精品解析：2025年陕西省中考数学试题

2025年陕西省初中学业水平考试数学试卷 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题，共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 计算：（ ） A. 1 B. C. 9 D. 2. 上马石是古人上下马的工具，形状如图①．它可以看作图②所示的几何体，该几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点 在直线 上，平分．若，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在 中，，， 为 边上的中线，，则图中与互余的角共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 6. 在平面直角坐标系中，过点，的直线向上平移3个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正方形 的边长为4，点 为 的中点，点 在 上，，则的面积为（ ） A. 10 B. 8 C. 5 D. 4 8. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与 轴有两个交点，且这两个交点分别位于 轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（ ） A. 图象的开口向下 B. 当时， 的值随 值的增大而增大 C. 函数的最小值小于 D. 当时， 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 满足的整数可以是______（写出一个符合题意的数即可）． 10. 生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为______． 11. 草莓熟了，学校组织同学们参加劳动实践，帮助果农采摘草莓．小康和小悦采摘的时长相同，采摘结束后，小康采摘的草莓比小悦多．已知小康平均每小时采摘，小悦平均每小时采摘，小康采摘的时长是______小时． 12. 如图， 为 的直径，，，则的度数为______． 13. 如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，则的值为______． 14. 如图，在中，，，．动点 ， 分别在边 ， 上，且，以为边作等边，使点 始终在的内部或边上．当的面积最大时，的长为______． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 解不等式组： 17. 化简：． 18. 如图，已知，点 在边 上．请用尺规作图法，在的内部求作一点 ，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，点 是 的边延长线上一点，，，．求证：． 20. 某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”（分别记作 ， ， ， ， ）共五个研究方向，并采取小组合作的研究方式．同学们在五张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同． （1）将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为______； （2）各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向．将这五张卡片背面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率． 21. 小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度．在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面上的点 处安装测角仪，测得信号杆顶端 的仰角为，与坡面的夹角为，又测得点 与信号杆底端 之间的距离为．已知，点 ， ， 在同一条直线上， ，均与水平线垂直．求信号杆的高 ．（参考数据：，，） 22. 研究表明，一定质量的气体，在压强不变的条件下，气体体积与气体温度成一次函数关系．某实验室在压强不变的条件下，对一定质量的某种气体进行加热，测得的部分数据如下表： 气体温度 … 25 30 35 … 气体体积 … 596 606 616 … （1）求 与 的函数关系式； （2）为满足下一步的实验需求，本次实验要求气体体积达到时停止加热．求停止加热时的气体温度． 23. 为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，某校在“中国航天日”当天开展了研学活动，随后采取自愿报名的方式，组织了航天知识竞赛．竞赛结束后，从竞赛成绩（单位：分 满分100分 均不低于60分）中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图： 其中B组共有15个成绩，从高到低分别为：89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，81，81，80，80，80． 根据以上信息，解答下列问题： （1）B组15个成绩的平均数为______分； （2）本次被抽取的所有成绩的个数为______，本次被抽取的所有成绩的中位数为______分； （3）学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有500名学生参加竞赛，请估计本次竞赛的获奖人数． 24. 如图，点 在 的边 上，以 为半径的⊙ 与 相切于点 ，与相交于点 ，为⊙ 的直径，与 相交于点 ，． （1）求证：； （2）若， ，求的长． 25. 某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点 到 的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点 ， 在上，点 ， 分别在，上，，，．以 为原点，以 所在直线为 轴，以所在直线为 轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知抛物线的函数表达式为，，求的长． 26. 问题探究 （1）如图①，在 中，请画出一个，使得点 ， ， 分别在边 ， ，上； （2）如图②，在矩形 中，，， 为矩形 内一点，且满足，周长的最小值； 问题解决 （3）为了进一步提升游客的体验感，某公园管理部门准备在花海边沿与游客服务中心之间的草地上选址修建一条笔直的步道及一个观景台．如图③所示， 区域为草地，线段为花海边沿，点 为游客服务中心，线段 为步道，点 和点 为步道口，点 为观景台．按照设计要求，点 ， 分别在边 ， 上，且满足， 为 的中点，为保证观赏花海的最佳效果，还需使最大．已知，，请你帮助公园管理部门确定观景台的位置（在图中画出符合条件的点），并计算此时步道口 与游客服务中心 之间的距离．