精品解析：辽宁省朝阳市建平县第二高级中学2024-2025学年高二下学期6月月考数学试题

高二数学试题 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：高考范围（除导数）． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 对于变量x，y，其部分成对观测值如下表所示： x 0 1 2 3 4 y 1 5 6 7 11 已知x，y具有线性相关关系，且根据最小二乘法得到的经验回归方程为，则（ ） A. 2.0 B. 2.2 C. 2.4 D. 2.6 3. 在平行四边形中，点满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 将5封不同的电子邮件发送到4个电子信箱中，则不同的发送方法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 5. 在等比数列中，，若，，成等差数列，则的公比为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 已知函数是定义在上的奇函数，且单调递增，则的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 在数列中，已知，且，则其前项和的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，在正方体中，E，F分别为，AB上的中点，且，P点是正方形内的动点，若平面，则P点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. z的虚部为1 D. z在复平面内对应的点位于第一象限 10. 刘女士的网店经营坚果类食品，2019年各月份的收入、支出（单位：百元）情况的统计如图所示，下列说法中正确的是（　　） A. 4至5月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同 B. 支出最高值与支出最低值比是 C. 第三季度平均收入为5000元 D. 利润最高的月份是3月份和10月份 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，A，B为双曲线上两点，且满足，为C上异于A，B的动点，则下列结论正确的是（ ） A. C的渐近线方程为 B. 双曲线C的焦点到渐近线的距离为 C. 当时，的面积为6 D. 设MA，MB的斜率分别为，则的最小值为24 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 抛物线 的焦点到准线的距离为________． 13. 已知三角函数的图象关于对称，且其相邻对称轴之间的距离为，则__________. 14. 已知点，动点满足，过点的直线与动点的轨迹相交于两点，若，则直线的方程为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 在中，分别为边所对的角，且满足. （1）求的大小； （2）若，求面积. 16. 新春佳节即将到来，某超市为了刺激消费、提高销售额，举办了回馈大酬宾抽奖活动，设置了一个抽奖箱，箱中放有7折、7.5折、8折的奖券各2张，每张奖券的形状都相同，每位消费者可以从中任意抽取2张奖券，最终超市将在结账时按照2张奖券中最优惠的折扣进行结算． （1）求一位消费者抽到的2张奖券的折扣相同的概率； （2）若某位消费者购买了300元（折扣前）的商品，记这位消费者最终结算时的消费金额为，求的分布列及数学期望． 17. 如图，在三棱柱中，平面平面，． （1）证明：； （2）求二面角的正弦值． 18. 已知数列满足，且，在数列中，，点在函数的图象上. （1）求和的通项公式； （2）将数列和的所有公共项从小到大排列得到数列，求数列的前项和. 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点是上位于第一象限内的一点，且的周长为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与交于另外一点，直线与交于另外一点 ①若，求直线方程； ②记的面积分别为，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学试题 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：高考范围（除导数）． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由一元二次不等式求解确定，再结合交集运算即可求解. 【详解】 又， 可得， 故选：C. 2. 对于变量x，y，其部分成对的观测值如下表所示： x 0 1 2 3 4 y 1 5 6 7 11 已知x，y具有线性相关关系，且根据最小二乘法得到的经验回归方程为，则（ ） A. 2.0 B. 2.2 C. 2.4 D. 2.6 【答案】B 【解析】 【分析】先求出与的值，再代入经验回归方程，求出的值. 【详解】计算 计算 因为样本中心点一定在经验回归直线上，已知 代入方程 解得 故选：B. 3. 在平行四边形中，点满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助平面向量的线性运算计算即可得. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：. 4. 