专题11.2 积的乘方 幂的综合运算（高效培优讲义）数学沪教版五四制2024七年级上册

专题11.2 积的乘方 幂的综合运算 教学目标 1. 学会积的乘方运算及其逆用； 2. 掌握幂的综合运算及其应用。 教学重难点 1.重点 （1）利用积的乘方性质进行运算； （2）幂的综合运算；幂的乘方性质的逆用； （3）幂的运算有关的求参数问题；求值问题。 2.难点 （1）幂的运算的应用—表示参数之间的关系； （2）幂的运算的其他应用。 知识点1 积的乘方 1.观察 (ab)²=(ab)·(ab)=(a·a)·(b·b)=a²b²; (ab)³=(ab)·(ab)·(ab)=(a·a·a)·(b·b·b)=a³b³. 一般地，设n是正整数，如何计算(ab)n？ 事实上， （乘方的意义） （乘法的交换律、结合律） （乘方的意义） 2.积的乘方性质： (ab)n=anbn(n是正整数). 积的乘方，等于乘方的积. 要点： （1） 公式的推广： (为正整数). （2） 逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如： 3.注意事项 （1）底数可以是任意实数，也可以是单项式或整式. （2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏. （3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加. （4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯. 【即学即练】 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．计算： (1) (2) (3) (4) 4． ． 5．已知，则 ． 6．已知，，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 题型01 积的乘方运算 【典例1】．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】．计算： (1)（m是正整数）； (2)； (3)； (4)． 题型02 幂的综合运算 【典例1】．计算题 (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型03 辨析幂的综合运算 【典例1】．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】．下列算式中，正确的算式有（    ） ①；②；③； ④；⑤；⑥． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型04 根据积的乘方求参数 【典例1】．已知，则m、n的值分别为（    ） A．3、4 B．4、3 C．3、5 D．9、6 【变式1】．若成立，则 ， 【变式2】．已知27b＝9×3a+3，16＝4×22b﹣2，则a+b的值为 ． 【变式3】．已知为正整数，且，求的值为 ． 【变式4】．已知a，b为任意非零实数，且，则 ． 【变式5】．若（m，n是正整数，且），则． 利用上面的结论，解答下面的问题． (1)若，求x的值． (2)若，求x的值． (3)已知，，用含p，q的式子表示． 题型05 积的乘方逆用—因数互为倒数关系 【典例1】．计算： ． 【变式1】．计算： ． 【变式2】．计算： ． 题型06 求值问题 【典例1】．已知：． (1)求的值 (2)已知：，求x的值 【变式1】．已知，，求的值． 【变式2】．（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 题型07 表示参数之间的关系 【典例1】．已知2m=x ，43m=y ，用含有字母x  的代数式表示y ，则y= ． 【变式1】．若，，则代数式与之间关系是 ． 【变式2】．已知：.试用含x，y，z的代数式表示下列各式： (1) (2) (3) 题型08 比较大小问题；幂的运算的综合应用 【典例1】．若，则 （填“”“”或“”）． 【变式1】．下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题． 东东的作业 计算：． 解：原式． (1)计算： ①； ② (2)若，请求出n的值． 【变式2】．若（且，、是正整数），则． 利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，则___________； (2)如果，求的值． (3)如果，求的值． 【变式3】．下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题． 东东的作业 计算：； 解：原式 (1)计算： ①； ②； (2)若，请求出的值． 【变式4】．式子的值的个位数是 ． 【变式5】．阅读下面的材料： 材料一：比较和的大小 解：因为，且，所以，即， 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 材料二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小 解决下列问题： (1)比较、、的大小： (2)比较、、的大小： (3)比较与的大小． 一、单选题 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 4．下列运算结果等于的是（   ） A． B． C． D． 5．有下列计算：①；②；③；④．其中，计算结果为的有（   ） A．①和③ B．①和② C．②和③ D．③和④ 6．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 7．（   ） A． B． C． D． 8．若（，为正整数），下列判断正确的是（   ） A．一定为偶数 B．一定为偶数 C．，一定都为奇数 D．，一定都为偶数 9．已知，，，那么，，之间满足的等量关系是（    ） A． B． C． D． 10．已知，则代数式的值为（　　） A． B． C．1 D．2 二、填空题 11．计算： ． 12．计算的结果是 ． 13．下列计算是否正确？正确的打“”，错误的打“”，并将错误的改正 （1）( ) ；       （2）( ) ； （3）( ) ；    （4）( ) ． 14．填空： （1）已知，则 ， ． （2） ； ． （3）若，则 ． 15．计算： ． 16．已知，则的值为 ． 17．已知，，试用含，的式子表示： ． 18．若x，y均为正数，，则与之间的数量关系为 ． 三、解答题 19．计算： (1)； (2)． 20．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 21．计算： (1) (2)； (3) (4) (5) (6)． 22．计算：（结果用幂的形式表示）． 23．已知，求下列代数式的值：（结果用含的代数式表示） (1)的值； (2)的值； (3)的值． 24．已知为正整数，且，． (1)求的值； (2)求的值． 25．规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”．例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，，故，则，即． (1)根据上述规定，填空：＝__________；（_________，16）＝4； (2)计算＝_________，并说明理由； (3)利用“雅对”定义说明：，对于任意非0整数n都成立． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11.2 积的乘方 幂的综合运算 教学目标 1. 学会积的乘方运算及其逆用； 2. 掌握幂的综合运算及其应用。 教学重难点 1.重点 （1）利用积的乘方性质进行运算； （2）幂的综合运算；幂的乘方性质的逆用； （3）幂的运算有关的求参数问题；求值问题。 2.难点 （1）幂的运算的应用—表示参数之间的关系； （2）幂的运算的其他应用。 知识点1 积的乘方 1.观察 (ab)²=(ab)·(ab)=(a·a)·(b·b)=a²b²; (ab)³=(ab)·(ab)·(ab)=(a·a·a)·(b·b·b)=a³b³. 一般地，设n是正整数，如何计算(ab)n？ 事实上， （乘方的意义） （乘法的交换律、结合律） （乘方的意义） 2.积的乘方性质： (ab)n=anbn(n是正整数). 积的乘方，等于乘方的积. 要点： （1） 公式的推广： (为正整数). （2） 逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如： 3.注意事项 （1）底数可以是任意实数，也可以是单项式或整式. （2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏. （3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加. （4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯. 【即学即练】 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了积的乘方、幂的乘方等知识点，掌握运用幂的运算法则成为解题的关键． （1）直接运用积的乘方法则计算即可； （2）直接运用积的乘方和幂的运算法则计算即可； （3）直接运用积的乘方和幂的运算法则计算即可； （4）直接运用积的乘方和幂的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据幂的乘方法则计算即可得； （2）根据幂的乘方法则计算即可得； （3）根据幂的乘方法则计算即可得； （4）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法即可得． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 3．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了积的乘方和幂的乘方运算，解题的关键是掌握积的乘方和幂的乘方运算法则． （1）利用积的乘方和幂的乘方运算法则求解即可； （2）利用积的乘方运算法则求解即可； （3）利用积的乘方和幂的乘方运算法则求解即可； （4）利用积的乘方和幂的乘方运算法则求解即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 4． ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了积的乘方的逆运算，利用积的乘方的逆运算法则计算即可，掌握积的乘方的逆运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为： 5．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据逆用积的乘方进行计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 6．已知，，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)15 (2)400 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法的逆用以及幂的乘方的逆用与积的乘方的逆用，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． （1）根据幂的乘方运算法则可得，，再根据同底数幂的乘法法则计算即可； （2）根据积的乘方和幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）解：由题意，得，， 原式． （2）解：原式． 题型01 积的乘方运算 【典例1】．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】分别根据积的乘方的运算法则计算即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 【点睛】本题考查了积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了积的乘方，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据积的乘方法则：积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘，据此作答即可． （2）根据积的乘方法则：积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘，据此作答即可． （3）根据积的乘方法则：积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘，据此作答即可． （4）根据积的乘方法则：积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘，据此作答即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式2】．计算： (1)（m是正整数）； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的乘方积的乘方，积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘‌，据此即可求解； （1）根据积的乘方进行计算即可； （2）根据幂的乘方与积的乘方进行计算即可； （3）根据积的乘方进行计算即可； （4）根据积的乘方进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型02 幂的综合运算 【典例1】．