专题11 几何压轴题（甘肃专用）-【好题汇编】2025年中考数学二模试题分类汇编

专题11 几何压轴题 一、单选题 1．（2025·甘肃·二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃·二模）如图1，在矩形中，动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动．设点的运动时间为，的面积为，图2是点运动过程中与之间函数关系的图象，则的长是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·甘肃·二模）如图，内接于，是的直径，点是的中点，连接，若，，则的长为（    ）． A．4 B．3 C． D． 4．（2025·甘肃·二模）如图，四边形是内接四边形，是的直径，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·甘肃·二模）小文在假期旅游时，看到了一个美丽的圆弧形门洞（如图），她对这个门洞进行了测量，测得圆弧上任意两点间的最大距离为2.4m，门洞最底部的两个端点A，B和圆弧上一点C构成的，则这个门洞的圆弧长为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·甘肃·二模）为半圆O的直径，现将一块含30°的直角三角板如图放置，30°角的顶点P在半圆上，斜边经过点B，一条直角边交半圆O于点Q．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（2025·甘肃·二模）一滑雪爱好者沿着坡度为的斜坡滑行了450米，则他下降的高度为 米． 8．（2025·甘肃·二模）如图，在中，是边上的高，，交的延长线于点E，交边的延长线于点F．若，，，则的长为 ． 9．（2025·甘肃·二模）已知等腰直角三角形和等腰直角三角形的直角顶点重合，．连接，将绕点在平面内旋转，旋转后的三角形为，若点是的中点，当三点共线时，线段的长为 ． 10．（2025·甘肃·二模）如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接．若，，则菱形的面积为 ． 11．（2025·甘肃平凉·二模）中国是个重视孝道的国家，“孝”是我国传统的美德．如图①是一块弘扬“孝”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，点、分别在、上，与都是以为圆心，、长分别为半径，圆心角，若，，则阴影部分的面积为 ．（结果保留） 12．（2025·甘肃·二模）一个圆锥的主视图是边长为的等边三角形，其侧面展开图的面积是 ． 13．（2025·甘肃·二模）如果一个正六边形的边心距的长度为，那么它的半径的长度为 ． 三、解答题 14．（2025·甘肃·二模）如图，在中，， (1)在边上找一个点，使得点到边的距离等于（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，求线段的长． 15．（2025·甘肃·二模）如图，都是的半径，． (1)求证：； (2)若，，求． 16．（2025·甘肃·二模）如图，是半圆的直径，点在的延长线上，切于点，，垂足为，连接． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 17．（2025·甘肃·二模）如图，是⊙O的直径，是弦，点是弧的中点，与交于点，是⊙O的切线，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 几何压轴题 一、单选题 1．（2025·甘肃·二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形与坐标、勾股定理、轴对称的性质．由勾股定理得，由折叠得，，则，由，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：，，， ，， ， 由折叠得，， ， ， ， 解得， ， 故选：D． 2．（2025·甘肃·二模）如图1，在矩形中，动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动．设点的运动时间为，的面积为，图2是点运动过程中与之间函数关系的图象，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查动点问题的函数图象．勾股定理的应用，根据函数图象，可知点表示时的面积为24，可以求出、的长，从而可以解答本题． 【详解】解：根据函数图象，可知点表示时的面积为24， ， ， ， 根据勾股定理． 故选：C． 3．（2025·甘肃·二模）如图，内接于，是的直径，点是的中点，连接，若，，则的长为（    ）． A．4 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆的基本性质、垂径定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．由圆的基本性质可得，如图：连接，由弧的中点、弧与圆周角的关系以及垂径定理可得、、，即，则；再证明是等边三角形即可证明结论． 【详解】解：∵是的直径，， ∴， 如图：连接、、，则， ∵点是的中点， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故选：B． 4．（2025·甘肃·二模）如图，四边形是内接四边形，是的直径，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形，根据圆周角定理得到，圆内接四边形的性质，得到，结合，求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是内接四边形，是的直径， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 5．（2025·甘肃·二模）小文在假期旅游时，看到了一个美丽的圆弧形门洞（如图），她对这个门洞进行了测量，测得圆弧上任意两点间的最大距离为2.4m，门洞最底部的两个端点A，B和圆弧上一点C构成的，则这个门洞的圆弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求弧长，圆周角定理，先求出圆弧所在圆的半径为，再求出所对的圆心角为，进而根据弧长公式即可得出答案． 【详解】解：∵圆弧上任意两点间的最大距离为 ∴圆弧所在圆的半径为， ∵洞最底部的两个端点A，B和圆弧上一点C构成的， ∴所对的圆心角为， ∴这个门洞的圆弧长为， 故选：B． 6．（2025·甘肃·二模）为半圆O的直径，现将一块含30°的直角三角板如图放置，30°角的顶点P在半圆上，斜边经过点B，一条直角边交半圆O于点Q．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，扇形的弧长公式，构造扇形求弧长是解题的关键． 连接，根据圆周角定理求的度数，根据扇形的弧长公式求解即可． 【详解】连接，如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：C． 二、填空题 7．（2025·甘肃·二模）一滑雪爱好者沿着坡度为的斜坡滑行了450米，则他下降的高度为 米． 【答案】225 【分析】本题主要考查勾股定理及坡比，熟练掌握勾股定理及坡比是解题的关键；设他下降的高度为x米，则有他滑行的水平距离为米，然后问题可求解． 【详解】解：设他下降的高度为x米， ∵斜坡的坡度为， ∴他滑行的水平距离为米， 由勾股定理得：， 解得：（负值舍去）， ∴他下降的高度为225米， 故答案为：225． 8．（2025·甘肃·二模）如图，在中，是边上的高，，交的延长线于点E，交边的延长线于点F．