（步道的宽及步道口、观景台、游客服务中心的大小均忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年陕西省初中学业水平考试数学试卷 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题，共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 计算：（ ） A. 1 B. C. 9 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据有理数的加法运算法则进行计算，即可作答． 【详解】解：， 故选：B． 2. 上马石是古人上下马的工具，形状如图①．它可以看作图②所示的几何体，该几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三视图，考生解答本题需要熟悉三视图，会观察几何体的三视图．根据俯视图是从上方看到的解答即可． 【详解】解：该几何体的俯视图为： ， 故选：D． 3. 如图，点 在直线 上，平分．若，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，先根据平分，得，故，即可作答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∴， 故选：A． 4. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查单项式与单项式的乘法运算，根据系数相乘，同底数幂相乘，进行计算，即可作答． 【详解】解：， 故选：D． 5. 如图，在 中， ，， 为 边上的中线，，则图中与互余的角共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，根据三角形内角和定理求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，根据等边对等角得出，再结合根据三角形内角和定理求出，最后根据余角的性质求解即可． 【详解】解：∵在 中， ，， ∴， ∵ 为 边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中与互余的角是，共有4个， 故选：C． 6. 在平面直角坐标系中，过点，的直线向上平移3个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的平移性质，求一次函数的解析式，先根据点，，求出这条直线的解析式为，结合平移的性质，得平移后的直线解析式为，再将每个选项进行验证，即可作答． 【详解】解：设过点，的直线解析式为， 把点，分别代入， 得， ∴， ∴， ∵过点，的直线向上平移3个单位长度， ∴平移后的直线解析式为， 当 时，则， 即在直线上，故B选项符合题意，故A选项不符合题意； 当时，则， 即在直线上，故D选项不符合题意； 当时，则， 即在直线上，故C选项不符合题意； 故选：B 7. 如图，正方形 的边长为4，点 为 的中点，点 在 上，，则的面积为（ ） A. 10 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，证明三角形相似是解题的关键． 根据四边形 为正方形，得出，，勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质求出 ，即可求出的面积． 【详解】解：∵四边形 为正方形， ∵ 为 的中点， ， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ， ∴，即， ∴， ∴的面积． 故选：C． 8. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与 轴有两个交点，且这两个交点分别位于 轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（ ） A. 图象的开口向下 B. 当时， 的值随 值的增大而增大 C. 函数的最小值小于 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，由二次函数图象与x轴有两个交点且位于y轴两侧，说明对应方程的两根异号，即常数项与二次项系数符号相反，结合开口方向、顶点坐标及特定点函数值分析选项即可. 【详解】解：由题意可得：方程的两根异号， ∴， 解得， ∴二次项系数，开口向上，故A不符合题意； ∵的对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而增大，故B不符合题意； ∵当 时，， ∴最小值为，故C不符合题意； 当时，， ∵， ∴此时，故D符合题意； 故选：D 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 满足的整数可以是______（写出一个符合题意的数即可）． 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，先整理得，结合，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴整数可以是 ， 故答案为：3（答案不唯一） 10. 生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为______． 【答案】21 【解析】 【分析】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律．根据第1个图案中矩形的个数：；第2个图案中矩形的个数：；第3个图案中矩形的个数：；…第n个图案中矩形的个数：，算出第10个图案中矩形个数即可． 【详解】解：∵第1个图案中矩形的个数：； 第2个图案中矩形的个数：； 第3个图案中矩形的个数：； … 第n个图案中矩形的个数：， ∴则第10个图案中矩形的个数为：， 故答案为：21． 11. 草莓熟了，学校组织同学们参加劳动实践，帮助果农采摘草莓．小康和小悦采摘的时长相同，采摘结束后，小康采摘的草莓比小悦多．已知小康平均每小时采摘，小悦平均每小时采摘，小康采摘的时长是______小时． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据采摘的质量得出等式是解题关键．利用小康采摘的草莓比小悦多得出等式求出答案． 【详解】解：设两小组采摘了 小时， 依题意：， 解得：， 因此，两小组采摘了小时． 故答案为：． 12. 如图， 为 的直径，，，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据 为 的直径，，则，再根据，即，代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵ 为 的直径，， ∴， 即， ∵， ∴， 则， 故答案为：． 13. 如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，则 的值为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求反比例函数的解析式，关于原点对称的点的性质，先根据题意得出，，解得， ，即，再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点， ∴，两点关于原点 对称， 即A的横坐标与B的横坐标互为相反数，A的纵坐标与B的纵坐标互为相反数， ∴，， ∴， ， ∴， 把代入， 得， 解得， 故答案为：9． 14. 如图，在中，，，．