第11周 双曲线-【周测必刷】2025-2026学年高二数学选择性必修1+2（人教A版2019）

—98 — 故所求直线的方程为x+2y-4=0. 经检验,所求直线满足题意. 方法二 设点A(x1,y1),B(x2,y2). ∵M(2,1)为AB 的中点, ∴x1+x2=4,y1+y2=2. 又A,B 两点在椭圆上, 则x21+4y21=16,x22+4y22=16, 两式相减,得(x21-x22)+4(y21-y22)=0, 于是(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0. ∴y1-y2x1-x2 =- x1+x2 4(y1+y2) =- 44×2=- 1 2 , 即kAB=- 1 2. 故所求直线的方程为x+2y-4=0. 经检验,所求直线满足题意. 方法三 设所求直线与椭圆的一个交点为A(x,y), 由于AB 的中点为M(2,1), 则另一个交点为B(4-x,2-y). ∵A,B 两点都在椭圆上, ∴ x 2+4y2=16,① (4-x)2+4(2-y)2=16.② ①-②,化简得x+2y-4=0. 显然点A 的坐标满足这个方程,代入验证可知点B 的坐标也满 足这个方程,而过点A,B 的直线只有一条,故所求直线的方程为 x+2y-4=0.] 【方法技巧】 解决弦的中点问题,主要有两种办法:一种是根与 系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程消去一个未知数,利用 所得到的一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式求解; 另一种是点差法:设出弦的两端点坐标,代入椭圆方程,两式相减 即得弦的中点坐标与斜率的关系式. 【探究·一举突破】 探究路径 解 设与椭圆相切并与l平行的直线方程为y=32 x+m, 代入x 2 4+ y2 7=1 , 并整理得4x2+3mx+m2-7=0, 由Δ=9m2-16(m2-7)=0 得m2=16,∴m=±4, 故两切线方程为y=32x+4 和y=32x-4 ,显然y=32x-4 即 3x-2y-8=0距l最近, 它们之间的距离即为所求最短距离,且y=32x-4 与椭圆的切点 即为所求点P. 故所求最短距离为 d= |16-8| 32+(-2)2 = 8 13 =8 1313 . 由 x2 4+ y2 7=1 , y=32x-4 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 得 x=32 , y=-74 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 即P 32 ,-74 . 【综合·一练到底】 1.CD [由已知得a=2 2,b=2,c=2.F1(-2,0),F2(2,0),不妨设 P(m,n),m>0,n>0,则S△F1PF2= 1 2 ·2c·n=3,解得n=32 , ∴m 2 8+ 3 2 2 4 =1 ,解得 m= 142 ,∴P 14 2 ,3 2 ,∴|PF1|2= 14 2 +2 2 +94= 39 4+2 14 ,|PF2|2= 142 -2 2 +94= 39 4-2 14 ,∴|PF1|2+|PF2|2-(2c)2= 39 4×2-16= 7 2>0 , ∴cos∠F1PF2= |PF1|2+|PF2|2-(2c)2 2|PF1|·|PF2| >0,∴∠F1PF2< π 2 , 故A,B错误;△F1PF2 的周长=2a+2c=4 2+4,故C正确;设 △F1PF2 的 内 切 圆 半 径 为 r,则 1 2 (4 2+4)r=3,∴r= 3(2-1) 2 ,故D正确.] 2.解 (1)由|AF1|=3|F1B|,|AB|=4, 得|AF1|=3,|F1B|=1. 因为△ABF2 的周长为16,所以由椭圆定义可得4a=16, |AF1|+|AF2|=2a=8,故|AF2|=8-3=5. (2)设|F1B|=k,k>0,则|AF1|=3k,|AB|=4k. 由椭圆定义可得|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k. 在△ABF2 中,由 余 弦 定 理 可 得|AB|2=|AF2|2+|BF2|2- 2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B, 即(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-65 (2a-3k)(2a-k), 化简可得(a+k)(a-3k)=0,而a+k>0, 故a=3k. 