第10周 椭圆-【周测必刷】2025-2026学年高二数学选择性必修1+2（人教A版2019）

— 38 — 第十周 椭圆 (时间:60分钟 满分:100分) 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀦌 􀦌 􀦌􀦌 周推好题 第8题.该题主要考查由椭圆的几何性质求标准方程,考查了考生分类讨论思想,从 而提高学生综合分析问题的能力,值得推荐. 【考点·一应俱全】(共60分) 考点一 椭圆的定义 1.下列说法中,正确的是 ( ) A.到点 M(-3,0),N(3,0)的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆 B.到点 M(0,-3),N(0,3)的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C.到点 M(-3,0),N(3,0)的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 D.到点 M(0,-3),N(0,3)的距离相等的点的轨迹是椭圆 2.(多选)设定点F1(0,-3),F2(0,3),动点P 满足|PF1|+|PF2|=a+ 9 a (a>0,a为常数),则点P 的轨迹可能是 ( ) A.圆 B.线段 C.椭圆 D.直线 考点二 椭圆的标准方程 3.(2025·重庆·质量检测)求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0); (2)两个焦点的坐标分别是(0,-2),(0,2),并且椭圆经过点 -32 ,5 2 ; (3)经过点P 13 ,1 3 ,Q0,-12 . 考点三 椭圆的焦点三角形 4.已知椭圆x 2 16+ y2 12=1 的左焦点是F1,右焦点是F2,点P 在椭圆上,如果线段PF1 的中点在y轴 上,那么|PF1|∶|PF2|= ( ) A.3∶5 B.3∶4 C.5∶3 D.4∶3 5.已知P 为椭圆x 2 12+ y2 3=1 上一点,F1,F2 分别是椭圆的左、右焦点,∠F1PF2=60°,求△F1PF2 的 面积. 考点四 椭圆的几何性质 6.设椭圆方程mx2+4y2=4m(m>0)的离心率为12 ,试求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标及顶点 坐标. 考点五 由椭圆的几何性质求标准方程 7.已知椭圆的对称轴是坐标轴,O为坐标原点,F是一个焦点,A 是一个顶点,椭圆的长轴长为6,且 cos∠OFA=23 ,则椭圆的标准方程是 . 8.(2025·天津滨海新区·阶段练习)求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)椭圆过点(3,0),离心率e= 63 ; (2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为8; (3)经过点 M(1,2),且与椭圆x 2 12+ y2 6=1 有相同的离心率. 考点六 求椭圆的离心率 9.已知椭圆x 2 9+ y2 16=1 ,则椭圆的离心率e= . 10.(2025·聊城·阶段练习)设椭圆C:x 2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P 是椭圆 C 上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则椭圆C的离心率为 . 考点七 实际生活中的椭圆问题 11.(多选)中国的“嫦娥四号”探测器,简称“四号星”,是世界首个在月球背面软着陆 和巡视探测的航天器.如图所示,现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后,在 月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之 后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用 2c1 和2c2 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用2a1 和2a2 分别表示椭圆轨道Ⅰ和 Ⅱ的长轴长,则下列式子正确的是 ( ) A.a1+c1=a2+c2 B.a1-c1=a2-c2 C. c1 a1 < c2 a2 D. c1 a1 > c2 a2 — 37 — — 40 — 考点八 直线与椭圆的位置关系 12.(2025·天津滨海新区·阶段练习)直线y=kx-k与椭圆x 2 9+ y2 4=1 的位置关系为 ( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 考点九 中点弦问题 13.(2025·广东韶关·阶段练习)已知椭圆x 2 16+ y2 4=1 的弦AB 的中点M 的坐标为(2,1),则直线 AB 的方程为 . 【探究·一举突破】(共15分) 探究主题 直线与椭圆的最短距离问题 已知椭圆x 2 4+ y2 7=1 ,直线l:3x-2y-16=0. 探究问题: 在椭圆x 2 4+ y2 7=1 上求一点P,使它到直线l:3x-2y-16=0的距离最短,并求出最短距离. 【综合·一练到底】(共25分) 1.(多选)(2025·成都·阶段练习)已知P 是椭圆E:x 2 8+ y2 4=1 上一点,F1,F2 是椭圆E 的左、右焦 点,且△F1PF2 的面积为3,则下列说法正确的是 ( ) A.点P 的纵坐标为3 B.∠F1PF2> π 2 C.△F1PF2 的周长为4(2+1) D.△F1PF2 的内切圆半径为 3(2-1) 2 2.设F1,F2 分别是椭圆E: x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)的左、右焦点,过点F1 的直线交椭圆E 于A,B 两 点,|AF1|=3|F1B|. (1)若|AB|=4,△ABF2 的周长为16,求|AF2|; (2)若cos∠AF2B= 3 5 ,求椭圆E 的离心率. 3.(2025·深圳·阶段练习)如图,某市新城公园将在长34米、宽30米的矩形 地块内开凿一个水池,水池边缘由两个半椭圆x 2 a2 +y 2 b2 =1(x≤0)和y 2 b2 +x 2 81= 1(x≥0)组成,其中a>b>9,水池边缘内切于矩形(即水池边缘与矩形各边 均有且只有一个公共点). (1)求两个半椭圆的方程; (2)在该水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼,若该矩形网箱的一条边所在直线方程为y=t(t∈(0, 15)),求该网箱所占水面面积的最大值. 【选做·一飞冲天】(尖子生选做) (2025·西安·阶段练习)椭圆E:x 2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)经过点A(-2,0),且离心率为 22. (1)求椭圆E 的方程; (2)过点P(4,0)任作一条直线l与椭圆C 交于不同的两点M,N.在x轴上是否存在点Q,使得 ∠PQM+∠PQN=180°? 若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由. 【错题重做】 错因 基础不牢 题意不明 思路不对 理解不够 分析不透 方法不对 根本不会 其他原因 题号 题号 题号 — 39 — —96 — 则S四边形ASBT= 1 2×4×|x1-x2| =2 (x1+x2)2-4x1x2 =2 4k 2 (1+k2)2+ 12 1+k2 =4 4k 2+3 (1+k2)2 , 令m=1+k2,则m≥1, 则 4k 2+3 (1+k2)2 =4m-1 m2 =- 1m-2 2 +4≤3, 当m=1,即k=0时,取得最大值, ∴当直线AB 的方程为y=1时,四边形ASBT 面积有最大值,为 4 3. 【选做·一飞冲天】 解 (1)设圆C2 的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0), 因为圆C1 的方程为 x- 9 2 2 +y2=10, 所以圆C1 的圆心坐标为C1 9 2 ,0 , 因为圆C2 与圆C1 外切于点 N 3 2 ,1 , 所以圆C2 的圆心在直线C1N 上, 因为直线C1N 的方程为y=- 1 3 x- 9 2 , 所以b=-13 a- 9 2 , 因为圆C2 过点 M 1 2 ,3 , 且与圆C1 外切于点 N 3 2 ,1 , 所以 b=-13 a- 9 2 , 1 2-a 2 +(3-b)2=r2, 3 2-a 2 +(1-b)2=r2, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得 a=0, b=32 , r= 102 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 所以圆C2 的方程为x2+ y- 3 2 2 =52. (2)如图,设直线 m 的方程为y=2x+t(t> 0), 则A -t2 ,0 ,B(0,t), 因为圆C2 的方程为x2+ y- 3 2 2 =52 , 所以 圆 C2 与 y 轴 正 半 轴 的 交 点 的 坐 标 为 0, 10+32 , 因为直线m 交圆C2 在第二象限的部分于E,F 两点, 所以圆心C2 0, 3 2 到直线m 的距离满足 t-32 5 < 102 且t> 10+32 , 所以 10+3 2 <t< 5 2+3 2 ,① 因为△AOE 与△BOF 的面积相等, 则AE=BF,所以EF,AB 的中点重合. 所以EF 的中点D -t4 ,t 2 , 因为C2D⊥EF,C2 0, 3 2 , 所以kC2D ·kEF=-1,即 t 2- 3 2 -t4 ×2=-1, 解得t=4满足①式, 所以直线m 的方程为y=2x+4,即2x-y+4=0. 第十周 椭圆 【考点·一应俱全】 1.C [由椭圆的定义知,C正确.] 2.BC 3.解 (1)因为椭圆的焦点在y轴上, 所以设它的标准方程为y 2 a2 +x 2 b2 =1(a>b>0). 又椭圆经过点(0,2)和(1,0), 所以 4 a2+ 0 b2=1 , 0 a2+ 1 b2=1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 a 2=4, b2=1. 所以所求的椭圆的标准方程为y 2 4+x 2=1. (2)方法一 由题意得椭圆的焦点在y轴上, 所以设它的标准方程为y 2 a2 +x 2 b2 =1(a>b>0), 由椭圆的定义知, 2a= -32 2 + 52+2 2 + -32 2 + 52-2 2 =2 10, 即a= 10, 又c=2,所以b2=a2-c2=6, 所以所求椭圆的标准方程为y 2 10+ x2 6=1. 方法二 由题意得椭圆的焦点在y轴上, 所以设它的标准方程为y 2 a2 +x 2 b2 =1(a>b>0), 由题意知 a2-b2=4, 25 4a2+ 9 4b2=1 , 解得 a 2=10, b2=6, 所以所求椭圆的标准方程为y 2 10+ x2 6=1. (3)方法一 ①当椭圆焦点在x 轴上时,可设椭圆的标准方程为 x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0). 依题意,有 1 3 2 a2 + 1 3 2 b2 =1 , 0+ -12 2 a2 =1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得 a2=15 , b2=14. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 由a>b>0,知不符合题意,故舍去; ②当椭圆焦点在y轴上时,可设椭圆的标准方程为 y2 a2 +x 2 b2 =1(a>b>0). 依题意,有 1 3 2 a2 + 1 3 2 b2 =1 , -12 2 a2 +0=1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得 a2=14 , b2=15. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以所求椭圆的标准方程为y 2 1 4 +x 2 1 5 =1. 方法二 设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n). 则 1 9m+ 1 9n=1 , 1 4n=1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 m=5 , n=4. 所以所求椭圆的方程为5x2+4y2=1, 故椭圆的标准方程为y 2 1 4 +x 2 1 5 =1. 【规律总结】 (1)求椭圆标准方程时,首先要进行“定位”,即确定 焦点的位置,其次是进行“定量”,即确定a2,b2 的具体数值,常根 据条件列方程(组)求解. (2)椭圆的两种标准方程可以写成统一形式mx2+ny2=1(m>0, n>0,m≠n). 4.C [依题意知,线段 PF1 的中点在y 轴上,又原点为F1F2 的中 点,易得y 轴∥PF2,所以 PF2⊥x 轴,则 有|PF1|2-|PF2|2= 4c2=16,又根 据 椭 圆 定 义 知|PF1|+|PF2|=8,所 以|PF1|- |PF2|=2,从而|PF1|=5,|PF2|=3,即|PF1|∶|PF2|=5∶3.] 5.解 由已知得a=2 3,b= 3, 所以c= a2-b2= 12-3=3, 从而|F1F2|=2c=6, 在△F1PF2 中, |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos60°, 即36=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|.① 由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=4 3, 即48=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|.② 由①②得|PF1|·|PF2|=4. 所以S△F1PF2 = 1 2|PF1| ·|PF2|·sin60°= 3. 6.解 椭圆方程可化为x 2 4+ y2 m=1. ①当0<m<4时,a=2,b= m,c= 4-m, ∴e=ca = 4-m 2 = 1 2 , 解得m=3,∴b= 3,c=1, ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是4,2 3,焦点坐标为F1(-1,0), F2(1,0),顶点坐标为 A1(-2,0),A2(2,0),B1(0,- 3),B2(0, 3). ②当m>4时,a= m,b=2, ∴c= m-4, ∴e=ca = m-4 m =12 ,解得m=163 , ∴a=4 33 ,c=2 33 , ∴椭 圆 的 长 轴 长 和 短 轴 长 分 别 为8 33 ,4,焦 点 坐 标 为 F1 0,-2 33 ,F2 0,2 33 ,顶 点 坐 标 为 A1 0,-4 33 ,A2 0,4 33 ,B1(-2,0),B2(2,0). 7.x 2 9+ y2 5=1 或x 2 5+ y2 9=1 [因为椭圆的长轴长是6,cos∠OFA= 2 3 ,所以点 A 是短轴的端点.所以|OF|=c,|AF|=a=3,所以 c 3= 2 3 ,所以c=2,b2=32-22=5, 所以椭圆的标准方程是x 2 9+ y2 5=1 或x 2 5+ y2 9=1. ] 8.解 (1)若焦点在x轴上,则a=3, ∵e=ca = 6 3 ,∴c= 6,∴b2=a2-c2=9-6=3. ∴椭圆的方程为x 2 9+ y2 3=1. 若焦点在y轴上,则b=3, ∵e=ca = 1- b2 a2 = 1-9a2 = 63 ,解得a2=27. ∴椭圆的方程为y 2 27+ x2 9=1. ∴所求椭圆的方程为x 2 9+ y2 3=1 或y 2 27+ x2 9=1. (2)设椭圆方程为x 2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0). 如图所示,△A1FA2 为等腰直角三角形, OF 为斜边A1A2 的中线(高), 且|OF|=c,|A1A2|=2b, ∴c=b=4,∴a2=b2+c2=32, 故所求椭圆的方程为x 2 32+ y2 16=1. (3)法一:由题意知e2=1-b 2 a2 =12 ,所以b 2 a2 =12 ,即a2=2b2,设所 求椭圆的方程为x 2 2b2 +y 2 b2 =1或y 2 2b2 +x 2 b2 =1. 将点 M(1,2)代入椭圆方程得 1 2b2 +4 b2 =1或 4 2b2 +1 b2 =1,解得b2=92 或b2=3. 故所求椭圆的方程为x 2 9+ y2 9 2 =1或y 2 6+ x2 3=1. 法二:设所求椭圆方程为x 2 12+ y2 6=k1 (k1>0)或y 2 12+ x2 6=k2 (k2> 0),将点M 的坐标代入可得112+ 4 6=k1 或4 12+ 1 6=k2 ,解得k1= 3 4 ,k2= 1 2 ,故x 2 12+ y2 6= 3 4 或y 2 12+ x2 6= 1 2 ,即所求椭圆的标准方 程为x 2 9+ y2 9 2 =1或y 2 6+ x2 3=1. 9.74 [由题意知a2=16,b2=9,则c2=7,从而e=ca = 7 4. ] 10.33 [方法一 由题意可设|PF2|=m,结合条件可知|PF1|= 2m,|F1F2|= 3m,故 离 心 率e= c a = 2c 2a= |F1F2| |PF1|+|PF2| = 3m 2m+m= 3 3. 方法二 由PF2⊥F1F2 可知P 点的横坐标为c,将x=c代入椭 圆方程可得y=±b 2 a ,所以|PF2|= b2 a. 又由∠PF1F2=30°可得 |F1F2|= 3|PF2|,故2c= 3· b2 a ,变形可得 3(a2-c2)=2ac, 等式两边同除以a2,得 3(1-e2)=2e,解得e= 33 或e=- 3(舍 去).] 11.BD [由图可知,a1>a2,c1>c2,所以a1+c1>a2+c2,所以 A错 误;在椭圆轨道Ⅰ中可得,a1-c1=|PF|,在椭圆轨道Ⅱ中可得, a2-c2=|PF|,所以a1-c1=a2-c2,所以B正确;所以a1+c2= a2+c1,两边同时平方,得a21+c22+2a1c2=a22+c21+2a2c1,所以 a21-c21+2a1c2=a22-c22+2a2c1,即b21+2a1c2=b22+2a2c1,由图可 得,b21>b22,所以2a1c2<2a2c1,即 c2 a2 < c1 a1 ,所以C错误,D正确.] 12.A [方法一 由 y=kx-k, x2 9+ y2 4=1 , 消去y 得(4+9k2)x2-18k2x+ 9k2-36=0,Δ=(-18k2)2-4(4+9k2)(9k2-36)=576(2k2+ 1),易知Δ>0恒成立,∴直线y=kx-k与椭圆x 2 9+ y2 4=1 的位 置关系为相交. 方法二 直线y=kx-k可化为y=k(x-1),∴直线恒过点(1, 0),又1 2 9+ 02 4<1 ,即点(1,0)在椭圆的内部,∴直线y=kx-k与 椭圆x 2 9+ y2 4=1 的位置关系为相交.] 【规律总结】 研究直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问 题,实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数 解的个数问题. 