精品解析：广东省清远市连州中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

2024-2025学年第一学期期中考试 高二数学 一、单选题：本小题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1. 已知向量，若，则（ ） A 2 B. C. -2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量平行的充要条件列出方程即可求解. 【详解】因为向量，且，所以，解得. 故选：D. 2. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求解一元二次不等式得出集合B，再应用并集定义计算求解. 【详解】由，所以． 所以． 故选：A. 3. 如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象结合斜率及倾斜角的关系分别判断即可. 【详解】设直线,的倾斜角为，由图可知，所以，即，，所以． 故选：D 4. 已知空间直角坐标系中，点关于坐标原点的对称点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征可求得，结合空间中两点间距离公式可求得结果. 【详解】点关于坐标原点的对称点为，. 故选：B. 5. 已知直线，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的倾斜角是钝角 B. 的一个方向向量为 C. 点到直线的距离为 D. 与直线垂直 【答案】B 【解析】 【分析】求得斜率判断A；求得直线的一个方向量判断B；求得点到直线的距离判断C；求得两直线的斜率之积判断D. 【详解】由，得直线，所以直线的斜率， 所以直线的倾斜角是锐角，故A错误； 所以直线的一个方向向量为，又直线的一个方向向量也可为，故B正确； 点到直线的距离，故C错误； 直线的斜率为，所以， 所以直线与直线不垂直，故D错误. 故选：B. 6. 棱长为的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据正方体结构特征求出球的半径，再结合球的表面积公式即可求解. 【详解】球的直径即为正方体的体对角线，设球的半径为，则， 所以球的表面积为. 故选：B. 7. 直线：与直线：的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行线间的距离公式可直接求解. 【详解】设 与距离为d， 则 . 故选：B. 8. 已知三棱锥平面，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过平移直线与，将求异面直线所成转化为求，然后求出三角形的三条边长，利用余弦定理即可求解. 【详解】 如图，令 分别取的中点，并连接, 所以 , 所以异面直线与所成角等于， 因为三棱锥平面，又平面,平面 所以, 因为三棱锥平面， 所以 所以 又因为三棱锥平面， 所以，又 所以，所以 所以在三角形中，， 即异面直线与所成角的余弦值为， 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于直线，下列选项正确的是（ ） A. 直线l恒过点 B. 当时，直线l在y轴上的截距为3 C. 若直线l不经过第二象限，则 D. 坐标原点到直线l的距离的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】将方程变形为，即可列方程求解定点判断A，令，即可求解截距判断B，取，即可判断C，根据垂直即可求解最大距离判断D. 【详解】已知直线，则， 由，得， 所以直线恒过点，故A正确； 当时，直线,令，，故在轴上的截距为，B错误， 当时，直线的方程为，直线不经过第二象限，故C不正确； 因为直线过定点， 所以坐标原点到直线的距离的最大值为，故D正确． 故选：AD． 10. 在空间直角坐标系中，已知，则以下正确的是（ ） A. B. 夹角的余弦值为 C. A，B，C，D共面 D. 点O到直线的距离是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间向量数量积的坐标运算以及夹角计算公式即可求解A,B,根据共面向量基本定理可判断C，根据点线距离的向量法即可判断D. 【详解】因为，所以，A正确； 夹角的余弦值为，所以B错误； 因为，所以，所以A，B，C，D共面，所以C正确； 因为，所以，所以点O到直线AB的距离是，D正确． 故选:ACD． 11. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，下列说法正确的有（ ） A. 当点是中点时，直线平面； B. 直线到平面的距离是； C. 存在点，使得； D. 面积的最小值是 【答案】AC 【解析】 【分析】根据线面平行的判定判断A；根据等体积法求得点到平面的距离判断B；建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积运算解决垂直问题判断C；求出面积的表达式，再求得面积的最小值判断D. 【详解】对于A，由是中点，，得点是的中点，连接，显然也是的中点，连接， 于是，而平面，平面，所以直线平面，A正确； 对于B，分别是棱的中点，则，平面，平面，于是平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离h， ， ，，， 由，得，B错误； 以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，, 对于C，设，则，，，， 由，得，解得， 由于，因此存在点，使得，C正确； 对于D，由选项C得在的投影点为， 则P到的距离， 面积为 ，所以当时，取得最小值为，D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 若，则________． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】根据复数的运算求解和，再求即可. 【详解】由可得 ， 则共轭复数， 所以． 故答案为：. 13. 已知一组数据1，2，0，，x，1的平均数是1，则这组数据的中位数为______. 【答案】1 【解析】 【分析】由平均数的公式求得，根据中位数的概念求出结果. 【详解】这组数据的平均数为， 有， 可求得. 将这组数据从小到大重新排列后，观察数据可知最中间的两个数是1与1， 其平均数即中位数是. 故答案为：1. 14. 已知点P在直线上，点，则的最小值为________ 【答案】 【解析】 【知识点】求点关于直线的对称点后可求线段差的最小值. 【详解】如图，设关于直线的对称点为，则， 解得，则， 于是， 结合图形知，当三点共线时，此时取得最小值， 即取得最小值为 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知直线． （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用垂直的性质可设斜截式直线方程，利用待定系数法求解直线即可； （2）利用截距为0和不为0分类讨论，再结合过原点直线方程和截距式直线方程求解即可. 【小问1详解】 由直线可得斜率为， 所以根据垂直关系可设所求直线方程为， 则依题意有，解得， 所以所求直线方程为，整理得； 【小问2详解】 联立，解得，即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为， 代入得，此时； 当直线的截距都不为0时，假设直线方程为， 依题意，解得，此时直线方程为，即 综上所述：所求直线方程为或． 16. 我国发射的天宫一号飞行器需要建造隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本是6万元，天宫一号每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式：，若无隔热层，则每年能源消耗费用为5万元，设为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和. （1）求值和的表达式； （2）当隔热层修建多少厘米厚时，最小？