若，，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等角对等边等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图：作延长线于G，易得，则；设，则，根据勾股定理可得，即、；根据等角对等边可得；设，则，再根据勾股定理可得，即；由，即，设，则，，证明，根据相似三角形的性质列比例式可得，即；然后再根据正弦的定义求得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：作延长线于G， ∵是边上的高，即， ∴， ∴， ∵在中，， ∴设，则， ∵，即，解得：（舍弃负值）， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵在中，， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， 设，则，，， ∵， ∴， ∴，即，解得：（经检验不是增根）， ∴， ∵在中，， ∴在中，，即，解得：， ∴． 故答案为：． 9．（2025·甘肃·二模）已知等腰直角三角形和等腰直角三角形的直角顶点重合，．连接，将绕点在平面内旋转，旋转后的三角形为，若点是的中点，当三点共线时，线段的长为 ． 【答案】或 【分析】分点在之间和点在之间两种情况，分别画出图形，进行解答即可． 【详解】解：如图①，当点在之间时，延长到点G，使，连接，过点A作于点H， 由旋转可得，，，， ∴， ∵， ∴， 在中，∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵为的中点，， ∴， 如图②，当点在之间时，延长到点G，使，连接，过点A作于点H， 由旋转可得，，，， ∴， ∵， ∴， 在中，∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵为的中点，， ∴， 综上可知，为或， 故答案为： 或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质、旋转的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 10．（2025·甘肃·二模）如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接．若，，则菱形的面积为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，根据直角三角形斜边上的直线等于斜边的一半求出，根据菱形的性质求出，最后根据菱形的面积等于对角线之积的一半求解即可． 【详解】解：∵四边形D是菱形， ∴，，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：16． 11．（2025·甘肃平凉·二模）中国是个重视孝道的国家，“孝”是我国传统的美德．如图①是一块弘扬“孝”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，点、分别在、上，与都是以为圆心，、长分别为半径，圆心角，若，，则阴影部分的面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了求扇形的面积，解题的关键是掌握扇形的面积公式． 利用扇形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：（）， 故答案为：． 12．（2025·甘肃·二模）一个圆锥的主视图是边长为的等边三角形，其侧面展开图的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三视图，圆锥的侧面展开图，扇形的面积公式，熟练掌握扇形的面积计算公式是解题关键． 根据视图的意义得知此圆锥的侧面展开图为扇形，此扇形的面积公式为，为扇形的弧长，为扇形的半径，即扇形的母线长，分别代入即可求解． 【详解】解：根据题意，得：圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的半径为，底面圆的周常即弧长为， 这个圆锥的侧面展开图的面积为． 故答案为：． 13．（2025·甘肃·二模）如果一个正六边形的边心距的长度为，那么它的半径的长度为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查正多边形与圆，设正六边形的中心是O，一边是，过O作与G，在直角中，根据三角函数即可求得． 【详解】解：如图，过O作与G， ∵，， ∴， 在中，，， ∴， 故答案为：2． 三、解答题 14．（2025·甘肃·二模）如图，在中，， (1)在边上找一个点，使得点到边的距离等于（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，求线段的长． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】（1）作的角平分线即可； （2）由勾股定理求得，根据角平分线的性质得，即可求得，设，则，根据勾股定理建立方程，解方程即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求． （2）解：在中，， 过点作，垂足为， 由（1）可得：，， ， 设，则， 在中，， 解得：， ． 【点睛】本题考查了作图-角平分线，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． 15．（2025·甘肃·二模）如图，都是的半径，． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用圆周角定理即可证明； （2）作于点，作于点，利用三线合一性质得到，，得到，利用全等三角形的判定证出，得到，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， 又， ； （2）解：如图，作于点，作于点， ，， ，，， 由（1）得，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ． 16．（2025·甘肃·二模）如图，是半圆的直径，点在的延长线上，切于点，，垂足为，连接． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，等边对等角等等，熟知切线的性质和相似三角形的性质与判定定理是解题的关键。 （1）如图所示，连接，由切线的性质得到，则可证明，再由等边对等角和平行线的性质证明，即可证明平分； （2）先证明，求出，进而得到，则，再证明，利用相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：如图所示，连接， ∵是半圆的直径，切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，即， ． 17．（2025·甘肃·二模）如图，是⊙O的直径，是弦，点是弧的中点，与交于点，是⊙O的切线，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和圆周角定理． （1）连接、，如图，先根据切线的性质得到，根据圆心角、弧、弦的关系得到，再证明，然后利用∠得到，即可得出结论； （2）设的半径为r，则，在中利用勾股定理得到，然后解方程即可． 【详解】（1）证明：连接、，如图， ∵是的切线， ∴， ∴， 即， ∵点D是弧的中点，是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设的半径为r，则， 在中，∵，，， ∴， 解得， 即的半径为3． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$