 题型03 )根据概率公式计算概率 17．（2025·甘肃陇南·二模）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，出现点数为偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 18．（2025·甘肃陇南·二模）在一个不透明的袋子里有3个白球和1个红球，除颜色外全部相同，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是（   ） A． B． C． D． 19．（2025·甘肃陇南·二模）“二十四节气”是中国农历中表示季节变迁的24个特定节令，不仅是指导农耕生产的时间体系，还蕴含着丰富的民俗文化和生活智慧．一个不透明的盒子中装了4张关于“二十四节气”的卡片（除了画面内容外其他都相同），其中有2张“霜降”，1张“惊蛰”，1张“小满”，从中随机摸出一张卡片，恰好是“霜降”的概率为（   ） A． B． C． D． 20．（2025·甘肃陇南·二模）某班共有50名同学，其中有2名同学只会用左手写字，其余同学都用右手写字．老师随机选1名同学上台板演，选中左手写字同学的概率是（   ） A．0 B． C． D．1 ( 题型0 4 )列表法或树状图法求概率 21．（2025·甘肃陇南·二模）如图，在甲、乙两个不透明的口袋内，分则有大小、材质完全相同的若干个小球，其中甲袋内的小球上分别标有数字，，4，6乙袋内的小球上分别标有数字，，6．把小华从甲袋内任意摸出的一个小球上的数字记作，把小强从乙袋内任意摸出的一个小球上的数字记作．若，都是方程的解，则小华获胜；若，都不是方程的解，则小强获胜． (1)请用画树状图或列表的方法，求小华获胜的概率； (2)这个游戏对小华和小强公平吗？请说明理由． 22．（2025·甘肃平凉·二模）随着中考的临近，为了给即将参加中考的学生加油鼓励，九年级（1）班的班长制作了一个如图所示质地均匀的转盘（转盘被平均分成四等份），再将“中考加油”四个字分别写在每个扇形上，让班上的每个同学自由转动两次转盘，转盘停止后，指针所指扇形区域内的字即为转出的字（若指针指向分割线，则不计次数，重新转动，直至指针指向某一扇形区域为止）． (1)该班的小敏同学转动一次转盘，转出的字为“考”属于______事件；（选填“必然”“随机”或“不可能”） (2)该班的小凡同学转动转盘两次，利用列表或画树状图的方法求小凡同学两次转出的字可以组成词语“中考”或“加油”的概率． 23．（2025·甘肃陇南·二模）在一个不透明的袋子里装有2个红球和1个白球，小球除了颜色不同外其余都相同．从中任意摸出两个小球，摸到两个红球的概率为（   ） A． B． C． D． 24．（2025·甘肃陇南·二模）一只不透明的袋子中装有2块白色橡皮、1块黑色橡皮，这些橡皮除颜色外都相同，搅匀后，甲、乙两名同学分别从中任意摸出1块橡皮，请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两名同学恰好摸到不同颜色橡皮的概率． 25．（2025·甘肃陇南·二模）数学老师为了帮助班上的后进生进行“日日清”训练，每天为作业中有多处错误的同学设计A，B，C，D四份基础题，并将基础题写在背面完全相同且大小一样的四张卡片上，然后让这部分同学随机抽取卡片进行过关训练． (1)小明同学从A，B，C，D四份基础题中任选一份，选中A的概率是_____； (2)小明和小红分别从A，B，C，D四份基础题中随机抽取一份，求这两名同学恰好抽到同一份基础题的概率． 26．（2025·甘肃陇南·二模）一个不透明的袋子中装有4个分别标有化学元素符号，，，的小球（除元素符号外无其他差别），从袋子中随机摸出两个小球，则所选小球含“”的概率是（   ） A． B． C． D． 27．（2025·河南新乡·二模）某博物馆开设了A，B，C三个安检通道，甲、乙两人随机选择一个通道进入博物馆，则甲、乙从不同通道进入博物馆的概率为 ． 28．（2025·甘肃陇南·二模）若从四个数中任意选择一个数记作，再从该四个数中任意选择一个数记作，则成立的概率为（  ） A． B． C． D． 29．（2025·甘肃陇南·二模）为了全面推进素质教育，助力学生健康成长，公能学校开设了多门选修课程．其中南南和开开想从刺绣、糖画、国家疆土、巧匠工坊中选修一门课程，两名同学恰好选修同一门课程的概率为 ． 30．（2025·甘肃陇南·二模）“宫、商、角、徵、羽”是我国五声音调中五个不同音的名称，最早的“官商角徵羽”的名称见于距今2600余年的春秋时期，在《管子·地员篇》中，有采用数学运算方法获得“宫、商、角、徵、羽”五个音的科学办法，这就是中国音乐史上著名的“三分损益法”．某音乐玩具的大致结构如图所示，音乐小球从中间A处沿轨道进入周围的5个音槽内，就可以发出相应的声音，且小球每次进入每个音槽内的可能性均相同，现有一个音乐小球从A处先后两次进入音槽． (1)第一次发出“羽”音的概率为__________； (2)请用列表法或画树状图的方法求这两次先发出“角”音，再发出“徵”音的概率． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$