精品解析：山东省曲阜鲁韵教育培训学校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

鲁韵学校2024-2025学年度第二学期期中考试 高二数学试 （满分：150分 时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm的黑色笔迹签字笔写在答题卡上，写在本试卷上无效. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若函数，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，所以. 2. 已知等比数列的前项和为，且，则（ ） A. 36 B. 54 C. 28 D. 42 【答案】D 【解析】 【分析】利用等比数列前项和公式整体代入计算即可求得. 【详解】根据题意设等比数列的首项为，公比为，易知； 由可得， 两式相除可得，即； 所以. 故选：D 3. 设曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求出函数在处的导数，从而求出切线的斜率，再根据两直线垂直建立等式关系，解之即可． 【详解】 曲线在点处的切线方程是，即 因为直线与直线垂直 ，即2． 故选：B 4. 函数在上是（ ） A. 偶函数、增函数 B. 奇函数、减函数 C. 偶函数、减函数 D. 奇函数、增函数 【答案】B 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性. 【详解】定义域为， 且，所以为奇函数， 又恒成立（不恒为），所以在上单调递减. 故选：B 5. 如图是函数的导函数的图象，下列结论正确的是（ ） A. 在处取得极大值 B. 是函数的极值点 C. 是函数的极小值点 D. 函数在区间上单调递减 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数的正负即可求解的单调性，即可结合选项逐一求解. 【详解】由图象可知：当时，单调递减，当时，单调递增， 故是函数的极小值点，无极大值. 故选：C 6. 函数在区间的极大值、极小值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】求出，由、可得答案． 【详解】由题意，得， 当时，，； 当时，，． 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减． 当时，取得极小值，为； 当时，取得极大值，为． 故选：D． 7. 已知函数的定义域为且导函数为，如图是函数的图像，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的增区间是 B. 函数的减区间是 C. 是函数的极小值点 D. 是函数的极小值点 【答案】D 【解析】 【分析】由已知易得的单调区间，进而可判断在时取得极小值，在时取得极大值，可得结论. 【详解】由图及题设，当时，； 当； 当时，； 当时，； 即函数在和上单调递增，在上单调递减， 因此函数在时取得极小值，在时取得极大值； 故A，B，C错，D正确. 故选：D. 8. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由导数与函数的单调性的关系结合条件可得在上恒成立，由此可得在区间上恒成立，求函数的值域可得的取值范围. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 令， 则， 所以在上递增，又， 所以. 所以的取值范围是. 故选：B 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.选对得分，选错、少选不得分） 9. 设函数，若恒成立，则实数的可能取值是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】CD 【解析】 【分析】求导，讨论单调性，用导数法求得函数的最小值.根据恒成立，由求解 即可. 【详解】，，令，得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以时，函数取得最小值. 因为恒成立，可得，且，即. 设，故， 故单调递减， 且，， 可得实数的所有可能取值1，2，3. 故选：CD. 10. 已知数列，记的前项和为，下列说法正确的是（ ） A. B. 是一个等差数列 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】观察法求出可判断A；求出的通项公式可判断 B；由可判断C；计算出可判断D. 【详解】对于A，数列的通项公式，故A错误； 对于B，，故是一个等差数列，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D， ， 故D正确. 故选：BD. 11. 设，且，则下列关系式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】首先求出，再分别构造函数，结合导数，利用函数单调性一一分析即可. 【详解】由于，知，及其，则，解得， 对AB，，设函数，， 故在上单调递减，则1，即，故A对B错； 对C，由于，设，， 故在上单调递减，，故， 若，故C对； 对D，，设，， 令，则，则，，则，， 则在上单调递增，在上单调递减，，故，即，故D错误. 故选：AC. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上） 12. 若函数的导函数为，且满足，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】先求导，然后代入求出，进而可得，接着代入计算即可. 【详解】由得， 所以，得， 所以， 所以. 故答案为：. 13. 已知等差数列中，，则数列的前8项和等于______. 【答案】72 【解析】 【分析】利用等差数列的求和公式可得答案. 【详解】因为， 故答案为：72 14. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围是______． 【答案】（ 【解析】 【分析】求出转化为在区间上恒成立，再构造函数，结合导数，求在区间上的最小值可得答案. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 令，则， 所以在上递增，又，所以．所以的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】思路点睛：求出分离常数，利用构造函数法，结合导数，求得参数的取值范围. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．第15题13分、16、17题各15分，第18、19题各17分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 求下列函数的极值： （1）； （2）. 【答案】（1）极小值1，无极大值 （2）极小值3，无极大值 【解析】 【分析】求出函数的定义域、导函数，根据导函数的正负判断函数的单调性即可求出函数的极值. 【小问1详解】 ， 令，得或. 当变化时，的变化情况如下表： 0 1 0 0 + 单调递减 2 单调递减 1 单调递增 当时，有极小值，为，无极大值； 【小问2详解】 函数的定义域为， 令，得. 当变化时，的变化情况如下表： 1 0 + 单调递减 3 单调递增 从表中可以看出，当时，函数有极小值，为无极大值. 16. 已知数列的前项和为. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用数列的通项和前n项和的关系求解； （2）利用裂项相消法即可求解. 【小问1详解】 解：且，有， 当时，有， 两式相减得， 当时，由，适合， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以 . 17. 已知函数在和处取得极值． （1）求的值. （2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1），. （2）. 【解析】 【分析】（1）求导，根据极值点列方程组求参数即可. （2）由（1）判断的单调性并确定最值，结合不等式恒成立求参数范围. 【小问1详解】 由，可得， 由在和处取得极值，可得，，解得，. 代入检验，可得，令，解得，. 所以时，，函数单调递增， 时，，函数单调递减， 时，，函数单调递增， 所以是的极大值点，是的极小值点，符合题意. 所以，. 【小问2详解】 由（1）可得，在单调递减，在单调递增. 要使对任意，不等式恒成立，只需恒成立，即大于的最大值. 令，显然在单调递减，在单调递增，所以. 所以，解得或. 所以c的取值范围为. 18. 已知函数，其中参数． （1）求函数的单调区间； （2）设函数，存在实数，使得不等式成立，求a的取值范围． 【答案】（1）当时，减区间是；当时，增区间是，减区间是. （2） 【解析】 【分析】（1）求导，对分类讨论求解单调区间； （2）不等式成立，转化为，然后求解函数的最大与最小值列出不等式求解． 【小问1详解】 ， （1）当时，，，的减区间是． （2）当时，，的减区间是． （3）当时，，，的增区间是， ，的减区间是． 综上，当时，减区间是；当时，增区间是，减区间是. 【小问2详解】 ，，因为存在实数，使得不等式成立， ， ，，,，，单减，，，单增． ． ，，，． 19. 已知函数. （1）若函数有两个零点，求的取值范围； （2）设是函数的两个极值点，证明：. 【答案】（1） （2） 因为是函数的两个极值点， 所以，由（1）可知：，不妨设， 要证明，只需证明，显然， 由（2）可知：当时，单调递增，所以只需证明， 而，所以证明即可， 即证明函数在时恒成立， 由， 显然当时，，因此函数单调递减， 所以当时，有，所以当时，恒成立，因此命题得以证明. 【解析】 【分析】（1）根据函数零点定义，结合常变量分离法、构造函数法，结合导数的性质进行求解即可； （2）根据所证明不等式的结构特征，构造新函数，结合导数的性质进行求解即可. 【小问1详解】 ， 该方程有两个不等实根，由， 所以直线与函数的图象有两个不同交点， 由， 当时，单调递减， 当时，单调递增，因此， 当时，，当，， 如下图所示： 所以要想有两个不同交点，只需，即的取值范围为； 【小问2详解】 略 【点睛】关键点睛：常变量分离构造新函数，利用新函数的单调性求解证明是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鲁韵学校2024-2025学年度第二学期期中考试 高二数学试 （满分：150分 时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm的黑色笔迹签字笔写在答题卡上，写在本试卷上无效. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若函数，则（ ） A. 0 B. C. D. 2. 已知等比数列的前项和为，且，则（ ） A. 36 B. 54 C. 28 D. 42 3. 设曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 函数在上是（ ） A. 偶函数、增函数 B. 奇函数、减函数 C. 偶函数、减函数 D. 奇函数、增函数 5. 如图是函数的导函数的图象，下列结论正确的是（ ） A. 在处取得极大值 B. 是函数的极值点 C. 是函数的极小值点 D. 函数在区间上单调递减 6. 函数在区间的极大值、极小值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 已知函数的定义域为且导函数为，如图是函数的图像，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的增区间是 B. 函数的减区间是 C. 是函数的极小值点 D. 是函数的极小值点 8. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.选对得分，选错、少选不得分） 9. 设函数，若恒成立，则实数的可能取值是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 10. 已知数列，记的前项和为，下列说法正确的是（ ） A. B. 是一个等差数列 C. D. 11. 设，且，则下列关系式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上） 12. 若函数的导函数为，且满足，则__________． 13. 已知等差数列中，，则数列的前8项和等于______. 14. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围是______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．第15题13分、16、17题各15分，第18、19题各17分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 求下列函数的极值： （1）； （2）. 16. 已知数列的前项和为. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 17. 已知函数在和处取得极值． （1）求的值. （2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 18. 已知函数，其中参数． （1）求函数的单调区间； （2）设函数，存在实数，使得不等式成立，求a的取值范围． 19. 已知函数. （1）若函数有两个零点，求的取值范围； （2）设是函数的两个极值点，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $