专题10 二次函数压轴题（甘肃专用）-【好题汇编】2025年中考数学二模试题分类汇编

专题10 二次函数压轴题 一、单选题 1．（2025·甘肃陇南·二模）关于的二次函数的图象只经过一，二，四象限，则满足的条件是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃·二模）已知二次函数（是实数）．对于该二次函数图象上的两点，，当时，始终有成立．则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·甘肃·二模）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，顶点为，则下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 4．（2025·甘肃·二模）如图，已知开口向下的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．则下列结论：①；②；③；④抛物线上有两点和，若且，则．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2025·甘肃·二模）已知二次函数的图象如图所示，抛物线顶点坐标为．则下列结论：①；②；③；④；⑤（k为实数）有两个不等实根．正确的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．（2025·甘肃·二模）如图，二次函数的图像过点，对称轴为直线．现有下列结论：①；②；③若是抛物线上的两点，则当时，；④若方程的两个根为，且，则．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 7．（2025·甘肃·二模）如图所示，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度为，顶点M距水面（即），小孔顶点N距水面（即）．当水位上涨到刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，可以得出此时大孔的水面宽度是 m． 8．（2025·甘肃武威·二模）将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的表达式写成的形式为 ． 9．（2025·甘肃·二模）对于任意函数，定义当时，若函数值，称为此函数的不动点．例如函数，当时，则点为此函数的不动点．则二次函数的不动点为 ． 10．（2025·甘肃·二模）中，若，，则的最大值为 ． 11．（2025·甘肃·二模）年5月8日，商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．时分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为米时，两条水柱在物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口、到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点距地面 米．    12．（2025·甘肃·二模）原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，实心球从出手到着陆的过程中，它的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系． 小明进行了两次掷实心球训练． （1）第一次训练时，实心球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度y/m 根据上述数据，实心球竖直高度的最大值是 m； （2）第二次训练时，实心球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，记第一次训练实心球的着陆点的水平距离为，第二次训练实心球的着陆点的水平距离为，则 （填“”，“”或“”）． 13．（2025·甘肃·二模）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则 ． 三、解答题 14．（2025·甘肃·二模）2024年巴黎奥运会跳水比赛项目中，中国“梦之队”以8金2银1铜完美收官．如图，某跳水运动员进行3米跳板跳水比赛（看成一点）在空中运动的路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板长为2米，跳水曲线在离起跳点A水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)当时，求这条抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下，求运动员落水点与点C的距离； (3)图中米，米，若跳水运动员在区域内（含点E，F），求k的取值范围． 15．（2025·甘肃陇南·二模）已知抛物线：与轴相交于和两点，与轴相交于点．抛物线沿轴向右平移后的抛物线为，点、在上的对应点分别为、． (1)求点坐标； (2)若的面积等于的面积的2倍，请说明抛物线怎样沿轴平移得到抛物线． 16．（2025·甘肃·二模）如图，抛物线 经过点，与轴相交于，两点， （1）抛物线的函数表达式； （2）点在抛物线的对称轴上，且位于轴的上方，将沿沿直线翻折得到，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求点和点的坐标； （3）设是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点在抛物线的对称轴上，当为等边三角形时，求直线的函数表达式. 17．