专题08 绝对值-2025年小升初数学无忧衔接（北师大版2024）

专题08 绝对值 预习目标 1 新课轻松学 1 新知速通 2 题型探究 3 题型1、求已知数的绝对值 3 题型2、已知绝对值求数或未知数 4 题型3、已知绝对值求参数的范围 5 题型4、绝对值的概念及意义辨析 6 题型5、绝对值的非负性 7 题型6、绝对值的化简求值 8 题型7、利用绝对值比较有理数的大小 9 题型8、绝对值的实际应用 10 题型9、利用绝对值的几何意义求最值 13 基础通关 15 拓展提优 19 1. 从数形两方面理解绝对值的意义（代数意义和几何意义）； 2. 会求已知数的绝对值；会根据已知绝对值求未知数；体会分类讨论思想； 3. 运用绝对值的非负性解决问题； 4. 能利用绝对值的几何意义求最值，体会数形结合思想。 【思考1】下图中点A与原点之间的距离是多少？点B与原点之间的距离是多少？ 【思考2】在同一条数轴上画出表示以下几对数的点，从你所画的数轴中观察，这几对点到原点的距离是多少？你发现了什么？ ①5与-5            ②2.5和-2.5 【思考3】一个数的绝对值与这个数有什么关系? 【绝对值的历史起源】提起绝对值的起源，就需要从“现代分析学之父”的德国大数学家魏尔斯特拉斯（Weierstrass，1815-1897）说起，他于1841年提出绝对值的定义，距今不到200年的历史。当然，你可能觉得这个时间已经够久远了吧，但是我可以告诉你，我们所崇拜的欧拉，生于1707年，逝于1783年，就是说，那个把无穷级数玩得贼溜，写出了数学史上最多论文的大神，一辈子都没有接触过绝对值。比照这些年份可以看出来，绝对值算是一个出现得非常晚的数学概念了。 1.绝对值的概念 一般地，数轴上表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作。 2.绝对值的非负性 1）取绝对值的结果总是正数或．即：。 2）任何数的绝对值总是非负数，如果几个数的绝对值的和为0，则这几个数都等于0，即|a|+|b|+|c|=0，则a=b=c=0． 3.绝对值的几何意义 一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 离原点距离越远，则这个数的绝对值就越大．离原点距离越近，这个数的绝对值就越小。 注意：①|a|=|a-0|表示数轴上点a的到原点的距离；②|a+b|=|a-（-b）|表示数轴上点a到点（-b）的距离。 4.绝对值的代数意义 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么． 可整理为：，或，或。 注意：①若|a|=a（或|a|-a=0），则a≥0，若|a|= -a（或|a|+a=0），则a≤0． ②互为相反数的两个数的绝对值相等．如：若|a|=|b|，则a=b或a=-b． 5.归纳 ①绝对值等于它本身的数是： 非负数 ；②绝对值大于它本身的数是： 负数 ； ③绝对值等于它的相反数的数是： 非正数 ；④绝对值最小的有理数是： 0 ； ⑤绝对值最小的正整数是： 1 ；⑥绝对值最小的负整数是： -1 ． 引入绝对值这个概念，是为以后的数学转化思想做准备，通过绝对值，将负数转化为正数，这样有理数加法计算问题就可用小学时学的加法进行运算了 6.利用绝对值比较有理数大小的方法： 两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 注意：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤： （1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小． 题型1、求已知数的绝对值 【解题技巧】数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，。 例1．（2024七年级上·全国·专题练习）的绝对值是（   ） A． B． C． D． 例2．（2025·江苏宿迁·二模）下列说法正确的是（   ） A．2025的绝对值是 B．2025的相反数是 C．2025的倒数是 D．2025的相反数的绝对值是 例3．（2025·湖南株洲·三模）下列四个数中，绝对值最小的数是（   ） A． B． C．0 D．1 例4．（24-25七年级上·福建漳州·期中）下列各组两个数互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．3和 D．和 变式1．（2025·江西抚州·二模）的相反数是（    ） A． B． C． D．2025 变式2．（2025·河南平顶山·三模）下列数轴上各点表示的数中绝对值最大的是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 变式3．（24-25七年级上·贵州遵义·阶段练习）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 变式4．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）下列各数中，互为相反数的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 题型2、已知绝对值求数或未知数 【解题技巧】若，当时，；当时，。 根据绝对值的意义，去掉绝对值，转化为两个一元一次方程，解方程即可。 例1．（24-25七年级上·广东广州·期中）若，则 ． 例2．（2024七年级上·全国·专题练习）若，且，则 ；若，则 ． 例3．（24-25七年级上·河北保定·期末）若，则m的值为（   ） A．或 B． C．2或 D． 例4．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）已知，则x的值为 ． 变式1．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）若|x|＝6，则x＝ ；|3﹣π|＝ ． 变式2．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）若，则a是 ；若|－x|=|－8|，则x = ． 变式3．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，则 ． 变式4．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）已知，则 ． 变式5．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）如果，则m，n的关系是（    ） A．互为相反数 B．，且 C．相等且都不小于0 D．m是n的绝对值 题型3、已知绝对值求参数的范围 【解题技巧】若|a|=a（或|a|-a=0），则a≥0，若|a|= -a（或|a|+a=0），则a≤0． 例1．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）如果，那么是（    ） A．正数 B．非负数 C．负数 D．非正数 例2．（24-25七年级上·四川南充·期中）已知数满足，则不可能为（   ） A． B．0 C．1 D．2 例3．（24-25七年级上·内蒙古乌兰察布·期末）如，那么x的取值是 ． 例4．（24-25七年级上·北京·期中）若成立，那么x的取值范围是 ． 变式1．（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）若，则一定是（   ）． A．正数 B．负数 C．正数或零 D．负数或零 变式2．（23-24七年级上·陕西汉中·阶段练习）若，下列的取值能使这个式子成立的是（　　） A． B．1 C．2 D．取任何数 变式3．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）如果，那么x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式4．（23-24七年级上·全国·单元测试）若，则a的值是（   ） A．任意有理数 B．任意一个非负数 C．任意一个非正数 D．任意一个负数 题型4、绝对值的概念及意义辨析 【解题技巧】绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 例1．（24-25七年级下·四川乐山·期中）下列表述中，正确的个数是（　　） ①任何数都有相反数；②0是最小的有理数；③存在绝对值最小的数；④绝对值是同一个正数的数有两个，它们互为相反数；⑤绝对值等于它相反数的数只有负数． A．2 B．3 C．4 D．5 例2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）下列说法正确的是（　　） A．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等 B．有理数a的倒数是 C．一个数的绝对值一定大于或等于这个数 D．一个数的相反数一定小于或等于这个数 例3．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）下列说法：①一定是非负数；②一定是负数；③相反数等于它本身的数是0；④绝对值大于它本身的数是负数．其中正确的序号为（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 例4．（23-24七年级上·山东青岛·期中）一个数的绝对值是它的倒数，这个数是（   ） A．1 B．﹣1 C．0 D．1或－1 变式1．（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）下列说法：①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个数相等，那么这两个数的绝对值一定相等；③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；④有理数绝对值越大，离原点越远．其中正确的有（    ） A．2个 B．1个 C．3个 D．4个 变式2．（2024七年级上·全国·专题练习）给出下面四种说法：①如果两个数的绝对值相等，那么这两个数可能不相等；②一个数的绝对值等于它本身，这个数不是负数；③若，则；④如果，那么．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 变式3．（24-25七年级上·山东滨州·期末）下列结论中正确的是（   ） A．正数和负数互为相反数 B．绝对值是它本身的数是正数 C．有绝对值最小的有理数 D．在数和0之间没有负数 变式4．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）已知m表示有理数，则一定是（   ） A．非正数 B．非负数 C．正数 D．零 题型5、绝对值的非负性 【解题技巧】（1）。（2）根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则=0且=0。 例1．（24-25七年级上·山东威海·期末）若是有理数，则下列说法正确的是（   ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定是负数 D．一定是正数 例2．（24-25七年级上·湖南长沙·期末），则a和b各为（    ） A．， B．1，3 C．1， D．，3 例3．（24-25七年级下·北京·期中）已知实数a，b满足则 ． 例4．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）式子的值可能是（    ） A． B． C． D．0 例5．（24-25七年级上·福建龙岩·期末）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A． B． C． D． 变式1．（23-24七年级上·甘肃庆阳·阶段练习）如果x，y表示两个有理数，且，则（　　） A．x，y互为非零的相反数 B．x，y的符号相反 C．x，y的值有无数个 D． 变式2．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，则的相反数的绝对值为 ． 变式3．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，则，，的值分别是 ． 变式4．（24-25七年级上·四川德阳·期末）当的值最小时， ． 变式5．（2024七年级上·全国·专题练习）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A．2026 B．4049 C．20 D．0 题型6、绝对值的化简求值 【解题技巧】绝对值化简步骤：①判断绝对值符号里式子的正负；②将绝对值符号改为小括号：若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）；③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变； 括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号；④化简。 注意：注意去绝对值符号时与去括号时是否需要变号，及变号的正确性。 例1．（23-24七年级下·湖北孝感·阶段练习）若，则 ． 例2．（23-24七年级上·广东广州·阶段练习）若＜3，化简＝ 例3．（2025·河北唐山·二模）若代数式可以按照如下的方式化简，则x的值可以是（    ） ． A． B． C． D． 例4．（23-24七年级上·山西忻州·期末）数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果为（ ） A． B． C． D． 例5．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”、“＜”或“=”填空：a b，a c； (2)则化简后= ． 例6．（2025八年级下·全国·专题练习）如果，那么化简的结果是（    ） A．0 B． C．2 D．3 例7．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）如果，那么的值是（    ） A．或3 B．或3 C．1或3 D．或 例8．（23-24七年级上·山东潍坊·期末）已知有理数满足，且，那么的值等于 ． 变式1．（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）若，互为相反数，则 ； ． 变式2．（24-25七年级上·江苏南通·期中）当， . 变式3．（24-25七年级下·山东日照·阶段练习）已知的三边长分别为1，4，a，化简：． 变式4．（23-24七年级上·四川南充·期中）有理数，，在数轴上所表示的点的位置如图所示，且，，则化简 ． 变式5．（24-25七年级上·四川南充·期中）已知，有理数a、b、c在数轴上对应A、B、C的位置如图所示： (1) 0， 0， 0， 0（填“<”，“>”，“=”）； (2)化简：． 变式6．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）已知a，b是有理数，且，请求出的值为（      ） A． B．2 C． D．1 变式7．（23-24七年级上·全国·课后作业）已知、、、是有理数，，则 ． 变式8．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知为非零有理数，请你探究以下问题： （1）当时， ； （2）若且，那么的值为 ． 