将5封不同的电子邮件发送到4个电子信箱中，则不同的发送方法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】按照分步乘法计数原理计算可得； 【详解】解：依题意，将5封不同的电子邮件发送到4个电子信箱中，共有种发送方法； 故选：B 5. 在等比数列中，，若，，成等差数列，则的公比为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，则，由，，成等差数列得出，结合得出，即可求解． 【详解】设等比数列的公比为，则， 因为，，成等差数列，所以， 又，所以， 所以，故， 故选：B． 6. 已知函数是定义在上的奇函数，且单调递增，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数单调性和奇偶性得到，画出曲线与曲线的图象，数形结合得到答案. 【详解】由奇函数可知， ， 又单调递增，则， 画出曲线与曲线的图象， 可以看出与有两个交点， 且与分别为两交点横坐标， 所以不等式的解集为． 故选：B 7. 在数列中，已知，且，则其前项和的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】采用并项求和的方式，自第二项起每两项作和，结合等差数列求和公式可求得结果. 【详解】. 故选：C. 8. 如图所示，在正方体中，E，F分别为，AB上的中点，且，P点是正方形内的动点，若平面，则P点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点，的中点为，连接，可得四边形是平行四边形，可得∥,同理可得∥.可得面面平行，进而得出P点的轨迹. 【详解】如图所示，取的中点，的中点为，连接， 则∥，，且∥，， 可得∥，且，可知四边形是平行四边形，则∥， 且平面，平面，可得∥平面， 同理可得：∥平面， 且，平面，可知平面∥平面， 又因为P点是正方形内的动点，平面， 所以点在线段上， 由题意可知：，可得， 所以P点的轨迹长度为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. z的虚部为1 D. z在复平面内对应的点位于第一象限 【答案】CD 【解析】 【分析】根据复数运算法则和基本概念即可逐项判断． 【详解】依题意， 对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，z虚部为1，C正确； 对于D，z在复平面内对应的点位于第一象限，D正确. 故选：CD. 10. 刘女士的网店经营坚果类食品，2019年各月份的收入、支出（单位：百元）情况的统计如图所示，下列说法中正确的是（　　） A. 4至5月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同 B. 支出最高值与支出最低值的比是 C. 第三季度平均收入为5000元 D. 利润最高的月份是3月份和10月份 【答案】ACD 【解析】 【分析】 根据折线图，分别求得4至5月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率即可判断A；由折线图得最高值与最低值即可判断B；由表可得7，8，9月每个月的收入，计算得平均值即可判断C；从表中可计算出利润最高与最低，可判断D. 【详解】对于A选项，4至5月份的收入的变化率为，11至12月份的变化率为，因而两个变化率相同，所以A项正确. 对于B选项，支出最高值是2月份60百元，支出最低值是5月份的10百元，故支出最高值与支出最低值的比是，故B项错误. 对于C选项，第三季度的7，8，9月每个月的收入分别为40百元，50百元，60百元，故第三季度的平均收入为百元，故C选项正确. 对于D选项，利润最高的月份是3月份和10月份都是30百元，故D项正确. 综上可知，正确的为ACD， 故选：ACD. 【点睛】本题考查了折线图的简单应用，数据分析处理的简单应用，属于基础题. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，A，B为双曲线上两点，且满足，为C上异于A，B的动点，则下列结论正确的是（ ） A. C的渐近线方程为 B. 双曲线C的焦点到渐近线的距离为 C. 当时，的面积为6 D. 设MA，MB的斜率分别为，则的最小值为24 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，求出，得到渐近线方程，B选项，利用点到直线距离公式进行求解；C选项，由对称性得到为直角三角形，进而由勾股定理和双曲线定义得到方程，求出，求出三角形面积；D选项，利用点差法得到，结合基本不等式求出答案. 【详解】由双曲线的方程可知， 由题意可知，两点关于点对称， 设， 对于，渐近线方程，故A正确； 对于B，焦点到渐近线的距离，故B不正确； 对于C，由对称性可知，，故四边形为平行四边形， 当时，四边形为矩形，为直角三角形，故， 由双曲线定义可得，两边平方得，故， 所以，故C正确； 对于D，设，联立可得，由于， 所以，由，当且仅当时取等号，故D正确． 故选：ACD． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中点弦问题或涉及直线斜率问题时，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 抛物线 焦点到准线的距离为________． 【答案】 【解析】 【详解】 ，所以 ，所以抛物线的焦点到准线的距离为 . 13. 已知三角函数的图象关于对称，且其相邻对称轴之间的距离为，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由其相邻对称轴之间的距离为，确定函数的周期，结合周期与的关系求，结合对称轴求. 【详解】由题意可知，，所以， 所以，所以， 又函数的图象关于对称， 又，且， 所以. 