（2025·甘肃·二模）如图，直线y＝﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，经过B、C两点的抛物线y＝ax2+x+c与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)点E是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，当△BCE面积最大时，求出点M的坐标； (3)在（2）的结论下，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，A，M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点P的坐标：如果不存在，请说明理由． 18．（2025·甘肃·二模）已知抛物线与x轴有公共点． (1)当y随x的增大而增大时，求自变量x的取值范围； (2)将抛物线先向上平移4个单位长度，再向右平移n个单位长度得到抛物线（如图所示），抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．当OC＝OA时，求n的值； (3)D为抛物线的顶点，过点C作抛物线的对称轴l的垂线，垂足为G，交抛物线于点E，连接BE交l于点F．求证：四边形CDEF是正方形． 19．（2025·甘肃·二模）已知抛物线与直线在第一象限交于点，且． (1)求点的坐标及的值； (2)如图1，为抛物线上一点，轴交线段于点．若为等腰三角形，直接写出点的横坐标； (3)如图2，直线交抛物线于，两点，若平分，求的面积． 20．（2025·甘肃·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点E，其顶点为C，D是抛物线第四象限上一点． (1)求线段的长； (2)当时，若的面积是面积的两倍，求点D的坐标； (3)延长交x轴于点F，，试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 21．（2025·甘肃·二模）如图1，已知抛物线经过点，C，与y轴交于点A，顶点为D． (1)求该抛物线的表达式，并写出其顶点坐标； (2)如图2，连接，若点P为直线上方抛物线上的一个动点，且，求点P的横坐标； (3)当时，y的取值范围是，且，求a的值． 22．（2025·甘肃·二模）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，为第二象限内抛物线上一点，交于点，若与相似，求点的横坐标； (3)如图2，直线交抛物线于，两点，直线和交于点，若点在直线上，求的值． 23．（2025·甘肃定西·二模）如图1，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点、，点P是直线下方抛物线上一动点，分别连接． (1)求抛物线表达式； (2)当的面积是面积的2倍时，求点P的坐标； (3)将线段沿x轴的负方向平移得到，点A的对应点为点，点C的对应点为点，点Q为点A关于x轴的对称点，连接，在线段平移过程中，求的最小值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 二次函数压轴题 一、单选题 1．（2025·甘肃陇南·二模）关于的二次函数的图象只经过一，二，四象限，则满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．利用二次函数的性质，抛物线与轴有2个交点，对称轴为直线，且，而且与轴的交点不在负半轴上，故，然后解不等式组即可． 【详解】解：∵二次函数图象经过第一、二、四象限，对称轴为直线， ∴且， 解得或． 综上，， 故选：B． 2．（2025·甘肃·二模）已知二次函数（是实数）．对于该二次函数图象上的两点，，当时，始终有成立．则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数函数值的计算，函数值比较大小的方法是关键． 根据题意得到，根据成立，得到，，整理得，，令，所以，结合题意即可求解． 【详解】解：二次函数（是实数）化为一般式得， ， ∵函数图象上的两点，， ∴当时，， 当时，， ∵当时，始终有成立， ∴， ∴，整理得，， 令， ∵， ∴关于的二次函数图象开口向上，对称轴为直线； 当时，，当时，， ∵， 即， ∴， 解得，， ∵， ∴， 故选：C ． 3．（2025·甘肃·二模）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，顶点为，则下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点问题，根据二次函数的对称性求函数值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合图象开口向下，与轴交于正半轴，得，再根据对称轴为直线，则，故得，再得二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标为，则，结合二次函数的对称性得出关于直线对称的点为，根据二次函数的图象开口向下，则越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大，即可作答． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，与轴交于正半轴， ∴， ∴， 故①符合题意； ∵二次函数的图象与x轴交于点，顶点为， ∴对称轴为直线， ∴二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标为， 则把代入，得， 故②符合题意； ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， 则， ∴， 则， 故③不符合题意； 当时，， ∴二次函数与轴的交点坐标为 ∵二次函数的对称轴为直线， ∴关于直线对称的点为 ∵二次函数的图象开口向下， ∴越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大， ∵， 则． 