于是有|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k. 因此|BF2|2=|F2A|2+|AB|2,可得F1A⊥F2A, 故△AF1F2 为等腰直角三角形. 从而c= 22a , 所以椭圆E 的离心率e=ca = 2 2. 3.解 (1)由题意知b=15,a+9=34, 解得a=25,b=15. 所以两个半椭 圆 方 程 分 别 为x 2 252 +y 2 152 =1(x≤0)和y 2 152 +x 2 92 = 1(x≥0). (2)设P(x0,t)为矩形在第一象限内的顶点,Q(x1,t)为矩形在第 二象限内的顶点, 则t 2 152 + x20 92 =1, x21 252 +t 2 152 =1, 可得x1=- 25 9x0. 所以内接矩形的面积S=2t(x0-x1)=2t× 34 9x0=15×34×2 · x0 9 ·t 15≤15×34 x20 92 +t 2 152 =510, 当且仅当 x0 9= t 15 时,S取最大值510. 所以网箱所占水面面积的最大值为510平方米. 【选做·一飞冲天】 解 (1)由条件可知,椭圆的焦点在x 轴上,且a=2,又e=ca = 2 2 ,得c= 2. 由a2-b2=c2 得b2=a2-c2=2. ∴所求椭圆的方程为x 2 4+ y2 2=1. (2)若存在点Q(m,0),使得∠PQM+∠PQN=180°, 则直线QM 和QN 的斜率存在,分别设为k1,k2. 等价于k1+k2=0. 依题意,直线l的斜率存在,故设直线l的方程为y=k(x-4). 由 y=k(x-4), x2 4+ y2 2=1 , 得(2k2+1)x2-16k2x+32k2-4=0. 因为直线l与椭圆C 有两个交点,所以Δ>0. 即(16k2)2-4(2k2+1)(32k2-4)>0,解得k2<16. 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2= 16k2 2k2+1 ,x1x2= 32k2-4 2k2+1 , y1=k(x1-4),y2=k(x2-4), 令k1+k2= y1 x1-m + y2x2-m =0, (x1-m)y2+(x2-m)y1=0, 当k≠0时,2x1x2-(m+4)(x1+x2)+8m=0, 化简得,8(m-1) 2k2+1 =0, 所以m=1. 当k=0时,也成立. 所以存在点Q(1,0),使得∠PQM+∠PQN=180°. 第十一周 双曲线 【考点·一应俱全】 1.B [根据双曲线的定义知甲/⇒乙,乙⇒甲,因此甲是乙的必要条 件,故选B.] 2.D [由双曲线的定义可得,|m|<4,且m≠0,解得m∈(-4,0)∪ (0,4).] 3.解 (1)方法一 因为焦点相同,所以设所求双曲线的标准方程为 x2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0), 所以c2=16+4=20,即a2+b2=20.(ⅰ) 因为双曲线经过点(3 2,2), 所以18 a2 -4 b2 =1.(ⅱ) 由(ⅰ)(ⅱ)得a2=12,b2=8, 所以双曲线的标准方程为x 2 12- y2 8=1. 方法二 设所求双曲线的方程为 x 2 16-λ- y2 4+λ=1 (-4<λ<16). 因为双曲线经过点(3 2,2),所以 1816-λ- 4 4+λ=1 , 解得λ=4或λ=-14(舍去). 所以双曲线的标准方程为x 2 12- y2 8=1. (2)方法一 当焦点在x轴上时,设所求双曲线的标准方程为x 2 a2 - y2 b2 =1(a>0,b>0). 因为点P,Q 在双曲线上,所以 9 a2- 225 16b2=1 , 256 9a2- 25 b2=1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 此方程组无解; 当焦点在y轴上时,设所求双曲线的标准方程为y 2 a2 -x 2 b2 =1(a> 0,b>0). 因为点P,Q 在双曲线上, 所以 225 16a2- 9 b2=1 , 25 a2- 256 9b2=1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 a2=9, b2=16. 所以双曲线的标准方程为y 2 9- x2 16=1. 