动点 ， 分别在边 ， 上，且，以 为边作等边，使点 始终在 的内部或边上．当的面积最大时，的长为______． 【答案】5 【解析】 【分析】如图，在中，得出，根据是等边三角形，得出，连接，证明，得出，则，作的平分线交 于点 ，证明是等边三角形，得出，根据，得出直线和直线 重合，确定点 在 上运动，根据的面积，得出最大时，的面积最大，当点 与点 重合时，的面积最大，此时，根据等边三角形的性质得，则，得出． 【详解】解：如图，在中，，，， 则， ∵是等边三角形， ∴， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 作的平分线交 于点 ， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴直线和直线 重合， 即点 在 上运动， ∵的面积， 则最大时，的面积最大， 根据题意可得当点 与点 重合时，最大，即的面积最大， 此时，如图， 则， ∴， ∴， 故答案为：5． 【点睛】该题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质，解直角三角形等知识点，确定点 的轨迹是解题的关键． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 先计算二次根式的乘法、化简二次根式、化简绝对值、零次幂，再合并即可． 【详解】解： ． 16. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 由①得，； 由②得，， ∴原不等式组的解集为：． 17. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先进行括号内分式的减法运算，再将除法化为乘法计算． 【详解】解： ． 18. 如图，已知，点 在边 上．请用尺规作图法，在的内部求作一点 ，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，点 即为所求； 【解析】 【分析】本题考查尺规基本作图—作角的平分线，作一角等于已知角，平行线的性质，熟练掌握尺规基本作图是解题的关键．先作的平分线，再在 同侧作，使 ， 交于P即可． 【详解】解：理由如下： 由作图可知：是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴点 即为所求． 19. 如图，点 是 的边 延长线上一点，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先根据平行得到，再证明即可． 【详解】略 20. 某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”（分别记作 ， ， ， ， ）共五个研究方向，并采取小组合作的研究方式．同学们在五张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同． （1）将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为______； （2）各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向．将这五张卡片背面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了用列表或画树状图求概率，概率公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，得一共有五张卡片，卡片内容是“科技”的有一张，运用概率公式进行计算，即可作答． （2）先理解题意，再画树状图，得到一共有种等可能的结果，其中这两个小组研究方向不同的等可能结果有种，运用概率公式进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，一共有五张卡片，卡片内容是“科技”的有一张， ∴将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：依题意，画树状图如下所示： ∴一共有种等可能的结果，其中这两个小组研究方向不同的等可能结果有种， ∴这两个小组研究方向不同的概率． 21. 小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度．在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面上的点 处安装测角仪 ，测得信号杆顶端 的仰角为， 与坡面的夹角为，又测得点 与信号杆底端 之间的距离为．已知，点 ， ， 在同一条直线上， ， 均与水平线垂直．求信号杆的高 ．（参考数据：，，） 【答案】信号杆的高 为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，三角形内角和性质，矩形的判定与性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，得出，再在中，运用，，代入数值进行计算，得出的值，然后证明四边形是矩形，故，根据，，得，，把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：过点E作于点 ，过点D作于点，如图所示： ∵ ， 均与水平线垂直． ∴ ∴， ∵ ∴ 在中，， 则， 在中，， 则， ∵过点E作于点 ，过点D作于点， ∴， ∴四边形是矩形 ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 信号杆的高 为． 22. 研究表明，一定质量的气体，在压强不变的条件下，气体体积与气体温度成一次函数关系．某实验室在压强不变的条件下，对一定质量的某种气体进行加热，测得的部分数据如下表： 气体温度 … 25 30 35 … 气体体积 … 596 606 616 … （1）求 与 的函数关系式； （2）为满足下一步的实验需求，本次实验要求气体体积达到时停止加热．求停止加热时的气体温度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】该题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解题意． （1）根据待定系数法求解即可； （2）令，求解即可． 【小问1详解】 解：设 与 的函数关系式为， 则，解得， 故 与 的函数关系式为． 【小问2详解】 解：令， 则，解得：， 答：停止加热时的气体温度为． 23. 为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，某校在“中国航天日”当天开展了研学活动，随后采取自愿报名的方式，组织了航天知识竞赛．竞赛结束后，从竞赛成绩（单位：分 满分100分 均不低于60分）中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图： 其中B组共有15个成绩，从高到低分别为：89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，81，81，80，80，80． 根据以上信息，解答下列问题： （1）B组15个成绩的平均数为______分； （2）本次被抽取的所有成绩的个数为______，本次被抽取的所有成绩的中位数为______分； （3）学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有500名学生参加竞赛，请估计本次竞赛的获奖人数． 