题型7、利用绝对值比较有理数的大小 【解题技巧】正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数，其绝对值大的反而小． 例1．（2025·辽宁盘锦·三模）沸点是液体沸腾时的温度，下表是几种物质在标准大气压下的沸点，则沸点最高的液体是（   ） 气体 氦（） 氢气（） 氮气（） 氧气（） 液化温（） A．液氧 B．液氢 C．液氮 D．液氦 例2．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）用“”“”填空： ． 例3．（24-25七年级上·福建泉州·期末）数、在数轴上的对应点如图所示，则、、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 变式1．（23-24七年级上·山东济南·期末）比较大小： ．（填“”、“”或“”） 变式2．（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）在中用数字3替换其中的一个非零数字后，使所得的数最大．则被替换的数字是 ． 变式3．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）如图，若点A，B，C所对应的数为a，b，c，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 题型8、绝对值的实际应用 【解题技巧】常见三种应用： 1）质量问题，绝对值越小，越接近质量标准； 2）小虫爬行问题，判断小虫是否能重回原点，将所有数据相加与0相比较，求距离时是各数的绝对值，与数的正负性无关； 3）数轴上数的表示问题，点向左移动时，原数减去移动的距离；点向右移动时，原数加上移动的距离。 例1．（24-25七年级上·吉林长春·期末）某公司抽检盒装牛奶的容量，超过标准容量的部分记为正数，不足的部分记为负数．图中是四盒牛奶的检测数据，小聪很快确定了标注数据为这盒牛奶的容量最接近标准．下列能对小聪的判断作出正确解释的数学概念是（    ） A．相反数 B．绝对值 C．倒数 D．正负数 例2．（2025·河南周口·二模）下面是4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的足球是（   ） A． B． C． D． 例3．（24-25七年级上·山东潍坊·期中）水文站以警戒线为标准测量水库的水位，超过警戒线记为正，低于警戒线记为负，下表是一天五次的测量数据，其中第 次测量时水位离警戒线最近． 次序 1 2 3 4 5 水位（厘米） 16 8 例4．（24-25七年级上·吉林·单元测试）在一次体检过程中，七（3）班班长记录了该班6名学生的视力情况，若每名学生的视力以为标准，大于的记为正数，小于的记为负数，记录数据如下： 学生 小明 小颖 小梦 小璐 小杰 小萌 视力 0 (1)这6名学生中哪名学生的视力最差？用学过的知识说明理由； (2)若规定与标准视力相差大于需要配戴眼镜，则6名学生中有几人需要配戴眼镜？ 例5．（2024七年级上·全国·专题练习）一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻? 例6．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）出租车司机小飞某天上午营运全是在南北走向的某条大街上进行的，如果规定向南为正，向北为负，他这天上午的行程是（单位：千米）： ． (1)将最后一名乘客送达目的地时，小张距上午出发点的距离是多少千米？在出发点的什么方向？ (2)若汽车耗油量为升/千米，出车时，邮箱有油升，若小张将最后一名乘客送达目的地，再返回出发地，问小张今天下午是否需要加油？若要加油至少需要加多少才能返回出发地？若不用加油，请说明理由． 变式1．（2025·湖北武汉·模拟预测）一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级上·吉林·期末）党和国家非常重视青少年的身心健康，采取多种举措增强青少年体质．有数据显示，近几年，青少年身体健康状况有一定提升，但肥胖问题仍不容忽视．一种少年儿童的标准体重（单位：）的计算方式为：标准体重（年龄）．下表是七年级某小组位同学的体重情况，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数．表中最接近标准体重同学的编号为 ． 编 号 体重情况 变式3．（24-25六年级上·山东淄博·期中）某工厂的质检员抽查一批零件的质量，从中抽取了5件，根据检查结果 记录如下（已知零件的标准直径为，超过标准直径长度的数量记为正数，不足标准直径长度的数量记为负数．）： 1号零件： ；2号零件：；3号零件：；4号零件：；5号零件： 根据信息回答问题： (1)你认为几号零件的大小最符合标准？ (2)如果规定：误差在之内为正品，误差在之间为次品，误差超过为废品，那么这5个零件，哪件是正品，哪件是次品，哪件是废品？请直接写出你的结论． 变式4．（23-24七年级上·吉林长春·期末）有一批试剂，每瓶标准剂量为200毫升，现抽取8瓶样品进行检测，根据标准计量，用正数表示高于标准量、负数表示低于标准量，统计结果如下（单位：毫升）： ，，，，，，，． (1)这8瓶样品试剂的总剂量是多少？ (2)现在要将这8瓶样品试剂再加工制作成标准剂量，若增加或者减少每瓶试剂剂量的人工费是12元毫升，则共需要多少人工费？ 变式5．（23-24七年级上·四川绵阳·期中）科博会期间，出租车司机小李某天上午营运时是在九洲体育馆门口出发，沿东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接送位乘客的行车里程（单位：）如下：，，，，，，，． (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ (2)若汽车消耗天然气量为，这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？ (3)若出租车起步价为元，起步里程为（包括，超过部分每千米元，问小李这天上午共得车费多少元？ 题型9、利用绝对值的几何意义求最值 【解题技巧】几何意义：表示x到点a的距离 （1）找零点（分界点）；（2）根据零点将数轴分段；（3）利用“数形结合”思想，求解绝对值的值（几何法）；或者根据分段情况，分析绝对值内式子的正负，去绝对值（代数法）。 注：（1）一个式子中有多个绝对值式子时， x前的系数必须相同才可以用该“数形结合”的方法；（2）分段的时候，切不可遗漏数轴上的点，也不可重复讨论。 例1．（24-25七年级上·重庆·期中）若的最小值与的最小值分别为（    ） A．2，4 B．2，1 C．3，5 D．3，1 例2．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）同学们都知道表示5与之差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离，则对于任何有理数x，取最小值时，相应的x的值是 ． 例3．（24-25七年级上·山东菏泽·阶段练习）点A、B在数轴上所对应的数分别是x、y，其中x、y满足．若点D是的中点，O为原点，数轴上有一动点P，、分别表示数轴上P与D，P与O两点间的距离，则的最小值是 ． 例4．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）阅读下面材料：如图，点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离可以表示为，根据阅读材料与你的理解回答下列问题： (1)数轴上表示3与的两点之间的距离是 ； (2)数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为 ； (3)代数式可以表示数轴上有理数x与有理数所对应的两点之间的距离；若，则______； (4)求代数式的最小值为 ． 例5．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期中）已知为任意有理数，则的最小值为 ． 变式1．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）在有理数的绝对值的学习中，我们知道是在数轴上表示数a的点到原点的距离，即表示，类比绝对值的意义，可知就是在数轴上表示数x的点到表示数的点的距离，当取得最小值时，x的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 变式2．（2024七年级·全国·竞赛）已知，，代数式的最小值为 ． 变式3．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）我们知道表示与之差的绝对值，实际上也可以理解为与－3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如可理解为数轴上表示有理数的点与表示数的点之间的距离．试探索： (1)若，则 ； (2)若，则满足条件的的值为 ； (3)根据以上探索，猜想对于任何有理数，是否有最小值，如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． (4)根据以上探索，猜想对于任何有理数，是否有最小值，如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 变式4．（24-25七年级上·广东湛江·期中）先阅读，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 【阅读】：表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】： (1)数轴上表示和两点之间的距离是________；一般地、数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么的值为________． (2)若，，且数、在数轴上表示的点分别是点、点，则、两点间的最大距离是________，最小距离是________； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是________． (4)应用：小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作，小明学校记作2，那么距离和的最小值是：________． (5)拓展：的最小值是：________． 变式5．（24-25七年级上·重庆长寿·期中）当x满足条件 时，取得最大值，最大值为 ； 当x满足条件 时，取得最小值，最小值为 ． 1．（2025九年级下·四川成都·专题练习）的相反数是（ ） A．2024 B． C． D． 2．（23-24七年级上·四川·阶段练习）若，则 ，若，则 ． 3．（24-25七年级上·黑龙江佳木斯·期末）如果甲数的绝对值比乙数的绝对值大，那么（    ） A．甲数一定大于乙数 B．乙数一定大于甲数 C．这两个数不可能都大于零 D．无法判断 4．（23-24七年级上·广西南宁·期中）若，则的范围为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·四川遂宁·期末）已知|5x﹣2|＝2﹣5x，则x的范围是（　　） A． B． C． D． 6．（23-24七年级上·河南驻马店·期末）如果，下列的取值不能使这个式子成立的是（    ） A． B．0 C．1 D．取任何负数 7．（24-25七年级上·湖北宜昌·期末）下列说法正确的个数是（    ） ①0是绝对值最小的有理数； ②两个数比较，绝对值大的反而小； ③可以写成分数形式的数称为有理数； ④相反数大于本身的数是负数． A．1 B．2 C．3 D．4 8．（24-25七年级上·山东聊城·期末）下列说法正确的是（　　） A．有理数不是正数就是负数 B．0既不属于整数也不属于分数 C．若，则是一个非负数 D．有理数的绝对值都是正数 9．（24-25七年级上·云南曲靖·阶段练习）若与互为相反数，则的值为（   ） A． B． C． D．或 10．（24-25七年级上·广西贵港·期末）如果为有理数，式子存在最小值，则这个最小值是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）若为有理数，下列判断：①总是正数，②总是正数；③的最小值为9；④的最大值是1；其中错误的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．（23-24七年级上·全国·期中）若a＜1，|3﹣a|﹣|a﹣1|的化简结果为 ． 13．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）若，求代数式 ． 14．（22-23七年级上·河南南阳·阶段练习）有理数、、在数轴上的位置如图： (1)比较大小（填“”或“”号）．①______；② ______；③______； (2)化简：． 15．（24-25七年级上·黑龙江大庆·阶段练习）若，则 ． 16．（2025·辽宁辽阳·一模）当气体的温度降低到一定程度的时候就会变成液体，人们把这种变化过程叫做液化．初中物理就介绍了下面几种常见气体液化时的温度（标准大气压）： 气体 氧气 氨气 氢气 氮气 液化温度/℃ 其中液化温度最低的气体是 （    ） A．氧气 B．氨气 C．氢气 D．氮气 17．（24-25七年级上·河南省直辖县级单位·期末）党和国家非常重视青少年的身心健康，采取多种举措增强青少年体质，数据显示，近几年，青少年身体健康状况有一定提升，但肥胖问题仍不容忽视．一种少年儿童的标准体重单位：的计算公式为：标准体重年龄．如表是七年级某小组位同学的体重情况，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数，那么表中编号为 的同学的体重最符合标准体重． 编号 体重情况 18．（24-25七年级上·河北唐山·期中）有5名学生参加技能大赛，他们在规定的时间内按要求加工同一种零件．零件质量要求是：零件直径比标准直径可以有的误差．其中超过标准长度的用正数表示，不足标准长度的用负数表示．现将5名学生的加工结果（单位：）记录如下： 张琪 赵阳 李嘉 孙磊 周正 (1)以上5名同学加工的零件中，谁的不符合标准？ (2)以上5名同学加工的零件中，谁的最好？为什么？ 19．（23-24七年级上·宁夏吴忠·阶段练习）尊师重教是我国的传统美德，教师节当天：出租车司机小王在东西方向的街道上免费接送教师，规定向东为正，向西为负，当天出租车的行程如下（单位：km）：，，，，，． (1)小王接送教师当天出租车的总行程是多少千米？ (2)若汽车每千米耗油0.1升，这天小王最后回到起点共耗油多少升？ 20．（24-25七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）如图，四个相邻的整数对应数轴上的点，数对应数轴上的点，则的最小值为 ． 21．（24-25七年级上·湖北荆州·期中）阅读材料： 在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示与在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示与在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离.一般地，点，在数轴上分别表示有理数，，那么，两点之间的距离可以表示为． 回答问题： (1)数轴上表示与的两点之间的距离是______；数轴上表示与的两点之间的距离是______； (2)若，求的值； (3)若，写出整数的值； (4)若代数式的最小值是，请直接写出的值． 22．（24-25六年级上·山东烟台·期末）【阅读理解】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为：表示在数轴上数对应点之间的距离．例如：数轴上表示数和的两点的距离等于． 参考阅读材料，解答下列问题． （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ； （2）数轴上表示和的两点之间的距离是 ； 【问题探究】 （3）若数轴上表示数的点位于与5之间，化简：； （4）利用数轴探究，当的值最小时，相应的数的取值范围； 【实际应用】 （5）请利用问题探究中的结论，求出的最小值； （6）问题：某直线路一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在 ，才能使这2023户居民到点的距离总和最小．（填住户标记字母） 1．（24-25七年级上·浙江·单元测试）若，则之间的关系为 ． 2．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）下列结论：①若为有理数，则；②若，则；③若，则；④若，则，则其中正确的结论的是 （填序号）． 3．（23-24七年级上·江西景德镇·期中）设，，为非零有理数，则算式可能的取值是 4．（24-25七年级上·河南漯河·期末）已知、所表示的数如图所示，下列结论正确的有 ．（只填序号）①；②；③；④；⑤ 5．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）已知数的大小关系如图所示，则下列各式： ①，②，③，④， ⑤，其中正确的有 ．（请填写序号） 6．（24-25七年级上·福建泉州·期中）若，，是整数，且，则的值为 ． 7．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）若，，为整数，且，则的值为 ． 8．（24-25七年级上·福建泉州·期末）的几何意义：数轴上表示数a、数b的两点之间的距离，当时，的值均为定值，则t的最小值是 ． 9．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）同学们，我们都知道：表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： (1)______；______； (2)若数轴上表示数的点位于与6之间，则的值为______； (3)若，则的值是______； (4)的最小值是______，满足最小值时整数x的和是______． 10．（24-25七年级上·重庆綦江·期中）认真阅读下面的材料，完成有关问题：已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则，之间的距离表示为：，，之间的距离表示为：．若点在数轴上表示的数为，则，之间的距离表示为：，，之间的距离表示为：． 利用数轴探究下列问题： (1)的最小值是_____，此时的取值范围______； (2)请按照（）问的方法思考：的最小值是_____，此时的值是_____； (3)如图，在一条笔直的街道上有，，，四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为，已知，，，四个小区各有个，个，个，个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校，聪明的他们通过分析，发现在街道上的处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点的位置和所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值． 11．（24-25七年级上·四川成都·期中）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示在数轴上对应的两点之间的距离；所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上，数轴上两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）． (1)求________；若，则________； (2)的最小值是________；当________时的最小值是________； (3)若，求的最大值和的最大值． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 绝对值 预习目标 1 新课轻松学 1 新知速通 2 题型探究 3 题型1、求已知数的绝对值 3 题型2、已知绝对值求数或未知数 6 题型3、已知绝对值求参数的范围 9 题型4、绝对值的概念及意义辨析 12 题型5、绝对值的非负性 15 题型6、绝对值的化简求值 19 题型7、利用绝对值比较有理数的大小 27 题型8、绝对值的实际应用 30 题型9、利用绝对值的几何意义求最值 36 基础通关 46 拓展提优 59 1. 从数形两方面理解绝对值的意义（代数意义和几何意义）； 2. 会求已知数的绝对值；会根据已知绝对值求未知数；体会分类讨论思想； 3. 运用绝对值的非负性解决问题； 4. 能利用绝对值的几何意义求最值，体会数形结合思想。 【思考1】下图中点A与原点之间的距离是多少？点B与原点之间的距离是多少？ 【思考2】在同一条数轴上画出表示以下几对数的点，从你所画的数轴中观察，这几对点到原点的距离是多少？你发现了什么？ ①5与-5            ②2.5和-2.5 【思考3】一个数的绝对值与这个数有什么关系? 【绝对值的历史起源】提起绝对值的起源，就需要从“现代分析学之父”的德国大数学家魏尔斯特拉斯（Weierstrass，1815-1897）说起，他于1841年提出绝对值的定义，距今不到200年的历史。当然，你可能觉得这个时间已经够久远了吧，但是我可以告诉你，我们所崇拜的欧拉，生于1707年，逝于1783年，就是说，那个把无穷级数玩得贼溜，写出了数学史上最多论文的大神，一辈子都没有接触过绝对值。比照这些年份可以看出来，绝对值算是一个出现得非常晚的数学概念了。 1.绝对值的概念 一般地，数轴上表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作。 2.绝对值的非负性 1）取绝对值的结果总是正数或．即：。 2）任何数的绝对值总是非负数，如果几个数的绝对值的和为0，则这几个数都等于0，即|a|+|b|+|c|=0，则a=b=c=0． 3.绝对值的几何意义 一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 离原点距离越远，则这个数的绝对值就越大．离原点距离越近，这个数的绝对值就越小。 注意：①|a|=|a-0|表示数轴上点a的到原点的距离；②|a+b|=|a-（-b）|表示数轴上点a到点（-b）的距离。 4.绝对值的代数意义 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么． 可整理为：，或，或。 注意：①若|a|=a（或|a|-a=0），则a≥0，若|a|= -a（或|a|+a=0），则a≤0． ②互为相反数的两个数的绝对值相等．如：若|a|=|b|，则a=b或a=-b． 5.归纳 ①绝对值等于它本身的数是： 非负数 ；②绝对值大于它本身的数是： 负数 ； ③绝对值等于它的相反数的数是： 非正数 ；④绝对值最小的有理数是： 0 ； ⑤绝对值最小的正整数是： 1 ；⑥绝对值最小的负整数是： -1 ． 引入绝对值这个概念，是为以后的数学转化思想做准备，通过绝对值，将负数转化为正数，这样有理数加法计算问题就可用小学时学的加法进行运算了 6.利用绝对值比较有理数大小的方法： 两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 注意：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤： （1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小． 题型1、求已知数的绝对值 【解题技巧】数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，。 例1．（2024七年级上·全国·专题练习）的绝对值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值的定义，解题的关键是熟练掌握绝对值的定义． 根据绝对值的定义进行判断即可． 【详解】解：的绝对值是， 故选：B． 例2．（2025·江苏宿迁·二模）下列说法正确的是（   ） A．2025的绝对值是 B．2025的相反数是 C．2025的倒数是 D．2025的相反数的绝对值是 【答案】B 【分析】本题考查了相反数、倒数、绝对值，熟练掌握这几个定义是解题的关键． 根据相反数、倒数、绝对值的定义判断即可． 【详解】解：A． 2025的绝对值是2025，故该选项错误； B． 2025的相反数是，故该选项正确； C． 2025的倒数是，故该选项错误； D． 2025的相反数的绝对值是2025，故该选项错误． 故选B． 例3．（2025·湖南株洲·三模）下列四个数中，绝对值最小的数是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的绝对值，有理数大小的比较，解题的关键是掌握有理数绝对值的求法． 先求出各数的绝对值，然后进行比较即可得答案． 【详解】解：∵，且， ∴绝对值最小的数是0． 故选：C． 例4．（24-25七年级上·福建漳州·期中）下列各组两个数互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．3和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查相反数概念，化简多重符号，化简绝对值，解题的关键在于熟练掌握相关概念．先化简多重符号与绝对值，再结合相反数概念判断各项，即可解题． 【详解】解：A、和，不互为相反数，不符合题意； B、和，互为相反数，符合题意； C、3和互为倒数，不符合题意； D、和，不互为相反数，不符合题意； 故选：B． 变式1．（2025·江西抚州·二模）的相反数是（    ） A． B． C． D．2025 【答案】D 【分析】本题考查了相反数与绝对值，掌握绝对值与相反数的意义是解题的关键；选求出绝对值，再求出相反数即可． 【详解】解：，而的相反数为2025， 故选：D． 变式2．（2025·河南平顶山·三模）下列数轴上各点表示的数中绝对值最大的是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的性质，属于简单题，熟悉绝对值的概念是解题关键． 根据绝对值的性质，一个数的绝对值表示这个数到原点的距离，即可解题． 【详解】解：由图可知A到原点的距离最大， ∴数轴上各点表示的数中绝对值最大的是点A， 故选：A． 变式3．（24-25七年级上·贵州遵义·阶段练习）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的性质，根据绝对值的性质计算即可判断求解，掌握绝对值是性质是解题的关键． 【详解】解：、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 、，该选项错误，不合题意； 故选：． 变式4．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）下列各数中，互为相反数的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题考查了多重符号的化简，绝对值的化简，相反数的概念，根据“奇负偶正”进行符号化简，再根据相反数的概念“只有符号不同的两个数互为相反数”，由此即可求解 ． 【详解】解：A、，原选项的两个数不是相反数，不符合题意； B、，原选项的两个数不是相反数，不符合题意； C、，原选项的两个数不是相反数，不符合题意； D、，原选项的两个数是相反数，符合题意； 故选：D ． 题型2、已知绝对值求数或未知数 【解题技巧】若，当时，；当时，。 根据绝对值的意义，去掉绝对值，转化为两个一元一次方程，解方程即可。 例1．（24-25七年级上·广东广州·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的意义，掌握绝对值的意义是解题的关键． 根据绝对值的意义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 例2．（2024七年级上·全国·专题练习）若，且，则 ；若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键； 根据绝对值的意义进行化简计算即可求解； 【详解】解：， 或， ， ； ， ， ； 故答案为：； 例3．（24-25七年级上·河北保定·期末）若，则m的值为（   ） A．或 B． C．2或 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，掌握绝对值的意义成为解题的关键． 根据绝对值的意义即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即m的值为或． 故选A． 例4．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）已知，则x的值为 ． 【答案】8或2/2或8 【分析】本题考查了绝对值方程，根据绝对值等于一个正数的数有2个求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴或2． 故答案为：8或2． 变式1．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）若|x|＝6，则x＝ ；|3﹣π|＝ ． 【答案】 【分析】直接根据绝对值的意义进行求解即可． 【详解】解：，； ； 故答案为；． 【点睛】本题主要考查绝对值，熟练掌握求一个数的绝对值是解题的关键． 变式2．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）若，则a是 ；若|－x|=|－8|，则x = ． 【答案】 负数或零 【分析】根据绝对值的性质即可解决问题． 【详解】若，则a是负数或零； 若，则． 故答案为：负数或零；． 【点睛】本题考查了绝对值，解题的关键是记住：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值等于0． 变式3．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，则 ． 【答案】3或 【分析】本题考查了绝对值的意义，正确熟练掌握知识点是解题的关键． 直接取绝对值即可． 【详解】解： ∴或． 故答案为：3或. 变式4．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）已知，则 ． 【答案】2或0/0或2 【分析】本题考查绝对值方程，解题的关键是熟记绝对值的意义． 根据绝对值的意义即可求解． 【详解】∵ ∴或 ∴或0． 故答案为：2或0． 变式5．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）如果，则m，n的关系是（    ） A．互为相反数 B．，且 C．相等且都不小于0 D．m是n的绝对值 【答案】B 【分析】本题主要考查绝对值，根据绝对值的非负性，结合等式，分析m与n的关系． 【详解】解：∵， ∴，且， 故选：B． 题型3、已知绝对值求参数的范围 【解题技巧】若|a|=a（或|a|-a=0），则a≥0，若|a|= -a（或|a|+a=0），则a≤0． 例1．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）如果，那么是（    ） A．正数 B．非负数 C．负数 D．非正数 【答案】B 【分析】此题考查绝对值，解题关键在于掌握若，则；若，则；若，则．直接根据绝对值的意义求解即可． 【详解】解：， 是非负数， 故选：B． 例2．（24-25七年级上·四川南充·期中）已知数满足，则不可能为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据非负数的绝对值等于其本身，负数的绝对值等于其相反数，即可解答，掌握绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 由选项可知A，B，C符合，D不符合， 故选：D． 例3．（24-25七年级上·内蒙古乌兰察布·期末）如，那么x的取值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的化简，求不等式的解集，正确理解绝对值的概念是解答本题的关键，绝对值化简方法为．移项得，根据绝对值的化简方法，即可得到答案． 【详解】 ． 故答案为：． 例4．（24-25七年级上·北京·期中）若成立，那么x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了绝对值的性质，根据题意得出，得到或，然后分情况验证即可． 【详解】∵成立， ∴ ∴或 ∴当时，，，等式成立； 当时，，，等式不成立； 综上所述，x的取值范围是． 故答案为：． 变式1．（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）若，则一定是（   ）． A．正数 B．负数 C．正数或零 D．负数或零 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的知识，根据一个数的绝对值是非负数，即可求解． 【详解】解：∵ ∴, ∴，即一定是负数或零 故选：D． 变式2．（23-24七年级上·陕西汉中·阶段练习）若，下列的取值能使这个式子成立的是（　　） A． B．1 C．2 D．取任何数 【答案】A 【分析】根据绝对值的性质得到，即可判断． 【详解】解：∵， ∴， ∴，选项中只有符合， 故选：A． 【点睛】此题考查了绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数，正确掌握绝对值的性质是解题的关键． 变式3．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）如果，那么x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴． 故选：B． 变式4．（23-24七年级上·全国·单元测试）若，则a的值是（   ） A．任意有理数 B．任意一个非负数 C．任意一个非正数 D．任意一个负数 【答案】C 【分析】本题考查绝对值性质．根据题意分三种情况，当时，当时，当时，结合绝对值性质讨论求解，即可解题． 【详解】解：当时，，，此时； 当时，，，此时； 当时，，，此时； 所以当，则a的值是任意一个非正数； 故选：C． 题型4、绝对值的概念及意义辨析 【解题技巧】绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 例1．（24-25七年级下·四川乐山·期中）下列表述中，正确的个数是（　　） ①任何数都有相反数；②0是最小的有理数；③存在绝对值最小的数；④绝对值是同一个正数的数有两个，它们互为相反数；⑤绝对值等于它相反数的数只有负数． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本此题考查有理数，由相反数的定义、绝对值的定义和性质逐一分析，即可得出正确答案．相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数；正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数． 【详解】解：①相反数：数值相同，符号相反的两个数，从而可知任何数都有相反数，故①正确； ②没有最小的有理数，故②错误； ③绝对值最小的数是0，故存在绝对值最小的数，故③正确； ④负数的绝对值是正数，正数的绝对值是它本身，所以绝对值是同一个正数的数有两个，它们互为相反数，故④正确； ⑤绝对值等于它相反数的数是0或负数，故⑤错误； 所以正确说法有①③④，共3个． 故选：B． 例2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）下列说法正确的是（　　） A．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等 B．有理数a的倒数是 C．一个数的绝对值一定大于或等于这个数 D．一个数的相反数一定小于或等于这个数 【答案】C 【分析】本题考查倒数，相反数，绝对值，根据倒数，相反数，绝对值的定义逐项判断即可,熟练掌握相关定义是解题的关键． 【详解】解：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数，则A不符合题意； 当时，没有倒数，则B不符合题意； 一个数的绝对值一定大于或等于这个数，则C符合题意； 的相反数是2，而，则D不符合题意； 故选：C． 例3．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）下列说法：①一定是非负数；②一定是负数；③相反数等于它本身的数是0；④绝对值大于它本身的数是负数．其中正确的序号为（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 【答案】D 【分析】本题考查了正负数，相反数，绝对值等概念，根据正负数，相反数，绝对值等概念的意义和性质求解即可． 【详解】解：①不一定是非负数，例如时，a是负数，故说法错误； ②不一定是负数，例如时，是0，故说法错误； ③相反数等于它本身的数是0，正确 ； ④绝对值大于它本身的数是负数，正确． 故选：D． 例4．（23-24七年级上·山东青岛·期中）一个数的绝对值是它的倒数，这个数是（   ） A．1 B．﹣1 C．0 D．1或－1 【答案】A 【分析】根据绝对值和倒数的定义判断即可． 【详解】解：绝对值是它的倒数是1， 故选A． 【点睛】本题考查了倒数和绝对值的定义，要注意乘积是1的两数互为倒数． 变式1．（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）下列说法：①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个数相等，那么这两个数的绝对值一定相等；③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；④有理数绝对值越大，离原点越远．其中正确的有（    ） A．2个 B．1个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的性质，根据绝对值的性质进行判断即可，掌握绝对值的性质是解题的关键． 【详解】解：①正数和负数的绝对值一定比0大，0的绝对值等于0，故①不符合题意； ②如果两个数相等，那么这两个数的绝对值一定相等，说法正确，故②符合题意； ③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数不一定相等，也可能互为相反数，故③不符合题意； ④有理数绝对值越大，离原点越远，说法正确，故④符合题意； 综上，符合题意的有②④，共个， 故选：A． 变式2．（2024七年级上·全国·专题练习）给出下面四种说法：①如果两个数的绝对值相等，那么这两个数可能不相等；②一个数的绝对值等于它本身，这个数不是负数；③若，则；④如果，那么．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的意义和相反数的意义．根据相反数的性质，绝对值的意义逐项分析判断即可求解． 【详解】解：①互为相反数的两个数绝对值相等，那么这两个数可能不相等,故①正确，符合题意； ②一个数的绝对值等于它本身，这个数不是负数，故②正确，符合题意； ③若，则，故③正确，符合题意； ④ 若，，则，若，，则，故④不正确，不符合题意； 故选A． 变式3．（24-25七年级上·山东滨州·期末）下列结论中正确的是（   ） A．正数和负数互为相反数 B．绝对值是它本身的数是正数 C．有绝对值最小的有理数 D．在数和0之间没有负数 【答案】C 【分析】本题考查了正数和负数、相反数、绝对值和有理数的知识，掌握以上知识是解题的关键； 本题根据正数和负数、相反数、绝对值和有理数的知识，进行作答，即可求解． 【详解】解：A、正数和负数互为相反数，错误，相反数要求数值相等且符号相反，例如3和，但任意正数和负数（如2和）不一定互为相反数； B、绝对值是它本身的数是正数，错误，非负数（包括0和正数）的绝对值等于自身，因此0也符合条件，但0不是正数； C、有绝对值最小的有理数，正确，绝对值最小的有理数是0，因为任何非零有理数的绝对值都大于0； D、在数和0之间没有负数，错误，和0之间的数（如）仍然是负数； 故选：C． 变式4．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）已知m表示有理数，则一定是（   ） A．非正数 B．非负数 C．正数 D．零 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值．根据负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，可得答案． 【详解】解：是有理数，则一定是0或正数， 故选：B． 题型5、绝对值的非负性 【解题技巧】（1）。（2）根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则=0且=0。 例1．（24-25七年级上·山东威海·期末）若是有理数，则下列说法正确的是（   ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定是负数 D．一定是正数 【答案】D 【分析】本题考查有理数的相关概念，绝对值的性质，关键是要牢记正负数的定义和绝对值的性质．根据正负数的概念及绝对值的性质即可得出答案． 【详解】解：A．若是有理数，当时，，0既不是正数，也不是负数，故本选项不合题意； B．若是有理数，则，故本选项不合题意； C．若是有理数，则，故本选项不合题意； D．因为，所以，即一定是正数，故本选项符合题意． 故选：D． 例2．（24-25七年级上·湖南长沙·期末），则a和b各为（    ） A．， B．1，3 C．1， D．，3 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的非负性，先根据，得，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 例3．（24-25七年级下·北京·期中）已知实数a，b满足则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了绝对值的非负性，根据得，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∴， 故答案为：1 例4．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）式子的值可能是（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的实际意义，关键是要结合选项来判断结果． 根据绝对值的实际意义，非负数的性质，得到，结合四个选项，从而得到结果． 【详解】解：， ， 根据四个选项中，前三项，，均小于，只有D选项0大于， 故选：D． 例5．（24-25七年级上·福建龙岩·期末）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是绝对值的非负性的含义，理解是解本题的关键． 根据的最小值是即可求解． 【详解】解： x为有理数，式子存在最大值， 当时，式子最大值为， 故选：A． 变式1．（23-24七年级上·甘肃庆阳·阶段练习）如果x，y表示两个有理数，且，则（　　） A．x，y互为非零的相反数 B．x，y的符号相反 C．x，y的值有无数个 D． 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的非负性，熟练掌握其性质是解题的关键．根据绝对值的非负性即可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 变式2．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，则的相反数的绝对值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了利用绝对值的非负性求参数，代数式求值．首先根据绝对值的非负性，列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算，再根据相反数和绝对值的定义即可求得． 【详解】解：，，， ，， 解得：，， 则， 的相反数为， 的相反数为． 则的相反数的绝对值为． 故答案为3． 变式3．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，则，，的值分别是 ． 【答案】，， 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 任何数的绝对值都是非负数，若几个非负数的和为零，则每个非负数分别为零，据此即可求解． 【详解】∵，，，且， ∴，，， ∴，，． 故答案为：，，． 变式4．（24-25七年级上·四川德阳·期末）当的值最小时， ． 【答案】 【分析】此题主要考查了绝对值的非负性．根据绝对值的非负性可知即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 此时时，的值最小，则； 故答案为：． 变式5．（2024七年级上·全国·专题练习）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A．2026 B．4049 C．20 D．0 【答案】A 【分析】本题考查的是非负数的性质-绝对值，根据绝对值的非负性，可知，得出式子存在最大值，即可选出答案． 【详解】解：因为绝对值具有非负性， 所以， 所以， 所以当时，式子有最大值，此时的值是2026． 故选：A． 题型6、绝对值的化简求值 【解题技巧】绝对值化简步骤：①判断绝对值符号里式子的正负；②将绝对值符号改为小括号：若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）；③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变； 括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号；④化简。 注意：注意去绝对值符号时与去括号时是否需要变号，及变号的正确性。 例1．（23-24七年级下·湖北孝感·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的化简，先根据题意确定，然后化简绝对值即可求解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 例2．（23-24七年级上·广东广州·阶段练习）若＜3，化简＝ 【答案】2a－2. 【分析】在解题中根据a<3，2a<6，2a－6<0，然后去掉绝对值符号，即可得出结果. 【详解】∵a<3，2a<6，2a－6<0 ∴4－│2a－6│=4－(6－2a)=2a－2 故答案为2a－2. 【点睛】此题考查绝对值，解题关键在于判断式子的大小. 例3．（2025·河北唐山·二模）若代数式可以按照如下的方式化简，则x的值可以是（    ） ． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查绝对值的化简规则以及无理数的估算．根据绝对值内式子的正负性来去掉绝对值符号，是解题的关键． 先依据绝对值性质，分别分析与在何种情况下可化为给定化简式中的形式，确定的取值范围，再据此判断选项中符合该范围的值． 【详解】原式的化简过程为： 要使该化简成立，需满足以下两个条件： 且解得， A：，不满足条件． B：，不满足条件． C：，介于2和3之间，满足条件． D：，不满足条件． 故选：C 例4．（23-24七年级上·山西忻州·期末）数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了运用数轴上的点表示实数和绝对值化简的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行变形、求解．运用数轴上的点表示实数和绝对值的性质进行化简、计算． 先确定的符合以及大小，然后再取绝对值即可． 【详解】解：由题意得，，，， ， 故选：B． 例5．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”、“＜”或“=”填空：a b，a c； (2)则化简后= ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点在数轴上的位置及有理数大小比较方法即可得到两个数的大小关系； （2）由（1）的结论可确定绝对值符号里各式的符号，从而可脱去绝对值，最后化简即可． 【详解】（1）解：由数轴可知：， 所以，， 故答案为：，； （2）由（1）知，，，， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值的化简，有理数大小的比较，有理数加减运算，整式的加减等知识，根据数轴确定式子的符号是关键． 例6．（2025八年级下·全国·专题练习）如果，那么化简的结果是（    ） A．0 B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】此题主要考查绝对值的化简和分式的运算，先根据绝对值的性质去掉绝对值，再约分化简即可． 【详解】解：∵， ， ． 故选：A． 例7．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）如果，那么的值是（    ） A．或3 B．或3 C．1或3 D．或 【答案】B 【分析】本题考查的绝对值的应用，以及化简求值．根据，即a、b全为正数时，或a、b为一正一负时，或a、b全负时分类讨论计算即可． 【详解】解：， 设时， ， 或时， ，或， 时， ， 综上可得：或， 故选：B． 例8．（23-24七年级上·山东潍坊·期末）已知有理数满足，且，那么的值等于 ． 【答案】0 【分析】根据非零有理数a，b，c满足：a+b+c=0，可判断出，a、b、c中负数的个数为1个或2个，然后分类化简即可． 【详解】解：∵非零有理数a，b，c满足：a+b+c=0，abc≠0 ∴a、b、c中负数的个数为1个或2个， 当a、b、c中负数的个数为1个时， 原式=-1+1+1+（-1）=0． 当a、b、c中负数的个数为2个时， 原式=-1+（-1）+1+1=0． 故答案为：0． 【点睛】本题主要考查的绝对值化简，确定a、b、c中负数的个数是解题的关键． 变式1．（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）若，互为相反数，则 ； ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的性质，化简绝对值；根据相反数的性质可得到，再代入中即可求解；根据，化简绝对值，即可求解． 【详解】解：∵，互为相反数， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，． 变式2．（24-25七年级上·江苏南通·期中）当， . 【答案】 【分析】根据已知条件，利用去绝对值符号的方法去掉绝对值符号再合并即可. 【详解】当，, ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了绝对值的化简，去绝对值符号的依据：正数和零的绝对值等于本身；负数的绝对值等于它的相反数. 变式3．（24-25七年级下·山东日照·阶段练习）已知的三边长分别为1，4，a，化简：． 【答案】 【分析】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质．直接利用三角形三边关系进而得出a的取值范围，进而利用绝对值的性质化简得出答案． 【详解】解：因为的三边长分别为1，4，a． 所以． 解得． ∴，，， ∴ ． 变式4．（23-24七年级上·四川南充·期中）有理数，，在数轴上所表示的点的位置如图所示，且，，则化简 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的化简，整式的加减，有理数的乘法，数轴，熟练根据题意判断出数轴原点的位置是解题的关键．由图可知，由，得，再结合，则可知原点的大致位置，则可知，，，再化简绝对值，再进行整式的加减即可． 【详解】解：由图可知， ∵， ∴， 又∵， 则可知原点的位置大致为： 则可知，，， ∴ ， 故答案为：． 变式5．（24-25七年级上·四川南充·期中）已知，有理数a、b、c在数轴上对应A、B、C的位置如图所示： (1) 0， 0， 0， 0（填“<”，“>”，“=”）； (2)化简：． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】本题考查了由点在数轴上的位置判断式子的符号，绝对值化简，整式加减等； （1）由数轴得，，，逐一进行判断，即可求解； （2）由（1）得去绝对值，再进行整式加减运算，即可求解； 能根据点在数轴上的位置判断式子的符号，并能熟练进行绝对值化简是解题的关键． 【详解】（1）解：由数轴得 ，，， ， ， ， ， 故答案为：，，，； （2）解：由（1）得 原式 ． 变式6．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）已知a，b是有理数，且，请求出的值为（      ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值、有理数的乘除、代数式的求值，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由题意得，，，根据a，b的正负性讨论和的值，再结合得出a，b的正负性，即可求解． 【详解】解：由题意得，，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， ， ，， ，， ， ． 故选：D． 变式7．（23-24七年级上·全国·课后作业）已知、、、是有理数，，则 ． 【答案】，， 【分析】根据、、、有理数符号，，得出共有种情况，然后分别进行化简即可． 【详解】解：①若有理数，，，有一个负数，三个正数， 则 ； ②若有理数，，，有二个负数，二个正数， 则 ； ③若有理数，，，有三个负数，一个正数， 则； ④若有理数，，，有四个负数， 则 ； ⑤若有理数，，，有四个正数， 则 ； 故答案为：，，． 【点睛】本题考查绝对值的化简，关键掌握利用有理数的符号化去绝对值符号． 变式8．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知为非零有理数，请你探究以下问题： （1）当时， ； （2）若且，那么的值为 ． 【答案】 1 【分析】本题主要考查了绝对值的性质及代数式的化简，需掌握互为相反数的两数(除外) 的商是，相等两数的商为． （1）由给出条件和绝对值的性质，易得结论； （2）由条件先确定的正负, 再化简绝对值，计算代数式的值． 【详解】解：（1）当时，， 故答案为： ； （2） , ∴两正一负， ∴ ； 故答案为：． 题型7、利用绝对值比较有理数的大小 【解题技巧】正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数，其绝对值大的反而小． 例1．（2025·辽宁盘锦·三模）沸点是液体沸腾时的温度，下表是几种物质在标准大气压下的沸点，则沸点最高的液体是（   ） 气体 氦（） 氢气（） 氮气（） 氧气（） 液化温（） A．液氧 B．液氢 C．液氮 D．液氦 【答案】A 【分析】本题考查了两个负数的大小比较方法，利用绝对值概念根据两个负数绝对值大的数反而小比较两个负数的大小关系，解题的关键是正确理解两个负数相比较，绝对值大的数反而小． 【详解】解：∵， ∴， ∴沸点最高的液体是氧气， 故选：． 例2．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）用“”“”填空： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较法则是解题的关键．两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此即可解答． 【详解】解：，，， ， 故答案为：． 例3．（24-25七年级上·福建泉州·期末）数、在数轴上的对应点如图所示，则、、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用数轴上点表示有理数，有理数大小的比较，熟练掌握数轴上点的特点是解本题的关键．根据有理数a、在数轴上对应的点的位置可知：，且，由此判断即可． 【详解】解：由题意可知：，且， ， 故选：B． 变式1．（23-24七年级上·山东济南·期末）比较大小： ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，解题关键是掌握有理数大小比较法则：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．比较两个负数的绝对值即可． 【详解】解：，，且， ， 故答案为：． 变式2．（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）在中用数字3替换其中的一个非零数字后，使所得的数最大．则被替换的数字是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，掌握有理数的大小比较法则：正数都大于0； 负数都小于0； 正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的其值反而小是解题的关键．根据两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小比较被替换的数的绝对值的大小，得到答案． 【详解】解：被替换的数是，，，， ， ∴最大的数是， ∴使所得的数最大，则被替换的数字是5， 故答案为：． 变式3．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）如图，若点A，B，C所对应的数为a，b，c，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可知，，且，如图， ， 观察四个选项，选项B符合题意．故选：B． 题型8、绝对值的实际应用 【解题技巧】常见三种应用： 1）质量问题，绝对值越小，越接近质量标准； 2）小虫爬行问题，判断小虫是否能重回原点，将所有数据相加与0相比较，求距离时是各数的绝对值，与数的正负性无关； 3）数轴上数的表示问题，点向左移动时，原数减去移动的距离；点向右移动时，原数加上移动的距离。 例1．（24-25七年级上·吉林长春·期末）某公司抽检盒装牛奶的容量，超过标准容量的部分记为正数，不足的部分记为负数．图中是四盒牛奶的检测数据，小聪很快确定了标注数据为这盒牛奶的容量最接近标准．下列能对小聪的判断作出正确解释的数学概念是（    ） A．相反数 B．绝对值 C．倒数 D．正负数 【答案】B 【分析】根据绝对值最小的越接近标准解答即可． 本题考查了绝对值的应用，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：∵，，，，且， ∴标注数据为这盒牛奶的容量最接近标准． 能解释这一判断的依据是绝对值． 故选：B． 例2．（2025·河南周口·二模）下面是4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的足球是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正、负数和绝对值，理解绝对值表示的意义是解决本题的关键．要注意从轻重的角度看，最接近标准的是绝对值最小的数．先比较各个数的绝对值，绝对值最小的数，表示它离标准最近，从而可得答案． 【详解】解：，，且． 离标准最近． 故选：B． 例3．（24-25七年级上·山东潍坊·期中）水文站以警戒线为标准测量水库的水位，超过警戒线记为正，低于警戒线记为负，下表是一天五次的测量数据，其中第 次测量时水位离警戒线最近． 次序 1 2 3 4 5 水位（厘米） 16 8 【答案】3 【分析】本题考查了正数和负数，利用了绝对值的意义，绝对值越小越接近标准．根据绝对值的意义，可得答案． 【详解】解：， 绝对值越小越接近警戒水位，即其中第3次测量时水位离警戒线最近． 故答案为：3． 例4．（24-25七年级上·吉林·单元测试）在一次体检过程中，七（3）班班长记录了该班6名学生的视力情况，若每名学生的视力以为标准，大于的记为正数，小于的记为负数，记录数据如下： 学生 小明 小颖 小梦 小璐 小杰 小萌 视力 0 (1)这6名学生中哪名学生的视力最差？用学过的知识说明理由； (2)若规定与标准视力相差大于需要配戴眼镜，则6名学生中有几人需要配戴眼镜？ 【答案】(1)小杰的视力最差，理由见解析 (2)6名学生中有2人需要配戴眼镜 【分析】本题主要考查了正数和负数的意义，绝对值，有理数大小的比较，理解正负数的意义是解答关键． （1）根据负数数值越小表示视力越差，结合表格中数值求解； （2）求出6名学生数据的绝对值，分别比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：小杰的视力最差． ∵， ∴最小，与标准差的最多， ∴小杰的视力最差． （2）解：∵，，，，， 所以6名学生中有2人需要配戴眼镜． 例5．（2024七年级上·全国·专题练习）一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻? 【答案】小虫一共可以得到108粒芝麻． 【分析】小虫一共得到的芝麻数与爬行的方向无关，只与爬行的距离有关，因此只需要把每次爬行的距离的路程的绝对值相加得到爬行的总距离，最后求解芝麻数即可． 【详解】小虫爬行的总路程为： |+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54(cm) 小虫得到的芝麻数为54×2＝108(粒) 答：小虫一共可以得到108粒芝麻． 【点睛】本题主要考查了绝对值的应用，解题的关键在于理解，小虫一共得到的芝麻数与爬行的方向无关，只与爬行的距离有关． 例6．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）出租车司机小飞某天上午营运全是在南北走向的某条大街上进行的，如果规定向南为正，向北为负，他这天上午的行程是（单位：千米）： ． (1)将最后一名乘客送达目的地时，小张距上午出发点的距离是多少千米？在出发点的什么方向？ (2)若汽车耗油量为升/千米，出车时，邮箱有油升，若小张将最后一名乘客送达目的地，再返回出发地，问小张今天下午是否需要加油？若要加油至少需要加多少才能返回出发地？若不用加油，请说明理由． 【答案】(1)在出发点的北边，距离出发点4千米 (2)不需要加油，理由见解析 【分析】本题考查了正数和负数，注意返回出发地，还需加上距出发地距离．（1）根据有理数的加法运算，可得答案；（2）根据行车就耗油，可得耗油量，可得答案． 【详解】（1）解：（千米）， 答：在出发点的北边，距离出发点4千米； （2）不需要加油，理由： （千米）， （升）， ∵， ∴不需要加油． 变式1．（2025·湖北武汉·模拟预测）一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的意义，绝对值的意义，根据绝对值越小的数是最接近标准质量的，故先化简各个数值的绝对值，再比较大小，即可作答． 【详解】解：依题意， ∵， ∴最接近标准质量的是， 故选：C 变式2．（24-25七年级上·吉林·期末）党和国家非常重视青少年的身心健康，采取多种举措增强青少年体质．有数据显示，近几年，青少年身体健康状况有一定提升，但肥胖问题仍不容忽视．一种少年儿童的标准体重（单位：）的计算方式为：标准体重（年龄）．下表是七年级某小组位同学的体重情况，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数．表中最接近标准体重同学的编号为 ． 编 号 体重情况 【答案】 【分析】本题考查了正负数的意义、绝对值的应用．首先分别求出这位同学体重的绝对值，根据绝对值越小的体重与标准体重越接近判断哪位同学的体重最接近标准体重． 【详解】解：，，，，，， ， 号同学的体重最接近标准体重． 故答案为： ． 变式3．（24-25六年级上·山东淄博·期中）某工厂的质检员抽查一批零件的质量，从中抽取了5件，根据检查结果 记录如下（已知零件的标准直径为，超过标准直径长度的数量记为正数，不足标准直径长度的数量记为负数．）： 1号零件： ；2号零件：；3号零件：；4号零件：；5号零件： 根据信息回答问题： (1)你认为几号零件的大小最符合标准？ (2)如果规定：误差在之内为正品，误差在之间为次品，误差超过为废品，那么这5个零件，哪件是正品，哪件是次品，哪件是废品？请直接写出你的结论． 【答案】(1)5号零件的大小最符合标准 (2)1、2、5号是正品，3号是次品，4号是废品 【分析】本题主要考查了绝对值意义，绝对值越小表示数据越接近标准数据，绝对值越大表示数据越偏离标准数据． （1）表中的数据是零件误差数，所以这些数据中绝对值小的零件较好； （2）因为绝对值越小，与规定直径的偏差越小，每件样品所对应的结果的绝对值，即为零件的误差的绝对值，看绝对值的结果在哪个范围内，就可确定是正品、次品还是废品． 【详解】（1）解：∵， ∴5号零件的大小最符合标准． （2）解：∵，， ∴第1、2、5号是正品； ∵， ∴3号是次品， ∵， ∴4号为废品． 变式4．（23-24七年级上·吉林长春·期末）有一批试剂，每瓶标准剂量为200毫升，现抽取8瓶样品进行检测，根据标准计量，用正数表示高于标准量、负数表示低于标准量，统计结果如下（单位：毫升）： ，，，，，，，． (1)这8瓶样品试剂的总剂量是多少？ (2)现在要将这8瓶样品试剂再加工制作成标准剂量，若增加或者减少每瓶试剂剂量的人工费是12元毫升，则共需要多少人工费？ 【答案】(1)1596毫升 (2)696元 【分析】本题考查的是正负数，解题的关键是掌握有理数的加减法法则． (1)8个数据和加上8瓶标准试剂的总量即可； (2)计算这8个数据绝对值的和，然后乘12元得人工费． 【详解】（1）解： (毫升)， 答：这8瓶样品试剂的总剂量是1596毫升； （2）解： (元) 答：共需要696元人工费． 变式5．（23-24七年级上·四川绵阳·期中）科博会期间，出租车司机小李某天上午营运时是在九洲体育馆门口出发，沿东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接送位乘客的行车里程（单位：）如下：，，，，，，，． (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ (2)若汽车消耗天然气量为，这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？ (3)若出租车起步价为元，起步里程为（包括，超过部分每千米元，问小李这天上午共得车费多少元？ 【答案】(1)小李在九洲体育馆门口西边处； (2)立方米； (3)元． 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的加减混合运算，有理数的乘法运算； （）求出这几个数的和，根据符号、绝对值判断位置； （）求出所有数的绝对值的和，即行驶的总路程，进而求出用气量； （）八名顾客均有起步价，再求出超出的加价即可求出总车费． 【详解】（1）由， ∴小李在九洲体育馆门口西边处； （2）由， ∴共消耗天然气（立方米）， 答：共消耗天然气立方米； （3） ， ， （元）， 答：小李这天上午共得车费元． 题型9、利用绝对值的几何意义求最值 【解题技巧】几何意义：表示x到点a的距离 （1）找零点（分界点）；（2）根据零点将数轴分段；（3）利用“数形结合”思想，求解绝对值的值（几何法）；或者根据分段情况，分析绝对值内式子的正负，去绝对值（代数法）。 注：（1）一个式子中有多个绝对值式子时， x前的系数必须相同才可以用该“数形结合”的方法；（2）分段的时候，切不可遗漏数轴上的点，也不可重复讨论。 例1．（24-25七年级上·重庆·期中）若的最小值与的最小值分别为（    ） A．2，4 B．2，1 C．3，5 D．3，1 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的非负性，数轴上两点间的距离，由绝对值的非负性可求出M的最小值，由数轴上两点间的距离可求出N的最小值． 【详解】解：∵， ∴，即M的最小值为3； ∵表示数轴上数x对应的点到数4和5对应点的距离之和，这个和的最小值是， ∴的最小值为1． 故选D． 例2．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）同学们都知道表示5与之差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离，则对于任何有理数x，取最小值时，相应的x的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴和绝对值，解题的关键是掌握绝对值的几何意义．根据绝对值的几何意义求解； 【详解】， 由表示的含义可得： 当时，有最小值，最小值为， ， 当时，的最小值为， 当时，有最小值为， 故答案为：； 例3．（24-25七年级上·山东菏泽·阶段练习）点A、B在数轴上所对应的数分别是x、y，其中x、y满足．若点D是的中点，O为原点，数轴上有一动点P，、分别表示数轴上P与D，P与O两点间的距离，则的最小值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查数轴的概念，非负数的性质，由数轴的概念，非负数的性质，即可求解，关键是确定点的位置：点和点之间时，则的值最小． 【详解】解：， ，， ，， 点、在数轴上所对应的数分别是3，， 点是的中点， 点对应的数是， 当点在点和点之间时，的值最小， 最小值是， 故答案为：1． 例4．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）阅读下面材料：如图，点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离可以表示为，根据阅读材料与你的理解回答下列问题： (1)数轴上表示3与的两点之间的距离是 ； (2)数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为 ； (3)代数式可以表示数轴上有理数x与有理数所对应的两点之间的距离；若，则______； (4)求代数式的最小值为 ． 【答案】(1)5 (2) (3)43或7 (4)504 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点间距离公式： （1）根据数轴上两点间距离公式即可求解； （2）根据数轴上两点间距离公式即可求解； （3）表示数轴上有理数x与25所对应的两点之间的距离为18，由此可解； （4）先计算的最小值，结合数轴，可得的最小值为． 【详解】（1）解：数轴上表示3与的两点之间的距离是：， 故答案为：5； （2）解：数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为：， 故答案为：； （3）解：表示数轴上有理数x与25所对应的两点之间的距离为18， 因此或， 故答案为：43或7； （4）解：当时，有最小值， 最小值为：， 所以，当时，等号成立， 所以的最小值为：504． 故答案为：504． 例5．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期中）已知为任意有理数，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】表示到距离加上倍到的距离再加上倍到的距离，由此可得在，，，的范围内分别求代数式的值，比较即可求解． 【详解】解：当时， ； 当时， ； 当时， ； 当时， ； 故答案为： 【点睛】本题考查了数轴和绝对值的性质，理解数轴上两点间的距离是解题的关键． 变式1．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）在有理数的绝对值的学习中，我们知道是在数轴上表示数a的点到原点的距离，即表示，类比绝对值的意义，可知就是在数轴上表示数x的点到表示数的点的距离，当取得最小值时，x的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了绝对值的含义和应用．根据题意，就是在数轴上表示数x的点到表示数的点的距离，就是在数轴上表示数x的点到表示数2的点的距离，可得出当x的取值范围是时，取的最小值 【详解】解：∵就是在数轴上表示数x的点到表示数的点的距离， 就是在数轴上表示数x的点到表示数2的点的距离， ∴当x的取值范围是时，取的最小值． 故选：C． 变式2．（2024七年级·全国·竞赛）已知，，代数式的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查绝对值的几何意义，理解的几何意义是数轴上一点到点和点的距离之和是解题关键． 根据的几何意义是数轴上一点到点和点的距离之和，结合，计算求值． 【详解】解：的几何意义是数轴上一点到点和点的距离之和， ∵，， ∴当时，的最小是， 故答案为：5． 变式3．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）我们知道表示与之差的绝对值，实际上也可以理解为与－3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如可理解为数轴上表示有理数的点与表示数的点之间的距离．试探索： (1)若，则 ； (2)若，则满足条件的的值为 ； (3)根据以上探索，猜想对于任何有理数，是否有最小值，如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． (4)根据以上探索，猜想对于任何有理数，是否有最小值，如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【答案】(1)或 (2)或 (3)有，最小值为 (4)有，最小值为 【分析】（）根据绝对值的意义即可求解； （）由绝对值的意义可知表示对应的点到对应的点距离与到对应的点的距离之和等于，由可知不可能在和之间，再分在的左边和在的右边两种情况，利用两点间距离公式计算即可求解； （）由绝对值的意义可知式子表示对应的点到对应的点距离与到对应的点的距离之和，可知当在和之间时，距离之和最小，据此即可求解； （）由绝对值的意义可知式子表示对应的点到对应的点距离与到对应的点的距离与到对应的点的距离之和，可知当时，距离之和最小，据此即可求解； 本题考查了绝对值的意义，数轴上两点间距离，理解绝对值是意义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴或， ∴或， 故答案为：或； （2）解：∵， ∴， 即表示对应的点到对应的点距离与到对应的点的距离之和等于， ∵， ∴不可能在和之间， 当在的左边时，， 解得； 当在的右边时，， 解得； 综上，满足条件的的值为或， 故答案为：或； （3）解：有． ∵， 即式子表示对应的点到对应的点距离与到对应的点的距离之和， 可知当在和之间时，距离之和最小，最小值为； （4）解：有． 式子表示对应的点到对应的点距离与到对应的点的距离与到对应的点的距离之和， 可知当时，距离之和最小，最小值为． 变式4．（24-25七年级上·广东湛江·期中）先阅读，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 【阅读】：表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】： (1)数轴上表示和两点之间的距离是________；一般地、数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么的值为________． (2)若，，且数、在数轴上表示的点分别是点、点，则、两点间的最大距离是________，最小距离是________； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是________． (4)应用：小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作，小明学校记作2，那么距离和的最小值是：________． (5)拓展：的最小值是：________． 【答案】(1)，或； (2)，； (3)； (4)； (5)． 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、绝对值．解决本题的关键在于根据数轴上点的位置去掉绝对值符号，解题过程中要注意分类讨论． （1）根据数轴上两点之间的距离公式求出表示和两点之间的距离；根据数轴上两点之间的距离公式列出关于的方程，解方程求出； （2）首先根据绝对值的性质分别求出、的值，再根据数轴上两点之间的距离公式分情况求出点、点之间的距离，通过比较找出最大距离和最小距离； （3）根据数轴上两点之间的距离，可知当时，，找到之间的所有整数并求和即可； （4）分情况求出的取值范围，根据取值范围确定的最小值； （5）由（4）可知，当时，有最小值，根据规律去掉绝对值符号求合即可． 【详解】（1）解：数轴上表示和两点之间的距离是； 表示数和的两点之间的距离是， ， 整理得：， 解得：或； 故答案为：；或； （2）解：， ， 解得：或， ， ， 解得：或， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 、两点间的最大距离是，最小距离是； （3）解：如下图所示， ， 表示数轴上表示的点到表示数的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示数的点之间的距离， 表示到点和的距离之和等于的点， 从数轴上可知，表示数的点在数轴上表示数和之间， 这些点表示的数有、、、、、、、， 这些点表示的数的和是， 故答案为：； （4）解：当时， ， ， ， ； 当时， ， 当时， ， ， ， ， 距离和的最小值是：； （5）解：由可知当时，有最小值， ， 故答案为：． 变式5．（24-25七年级上·重庆长寿·期中）当x满足条件 时，取得最大值，最大值为 ； 当x满足条件 时，取得最小值，最小值为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，掌握是数轴上表示的点与表示的点之间的距离是解题关键．根据绝对值的几何意义，利用分类思想，分情况讨论即可． 【详解】解：当时， ，则时，有最大值； 当时， 为定值； 当时， 为定值； 故当时，有最大值，且最大值为2； 当时， ，则时，有最小值； 当时， ； 当时， ； 故当时，取有最小值，且最小值为； 故答案为：，；，． 1．（2025九年级下·四川成都·专题练习）的相反数是（ ） A．2024 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题绝对值和相反数，根据负数的绝对值为它的相反数，以及只有符号不同的两个数互为相反数，即可得出结果． 【详解】解：的相反数是； 故选D． 2．（23-24七年级上·四川·阶段练习）若，则 ，若，则 ． 【答案】 【分析】根据绝对值的性质即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了绝对值，解题的关键是记住：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值等于0． 3．（24-25七年级上·黑龙江佳木斯·期末）如果甲数的绝对值比乙数的绝对值大，那么（    ） A．甲数一定大于乙数 B．乙数一定大于甲数 C．这两个数不可能都大于零 D．无法判断 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值性质，以及有理数大小比较。解题关键是熟练掌握绝对值的性质． 根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，逐项判断即可． 【详解】A．当甲数为，乙数为时，，，满足甲数的绝对值比乙数的绝对值大，但，即甲数小于乙数，所以该选项错误，不符合题意； B．当甲数为，乙数为时，，，甲数的绝对值比乙数的绝对值大，且，即甲数大于乙数，所以该选项错误，不符合题意； C．当甲数为，乙数为时，，，满足甲数的绝对值比乙数的绝对值大，且两个数都大于，所以该选项错误，不符合题意； D．仅知道甲数的绝对值比乙数的绝对值大，而不知道两数的正负性，所以无法判断两数的大小关系．所以该选项说法正确，符合题意； 故选：D． 4．（23-24七年级上·广西南宁·期中）若，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据绝对值的几何意义,表示数轴上点到原点的距离,即任意实数的绝对值都是一个非负数. 【详解】解:因为,, 所以, 解得: , 故选D. 【点睛】本题主要考查绝对值的几何意义,解决本题的关键是要理解绝对值的几何意义. 5．（24-25七年级下·四川遂宁·期末）已知|5x﹣2|＝2﹣5x，则x的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0可得出答案． 【详解】解：∵|5x﹣2|＝2﹣5x， ∴5x﹣2≤0， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了绝对值的性质以及解一元一次不等式，理解正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值等于0是解决问题的关键． 6．（23-24七年级上·河南驻马店·期末）如果，下列的取值不能使这个式子成立的是（    ） A． B．0 C．1 D．取任何负数 【答案】C 【分析】根据绝对值的非负性判断即可． 【详解】解：， ，即， 不可能为正数， 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握知识点是解题的关键． 7．（24-25七年级上·湖北宜昌·期末）下列说法正确的个数是（    ） ①0是绝对值最小的有理数； ②两个数比较，绝对值大的反而小； ③可以写成分数形式的数称为有理数； ④相反数大于本身的数是负数． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的性质，绝对值、负数比较大小，有理数的定义；理解相反数的性质，绝对值、负数比较大小，有理数的定义是解题的关键． 【详解】解：①0是绝对值最小的有理数，说法正确，此项符合题意； ②应该是：两个负数比较，绝对值大的反而小，故原说法错误，此项不符合题意； ③可以写成分数形式的数称为有理数，说法正确，此项符合题意； ④相反数大于本身的数是负数，说法正确，此项符合题意； 故选：C． 8．（24-25七年级上·山东聊城·期末）下列说法正确的是（　　） A．有理数不是正数就是负数 B．0既不属于整数也不属于分数 C．若，则是一个非负数 D．有理数的绝对值都是正数 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的分类，负数的定义，绝对值的意义，根据有理数的分类，负数的定义，绝对值的意义逐项分析即可． 【详解】解：A．一个有理数不是正数就是负数或0，原说法不正确，不符合题意； B．0属于整数，原说法不正确，不符合题意； C．若，则a是一个非负数，原说法正确，符合题意； D．有理数的绝对值是正数或0，原说法不正确，不符合题意． 故选：C． 9．（24-25七年级上·云南曲靖·阶段练习）若与互为相反数，则的值为（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的非负性，代数式求值，根据与互为相反数可得，进而得，，求出的值再代入代数式计算即可求解，掌握绝对值的非负性是解题的关键． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故选：． 10．（24-25七年级上·广西贵港·期末）如果为有理数，式子存在最小值，则这个最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据得出当时，式子存在最小值． 【详解】解：∵， ∴当时，即当时，式子存在最小值，这个最小值是， 故选：A． 11．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）若为有理数，下列判断：①总是正数，②总是正数；③的最小值为9；④的最大值是1；其中错误的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查绝对值的非负性，熟练掌握该知识点是解题关键，直接利用绝对值的非负性，分别分析即可得出答案． 【详解】解：①若，则，故①错误； ②， 总是正数，故②正确； ③， ，则的最小值为9，故③正确； ④， ，则的最小值是1，故④错误； 错误的是①④，共2个 故选：B． 12．（23-24七年级上·全国·期中）若a＜1，|3﹣a|﹣|a﹣1|的化简结果为 ． 【答案】2 【分析】先判断出3-a和a-1的正负，然后根据绝对值的意义把绝对值的符号去掉化简. 【详解】∵a＜1， ∴3-a>0，a-1<0， ∴|3﹣a|﹣|a﹣1| =3-a+a-1 =2. 故答案为2 【点睛】本题考查了绝对值的意义，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数的绝对值.一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数，即若a为有理数.绝对值等于一个正数的数有2个，它们是互为相反数的关系. 13．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）若，求代数式 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的定义，代数式，解题的关键是掌握绝对值的定义．根据绝对值的定义求解即可． 【详解】解：， ，，， ，，， ， 故答案为：1 14．（22-23七年级上·河南南阳·阶段练习）有理数、、在数轴上的位置如图： (1)比较大小（填“”或“”号）．①______；② ______；③______； (2)化简：． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了有关实数与数轴的简单应用，做题关键要掌握实数的大小比较，去绝对值． （1）根据数轴上的点表示的数的特点，比较大小． （2）利用绝对值的定义去绝对值，去括号，合并同类项． 【详解】（1）解：由数轴可得：，，且； ∴；；； （2）解：   ． 故答案为： 15．（24-25七年级上·黑龙江大庆·阶段练习）若，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了化简绝对值，有理数的混合运算等知识．熟练掌握化简绝对值，有理数的混合运算是解题的关键． 由题意知，异号，分当，当时，两种情况求解即可． 【详解】解：∵， ∴异号， 当时，， 当时，同理， 故答案为：1． 16．（2025·辽宁辽阳·一模）当气体的温度降低到一定程度的时候就会变成液体，人们把这种变化过程叫做液化．初中物理就介绍了下面几种常见气体液化时的温度（标准大气压）： 气体 氧气 氨气 氢气 氮气 液化温度/℃ 其中液化温度最低的气体是 （    ） A．氧气 B．氨气 C．氢气 D．氮气 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数大小比较，熟练掌握有理数的大小比较是解题的关键；因此此题可根据“两个负数比较，绝对值大的反而小”进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴液化温度最低的气体是氢气； 故选C． 17．（24-25七年级上·河南省直辖县级单位·期末）党和国家非常重视青少年的身心健康，采取多种举措增强青少年体质，数据显示，近几年，青少年身体健康状况有一定提升，但肥胖问题仍不容忽视．一种少年儿童的标准体重单位：的计算公式为：标准体重年龄．如表是七年级某小组位同学的体重情况，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数，那么表中编号为 的同学的体重最符合标准体重． 编号 体重情况 【答案】 【分析】本题考查了正负数的意义、绝对值的应用．首先分别求出这6位同学体重的绝对值，根据绝对值越小的体重与标准体重越接近判断哪位同学的体重最接近标准体重． 【详解】解：，，，，， ∵ 号同学的体重最接近标准体重． 故答案为： ． 18．（24-25七年级上·河北唐山·期中）有5名学生参加技能大赛，他们在规定的时间内按要求加工同一种零件．零件质量要求是：零件直径比标准直径可以有的误差．其中超过标准长度的用正数表示，不足标准长度的用负数表示．现将5名学生的加工结果（单位：）记录如下： 张琪 赵阳 李嘉 孙磊 周正 (1)以上5名同学加工的零件中，谁的不符合标准？ (2)以上5名同学加工的零件中，谁的最好？为什么？ 【答案】(1)周正 (2)李嘉，见解析 【分析】本题考查有理数的大小比较，绝对值的性质： （1）找出直径超过的零件，即可得出答案； （2）通过比较绝对值，得出，可知张琪同学加工的零件直径比标准直径误差最小，得出答案． 【详解】（1）∵零件直径比标准直径可以有的误差， 而， ∴周正同学加工的零件不符合标准； （2）∵， ∴李嘉同学加工的零件直径比标准直径误差最小， ∴李嘉的最好． 19．（23-24七年级上·宁夏吴忠·阶段练习）尊师重教是我国的传统美德，教师节当天：出租车司机小王在东西方向的街道上免费接送教师，规定向东为正，向西为负，当天出租车的行程如下（单位：km）：，，，，，． (1)小王接送教师当天出租车的总行程是多少千米？ (2)若汽车每千米耗油0.1升，这天小王最后回到起点共耗油多少升？ 【答案】(1)小王接送教师当天出租车的总行程是40千米 (2)4.6升 【分析】（1）把所给数据的绝对值相加； （2）首先把所给数据的绝对值相加，然后乘以0.1即可求解． 【详解】（1）千米 答：小王接送教师当天出租车的总行程是40千米； （2）千米 千米 升， 答：这天小王最后回到起点共耗油4.6升． 【点睛】此题分别考查了有理数的加法、绝对值的意义及正负数的意义，都是基础知识，熟练掌握相关整数即可解决问题． 20．（24-25七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）如图，四个相邻的整数对应数轴上的点，数对应数轴上的点，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查绝对值的几何意义以及数轴的应用，解题的关键是理解表示数轴上点到点A，B，C，D的距离之和，并通过分析点的位置来求最小值． 根据绝对值的几何意义，将原式转化为点到四个点的距离之和，然后通过分析点在数轴上不同位置时距离之和的大小，找出最小值的情况． 【详解】由绝对值的几何意义可知，表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离． 所以表示点到A，B，C，D四个点的距离之和． 因为a，b，c，d是四个相邻的整数，当点在线段上（包括端点B，C）时，距离之和最小． 不妨设（为整数)，当在与之间时， 所以的最小值为4． 故答案为：4． 21．（24-25七年级上·湖北荆州·期中）阅读材料： 在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示与在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示与在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离.一般地，点，在数轴上分别表示有理数，，那么，两点之间的距离可以表示为． 回答问题： (1)数轴上表示与的两点之间的距离是______；数轴上表示与的两点之间的距离是______； (2)若，求的值； (3)若，写出整数的值； (4)若代数式的最小值是，请直接写出的值． 【答案】(1)，（写成也可） (2)或 (3)，，，，， (4)或 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的意义． 根据题干中提供的两点之间的距离公式计算即可； 根据绝对值的定义可得，解方程即可得到的值； 根据绝对值表示的意义分当、、时三段分别求解； 根据绝对值表示的意义可知数式表示到和的距离之和，所以可知当代数式取最小值时，表示的点一定在和之间且和的距离是，可得，根据绝对值的意义解方程求出． 【详解】（1）解：数轴上表示与的两点之间的距离是； 数轴上表示与的两点之间的距离是； 故答案为：，； （2）解：， ， 或， 或； （3）解：当时， ， ， 整理得：， 解得：， ， 不在取值范围之内，故不符合题意； 当时， 可得：， 整理得：， 即当时，恒成立， 在之间的整数有、、、、、； 当时，， 解得：，不在取值范围之内，故不符合题意； （4）解：代数式表示到和的距离之和， 当代数式取最小值时，表示的点一定在和之间，且和的距离是， 即， ， 解得：或． 22．（24-25六年级上·山东烟台·期末）【阅读理解】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为：表示在数轴上数对应点之间的距离．例如：数轴上表示数和的两点的距离等于． 参考阅读材料，解答下列问题． （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ； （2）数轴上表示和的两点之间的距离是 ； 【问题探究】 （3）若数轴上表示数的点位于与5之间，化简：； （4）利用数轴探究，当的值最小时，相应的数的取值范围； 【实际应用】 （5）请利用问题探究中的结论，求出的最小值； （6）问题：某直线路一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在 ，才能使这2023户居民到点的距离总和最小．（填住户标记字母） 【答案】（1）3；（2）；（3）8；（4）；（5）2；（6） 【分析】本题主要考查数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的几何意义是解题的关键． （1）由两点间距离直接求解即可； （2）由两点间距离直接求解即可； （3）根据绝对值的性质化简绝对值，再计算即可； （4）由两点距离的意义进行求解即可； （5）当时代数式的值最小，即可得到答案； （6）取最中间点即可． 【详解】（1）解：数轴上表示2和5的两点之间的距离是； （2）数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是； （3）， ； （4）①如图1，当时，， ②如图2，当时，， ③如图3，当时，， ∴当取最小值时，相应的数a的取值范围是； （5）∵表示在数轴上数的点与表示数、和3的点的距离之和， ∴当时，取最小值，且最小值为： ； （6）为了使 2023 户居民到快餐店的距离总和最小，快餐店应建在中间位置，即第1012户居民处，即． 1．（24-25七年级上·浙江·单元测试）若，则之间的关系为 ． 【答案】m=n或m=-10-n 【分析】根据绝对值的性质回答即可． 【详解】解：∵|m+5|=|n+5|， ∴m+5=n+5或m+5=-（n+5）． ∴m=n或m=-10-n． 故答案为：m=n或m=-10-n． 【点睛】本题主要考查的是绝对值的性质，掌握绝对值的性质是解题的关键． 2．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）下列结论：①若为有理数，则；②若，则；③若，则；④若，则，则其中正确的结论的是 （填序号）． 【答案】② 【分析】此题主要考查了有理数的运算，非负数的性质和绝对值的意义，理解绝对值的意义，非负数的性质，熟练掌握有理数的运算是解决问题的关键． 根据为有理数得，由此可对该结论进行判断； 根据非负数的性质得，，则，由此可对该结论进行判断； 根据得，当时，，当时，没有意义，由此可对该结论进行判断； 根据得：（Ⅰ）当、、中有两正一负时，不妨假设、为正，为负，则，(Ⅱ)当、、都是负数时，则，由此可对该结论进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵为有理数， ∴， 故结论①不正确； ②∵，，， ∴，， ∴， 故结论②正确； ③∵， ∴， ∴当时，，当时，没有意义， 故结论③不正确； ④∵， ∴有以下两种情况， （Ⅰ）当、、中有两正一负时，不妨假设、为正，为负， ∴，，， ∴； (Ⅱ)当、、都是负数时，则，，， ∴， 故结论④不正确； 故答案为：②； 3．（23-24七年级上·江西景德镇·期中）设，，为非零有理数，则算式可能的取值是 【答案】7或-1 【分析】分a，b，c中都是正数，两正一负，一正两负，和都是负数分别取绝对值计算． 【详解】解：若a，b，c都是正数， 则=1+1+1+1+1+1+1=7； 若a，b，c中两正一负， 则=1+1-1+1-1-1-1=-1； 若a，b，c中一正两负， 则=1-1-1-1-1+1+1=-1； 若a，b，c都是负数， 则=-1-1-1+1+1+1-1=-1， 故答案为：7或-1． 【点睛】此题考查了有理数的除法，以及绝对值的代数意义，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4．（24-25七年级上·河南漯河·期末）已知、所表示的数如图所示，下列结论正确的有 ．（只填序号）①；②；③；④；⑤ 【答案】②④⑤ 【分析】本题考查了数轴．数轴上右边的点对应的数大于左边的点对应的数，离原点远的点所对应的数的绝对值大，数轴上两点之间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值， 根据以上知识逐个判断即可． 【详解】由图知：，故①错误； 由图知：，故②正确； 由图知：，故③错误； 由图知： ，故④正确； ，表示b到的距离，表示a到的距离．由图知，b到的距离大于a到的距离， ，故⑤正确； 综上，正确的有②④⑤， 故答案为：②④⑤． 5．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）已知数的大小关系如图所示，则下列各式： ①，②，③，④， ⑤，其中正确的有 ．（请填写序号） 【答案】②⑤ 【分析】首先判断出，再根据有理数的大小比较法则以及绝对值的性质等知识一一判断即可． 【详解】由题意， ∴①，错误； ②，正确； ③，错误； ④，错误； ⑤，正确； 综上，②⑤正确； 故答案为：②⑤ 【点睛】本题考查有理数的大小比较法则，绝对值等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 6．（24-25七年级上·福建泉州·期中）若，，是整数，且，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性，以及采用分类讨论的思想．根据绝对值的非负性以及题意，①当时，；②当时，；③当时，，分类讨论计算即可． 【详解】解：∵，，是整数 ∴，是整数 ∵且， ∴①当时， ∴， 当，， ∴，， ∴； 当，， ∴，， ∴； ②当时，， ∴， 当，， ∴，， ∴ 当，， ∴，， ∴； ③当时，， ∴，， 当，， ∴，， ∴； 当，， ∴，， ∴ 当，， ∴，， ∴； 当，， ∴，， ∴； 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 7．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）若，，为整数，且，则的值为 ． 【答案】2 【分析】根据题意，可以得到a、b、c之间的关系，从而可以得到所求式子的值． 【详解】解：∵a，b，c为整数，且， ∴a-b=0，c-a=±1或a-b=±1，c-a=0， ∴当a-b=0，c-a=±1时， 则a=b，c-a=c-b=±1， 故|c-a|+|a-b|+|c-b|=1+1=2， 当a-b=±1，c-a=0时， 则c=a，a-b=c-b=±1， 故|c-a|+|a-b|+|c-b|=1+1=2， 由上可得， |c-a|+|a-b|+|c-b|的值是2． 故答案为2. 【点睛】本题考查绝对值，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答． 8．（24-25七年级上·福建泉州·期末）的几何意义：数轴上表示数a、数b的两点之间的距离，当时，的值均为定值，则t的最小值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查绝对值的意义，两点间的距离公式，根据绝对值的意义，得到当时，的值均为定值，这个定值是5，进行求解即可． 【详解】解：根据绝对值的几何意义，可知在数轴上，表示x与两点之间的距离，表示x与3两点之间的距离， 则表示x到的距离与x到3的距离的差， 当时，，这两个距离的差都是5， 当时，，这两个距离的差都是， 当时，，这两个距离的差是变化的，最大值是5，最小值是， 则当时，的值均为定值，这个定值是5，则t的最小值3， 故答案为：3． 9．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）同学们，我们都知道：表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： (1)______；______； (2)若数轴上表示数的点位于与6之间，则的值为______； (3)若，则的值是______； (4)的最小值是______，满足最小值时整数x的和是______． 【答案】(1)2，6 (2)10 (3)，2 (4)12，10 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，化简绝对值及两点间的距离等知识点， （1）直接根据绝对值的意义求解即可； （2）直接化简绝对值即可； （3）分x在左边，在1右边和在与1之间三种情况讨论求解即可； （4）分当时，当时，当时，当时，当时，五种情况化简绝对值讨论求解即可； 熟练掌握绝对值的相关知识是解题的关键． 【详解】（1），， 故答案为：2；6； （2）∵数轴上表示数x的点位于与6之间， ∴， 故答案为：10； （3）∵表示x到1和到的距离之和为5， ∴当x在左边时，x到1和到的距离之和为， ∴ 当x在1右边时，x到1和到的距离之和为， ∴ 当x在与1之间时，x到1和到的距离之和为， ∴符合题意的整数x为，2， 故答案为：，2； （4）当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴综上，当时，的值最小，最小为12， ∴满足最小值时整数x的和是， 故答案为：12；10； 10．（24-25七年级上·重庆綦江·期中）认真阅读下面的材料，完成有关问题：已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则，之间的距离表示为：，，之间的距离表示为：．若点在数轴上表示的数为，则，之间的距离表示为：，，之间的距离表示为：． 利用数轴探究下列问题： (1)的最小值是_____，此时的取值范围______； (2)请按照（）问的方法思考：的最小值是_____，此时的值是_____； (3)如图，在一条笔直的街道上有，，，四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为，已知，，，四个小区各有个，个，个，个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校，聪明的他们通过分析，发现在街道上的处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点的位置和所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值． 【答案】(1)， (2)， (3)米 【分析】（）由可知式子表示到和到的距离之和，当在和之间时，距离之和最小，进而根据两点间距离公式即可求解； （）同理（）解答即可； （）以其中一点为原点，一个单位表示建立数轴，则点四点分别表示，，，，设点表示的数为，可得所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和表示为，分、、时，去绝对值，得出的取值范围，可知当时，即点与点重合时，该距离之和最小，据此即可求解； 本题考查了数轴上两点间距离，绝对值的意义，掌握数轴上两点间距离公式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴式子表示到和到的距离之和， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当在和之间时，距离之和最小，最小值为，此时的取值范围， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴式子表示分别到、、的距离之和， 同（1）可知，时，到到、的距离之和最小， ∴当时，分别到、、的距离之和最小， 即时，分别到、、的距离之和最小，最小值为， 故答案为：，； （3）解：如图，以其中一点为原点，一个单位表示建立数轴，则点四点分别表示，，，，设点表示的数为，则所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和表示为， 由（1）（2）可知点在、之间， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 综上所述：当时，即点与点重合时，该距离之和最小，最小值为， 11．（24-25七年级上·四川成都·期中）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示在数轴上对应的两点之间的距离；所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上，数轴上两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）． (1)求________；若，则________； (2)的最小值是________；当________时的最小值是________； (3)若，求的最大值和的最大值． 【答案】(1)，或； (2)，，； (3)的最大值为，的最大值为． 【分析】（）根据有理数的减法法则，把减法化成加法进行计算，然后求出绝对值，最后根据绝对值的性质，列出关于的方程，解方程即可； （）利用绝对值的几何意义和两点间的距离公式，第一、第二问各分三种情况讨论，求出最小值即可； （）先分，，，四种情况讨论，求出的最小值，再分，，，，五种情况讨论，求出的最小值, 从而求出，的取值范围，然后求出答案即可； 本题主要考查了数轴，绝对值的意义，化简绝对值，解题关键是熟练掌握知识点的应用，分类讨论思想． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， 解得:或， 故答案为：，或； （2）解：可以看作表示的点到和的距离之和， ∴当点在与之间的线段上，即时，， ∴有最小值，最小值为：， 可以看作表示的点到的距离与到的距离以及到的距离之和， 当时，； 当时，； 当时，； ∴当时，的最小值为， 故答案为：，，； （3）解：当时， ； 当时， ， ∴， 当时， ， ∴， 当时， ， ∴， ∴当时，有最小值，为； 当时， ∴， 当时， ∴， 当时， ； 当时， ， ∴， 当时， ， ∴， ∴当时，有最小值为， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴的最大值为，的最大值为． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$