故④符合题意； 故选：B． 4．（2025·甘肃·二模）如图，已知开口向下的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．则下列结论：①；②；③；④抛物线上有两点和，若且，则．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置判断①；由抛物线的对称性可判断②；由二次函数与方程的关系，以及根与系数的关系可判断③；由二次函数的性质可判断④． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线交轴于正半轴， ， ， ， ，故①正确； 抛物线对称轴为直线，时，， 时，， ，故②正确； 抛物线开口向下，对称轴为直线， ， ， ， 故③正确； 抛物线开口向下，对称轴为直线， 若且，则点到对称轴的距离小于到直线的距离， ，故不正确． 故选：C． 5．（2025·甘肃·二模）已知二次函数的图象如图所示，抛物线顶点坐标为．则下列结论：①；②；③；④；⑤（k为实数）有两个不等实根．正确的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数得图象与一次函数得图象之间的关系等知识；根据图象判断系数的符号，判断①；对称轴判断②；特殊值判断③；对称轴结合顶点坐标，以及特殊点，解不等式，判断④；图象法判断⑤． 【详解】解：∵抛物线的开口向上，顶点坐标为，与轴交于负半轴， ∴， ∴， ∴，故①正确，②错误； 由图象可知：当时，，故③错误； ∵， ∴， ∴， 由图象可知：当时：，解得：； 当时：，解得：， ∴，故④正确； ∵， ∴，此方程的根的个数可以通过观察与两个图象的交点个数， ∵，当时，， ∴直线必过点，如图： 由图可知：与两个图象必有两个交点， ∴有两个不相等的实数根，故⑤正确； 综上：正确的有3个； 故选B． 6．（2025·甘肃·二模）如图，二次函数的图像过点，对称轴为直线．现有下列结论：①；②；③若是抛物线上的两点，则当时，；④若方程的两个根为，且，则．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握相关知识是解题关键．由图像可知，该抛物线开口向下，与轴交于正半轴，易知，结合对称轴为直线，易得，即可判断结论①；首先确定该抛物线与轴的另一交点为，故当时，可有，易得，即可判断结论②；由抛物线的对称性可知，故当时，可得，即可判断结论③；若方程的两个根为，，则，为抛物线与直线的两个交点的横坐标，结合图形即可判断结论④． 【详解】解：由图像可知，该抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴， 又∵对称轴为直线， ∴， ∴，故结论①正确； ∵该抛物线过点，对称轴为直线， ∴该抛物线与轴的另一交点为， ∴当时，可有， ∴， ∴，故结论②错误； ∵是抛物线上的两点， ∴由抛物线的对称性可知， ∴当时，， 故结论③正确； ∵该二次函数图像与轴交于，， ∴， 若方程的两个根为，， 则，为抛物线与直线的两个交点的横坐标， ∵， ∴，故结论④正确． 综上所述，结论正确的有①③④，共计3个． 故选：C． 二、填空题 7．（2025·甘肃·二模）如图所示，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度为，顶点M距水面（即），小孔顶点N距水面（即）．当水位上涨到刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，可以得出此时大孔的水面宽度是 m． 【答案】 【分析】利用待定系数法求出大孔抛物线的解析式，然后根据NC的长即可求出点E、F的坐标，从而求出结论． 【详解】解：设大孔抛物线的解析式为， 把点解析式，得 ，解得， 因此大孔抛物线的解析式为； 由，可知点F的纵坐标为4， 代入解析式， 解得． 所以， 所以． 故答案为：． 【点睛】此题考查的是二次函数的应用，掌握实际问题中的等量关系和利用待定系数法求二次函数解析式是解决此题的关键． 8．（2025·甘肃武威·二模）将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的表达式写成的形式为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，涉及二次函数的一般式化为顶点式，二次函数的平移，熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键．先将化为顶点式，再利用左加右减，上加下减即可得出平移后的表达式． 【详解】解：， ∵先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∴平移后的抛物线的表达式为， 故答案为：． 9．（2025·甘肃·二模）对于任意函数，定义当时，若函数值，称为此函数的不动点．例如函数，当时，则点为此函数的不动点．则二次函数的不动点为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查二次函数与方程的关系，解题的关键是理解并掌握不动点的概念． 根据题意得出，代入函数求解即可． 【详解】解：根据题意得：当时，若函数值，称为此函数的不动点， 即， ∴ ，整理得：， 解得：或， ∴二次函数的不动点为或， 故答案为：或． 10．（2025·甘肃·二模）中，若，，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、一元二次方程根的判别式、二次函数的性质等知识点．