请说明理由并求出最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据关系式：无隔热层，则每年能源消耗费用为万元，可求值，利用为隔热层建造费用与使用年的能源消耗费用之和，可求函数关系式； （2）利用基本不等式，即可求得函数的最小值． 【小问1详解】 当时，,则， 故， 所以; 【小问2详解】 由，，当且仅当，即取等号， 故时， 即隔热层修建厘米厚时，总费用达到最小，最小值为万元. 17. 已知，其中向量， （1）求的最小正周期以及其在的单调增区间； （2）在中，角的对边分别为，若，求角的值． 【答案】（1）和 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据平面向量的数量积坐标公式计算后再结合正弦函数的周期及增区间求解，最后根据已知区间得出单调增区间； （2）根据已知函数值求出，再应用正弦定理求出，进而求出角. 【小问1详解】 ， 最小正周期 ， 其增区间满足 ， 即， 令，有，令，有， 故在上的单调增区间为和； 【小问2详解】 时，有， 而中，，故，即， 由正弦定理，得或（舍）, 所以. 18. 甲、乙二人进行一次围棋比赛，采用5局3胜制，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局． （1）求再赛2局结束这次比赛的概率； （2）求甲获得这次比赛胜利的概率． 【答案】（1）0.52 （2）0.648 【解析】 【分析】（1）再赛2局结束这次比赛分“第三、四局甲胜”与“第三、四局乙胜”两类情况，根据根据互斥事件的概率和及独立事件同时发生的概率求解可得； （2）由题意，甲获得这次比赛胜利只需后续比赛中甲先胜两局即可，根据互斥事件的概率和及独立事件同时发生的概率求解即可. 【小问1详解】 用表示事件“第局甲胜”，表示事件“第局乙胜”（）， 设“再赛2局结束这次比赛”为事件，则， 由于各局比赛结果相互独立，且事件与事件互斥. 所以 ． 故再赛2局结束这次比赛的概率为. 【小问2详解】 记“甲获得这次比赛胜利”为事件， 因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲成为胜方当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局， 从而， 由于各局比赛结果相互独立，且事件，，两两互斥， 所以. 故甲获得这次比赛胜利的概率为. 19. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，垂直于和，，．是棱的中点． （1）求证：面； （2）求二面角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点使得与平面所成角的正弦值为若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2) ； (3)答案见解析. 【解析】 【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，利用平面的法向量即可证明平面； （2）分别求出平面与平面的法向量，利用法向量的夹角即可得出； （3）假设存在，利用线面角的夹角公式即可得出表达式，解方程即可。 【详解】解：（1）以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ，，，， ． 则，，． 设平面的法向量是，则，即 令，则，．于是． ，． 又平面，平面． （2）设平面的法向量为．则， 即据此可得平面一个法向量, 设二面角的平面角大小为，易知： 则，即． 二面角的正弦值为． （3）假设存在满足题意的点，且：， 设点N的坐标为，据此可得：， 由对应坐标相等可得， 故，由于平面的一个法向量， 由题意可得： 解得：， 据此可得存在满足题意点，且的值为. 【点睛】熟练掌握建立空间直角坐标系利用平面的法向量即可证明平面、平面与平面的法向量的夹角求出二面角、线面角的夹角公式是解题的关键，属于中档题。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期期中考试 高二数学 一、单选题：本小题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1. 已知向量，若，则（ ） A. 2 B. C. -2 D. 2. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知空间直角坐标系中，点关于坐标原点的对称点为，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的倾斜角是钝角 B. 的一个方向向量为 C. 点到直线的距离为 D. 与直线垂直 6. 棱长为的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 直线：与直线：的距离是（ ） A. B. C. D. 8. 已知三棱锥平面，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于直线，下列选项正确的是（ ） A 直线l恒过点 B. 当时，直线l在y轴上的截距为3 C. 若直线l不经过第二象限，则 D. 坐标原点到直线l的距离的最大值为 10. 在空间直角坐标系中，已知，则以下正确是（ ） A. B. 夹角的余弦值为 C. A，B，C，D共面 D. 点O到直线的距离是 11. 如图，在棱长为2正方体中，，分别是棱，的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，下列说法正确的有（ ） A. 当点是中点时，直线平面； B. 直线到平面的距离是； C. 存在点，使得； D. 面积的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 若，则________． 13. 已知一组数据1，2，0，，x，1的平均数是1，则这组数据的中位数为______. 14. 已知点P在直线上，点，则的最小值为________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知直线． （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 16. 我国发射的天宫一号飞行器需要建造隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本是6万元，天宫一号每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式：，若无隔热层，则每年能源消耗费用为5万元，设为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和. （1）求值和的表达式； （2）当隔热层修建多少厘米厚时，最小？请说明理由并求出的最小值. 17 已知，其中向量， （1）求的最小正周期以及其在的单调增区间； （2）在中，角的对边分别为，若，求角的值． 18. 甲、乙二人进行一次围棋比赛，采用5局3胜制，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局． （1）求再赛2局结束这次比赛的概率； （2）求甲获得这次比赛胜利的概率． 19. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，垂直于和，，．是棱的中点． （1）求证：面； （2）求二面角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点使得与平面所成角正弦值为若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$