方法二 设所求双曲线的方程为Ax2+By2=1,AB<0, 因为点P,Q 在此曲线上 所以 9A+22516B=1 , 256 9A+25B=1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 A=-116 , B=19 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以所求双曲线的标准方程为y 2 9- x2 16=1. 【方法技巧】 双曲线的标准方程 (1)用待定系数法求双曲线的标准方程时,若焦点位置不确定,可 按焦点在x轴和y 轴上两种情况讨论求解.或设其方程为mx2+ ny2=1(mn<0),通过方程组确定m,n. (2)与双曲线x 2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0)有公共焦点的双曲线的方 程为 x 2 a2+λ - y 2 b2-λ =1(-a2<λ<b2);与双曲线y 2 a2 -x 2 b2 =1(a> 0,b>0)有公共焦点的双曲线的方程为 y 2 a2+λ - x 2 b2-λ =1(-a2< λ<b2). 4.解 (1)若方程表示双曲线,则有(4+k)(1-k)<0, 即(k+4)(k-1)>0, 解得k<-4或k>1, 因此实数k的取值范围是(-∞,-4)∪(1,+∞). (2)若方程表示焦点在y 轴上的双曲线,则有 1-k>0, 4+k<0, 解得k< -4, 因此实数k的取值范围是(-∞,-4). 【规律总结】 方程表示双曲线的条件 (1)对于方程x 2 m+ y2 n=1 ,当mn<0时表示双曲线,当m>0,n<0 时表示焦点在x轴上的双曲线;当 m<0,n>0时表示焦点在y 轴上的双曲线. (2)对于方程x 2 m- y2 n =1 ,当 mn>0时表示双曲线,且当 m>0, n>0时表示焦点在x轴上的双曲线;当m<0,n<0时表示焦点 在y轴上的双曲线. 5.2 7-2 [如图所示,以 AB 所在的直线 为x 轴,AB 的垂直平分线为y 轴建立平 面直角 坐 标 系.则 A(-2,0),B(2,0), |DA|-|DB|=2,根据双 曲 线 定 义 知,点 D 的轨迹(即曲线 PQ)为双曲线的右支. 故2c=4,c=2,2a=2,a=1,b2=c2-a2= 4-1=3,故轨迹方程为x2-y 2 3=1 (x≥1).根据题意知C(3,3), |MB|+|MC|=|MA|+|MC|-2≥|AC|-2=2 7-2.当且仅 当A,M,C三点共线时,等号成立,故两条公路 MB,MC 的路程之 和最短是(2 7-2)km.] 6.C [设F1 是双曲线的左焦点,根据双曲线的定 义及P是双曲线右支上的动点可得|PF1|- |PF|=2a,所 以|PF|=|PF1|-2a,所 以 |PA|+|PF|=|PA|+|PF1|-2a=|PA|+ |PF1|-4,结 合 图 形 可 得|PA|+|PF1|≥ |AF1|= [3-(-4)]2+(1-0)2=5 2,当 且仅当P,A,F1 三点共线时取得等号,即图形中点P 在P'处取得 最小值,所以|PA|+|PF1|-4≥5 2-4,所以|PA|+|PF|的最 小值为5 2-4.] 7.B [由双曲线y 2 4- x2 12=1 ,得a=2,b=2 3,c=4,又3|PF1|= 5|PF2|,且|PF1|-|PF2|=2a=4,所以|PF1|=10,|PF2|=6, 所以|PF1|2-|PF2|2=64=(2c)2=|F1F2|2,即△PF1F2 为直角 三角形,所以S△PF1F2= 1 2|PF2||F1F2|= 1 2×6×8=24. ] 8.C [由双曲线x 2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0),可得其一条渐近线的方程 为y=bax ,即bx-ay=0,又由圆C:x2+y2-10y+21=0,可得圆 心为 C(0,5),半 径 r=2,则 圆 心 到 渐 近 线 的 距 离 为 d= |-5a| b2+(-a)2 =5ac ,则5a c =2 ,可得e=ca = 5 2. ] 9.解 将9y2-4x2=-36化为标准方程为x 2 9- y2 4=1 , 即x 2 32 -y 2 22 =1, 所以a=3,b=2,c= 13. 因此顶点坐标为A1(-3,0),A2(3,0), 焦点坐标为F1(- 13,0),F2( 13,0), 实轴长2a=6,虚轴长2b=4, 离心率e=ca = 13 3 , 渐近线方程为y=±bax=± 2 3x. 10.解 (1)设所求双曲线方程为x 2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0). ∵e=53 , ∴e2=c 2 a2 =a 2+b2 a2 =1+b 2 a2 =259 , ∴ba = 4 3. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 97 — —100 — 由题意得 b a = 4 3 , 9 a2- 12 b2=1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 a 2=94 , b2=4. ∴所求双曲线的标准方程为x 2 9 4 -y 2 4=1. (2)方法一 ∵双曲线的渐近线方程为y=±12x. 当焦点在x轴上时,设所求双曲线的标准方程为x 2 a2 -y 2 b2 =1(a> 0,b>0), 则b a = 1 2.① ∵点A(2,-3)在双曲线上,∴4 a2 -9 b2 =1.② ①②联立,无解. 当焦点在y轴上时,设所求双曲线的标准方程为y 2 a2 -x 2 b2 =1(a> 0,b>0), 则a b = 1 2.③ ∵点A(2,-3)在双曲线上,∴9 a2 -4 b2 =1.④ 联立③④,解得a2=8,b2=32. ∴所求双曲线的标准方程为y 2 8- x2 32=1. 方法二 由双曲线的渐近线方程为y=±12x ,可设双曲线方程 为x 2 22 -y2=λ(λ≠0), ∵A(2,-3)在双曲线上, ∴2 2 22 -(-3)2=λ,即λ=-8. ∴所求双曲线的标准方程为y 2 8- x2 32=1. 【方法技巧】 由双曲线的性质求双曲线的标准方程 (1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程,一般用待定系数 法转化为解方程(组),但要注意焦点的位置,从而正确选择方程 的形式. (2)巧设双曲线方程的技巧 ①与双曲线x 2 a2 -y 2 b2 =1具有相同渐近线的双曲线方程可设为 x2 a2 -y 2 b2 =λ(λ≠0). ②渐近 线 方 程 为 Ax±By=0的 双 曲 线 方 程 可 设 为 A2x2- B2y2=λ(λ≠0). 11.解 ①当l垂直于x 轴时,直线l与 双 曲 线C 相 切,有 一 个 公 共点. ②当l与x 轴不垂直时,设直线l的方程为y-2=k(x-1), 代入双曲线C 的 方 程,得(2-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k- 6=0. 当k2=2,即k= 2或- 2时,方程有一个解. 当k2≠2时,Δ=48-32k, 令Δ=0,可得k=32 ;令Δ>0,可得k<32 且k≠± 2;令Δ<0, 可得k>32. 综上所述,当直线l的斜率k∈ 2,- 2,32 或直线l的斜率不 存在时,直线l与双曲线C 有一个公共点; 当直线l的斜率k∈ -∞,- 2 ∪ - 2,2 ∪ 2,32 时, 直线l与双曲线C 有两个公共点; 当直线l的 斜 率k∈ 32 ,+∞ 时,直 线l与 双 曲 线C 没 有 公 共点. 12.解 (1)设直线l的方程为y=x+m, 代入双曲线方程, 得3x2+8mx+4(m2+1)=0, Δ=(8m)2-4×3×4(m2+1)=16(m2-3)>0, ∴m2>3. 设直线l与双曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 则x1+x2=- 8 3m ,x1x2= 4(m2+1) 3 . 由弦长公式得|AB|= 1+k2|x1-x2| = 2 -83m 2 -16 (m2+1) 3 = 8 11 3 , ∴4 2 m 2-3 3 = 8 11 3 , 即m=±5,满足m2>3, ∴直线l的方程为y=x±5. (2)设直线l'与双曲线交于A'(x3,y3),B'(x4,y4)两点, 点P(3,1)为A'B'的中点, 则x3+x4=6,y3+y4=2. 由x23-4y23=4,x24-4y24=4, 两式相减得(x3+x4)(x3-x4)-4(y3+y4)(y3-y4)=0, ∴y3-y4x3-x4 =34 , ∴l'的方程为y-1=34 (x-3), 即3x-4y-5=0. 把此方程代入双曲线方程, 整理得5y2-10y+114=0 , 满足Δ>0, 即所求直线l'的方程为3x-4y-5=0. 【探究·一举突破】 探究路径 解 方法一 设被点 B(1,1)平分的弦所在的 直 线 方 程 为y= k(x-1)+1,代入双曲线方程x2-y 2 2=1 ,得(k2-2)x2-2k(k- 1)x+k2-2k+3=0, ∴k2-2≠0,且Δ=[-2k(k-1)]2-4(k2-2)(k2-2k+3)>0, 解得k<32 ,且k≠± 2. 