计算题 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法，解题的关键是熟练掌握各个运算法则； （1）根据同底数幂相乘、幂的乘方法则可进行求解； （2）根据幂的乘方法则计算，再根据同底数幂相乘可进行求解； （3）根据积的乘方、幂的乘方法则计算，再合并同类项可进行求解； （4）将和看作整体，根据幂的乘方法则可进行求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)0； (6)． 【分析】（1）先运算幂的乘方，然后利用同底数的幂的乘法运算解题； （2）先运算幂的乘方，然后合并解题即可； （3）先运算幂的乘方，同底数的幂的乘法，然后合并解题即可； （4）先运算积的乘方，然后利用同底数的幂的乘法运算解题； （5）先运算幂的乘方，然后同底数的幂的乘法，最后合并解题即可； （6）先运算幂的乘方，然后同底数的幂的乘法，最后合并解题即可． 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式； （5）原式； （6）原式． 【点睛】本题主要考查幂的运算，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方、同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用等知识，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据幂的乘方与积的乘方法则计算即可得； （2）先计算幂的乘方与积的乘方，再计算同底数幂的乘法即可得； （3）先计算积的乘方与幂的乘方，再计算整式的加减法即可得； （4）先将带分数化成假分数，再利用同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用计算即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 题型03 辨析幂的综合运算 【典例1】．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的运算，包括合并同类项、同底数要的乘法、幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练练握这些运算的法则并正确运用． 根据整式运算的相关法则，对每个选项逐一进行计算判断． 【详解】A、与中的指数不同，不是同类项，不能合并，该选项错误； B、，该选项错误； C、，该选项错误； D、，该选项正确． 故选：D． 【变式1】．下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的乘方，积的乘方，同底数幂乘法和合并同类项等计算，熟知相关计算法则是解题的关键，注意同底数幂乘法指数是相加，积的乘方和幂的乘方指数是相乘． 【详解】解：A，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B，，原式计算错误，不符合题意； C，，原式计算错误，不符合题意； D，，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 【变式2】．下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．利用幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项正确，符合题意； D、不是同类项，选项错误，不符合题意； 故选C． 【变式3】．下列算式中，正确的算式有（    ） ①；②；③； ④；⑤；⑥． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了幂的运算，熟记运算法则是解题的关键，根据幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方进行计算即可得出答案． 【详解】解：①，正确； ②，错误； ③，正确； ④，错误； ⑤，正确； ⑥，错误； 综上分析可知：正确的算式为3个． 故选: C． 题型04 根据积的乘方求参数 【典例1】．已知，则m、n的值分别为（    ） A．3、4 B．4、3 C．3、5 D．9、6 【答案】A 【分析】根据得，得到，计算即可，本题考查了积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】根据得， 故， 解得， 故选A． 【变式1】．若成立，则 ， 【答案】 2 【分析】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的乘方与积的乘方法则是解题关键．先计算等式左边的幂的乘方与积的乘方，再与等式的右边进行比较即可得． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 将代入，得， ∴． 故答案为：2，． 【变式2】．已知27b＝9×3a+3，16＝4×22b﹣2，则a+b的值为 ． 【答案】3 【分析】根据“27b＝9×3a+3”可得3b=a+5，根据“16＝4×22b-2”可得2b=4，分别解出a，b的值即可得出答案. 【详解】∵，即 ∴3b=a+5① ∵，即 ∴2b=4② 由②得b=2，代入①中解得a=1 ∴a+b=1+2=3 故答案为3. 【点睛】本题考查的是幂的乘方和同底数幂的乘法的逆运算，熟练掌握同底数幂相乘和幂的乘方的运算法则是解题的关键. 【变式3】．已知为正整数，且，求的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，积的乘方计算，先根据幂的乘方计算法则求出，，再由积的乘方计算法则和幂的乘方计算法则得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ， ， 故答案为：． 【变式4】．已知a，b为任意非零实数，且，则 ． 【答案】36 【分析】利用同底数幂的乘法、积的乘方计算得到，推出，据此计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵a，b为非零实数， ∴，，解得，， 故． 故答案为：36． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法、积的乘方，熟练掌握运算法则并正确求解是解答的关键． 【变式5】．若（m，n是正整数，且），则． 利用上面的结论，解答下面的问题． (1)若，求x的值． (2)若，求x的值． (3)已知，，用含p，q的式子表示． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了幂的混合运算，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的运算法则是解此题的关键． （1）利用幂的乘方以及同底数幂相乘的运算法则变形为，结合题意得出，计算即可得解； （2）利用幂的乘方法则变形为，结合题意得出，计算即可得解； （3）根据幂的乘方与积的乘方法则化为含有和的式子，即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴． 