13.x+2y-4=0 [方法一 易知直线AB 的斜率k 存在, 设所求直线的方程为y-1=k(x-2), 由 y-1=k(x-2), x2 16+ y2 4=1 , 得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0. 设点A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1,x2 是上述方程的两根, 于是x1+x2= 8(2k2-k) 4k2+1 . 又 M 为AB 的中点, ∴ x1+x2 2 = 4(2k2-k) 4k2+1 =2, 解得k=-12. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 95 — —98 — 故所求直线的方程为x+2y-4=0. 经检验,所求直线满足题意. 方法二 设点A(x1,y1),B(x2,y2). ∵M(2,1)为AB 的中点, ∴x1+x2=4,y1+y2=2. 又A,B 两点在椭圆上, 则x21+4y21=16,x22+4y22=16, 两式相减,得(x21-x22)+4(y21-y22)=0, 于是(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0. ∴y1-y2x1-x2 =- x1+x2 4(y1+y2) =- 44×2=- 1 2 , 即kAB=- 1 2. 故所求直线的方程为x+2y-4=0. 经检验,所求直线满足题意. 方法三 设所求直线与椭圆的一个交点为A(x,y), 由于AB 的中点为M(2,1), 则另一个交点为B(4-x,2-y). ∵A,B 两点都在椭圆上, ∴ x 2+4y2=16,① (4-x)2+4(2-y)2=16.② ①-②,化简得x+2y-4=0. 显然点A 的坐标满足这个方程,代入验证可知点B 的坐标也满 足这个方程,而过点A,B 的直线只有一条,故所求直线的方程为 x+2y-4=0.] 【方法技巧】 解决弦的中点问题,主要有两种办法:一种是根与 系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程消去一个未知数,利用 所得到的一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式求解; 另一种是点差法:设出弦的两端点坐标,代入椭圆方程,两式相减 即得弦的中点坐标与斜率的关系式. 【探究·一举突破】 探究路径 解 设与椭圆相切并与l平行的直线方程为y=32 x+m, 代入x 2 4+ y2 7=1 , 并整理得4x2+3mx+m2-7=0, 由Δ=9m2-16(m2-7)=0 得m2=16,∴m=±4, 故两切线方程为y=32x+4 和y=32x-4 ,显然y=32x-4 即 3x-2y-8=0距l最近, 它们之间的距离即为所求最短距离,且y=32x-4 与椭圆的切点 即为所求点P. 故所求最短距离为 d= |16-8| 32+(-2)2 = 8 13 =8 1313 . 由 x2 4+ y2 7=1 , y=32x-4 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 得 x=32 , y=-74 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 即P 32 ,-74 . 【综合·一练到底】 1.CD [由已知得a=2 2,b=2,c=2.F1(-2,0),F2(2,0),不妨设 P(m,n),m>0,n>0,则S△F1PF2= 1 2 ·2c·n=3,解得n=32 , ∴m 2 8+ 3 2 2 4 =1 ,解得 m= 142 ,∴P 14 2 ,3 2 ,∴|PF1|2= 14 2 +2 2 +94= 39 4+2 14 ,|PF2|2= 142 -2 2 +94= 39 4-2 14 ,∴|PF1|2+|PF2|2-(2c)2= 39 4×2-16= 7 2>0 , ∴cos∠F1PF2= |PF1|2+|PF2|2-(2c)2 2|PF1|·|PF2| >0,∴∠F1PF2< π 2 , 故A,B错误;△F1PF2 的周长=2a+2c=4 2+4,故C正确;设 △F1PF2 的 内 切 圆 半 径 为 r,则 1 2 (4 2+4)r=3,∴r= 3(2-1) 2 ,故D正确.] 2.解 (1)由|AF1|=3|F1B|,|AB|=4, 得|AF1|=3,|F1B|=1. 因为△ABF2 的周长为16,所以由椭圆定义可得4a=16, |AF1|+|AF2|=2a=8,故|AF2|=8-3=5. (2)设|F1B|=k,k>0,则|AF1|=3k,|AB|=4k. 由椭圆定义可得|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k. 在△ABF2 中,由 余 弦 定 理 可 得|AB|2=|AF2|2+|BF2|2- 2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B, 即(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-65 (2a-3k)(2a-k), 化简可得(a+k)(a-3k)=0,而a+k>0, 故a=3k. 于是有|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k. 因此|BF2|2=|F2A|2+|AB|2,可得F1A⊥F2A, 故△AF1F2 为等腰直角三角形. 从而c= 22a , 所以椭圆E 的离心率e=ca = 2 2. 3.解 (1)由题意知b=15,a+9=34, 解得a=25,b=15. 所以两个半椭 圆 方 程 分 别 为x 2 252 +y 2 152 =1(x≤0)和y 2 152 +x 2 92 = 1(x≥0). (2)设P(x0,t)为矩形在第一象限内的顶点,Q(x1,t)为矩形在第 二象限内的顶点, 则t 2 152 + x20 92 =1, x21 252 +t 2 152 =1, 可得x1=- 25 9x0. 所以内接矩形的面积S=2t(x0-x1)=2t× 34 9x0=15×34×2 · x0 9 ·t 15≤15×34 x20 92 +t 2 152 =510, 当且仅当 x0 9= t 15 时,S取最大值510. 所以网箱所占水面面积的最大值为510平方米. 【选做·一飞冲天】 解 (1)由条件可知,椭圆的焦点在x 轴上,且a=2,又e=ca = 2 2 ,得c= 2. 由a2-b2=c2 得b2=a2-c2=2. ∴所求椭圆的方程为x 2 4+ y2 2=1. (2)若存在点Q(m,0),使得∠PQM+∠PQN=180°, 则直线QM 和QN 的斜率存在,分别设为k1,k2. 等价于k1+k2=0. 依题意,直线l的斜率存在,故设直线l的方程为y=k(x-4). 由 y=k(x-4), x2 4+ y2 2=1 , 得(2k2+1)x2-16k2x+32k2-4=0. 因为直线l与椭圆C 有两个交点,所以Δ>0. 即(16k2)2-4(2k2+1)(32k2-4)>0,解得k2<16. 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2= 16k2 2k2+1 ,x1x2= 32k2-4 2k2+1 , y1=k(x1-4),y2=k(x2-4), 令k1+k2= y1 x1-m + y2x2-m =0, (x1-m)y2+(x2-m)y1=0, 当k≠0时,2x1x2-(m+4)(x1+x2)+8m=0, 化简得,8(m-1) 2k2+1 =0, 所以m=1. 当k=0时,也成立. 所以存在点Q(1,0),使得∠PQM+∠PQN=180°. 第十一周 双曲线 【考点·一应俱全】 1.B [根据双曲线的定义知甲/⇒乙,乙⇒甲,因此甲是乙的必要条 件,故选B.] 2.D [由双曲线的定义可得,|m|<4,且m≠0,解得m∈(-4,0)∪ (0,4).] 3.解 (1)方法一 因为焦点相同,所以设所求双曲线的标准方程为 x2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0), 所以c2=16+4=20,即a2+b2=20.(ⅰ) 因为双曲线经过点(3 2,2), 所以18 a2 -4 b2 =1.(ⅱ) 由(ⅰ)(ⅱ)得a2=12,b2=8, 所以双曲线的标准方程为x 2 12- y2 8=1. 方法二 设所求双曲线的方程为 x 2 16-λ- y2 4+λ=1 (-4<λ<16). 因为双曲线经过点(3 2,2),所以 1816-λ- 4 4+λ=1 , 解得λ=4或λ=-14(舍去). 所以双曲线的标准方程为x 2 12- y2 8=1. (2)方法一 当焦点在x轴上时,设所求双曲线的标准方程为x 2 a2 - y2 b2 =1(a>0,b>0). 因为点P,Q 在双曲线上,所以 9 a2- 225 16b2=1 , 256 9a2- 25 b2=1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 此方程组无解; 当焦点在y轴上时,设所求双曲线的标准方程为y 2 a2 -x 2 b2 =1(a> 0,b>0). 因为点P,Q 在双曲线上, 所以 225 16a2- 9 b2=1 , 25 a2- 256 9b2=1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 a2=9, b2=16. 所以双曲线的标准方程为y 2 9- x2 16=1. 方法二 设所求双曲线的方程为Ax2+By2=1,AB<0, 因为点P,Q 在此曲线上 所以 9A+22516B=1 , 256 9A+25B=1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 A=-116 , B=19 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以所求双曲线的标准方程为y 2 9- x2 16=1. 【方法技巧】 双曲线的标准方程 (1)用待定系数法求双曲线的标准方程时,若焦点位置不确定,可 按焦点在x轴和y 轴上两种情况讨论求解.或设其方程为mx2+ ny2=1(mn<0),通过方程组确定m,n. (2)与双曲线x 2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0)有公共焦点的双曲线的方 程为 x 2 a2+λ - y 2 b2-λ =1(-a2<λ<b2);与双曲线y 2 a2 -x 2 b2 =1(a> 0,b>0)有公共焦点的双曲线的方程为 y 2 a2+λ - x 2 b2-λ =1(-a2< λ<b2). 4.解 (1)若方程表示双曲线,则有(4+k)(1-k)<0, 即(k+4)(k-1)>0, 解得k<-4或k>1, 因此实数k的取值范围是(-∞,-4)∪(1,+∞). (2)若方程表示焦点在y 轴上的双曲线,则有 1-k>0, 4+k<0, 解得k< -4, 因此实数k的取值范围是(-∞,-4). 【规律总结】 方程表示双曲线的条件 (1)对于方程x 2 m+ y2 n=1 ,当mn<0时表示双曲线,当m>0,n<0 时表示焦点在x轴上的双曲线;当 m<0,n>0时表示焦点在y 轴上的双曲线. (2)对于方程x 2 m- y2 n =1 ,当 mn>0时表示双曲线,且当 m>0, n>0时表示焦点在x轴上的双曲线;当m<0,n<0时表示焦点 在y轴上的双曲线. 5.2 7-2 [如图所示,以 AB 所在的直线 为x 轴,AB 的垂直平分线为y 轴建立平 面直角 坐 标 系.则 A(-2,0),B(2,0), |DA|-|DB|=2,根据双 曲 线 定 义 知,点 D 的轨迹(即曲线 PQ)为双曲线的右支. 故2c=4,c=2,2a=2,a=1,b2=c2-a2= 4-1=3,故轨迹方程为x2-y 2 3=1 (x≥1).根据题意知C(3,3), |MB|+|MC|=|MA|+|MC|-2≥|AC|-2=2 7-2.当且仅 当A,M,C三点共线时,等号成立,故两条公路 MB,MC 的路程之 和最短是(2 7-2)km.] 6.C [设F1 是双曲线的左焦点,根据双曲线的定 义及P是双曲线右支上的动点可得|PF1|- |PF|=2a,所 以|PF|=|PF1|-2a,所 以 |PA|+|PF|=|PA|+|PF1|-2a=|PA|+ |PF1|-4,结 合 图 形 可 得|PA|+|PF1|≥ |AF1|= [3-(-4)]2+(1-0)2=5 2,当 且仅当P,A,F1 三点共线时取得等号,即图形中点P 在P'处取得 最小值,所以|PA|+|PF1|-4≥5 2-4,所以|PA|+|PF|的最 小值为5 2-4.] 7.B [由双曲线y 2 4- x2 12=1 ,得a=2,b=2 3,c=4,又3|PF1|= 5|PF2|,且|PF1|-|PF2|=2a=4,所以|PF1|=10,|PF2|=6, 所以|PF1|2-|PF2|2=64=(2c)2=|F1F2|2,即△PF1F2 为直角 三角形,所以S△PF1F2= 1 2|PF2||F1F2|= 1 2×6×8=24. ] 8.C [由双曲线x 2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0),可得其一条渐近线的方程 为y=bax ,即bx-ay=0,又由圆C:x2+y2-10y+21=0,可得圆 心为 C(0,5),半 径 r=2,则 圆 心 到 渐 近 线 的 距 离 为 d= |-5a| b2+(-a)2 =5ac ,则5a c =2 ,可得e=ca = 5 2. ] 9.解 将9y2-4x2=-36化为标准方程为x 2 9- y2 4=1 , 即x 2 32 -y 2 22 =1, 所以a=3,b=2,c= 13. 因此顶点坐标为A1(-3,0),A2(3,0), 焦点坐标为F1(- 13,0),F2( 13,0), 实轴长2a=6,虚轴长2b=4, 离心率e=ca = 13 3 , 渐近线方程为y=±bax=± 2 3x. 10.解 (1)设所求双曲线方程为x 2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0). ∵e=53 , ∴e2=c 2 a2 =a 2+b2 a2 =1+b 2 a2 =259 , ∴ba = 4 3. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 97 —