过点作，交延长线于点，设，先利用直角三角形的性质、勾股定理可得，，再设，从而可得，然后在中，利用勾股定理可得一个关于的一元二次方程，利用方程根的判别式求解即可得． 【详解】解：如图，过点作，交延长线于点， 设， 在中，，， ，， 设，则， ， 在中，，即， 整理得：， 这个关于的一元二次方程有实数根， 此方程根的判别式，即， 解一元二次方程得：， 由二次函数的性质可知，当时，， 又， ， 的最大值为， 即的最大值为， 故答案为：． 11．（2025·甘肃·二模）年5月8日，商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．时分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为米时，两条水柱在物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口、到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点距地面 米．    【答案】 【分析】根据题意求出原来抛物线的解析式，从而求得平移后的抛物线解析式，再令求平移后的抛物线与轴的交点即可． 【详解】解：由题意可知： 、、， 设抛物线解析式为：， 将代入解析式， 解得：， ， 消防车同时后退米，即抛物线向左（右）平移米， 平移后的抛物线解析式为：， 令，解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式、函数图像的平移及坐标轴的交点；解题的关键是求得移动前后抛物线的解析式． 12．（2025·甘肃·二模）原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，实心球从出手到着陆的过程中，它的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系． 小明进行了两次掷实心球训练． （1）第一次训练时，实心球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度y/m 根据上述数据，实心球竖直高度的最大值是 m； （2）第二次训练时，实心球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，记第一次训练实心球的着陆点的水平距离为，第二次训练实心球的着陆点的水平距离为，则 （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】题考查了二次函数的图象和性质，掌握其顶点式中为其顶点坐标是解题关键． （1）利用抛物线的对称性求得对称轴，再根据开口方向即可解答； （2）求出第一次训练时的抛物线解析式，令，求出两次的成绩，然后比较解题即可． 【详解】解：（1）由表格可知和时，y值相等， ∴对称轴为：， ∴当时，实心球竖直高度的最大，最大值为， 故答案为：； （2）设第一次的函数解析式为， 把代入得：， 解得， ∴ 令，则， 解得：（舍去），， 令，则， 解得：（舍去），， 故答案为：． 13．（2025·甘肃·二模）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次函数平移规律，抛物线与x轴的交点，两点间的距离公式，解题关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式．根据二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式，然后令，列出关于x的方程，解方程求出x，再根据两点间的距离公式求出答案即可． 【详解】解：将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为： ， 令，则， 或， 解得：或， ， 故答案为：1． 三、解答题 14．（2025·甘肃·二模）2024年巴黎奥运会跳水比赛项目中，中国“梦之队”以8金2银1铜完美收官．如图，某跳水运动员进行3米跳板跳水比赛（看成一点）在空中运动的路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板长为2米，跳水曲线在离起跳点A水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)当时，求这条抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下，求运动员落水点与点C的距离； (3)图中米，米，若跳水运动员在区域内（含点E，F），求k的取值范围． 【答案】(1)故抛物线解析式为： (2)运动员落水点与点的距离为米 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用等知识点， 根据抛物线顶点坐标,结合，可设抛物线解析为：,将点代入即可得解； 依据题意，由求出函数解析式，再令,求出即可； 若跳水运动员在区域内(含点,)，则在函数中，当米,,当米时,解不等式即可得； 熟练掌握利用顶点式求出二次函数解析式并能准确判断入水的位置对应的抛物线上点的坐标特点是解决此题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，可得抛物线顶点坐标, , 可设抛物线解析为：, ,解得：, 故抛物线解析式为：； （2）解：根据题意，抛物线解析式为：, 令,则, 解得：(舍去)， 运动员落水点与点的距离为米； （3）解：根据题意，抛物线解析式为：, 将点代入可得：,即， 若跳水运动员在区域内(含点入水， 当时，,即,解得：, 当时，,即,解得：, 15．（2025·甘肃陇南·二模）已知抛物线：与轴相交于和两点，与轴相交于点．抛物线沿轴向右平移后的抛物线为，点、在上的对应点分别为、． (1)求点坐标； (2)若的面积等于的面积的2倍，请说明抛物线怎样沿轴平移得到抛物线． 