设弦的两端点为 M(x1,y1),N(x2,y2), 则x1+x2= 2k(k-1) k2-2 . ∵点B(1,1)是弦的中点, ∴k (k-1) k2-2 =1,∴k=2>32. 故双曲线上不存在被点B(1,1)平分的弦. 方法二 设双曲线上存在被点B 平分的弦MN,且点 M(x1,y1), N(x2,y2), 则x1+x2=2,y1+y2=2, 且 x21- y21 2=1 , ①, x22- y22 2=1 , ② 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 由①-②得(x1+x2)(x1-x2)- 1 2 (y1+y2)(y1-y2)=0, ∴kMN = y1-y2 x1-x2 =2, ∴直线 MN 的方程为y-1=2(x-1), 即y=2x-1. 由 y=2x-1, x2-y 2 2=1 , 消去y,得2x2-4x+3=0. 又Δ=-8<0,∴直线 MN 与双曲线不相交, 故双曲线上不存在被点B 平分的弦. 【综合·一练到底】 1.3-1;2 [椭圆、双曲线都关于x 轴、y轴 对称,所以只需考虑第一象限内的情况.记 双曲线 N 的一条渐近线与椭圆 M 在第一 象限的交点为P,椭圆左焦点为Q,右焦点 为F,连接PQ,如图.由题意知,△OPF 为 正三角形,边长设为2,则高为 3,所以椭圆 半焦距为2,2a=|PQ|+|PF|=2 3+2,a= 3+1,椭圆 M 的离 心率为 2 3+1 =3-1.双曲线N 的一条渐近线斜率为nm =tan60°= 3,e2=m 2+n2 m2 =1+n 2 m2 =4,所以双曲线 N 的离心率为2.] 2.解 (1)因为 1 2|OF →|·|FQ→|sin(π-θ)=2 6, |OF→|·|FQ→|cosθ=m, 所以tanθ=4 6m , 又 6<m<4 6,所以1<tanθ<4, 即tanθ的取值范围为(1,4). (2)设双曲线的标准方程为x 2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0), Q(x1,y1),则FQ →=(x1-c,y1), 所以S△OFQ= 1 2|OF →|·|y1|=2 6, 则y1=± 4 6 c ,又OF→·FQ→=m. 即(c,0)·(x1-c,y1)= 64-1 c2,解得x1= 64c, 所以|OQ→|= x21+y21= 38c 2+96c2 ≥ 12=2 3, 当且仅当c=4时取等号,|OQ→|最小, 此时Q 的坐标为(6,6)或(6,- 6). 因此 6 a2- 6 b2=1 , a2+b2=16, 所以 a 2=4, b2=12, 所以双曲线的标准方程为x 2 4- y2 12=1. 3.解 (1)如图,以 O 为原点,OB 所在直线 为x 轴,OC所在直线为y 轴,建立平面直 角坐标系.设敌舰艇的位置为P(x,y),由 题意可知|PB|-|PA|=v0· 4 v0 =4. 由双曲线的定义可知,敌舰艇的轨迹是以 A,B 为 焦 点 的 双 曲 线 的 左 支,且2a=4, c=3, 所以b= 5,所以轨迹方程为x 2 4- y2 5=1 , 令y=0,得x=±2, 又轨迹为双曲线的左支,所以x≤-2, 所以敌舰艇的轨迹方程为x 2 4- y2 5=1 (x≤-2). (2)设方程x 2 4- y2 5=1 (x≤-2)上一点 M(x0,y0), 由题意知 x20 4- y20 5=1 (x0≤-2),即x20=4+ 4 5y 2 0, 又C(0,3),所以|MC|= x20+(y0-3)2= 4+ 4 5y 2 0+(y0-3)2= 9 5y 2 0-6y0+13= 9 5 y0- 5 3 2 +8(y0∈R), 所以当y0= 5 3 时,|MC|min=2 2, 即无人机飞行的距离最小是2 2. 【选做·一飞冲天】 (1)解 由题知 e=ca = 3 , S△AF1F2= 1 2×2c×2=2 6 , a2+b2=c2, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得 a= 2, b=2, c= 6, ∴双曲线C的标准方程为x 2 2- y2 4=1. (2)证明 将l:x=my+1代入双曲线C:x 2 2- y2 4=1 , 得(2m2-1)y2+4my-2=0. 设E(x1,y1),F(x2,y2), 则2m2-1≠0,Δ=32m2-8>0, y1+y2=- 4m 2m2-1 , y1y2=- 2 2m2-1 . 直线AE 的方程为y=y1 -2 x1-2 (x-2)+2, 令x=1,得yM= 2-y1 x1-2 +2; 直线AF 的方程为y=y2 -2 x2-2 (x-2)+2, 令x=1,得yN= 2-y2 x2-2 +2. ∵ 2-y1 x1-2 + 2-y2 x2-2 = -2my1y2+(2m+1)(y1+y2)-4 (my1-1)(my2-1) =-4, ∴yM+yN=0, 又B(1,0), ∴|BM|=|BN|,即B 是MN 的中点. 第十二周 抛物线 【考点·一应俱全】 1.B [由抛物线定义知,动点P 的轨迹是抛物线,故选B.] 2.解 (1)已知抛物线的焦点在y 轴上,可设方程为x2=2my(m≠ 0),由焦点到准线的距离为5,知|m|=5,m=±5,所以满足条件 的抛物线有两条,它们的标准方程分别为x2=10y和x2=-10y. (2)∵点(-3,-1)在第三象限,∴设所求 抛 物 线 的 标 准 方 程 为 y2=-2px(p>0)或x2=-2py(p>0). 若抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0),则由(-1)2=-2p× (-3),解得p=16 ; 若抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0),则由(-3)2=-2p× (-1),解得p=92. ∴所求抛物线的标准方程为y2=-13x 或x2=-9y. 【规律总结】 (1)用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 (2)当抛物线的焦点位置没有确定时,可设方程为y2=mx(m≠ 0)或x2=ny(n≠0),这样可以减少讨论情况的个数. (3)求焦点坐标与准线方程时,一般先将所给方程化为标准形式, 由方程得到参数p,从而得到焦点坐标与准线方程. 3.A [∵14+x0= 5 4x0 ,∴x0=1.] 4.A [由抛物线C:x2=12y 可知其焦点坐标 为(0,3),准线方程为y=-3,记抛物线C 的 焦点为F(0,3),所以|PG|+|PM|=|PG|+ |PF|-2≥|FG|-2= 42+32-2=3,当且 仅当点P 为线段FG 与抛物线的交点时等号 成立,所以|PG|+|PM|的最小值为3.] 5.A [如图所示,以桥顶为坐标原点,桥形的对称 轴为y轴建立平面直角坐标系Oxy.设抛物线的 方程为x2=-2py(p>0),结合题意可知,该抛 物线经过点 a 2 ,-h ,则a 2 4=2ph ,解得p=a 2 8h , 故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为p=a 2 8h. ] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 99 — — 42 — 第十一周 双曲线 (时间:60分钟 满分:100分) 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀦌 􀦌 􀦌􀦌 周推好题 第10题.该题主要考查由双曲线的几何性质求标准方程,考查考生分类讨论,巧设 方程的技巧 ,从而提高学生的综合分析能力,值得推荐. 【考点·一应俱全】(共60分) 考点一 双曲线的定义 1.已知平面上定点F1,F2 及动点 M,命题甲:||MF1|-|MF2||=2a(a为常数),命题乙:点 M 的 轨迹是以F1,F2 为焦点的双曲线,则甲是乙的 ( ) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.平面内动点P 到两定点F1(-2,0),F2(2,0)的距离之差为m,若动点P 的轨迹是双曲线,则m 的 取值范围是 ( ) A.(-4,+∞) B.(4,+∞) C.(-4,4) D.(-4,0)∪(0,4) 考点二 双曲线的标准方程及其推导过程 3.(2025·江苏南京·阶段练习)根据下列条件,求双曲线的标准方程: (1)与双曲线x 2 16- y2 4=1 有相同的焦点,且经过点(3 2,2); (2)过点P3,154 ,Q -163,5 ,且焦点在坐标轴上. 考点三 双曲线标准方程的条件 4.给出曲线方程 x 2 4+k+ y2 1-k=1. (1)若该方程表示双曲线,求实数k的取值范围; (2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线,求实数k的取值范围. 考点四 双曲线在实际生活中的应用 5.(2025·长沙·阶段练习)如图,B 地在A 地的正东方向4km处,C 地在B 地的北偏东30°方向2km处,河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点D 到A 的距 离比到B 的距离远2km,现要在曲线PQ 上选一处M 建一座码头,向B,C 两地转运货物,那么这两条公路 MB,MC的路程之和最短是 km. 考点五 与双曲线有关的最值问题 6.已知定点A(3,1),F是双曲线x 2 4- y2 12=1 的右焦点,P 是双曲线右支上的动点,则|PA|+|PF| 的最小值为 ( ) A.2 B.5 2+4 C.5 2-4 D.2+4 考点六 双曲线中的焦点三角形 7.设F1,F2 分别是双曲线y 2 4- x2 12=1 的上、下焦点,P 是该双曲线上的一点,且3|PF1|=5|PF2|, 则△PF1F2 的面积等于 ( ) A.12 B.24 C.12 3 D.24 3 考点七 双曲线的几何性质 8.已知圆C:x2+y2-10y+21=0与双曲线x 2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0)的渐近线相切,则该双曲线的离 心率是 ( ) A.2 B.53 C. 5 2 D.5 9.求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程. 考点八 由双曲线的几何性质求标准方程 10.(2025·东莞·阶段练习)求满足下列条件的双曲线的标准方程: (1)已知双曲线的焦点在x轴上,离心率为53 ,且经过点 M(-3,2 3); (2)渐近线方程为y=±12x ,且经过点A(2,-3). — 41 — — 44 — 考点九 直线与双曲线的位置关系 11.已知双曲线C:2x2-y2=2与点P(1,2),讨论过点P 的直线l的斜率的情况,使l与双曲线C 分 别有一个公共点、两个公共点、没有公共点. 考点十 弦长公式及中点弦问题 12.已知双曲线的方程是x 2 4-y 2=1. (1)直线l的倾斜角为π4 ,被双曲线截得的弦长为8 11 3 ,求直线l的方程; (2)过点P(3,1)作直线l',使其被双曲线截得的弦恰被点P 平分,求直线l'的方程. 【探究·一举突破】(共15分) 探究主题 中点弦问题 已知双曲线的方程为x2-y 2 2=1. 探究问题: 试问:双曲线上是否存在被点B(1,1)平分的弦? 如果存在,求出弦所在的直线方程;如果不存在, 请说明理由. 【综合·一练到底】(共25分) 1.(2025·无锡·阶段练习)已知椭圆 M:x 2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0),双曲线 N:x 2 m2 -y 2 n2 =1(m>0, n>0).若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形 的六个顶点,则椭圆 M 的离心率为 ;双曲线N 的离心率为 . 2.(2025·宁波·阶段练习)已知△OFQ 的面积为2 6,且OF →·FQ → =m,其中O 为坐 标原点. (1)设 6<m<4 6,求OF → 与FQ → 的夹角θ的正切值的取值范围; (2)设以O为中心,F为其中一个焦点的双曲线经过点Q,如图所示,|OF → |=c,m= 6 4-1 c2,当|OQ→|取得最小值时,求此双曲线的标准方程. 3.(2025·青岛·阶段练习)在一次军事演习中,某时刻三艘舰艇呈“品”字形列阵 (此时舰艇可视作静止的点),如图中的点A,B,C,且|OA|=|OB|=|OC|=3, 假设敌舰艇在某处发出信号,A 点接收到信号的时间比B 点接收到信号的时间 早4 v0 秒(注:v0 为信号传播速度),C处舰艇保持静默. (1)建立适当的坐标系,并求敌舰艇所有可能出现的位置的轨迹方程; (2)在A,B 两处的舰艇对敌舰艇攻击后,C 处舰艇派出无人机到敌舰艇处观察攻击效果,则无人 机飞行的距离最小是多少? 【选做·一飞冲天】(尖子生选做) (2025·合肥·阶段练习)已知双曲线C:x 2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心 率为 3,点A(2,2),且△AF1F2 的面积为2 6. (1)求双曲线C的标准方程; (2)直线l:x=my+1交x轴于点B,与双曲线C的左、右两支分别交于点E,F(不同于点A),记 直线AE,AF分别与直线x=1交于点 M,N,证明:B 是MN 的中点. 【错题重做】 错因 基础不牢 题意不明 思路不对 理解不够 分析不透 方法不对 根本不会 其他原因 题号 题号 题号 — 43 —