故答案为：. 14. 已知点，动点满足，过点的直线与动点的轨迹相交于两点，若，则直线的方程为__________. 【答案】或. 【解析】 【分析】首先利用两点距离公式求出 动点的轨迹，然后根据弦长和半径求出圆心到直线的距离，最后根据点到直线距离公式求出直线的方程. 【详解】设，因为，所以 ，化简得. 所以动点的轨迹是以为圆心，半径为2的圆. 因为弦长，所以圆心到直线的距离. 设直线的方程为，即. 所以圆心到直线的距离为， 解得，所以直线的方程为或. 即或. 故答案为：或. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 在中，分别为边所对的角，且满足. （1）求的大小； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，求解即可； （2）利用余弦定理求出边长，结合三角形面积公式可求得结果. 【小问1详解】 ， ， 又，由正弦定理得， ； 【小问2详解】 在中，由余弦定理得， ，则，解得（舍），， . 16. 新春佳节即将到来，某超市为了刺激消费、提高销售额，举办了回馈大酬宾抽奖活动，设置了一个抽奖箱，箱中放有7折、7.5折、8折的奖券各2张，每张奖券的形状都相同，每位消费者可以从中任意抽取2张奖券，最终超市将在结账时按照2张奖券中最优惠的折扣进行结算． （1）求一位消费者抽到的2张奖券的折扣相同的概率； （2）若某位消费者购买了300元（折扣前）的商品，记这位消费者最终结算时的消费金额为，求的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2）的分布列见解析； 【解析】 【分析】（1）利用古典概型概率公式计算即得； （2）根据题意写出消费金额所有可能的值，分别计算对应的概率的值，列出分布列，用公式计算数学期望即可. 【小问1详解】 每位消费者从7折、7.5折、8折奖券各2张中任意抽取2张奖券，有种方法， 而“抽到的2张奖券的折扣相同”的情况有3种，故其概率为：； 【小问2详解】 依题意，消费金额的可能的值有：210， 225和 240共三个. ， ， . 则的分布列为： 210 225 240 故数学期望. 17. 如图，在三棱柱中，平面平面，． （1）证明：； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用直线与平面垂直证明两直线垂直；（2）利用空间向量法求解二面角的正弦值； 【小问1详解】 取AC的中点，则，且， 因为平面平面ABC，且平面平面平面ABC， 所以平面 因为平面， 所以， 因为， 又因平面平面， 又平面； 【小问2详解】 如图所示，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 可得， 因为， 设平面的法向量为， 则由得 令，则， 设平面的法向量为， 则由得 令，则， 记二面角的平面角为， 因为， 显然，所以， 所以二面角的正弦值为. 18. 已知数列满足，且，在数列中，，点在函数的图象上. （1）求和的通项公式； （2）将数列和的所有公共项从小到大排列得到数列，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据数列的递推式采用两式相减的方法可得，再结合等比数列定义即可得的通项公式，由点在函数的图象上，可得，结合等差数列定义可得的通项公式； （2）由题意可得，结合等比数列与等差数列求和公式分组计算即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以当时，， 所以， 所以，所以，又，， 所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以， 因为点在函数的图象上，所以，即， 又，所以是首项为2，公差为2的等差数列，所以； 【小问2详解】 因为是所有的正偶数，又，所以，所以 . 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点是上位于第一象限内的一点，且的周长为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与交于另外一点，直线与交于另外一点. ①若，求直线的方程； ②记的面积分别为，求的最大值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据离心率公式和焦点三角形周长以及关系得到方程，解出即可； （2）①设，根据向量关系得到，再代入椭圆方程，并结合在椭圆上，从而得到方程组，解出坐标即可得到直线方程； ②设，求出直线的方程，将其与椭圆方程联立得到点坐标，再求出直线的方程，将其与椭圆方程联立得到点坐标，根据写出面积表达式，最后利用基本不等式即可求出最值. 【小问1详解】 由题意知. 解得，所以的标准方程为. 【小问2详解】 ①由(1)知，设， 所以，又， 所以， 解得， 所以，又，解得， 又点是上位于第一象限内的一点，所以， 所以，所以直线的方程为， 即； ②设，所以直线的方程为， 由，得，所以， 解得， 所以. 当时，直线的方程为， 由，得， 所以，解得，所以， 所以， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 若轴时，令，解得（负舍）， 则，此时，， 此时， 所以的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问第二小问的关键是解出点坐标，从而得到面积表达式，最后求出其最值即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$