【答案】(1)点的坐标为； (2)抛物线沿轴向右平移6或个单位得到抛物线 【分析】本题考查了待定系数法确定函数关系式，抛物线与x轴的交点坐标，平移的性质，三角形的面积公式，能熟练运用相关性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）设抛物线沿轴向右平移得到抛物线，根据平移可得，，则，，，根据三角形面积公式，列式计算可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线：与轴相交于和两点， ∴， 当时，， ∴点的坐标为； （2）解：设抛物线沿轴向右平移得到抛物线， ∴，， ∴，，， ∵的面积等于的面积的2倍， ∴，即， ∴或． 综上，抛物线沿轴向右平移6或个单位得到抛物线． 16．（2025·甘肃·二模）如图，抛物线 经过点，与轴相交于，两点， （1）抛物线的函数表达式； （2）点在抛物线的对称轴上，且位于轴的上方，将沿沿直线翻折得到，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求点和点的坐标； （3）设是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点在抛物线的对称轴上，当为等边三角形时，求直线的函数表达式. 【答案】（1）；（2）点坐标为点的坐标为；（3）直线的函数表达式为或. 【分析】（1）根据待定系数法确定函数关系式即可求解； （2）设抛物线的对称轴与轴交于点，则点的坐标为，. 由翻折得，求出CH’的长，可得，求出DH的长，则可得D的坐标； （3）由题意可知为等边三角形，分两种讨论①当点在轴上方时，点在轴上方，连接，，证出，可得垂直平分，点在直线上，可求出直线的函数表达式；②当点在轴下方时，点在轴下方，同理可求出另一条直线解析式. 【详解】（1）由题意，得 解得 抛物线的函数表达式为. （2）抛物线与轴的交点为， ，抛物线的对称轴为直线. 设抛物线的对称轴与轴交于点，则点的坐标为，. 上翻折得. 在中，由勾股定理，得.’ 点的坐标为，. . 由翻折得. 在中，. 点的坐标为. （3）取（2）中的点，，连接. ，. 为等边三角形， 分类讨论如下： ①当点在轴上方时，点在轴上方. 连接， ，为等边三角形， ，，. ， . , 点在抛物线的对称轴上， ， ， 又， 垂直平分. 由翻折可知垂直平分. 点在直线上， 设直线的函数表达式为， 则解得 直线的函数表达式为. ②当点在轴下方时，点在轴下方. ，为等边三角形， ，，. . . . ， . . 设与轴相交于点. 在中，. 点的坐标为， 设直线的函数表达式为， 则解得 直线的函数表达式为. 综上所述，直线的函数表达式为或. 【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质、三角函数、等边三角形的性质. 17．（2025·甘肃·二模）如图，直线y＝﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，经过B、C两点的抛物线y＝ax2+x+c与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)点E是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，当△BCE面积最大时，求出点M的坐标； (3)在（2）的结论下，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，A，M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点P的坐标：如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)M（2，）； (3)P（5，-）或（-3，-）或（-1，）． 【分析】（1）令y＝﹣x+3=0，则x=4，即点C（4，0），点B（0，3），则抛物线，将点C坐标代入上式，即可求解； （2）由，即可求解； （3）分当AM是平行四边形的一条边、AM是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）令y＝﹣x+3=0，，则x=4，当x=0时，y＝﹣×0 +3=3， 即点C（4，0），点B（0，3）， 则抛物线， 将点C坐标代入上式并解得：a=， 故抛物线的表达式为：； （2）设点，则点， ， ∵，故S△BCE有最大值， 此时x=2，故点M（2，）； （3）∵抛物线对称轴为直线x=1，C（4，0）, ∴A（-2，0）, 设点P（m，n），点Q（1，s）， ①当AM是平行四边形的一条边时， 当点P在对称轴的右侧时， 点M向左平移4个单位向下平移个单位得到A， 同理P（m，n）向左平移4个单位向下平移个单位得到Q（1，s）， 即m-4=1，解得：m=5，故点P（5，-）； 当点P在对称轴的左侧时， 同理可得点P（-3，-）； ②当AM是平行四边形的对角线时， AM的中点坐标为（0，），此坐标即为PQ的中点坐标， 即m+1=0，解得：m=-1， 故点P（-1，）； 综上，点P（5，-）或（-3，-）或（-1，）． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 18．（2025·甘肃·二模）已知抛物线与x轴有公共点． (1)当y随x的增大而增大时，求自变量x的取值范围； (2)将抛物线先向上平移4个单位长度，再向右平移n个单位长度得到抛物线（如图所示），抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．当OC＝OA时，求n的值； (3)D为抛物线的顶点，过点C作抛物线的对称轴l的垂线，垂足为G，交抛物线于点E，连接BE交l于点F．求证：四边形CDEF是正方形． 【答案】(1) (2)n＝2 (3)见解析 【分析】（1）根据抛物线与轴由公共点，可得，从而而求出的值，进而求得抛物线对称轴，进一步得到结果； （2）根据图像平移的特征可求出平移后抛物线的解析式，根据和分别得出点和的坐标，根据列出方程，进而求的结果； （3）从而得出点、点的坐标，由抛物线的解析式可得出点的坐标和点的坐标，进而求得的解析式，从而得出点的坐标，进而得出，进一步得出结论． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴有公共点， ∴ ∴∴． ∴， ∴， ∵， ∴当时，y随着x的增大而增大． （2）解：由题意，得， 当y＝0时，， 解得：或， ∵点A在点B的右侧， ∴点A的坐标为（1+n，0），点B的坐标为（－3+n，0）． ∵点C的坐标为（0，－n2 +2n+3）， ∴n+1＝－n2+2n+3． 解得：n＝2或n＝－1（舍去）． 故n的值为2. （3）解：由（2）可知：抛物线C2的解析式为y＝－（x－1）2+4． ∴点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（－1，0） 点C的坐标为（0，3），点D的坐标为（1，4）， 抛物线C2的对称轴是直线x＝1， ∵点E与点C关于直线x＝1对称， ∴点E的坐标为（2，3）． ∴点G的坐标为（1，3）． 设直线BE解析式为y＝kx+b， ∴ 解得： ∴y＝x+1． 当x＝1时，y＝1+1＝2．点F的坐标为（1，2）． ∴FG＝EG＝DG＝CG＝1． ∴四边形CDEF为矩形． 又∵CE⊥DF， ∴四边形CDEF为正方形． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，求一次函数的解析式，平移图像的特征，正方形的判定，解决问题的关键是平移前后抛物线解析式之间的关系． 19．（2025·甘肃·二模）已知抛物线与直线在第一象限交于点，且． (1)求点的坐标及的值； (2)如图1，为抛物线上一点，轴交线段于点．若为等腰三角形，直接写出点的横坐标； (3)如图2，直线交抛物线于，两点，若平分，求的面积． 【答案】(1)点的坐标为， (2)点的横坐标为3或4或 (3) 【分析】（1）根据题意设，过点作轴，则，由勾股定理可得，可求得点的坐标为，再利用待定系数法可求得的值； （2）由（1）可知抛物线为，设，由题意得，且，则，，，分三种情况：当时，即，当时，即，当时，即，分别列出方程即可求解； （3）过点作轴，由（1）可知，，令直线与轴，轴分别交于点，点，与交于点，则，则平分，先证明，得，过点作轴，过点作轴，则，得证，可知，，而直线交抛物线于，两点，得，解得：，由，可知，即，解得，可得，则，再根据即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与直线在第一象限交于点， ∴设，过点作轴，则， 由勾股定理可得， ∵， ∴，即点的坐标为， 将代入，得， 解得：； （2）由（1）可知抛物线为， 设， ∵轴交线段于点， ∴，且， 则，， 当时，即， ∴，解得：（或5不符题意，应舍去） 当时，即， ∴，解得：（不符题意，应舍去） 当时，即， ∴，解得：（或不符题意，应舍去） 综上，点的横坐标为3或4或； （3）过点作轴，由（1）可知， ∴， 令直线与轴，轴分别交于点，点，与交于点， 则，则平分， ∴，，则， ∵平分， ∴，则 ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作轴，过点作轴，则， ∴， ∴，， 而直线交抛物线于，两点， ∴，整理得， 解得：， 即，， ∴，， ∵， ∴，即 解得， ∴，直线的解析式为， 当时，，当时，， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析，图形与坐标，等腰三角形，勾股定理，全等三角形的判定及性质等知识点，理解题意，分类讨论，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 20．（2025·甘肃·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点E，其顶点为C，D是抛物线第四象限上一点． (1)求线段的长； (2)当时，若的面积是面积的两倍，求点D的坐标； (3)延长交x轴于点F，，试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)直线恒过定点 【分析】（1）令，则，从而可得，求解得出、的坐标，即可得解； （2）求出，连接、、、，作轴于，轴交于，设点的坐标为，则，求出，表示出，求出直线的解析式为，从而可得，求出，表示出，结合题意得出，解方程即可得解； （3）求出，，作轴于，设，则，求出，，由等腰三角形的性质可得，得出，从而可得，求出直线的解析式为，进而可得，得出方程，解方程得出，即，求出直线的解析式为，即可得解． 【详解】（1）解：在中，令，则， ∴， 解得：，， ∴，， ∴； （2）解：当时，， ∴， 如图，连接、、、，作轴于，轴交于， ， 设点的坐标为，则， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵的面积是面积的两倍， ∴， 整理得：， 解得：或， ∵， ∴，此时， ∴； （3）解：∵， ∴， 在中，当时，，故， 如图：作轴于， ， 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，则， 解得：， ∴， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴直线恒过定点． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的应用、等腰三角形的性质、三角形面积公式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 21．（2025·甘肃·二模）如图1，已知抛物线经过点，C，与y轴交于点A，顶点为D． (1)求该抛物线的表达式，并写出其顶点坐标； (2)如图2，连接，若点P为直线上方抛物线上的一个动点，且，求点P的横坐标； (3)当时，y的取值范围是，且，求a的值． 【答案】(1)，； (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）两点式写出函数解析式，转化为顶点式，求出顶点坐标即可； （2）取的中点，连接，过点作的平行线，交轴于点，求出的坐标，将直线向上平移个距离，平移后的直线与抛物线的交点即为点，进行求解即可； （3）根据二次函数值的增减性，分2种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，C， ∴， ∵， ∴顶点坐标为：； （2）∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 取的中点，连接，过点作的平行线，交轴于点，则：， ∵， ∴， ∴点到的距离等于点到的距离， 由（1）知：， ∴， ∴设直线的解析式为：， 把代入，得：，解得：， ∴，当时，， ∴， ∴， ∴将直线向上平移2个单位得到，点即为直线与抛物线的交点， 令，解得：或； 故点的横坐标为：； （3）∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，当时，有最小值为， ∵， ∴当时，，当时，， ∵， ∴当时，，解得：或（舍去）； 当时，则：，解得：（舍去）或； 综上：或． 22．（2025·甘肃·二模）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，为第二象限内抛物线上一点，交于点，若与相似，求点的横坐标； (3)如图2，直线交抛物线于，两点，直线和交于点，若点在直线上，求的值． 【答案】(1) (2)点的横坐标为或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）分两种情况：当时，；当时，；分别求解即可； （3）设，，，由题意可得轴，抛物线的对称轴为直线，从而可得，，求出直线的解析式为，同理可得直线的解析式为，结合题意可得，由①可得，由②可得，从而得出，整理可得，即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，令，则，即， ∵，， ∴，，， ∴为等边三角形，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 连接、， ∵与相似， ∴当时，， ∴， ∴设直线的解析式为， 将代入解析式可得， ∴直线的解析式为， 联立可得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 此时点的横坐标为； 当时，，即， ∴， 过点作于，则为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将代入解析式可得， ∴， ∴直线的解析式为， 联立可得， 解得：，（不符合题意，舍去）； 此时点的横坐标为； 综上所述，点的横坐标为或； （3）解：设，，， 由题意可得轴，抛物线的对称轴为直线， ∴，， 设直线的解析式可得， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， ∵直线和交于点， ∴， 由①可得：，由②可得：， ∴， 整理可得： ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、求一次函数的解析式、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 23．（2025·甘肃定西·二模）如图1，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点、，点P是直线下方抛物线上一动点，分别连接． (1)求抛物线表达式； (2)当的面积是面积的2倍时，求点P的坐标； (3)将线段沿x轴的负方向平移得到，点A的对应点为点，点C的对应点为点，点Q为点A关于x轴的对称点，连接，在线段平移过程中，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，等腰三角形的定义等知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键， （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出，进而求出直线的解析式为；设，，则，求出，得到，解方程即可得到答案； （3）先根据题意作图，由平移的性质可知，，，则的值最小就是的最小值， 如图，作出点关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接，则此时取得最小值，即为的长度，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：将，代入，得 ， 解得，   抛物线的解析式为； （2）解：过点作轴于点，交线段于点， 由可知， 设直线的解析式为， 将，代入，得 ， 解得， 直线的解析式为；      设点的横坐标为， 则，， ， ，， 解得， ， ； （3）解：设抛物线沿轴的负方向平移个单位长度得到，将点向右平移个单位长度得到点，作出图形如下： 由平移的性质可知，，， 的值最小就是的最小值， 显然点在直线上运动， 如图，作出点关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接，则此时取得最小值，即为的长度． 点关于直线对称的对称的点是，， ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$