题型05 积的乘方逆用—因数互为倒数关系 【典例1】．计算： ． 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方的逆运算进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法、积的乘方的逆运算，掌握运算法则是解题的关键． 【变式1】．计算： ． 【答案】 【分析】根据积的乘方的逆运算计算即可． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】题考查积的积的乘方逆用，熟练掌握运算法则并能正确运用是解题的关键． 【变式2】．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查积的乘方和幂的乘方，逆用积的乘方和幂的乘方运算法则进行求解即可． 【详解】解： ． 题型06 求值问题 【典例1】．已知：． (1)求的值 (2)已知：，求x的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的运算，熟记运算法则是关键． （1）根据积的乘方求解即可； （2）根据同底数幂的乘方，幂的乘方以及积的乘方公式求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ （2）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 解得： 【变式1】．已知，，求的值． 【答案】-39 【分析】由幂的乘方的逆运算，同底数幂的逆运算进行计算，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴ ． 【点睛】本题考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂的逆运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题． 【变式2】．（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查幂的混合运算运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）先利用单项式乘单项式及积的乘方的法则对式子进行计算，再代入相应的值运算即可； （2）利用同底数幂的乘法及幂的乘方的运算法则对式子进行计算，再将代入运算即可． 【详解】解：（1）原式 ． 当时，原式． （2）因为， 所以 ． 题型07 表示参数之间的关系 【典例1】．已知2m=x ，43m=y ，用含有字母x  的代数式表示y ，则y= ． 【答案】 【详解】∵y= ，又∵=x ∴y=. 故答案为. 【变式1】．若，，则代数式与之间关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查幂的乘方和积的乘方，解题的关键是熟练掌握以上知识点．利用幂的乘方和积的乘方的运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】．已知：.试用含x，y，z的代数式表示下列各式： (1) (2) (3) 【答案】(1)x z3 (2)x3 y3 (3)x4 y6 【分析】(1)把所求的式子进行整理，使其含有已知条件的形式，从而可求解； (2)把所求的式子进行整理，使其含有已知条件的形式，从而可求解； (3)把所求的式子进行整理，使其含有已知条件的形式，从而可求解． 【详解】（1）解：54a=(2×27)a =2a×27a=2a×33a =2a×(3a)3 =xz3； （2）解：8a+b=8a×8b =(2a)3×(2b)3 =x3y3； （3）解：42a+3b=42a×43b =24a×26b =(2a)4×(2b)6 =x4 y6． 【点睛】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与灵活运用． 题型08 比较大小问题；幂的运算的综合应用 【典例1】．若，则 （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查的是积的乘方和幂的乘方，掌握积的乘方法则和幂的乘方法则是解题的关键． 根据题意得到①，②两式相乘即可得到答案． 【详解】解：∵， ①， 又， ②， 得到，， 即， 故． 故答案为：． 【变式1】．下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题． 东东的作业 计算：． 解：原式． (1)计算： ①； ② (2)若，请求出n的值． 【答案】(1)①；② ； (2) 【分析】本题考查的是积的乘方运算的逆运算，同底数幂的乘法运算的逆运算，幂的乘方运算，熟记运算法则是解本题的关键； （1）①先把原式化为，再计算即可；② 先把原式化为，再计算即可； （2）先把原式化为，可得，再解方程即可. 【详解】（1）解：①； ② ； （2）∵， ∴， ∴， ∴， 解得：. 【变式2】．若（且，、是正整数），则． 利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，则___________； (2)如果，求的值． (3)如果，求的值． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法逆用以及幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练利用幂的乘方对式子进行变形． （）根据（且，是正整数），则即可求解； （）根据幂的乘方法则计算即可； （）根据同底数幂的乘法逆用以及幂的乘方法则计算即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：4 （2）∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； （3） ∵， ∴， ， ∴， ∴， 解得：． 【变式3】．下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题． 东东的作业 计算：； 解：原式 (1)计算： ①； ②； (2)若，请求出的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】 （1）①根据积的乘方及幂的乘方的运算法则得到正确结果；②积的乘方及幂的乘方的运算法则即可得到正确结果； （2）利用幂的乘方运算法则的逆用及同底数幂的乘法法则即可得到的值． 【详解】（1） 解：① ； ② ． （2） 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了同底数幂的乘法法则，积的乘方，幂的乘方的运算法则等相关知识，熟记对应法则是解题的关键． 【变式4】．式子的值的个位数是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了积的乘方运算，以及数字的规律，解题的关键是正确找到的个位数． 根据题意，分别找出和的个位数即可． 【详解】解：原式＝， ∵……， ∴的个位数是每四个数一个循环，即2、4、8、6、2……， ∵ ∴的末位数是6； ∵ ∵ ∴的个位数为2 故答案为：2． 【变式5】．阅读下面的材料： 材料一：比较和的大小 解：因为，且，所以，即， 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 材料二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小 解决下列问题： (1)比较、、的大小： (2)比较、、的大小： (3)比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据，，，再比较底数的大小即可； （2）根据，，，再比较指数的大小即可； （3）根据，，再由，即可得出结论． 【详解】（1）解：，，， ， ， ； （2），，， ， ， ； （3），， ， ． 【点睛】本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法． 一、单选题 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查积的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据积的乘方运算法则即可得出结果． 【详解】解：， 故选：B． 2．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查积的乘方运算，需正确应用幂的运算法则，包括系数和字母部分的分别乘方，以及符号处理．熟练掌握其运算规则是解题的关键． 【详解】解：A、中，系数未乘方，正确结果应为，故错误． B、的系数应立方为，正确结果应为，故错误． C、中，系数，字母部分平方为，平方为，结果为，正确． D、中，系数，字母平方为，正确结果应为，故错误． 故选：C． 3．已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了积的乘方和幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 利用积的乘方运算和幂的乘方法则计算，然后得到，，进而求解即可． 【详解】解：， ，， 解得：，． 故选：C． 4．下列运算结果等于的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的运算，涉及有理数幂的概念，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方等知识，根据这些运算进行即可． 【详解】解：；；； ； 故选：D． 5．有下列计算：①；②；③；④．其中，计算结果为的有（   ） A．①和③ B．①和② C．②和③ D．③和④ 【答案】C 【分析】此题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方运算，根据同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方运算法则对各选项计算后即可得出结果． 【详解】①，不符合题意； ②，符合题意； ③，符合题意； ④，不符合题意． 综上所述，计算结果为的有②和③． 故选：C． 6．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂的乘法法则及幂的乘方法则进行计算即可． 本题考查的是幂的乘方与积的乘方，熟知幂的乘方与积的乘方法则是解答此题的关键． 【详解】解：原式， ． 故选：D． 7．（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的运算法则，掌握同底数幂的乘法运算、积的乘方运算及其逆运算是解题的关键．根据同底数幂的乘法运算、积的乘方运算及其逆运算即可求解． 【详解】解：原式 故选：D． 8．若（，为正整数），下列判断正确的是（   ） A．一定为偶数 B．一定为偶数 C．，一定都为奇数 D．，一定都为偶数 【答案】B 【分析】本题考查了积的乘方，幂的乘方运算，熟记运算法则是解题关键． 根据积的乘方，幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴一定为偶数， 故选：B． 9．已知，，，那么，，之间满足的等量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了积的乘方和幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键． 直接利用积的乘方和幂的乘方运算法则将原式变形得出答案． 【详解】解∶∵，，， 即， ． 故选：D． 10．已知，则代数式的值为（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方，熟练掌握其运算法则是本题的关键． 分别将和的两边次方、次方，得和，将这两个等式的左边和右边分别相乘，得，从而得到，计算即可． 【详解】解：， ，， ， ， ． 故选：C． 二、填空题 11．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方，先把积中的每一个乘数分别乘方，再把所得的幂相乘，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 12．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，幂的乘方，掌握整式的乘方运算是关键． 根据积的乘方，幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为： ． 13．下列计算是否正确？正确的打“”，错误的打“”，并将错误的改正 （1）( ) ；       （2）( ) ； （3）( ) ；    （4）( ) ． 【答案】 【分析】此题考查了积的乘方和幂的乘方运算,根据积的乘方和幂的乘方运算法则求解即可. 【详解】（1）（）； 故答案为：，． （2）（）； 故答案为：，． （3）（）； 故答案为：，．    （4）（）. 故答案为：，． 14．填空： （1）已知，则 ， ． （2） ； ． （3）若，则 ． 【答案】 8 2 144 【分析】此题考查了积的乘方和幂的乘方运算以及逆运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据积的乘方和幂的乘方运算得到，进而比较系数和次数求解即可； （2）据积的乘方和幂的乘方运算法则求解即可； （3）根据积的乘方和幂的乘方的逆运算将原式变形，然后代数求解即可． 【详解】（1）∵ ∴， ∴； 故答案为：8，2； （2）； 故答案为：，； （3）∵ ∴． 故答案为：144． 15．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是积的乘方运算的逆运算，同底数幂的乘法的逆运算，把原式化为，再进一步计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 16．已知，则的值为 ． 【答案】6或 【分析】本题考查了幂的乘方的性质和积的乘方的性质，熟练堂握运算性质是解题的关键． 利用幂的乘方的性质的逆用和积的乘方的性质的逆用，可得，开方即可求得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6或． 17．已知，，试用含，的式子表示： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了逆用幂的乘方和积的乘方．根据逆用幂的乘方和积的乘方公式进行解答即可． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 18．若x，y均为正数，，则与之间的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查幂的运算，根据已知条件得到，进而得到，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题 19．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】解：（1）原式． （2）原式 ． 20．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了积的乘方，再算幂的乘方、同底数幂的乘法，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． 按顺序进行计算，先算积的乘方，再算幂的乘方、同底数幂的乘法，最后算加减． （1）先算积的乘方，再算幂的乘方、同底数幂的乘法； （2）先算积的乘方，再算幂的乘方、同底数幂的乘法； （3）先算积的乘方，再算幂的乘方、同底数幂的乘法，最后算加减； （4）先算积的乘方，再算幂的乘方、同底数幂的乘法，最后算加减． 【详解】（1） ． （2） ． （3） ． （4） ． 21．计算： (1) (2)； (3) (4) (5) (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，注意：（1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．（2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看作整体的代数式通常要用括号括起来．同时考查了实数的运算． （1）根据同底数幂的乘法法则计算即可求解； （2）根据幂的乘方计算即可求解； （3）逆用积的乘方计算即可求解； （4）先算同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方，再合并同类项即可求解； （5）先算幂的乘方，再算积的乘方； （6）先算积的乘方，再根据同底数幂的乘法法则计算即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解：． ． 22．计算：（结果用幂的形式表示）． 【答案】 【分析】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知积的乘方与幂的乘方公式； 根据积的乘方与幂的乘方公式即可求解； 【详解】解： 23．已知，求下列代数式的值：（结果用含的代数式表示） (1)的值； (2)的值； (3)的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了积的乘方的逆运算： （1）利用积的乘方的逆运算，即可求解； （2）利用积的乘方的逆运算，即可求解； （3）利用积的乘方的逆运算，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：； （3）解：． 24．已知为正整数，且，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)72 (2)308 【分析】（1）利用同底数幂的乘法法则以及幂的乘方法则对式子进行整理，在代入相应的值运算即可； （2）利用同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则对式子进行整理，在代入相应的值运算即可． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：，， ． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法的逆用、幂的乘方的逆用、积的乘方，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的运算法则是解题的关键． 25．规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”．例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，，故，则，即． (1)根据上述规定，填空：＝__________；（_________，16）＝4； (2)计算＝_________，并说明理由； (3)利用“雅对”定义说明：，对于任意非0整数n都成立． 【答案】(1)3，±2 (2)，理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）由于，，根据“雅对”的定义可得，； （2）设，，利用新定义得到，，根据同底数幂的乘法得到，然后根据“雅对”的定义得到，从而得到； （3）设：，，利用新定义得到，，根据幂的乘方得到，从而得到，所以，对于任意自然数n都成立． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； 故答案为：3，±2； （2）； 理由如下： 设，，则，， ∴， ∵， ∴； 故答案为： （3）设，， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴， 即，对于任意自然数n都成立． 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方：幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，即（m，n是正整数）． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$