【答案】（1） （2）， （3）人 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图、用样本估算总体，平均数，中位数的含义． （1）直接利用平均数公式计算即可； （2）由B组人数除以其百分比即可得到总数据的个数，再利用中位数的含义求解中位数即可； （3）由总人数乘以本次竞赛成绩90分及以上的学生的百分比即可得到答案. 【小问1详解】 解：B组15个成绩的平均数为： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴本次被抽取的所有成绩的个数为， ∵，而， 所抽取的50个成绩分数排序后排在第个，第个分数落在B组， 而B组成绩排序后为： 从高到低分别为：89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，81，81，80，80，80． ∴第个，第个分数， 本次被抽取的所有成绩的中位数为分； 【小问3详解】 解：学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有500名学生参加竞赛，则本次竞赛的获奖人数为（人）. 24. 如图，点 在 的边 上，以 为半径的⊙ 与 相切于点 ，与 相交于点 ， 为⊙ 的直径，与 相交于点 ，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵以 为半径的⊙ 与 相切于点 ， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接，证明，，即，可得，进一步证明，可得； （2）求解，设 的半径为，结合，可得，可得：，，求解，证明，可得，进一步可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 设 的半径为， ∴，，而，， ∴， 解得：， ∴，，， ∵，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，切线的性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 25. 某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点 到 的距离，，关于所在直线对称． ，，为框架，点 ， 在上，点 ，分别在，上，，，．以 为原点，以 所在直线为 轴，以所在直线为 轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知抛物线的函数表达式为，，求 的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的解析式，因式分解法进行解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，先设抛物线的函数表达式为，结合二次函数的对称性得，再代入进行求解，即可作答． （2）理解题意，得出，再结合抛物线，的函数表达式分别为，，代入，整理得，再解方程，可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点 坐标为， 设抛物线的函数表达式为， ∵， ∴结合二次函数的对称性得， 将代入， 得 则， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得抛物线的函数表达式， ∵，，．，且抛物线的函数表达式为， ∴， 整理得， ∴， ∴， 解得， ∴． 26. 问题探究 （1）如图①，在 中，请画出一个，使得点 ， ， 分别在边 ， ， 上； （2）如图②，在矩形 中，，， 为矩形 内一点，且满足，周长的最小值； 问题解决 （3）为了进一步提升游客的体验感，某公园管理部门准备在花海边沿与游客服务中心之间的草地上选址修建一条笔直的步道及一个观景台．如图③所示， 区域为草地，线段 为花海边沿，点 为游客服务中心，线段 为步道，点 和点为步道口，点 为观景台．按照设计要求，点 ，分别在边 ， 上，且满足， 为 的中点，为保证观赏花海的最佳效果，还需使最大．已知，，请你帮助公园管理部门确定观景台的位置（在图中画出符合条件的点），并计算此时步道口 与游客服务中心 之间的距离．（步道的宽及步道口、观景台、游客服务中心的大小均忽略不计） 【答案】 （1）如图所示： （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先作， 交 于点 ，得出，再以点B为圆心，以 的长为半径画弧，交线段 于一点 ，连接 ，则，故四边形是平行四边形，即可作答． （2）过 点作于点，解得，故 在线段 上运动的，整理，经过分析当有最小值时，则的周长有最小值，即作 点关于 的对称点，当三点共线时，有最小值，即的长，结合矩形的性质以及勾股定理列式计算，得，即可作答． （3）取 的中点 ，取 的中点 ，连接 ，得 是 的中位线，再过点 作，证明，整理，故，再证明四边形是平行四边形，因为 是 的中点，得，11 、证明，，理解题意，得为定值，则点 在 的中位线 上运动，作 的外接圆，当且仅当与 相切时，的值最大，先得出，，运用三角函数得，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：（1）依题意， 先作， 交 于点 ，得出，再以点B为圆心，以 的长为半径画弧，交线段 于一点 ，连接 ， 则， ∵ ∴四边形是平行四边形； （2）如图，过 点作于点， ∵， ∴， 解得， 过点 作且分别与 ， 交于 ， 即 在线段 上运动的， 则， 当有最小值时，则的周长有最小值， 作 点关于 的对称点 ∴，， ∴， 当三点共线时，有最小值，即的长， 即的周长有最小值， ∵ 四边形 是矩形， ∴ ， 在中，， ∴， 此时的周长； （3）如图，取 的中点 ，取 的中点 ，连接 ， ∴ 是 的中位线， 过点 作， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 连接 ∵ 是 的中点，且四边形是平行四边形， ∴， ∴ 是的中点 过 点作于点，过点 作于点 ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，过 点作于点， ∴为定值， ∴为定值， 则点 在 的中位线 上运动， 作 的外接圆，当且仅当与 相切时，的值最大， ， 故， 如图，连接，作于点，于点，连接 ∵与 相切于点 ∴， ∵于点， ∴， ∵， ∴， 故三点共线， ∴， 则， ∴， ∵， 是 的中点， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵点 是 的中点 ，是的中点 ∴是三角形的中位线， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形的相关运算，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，中位线的判定与性质，矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，综合性强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $