专题10 有理数的加法-2025年小升初数学无忧衔接（北师大版2024）

专题10 有理数的加法 预习目标 1 新课轻松学 1 新知速通 2 题型探究 3 题型1、有理数的加法运算 3 题型2、有理数加法法则的辨析 5 题型3、有理数加法的运算律 6 题型4、巧用拆项法进行有理数的加法运算 8 题型5、有理数加法的实际应用 8 题型6、有理数加法中的符号问题 10 题型7、有理数加法的综合运用——幻方问题 11 题型8、有理数加法的综合运用——新定义 14 基础通关 16 拓展提优 21 1. 理解有理数加法的意义，掌握有理数加法法则，正确进行有理数加法运算； 2. 理解有理数加法运算律，并能运用运算律简化运算； 3．经历探索有理数加法法则的过程，理解有理数加法法则的合理性； 4. 感知数学知识源于生活，并应用于生活，渗透“化归”等数学思想。 【思考】一间0°C冷藏室连续两次改变温度： (1) 第一次上升6°C，接着再上升4°C； (2) 第一次下降6°C，接着再下降4°C； (3) 第一次下降6°C，接着再上升4°C； (4) 第一次下降6°C，接着再上升4°C。 问：连续两次变化使温度共上升了多少摄氏度? 注意：（1）上升：下降6°C，即上升-6°C；下降4C，即上升- 4°C； （2）共：对连续两次温度变化进行求和； （3）可借助温度计（或数轴）理解。 【加减号的历史】加减法最早出现在人类社会的早期阶段，但是，加减法的符号真正被广泛运用是在十七世纪，在那之前运算符号都是比较麻烦的。1514年，荷兰的赫克首次用“＋”表示加法，用“-”表示减法。1544年，德国数学家施蒂费尔在《整数算术》中正式用“＋”和“- ”表示加减，后来又经过法国数学家韦达（Vieta）的宣传和提倡，才开始普及，直到1630年，才得到大家的公认，并被广泛采用。 1.有理数加法的定义 把两个（或多个）有理数相加的过程叫有理数的加法。（两个有理数相加，和是一个有理数。） 2.有理数加法法则 （1）同号两数相加，和取相同的符号，并把两数的绝对值相加； （2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且用较大数的绝对值减去较小数的绝对值；异号两数相加，绝对值相等时，和为0（互为相反数的两数之和为0）； （3）一个数与0相加，仍得这个数。 注意： 1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值； 2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则； 3）如果a+b＝0，那么b，a互为相反数。 4）当后一个加数为负数时，这个负数必须用括号括起来，即两个符号要用括号隔开，如2+(-1)中-1必须用括号括起来，不要写成2+ -1这样的形式. 3. 有理数加法的运算步骤（“一判二定三加减"） 第一步：判断加法的类型并根据加法的类型确定使用哪一个法则； 第二步：根据加数绝对值的大小及加数的符号确定和的符号； 第三步：对绝对值进行加或减，确定和的绝对值. 4.运算律 1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即a+b＝b+a。 2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即(a+b)+c＝a+(b+c)。 注意： 1）利用加法交换律、结合律，可以使运算简化，认识运算律对于理解运算有很重要的意义； 2）注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用。 3）运用加法交换律交换加数的位置时，一定要带着性质符号一起交换. 题型1、有理数的加法运算 【解题技巧】第一步：判断加法的类型并根据加法的类型确定使用哪一个法则；第二步：根据加数绝对值的大小及加数的符号确定和的符号；第三步：对绝对值进行加或减，确定和的绝对值. 例1．（23-24七年级上·山东济宁·期末）下列是运用有理数加法法则计算思考、计算过程的叙述： ①和2的绝对值分别为5和2； ②的绝对值5较大；2的绝对值2较小 ③是异号两数相加； ④结果的绝对值是用得到； ⑤计算结果为； ⑥结果的符号是取的符号－－负号； 请按运用法则思考、计算过程的先后顺序排序（只写序号）： ． 例2．（24-25七年级上·四川眉山·期中）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 例3．（24-25七年级上·广东广州·期中）如果， 那么的值为（   ） A． B． C． D． 例4．（24-25七年级上·四川绵阳·期中）算筹我国是最早认识负数并进行相关运算的国家，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用算筹（小棍形状的记数工具）来表示正负数，其中正放表示正数，斜放表示负数，例如图①表示的是的运算过程．按照这种方法，可推算图②中的算式为（    ） A． B． C． D． 例5．（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）若，，且，则的值是（   ） A．和 B．3和 C．和9 D．9和3 变式1．（2025·江苏泰州·一模）根据有理数加法法则，计算过程正确的是（    ） A． B． C． D． 变式2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 变式3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)． 变式4．（24-25七年级上·全国·期中）绝对值大于而小于5的所有负整数的和等于 ． 变式5．（24-25六年级上·上海·阶段练习）已知，且，则 ． 题型2、有理数加法法则的辨析 【解题技巧】有理数加法法则：（1）同号两数相加，和取相同的符号，并把两数的绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且用较大数的绝对值减去较小数的绝对值；异号两数相加，绝对值相等时，和为0（互为相反数的两数之和为0）；（3）一个数与0相加，仍得这个数。 例1．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．两数相加，其和大于任何一个加数 B．异号两数相加，其和小于任何一个加数 C．绝对值相等的异号两数相加，其和一定为零 D．两数相加，取较小一个加数的符号作为结果的符号 例2．（24-25七年级上·青海海东·期末）两个有理数的和是正数．则（   ） A．必须是两个正数 B．可以是两个负数 C．可以是一个正数一个负数，且正数的绝对值较大 D．可以是一个正数一个负数，且负数的绝对值较大 例3．（24-25九年级下·北京西城·阶段练习）实数在数轴上对应点的位置如图，若实数满足，则的值可以是（    ） A．1 B．0 C． D． 例4．（23-24七年级上·福建福州·期中）已知有理数a，b满足条件：，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 例5．（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如果两数相加的和小于每一个加数，那么下列判断正确的是（   ） A．这两个加数一定有一个数是0 B．这两个加数一定都是负数 C．这两个加数一正一负 D．这两个加数的符号不能确定 变式1．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）两个有理数的和为负数，那么这两个数一定（　　） A．都是负数 B．至少有一个是负数 C．有一个是0 D．绝对值不相等 变式2．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的是（　　） A．三个有理数相加和一定大于每个加数 B．三个非零有理数相加，和可能等于零 C．两个有理数和为负数时，这两个数都是负数 D．两个负数相加，把绝对值相加 变式3．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）下列叙述正确的是（   ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 题型3、有理数加法的运算律 【解题技巧】有理数常见简算方法：①相反数结合——抵消；②同号结合——符号易确定；③同分母结合法——无需通分（分母倍数的也可考虑）；④凑整数；⑤同行结合法——分数拆分为整数和分数。 例1．（2024七年级上·全国·专题练习）是应用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．以上均不对 例2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 例3．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算：． 例4．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）计算的值等于（   ） A． B． C． D． 变式1．（23-24七年级上·全国·课后作业）这个运算中运用了（   ） A．加法的交换律 B．加法的结合律 C．加法的交换律和结合律 D．以上均不对 变式2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 变式3．（24-25六年级下·上海·假期作业）计算： (1)； (2)． 变式4．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算：． 题型4、巧用拆项法进行有理数的加法运算 【解题技巧】即把一项或一个数拆分开，拆项后重新相加或错位相加，使本来采用常规方法不易解决或不能解决的计算或比较大小类问题变得容易解决或能解决. 例1．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）数学刘老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算：． 解：原式 ． 上述这种方法叫做拆项法； 请仿照上面的方法计算： (1)； (2)． 例2．（23-24七年级上·重庆·阶段练习）用简便方法计算： ． 变式1．（23-24七年级上·宁夏吴忠·阶段练习）计算： 变式2．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算：． 变式3．（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）计算：． 题型5、有理数加法的实际应用 【解题技巧】有理数运算相关的实际应用题种类较多，但是很多题目只是所给的情境不一样，解答的方法并没有发生改变．能够熟练的分析应用题的数量关系，找准解题的方法和技巧． 例1．（2025·浙江温州·二模）某工地记录了仓库水泥的进货和出货数量，某天进货2吨，出货3吨，记进货为正，出货为负，下列算式能表示当天库存变化的是（   ） A． B． C． D． 例2．（24-25七年级上·福建南平·期末）巡道员沿着一条东西向的铁路进行巡视维护，从驻地出发先向东走了7千米，又向东走了3千米，然后折返向西走了11.5千米，此时他在驻地的什么方向，与驻地的距离是多少千米（   ） A．向西1.5 B．向东1.5 C．向西21.5 D．向东21.5 例3．（24-25七年级上·河南周口·期中）图纸上一个零件的标注为，这个标注中零件直径的标准尺寸有些模糊，已知该零件的七个合格产品，直径尺寸分别为，则该零件的标准尺寸不可能是（   ） A．73.0 B．73.1 C．73.2 D．73.3 例4．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）有一口深2.6米的枯井，井底有一只青蛙沿着井壁向上往井口跳跃，由于井壁较滑，每次跳跃之后青蛙会下滑一段距离才能稳住．下面是青蛙的几次跳跃和下滑情况（上跳为正，下滑为负，单位为厘米）． 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 (1)在这7次跳跃除起跳点外，青蛙距离井底的最近距离是____厘米；青蛙距离井口的最近距离是_____厘米； (2)在这7次跳跃并下滑稳定后，此时青蛙距离井口还有多远？ (3)把每7次跳跃下滑记为一循环，若青蛙之后的每个循环跳跃下滑情况都和第一循环相同，那么青蛙在第几次跳出了井口？ 变式1．（2025·福建厦门·二模）为监测某水库雨季期间的水位高度，表一记录了该水库连续三天的水位变化情况（记水位上涨为正，单位：），这三天水位上涨的高度可表示为（   ） A． B． C． D． 变式2．（2025·贵州贵阳·模拟预测）若公共汽车上车人数记为“+”，下车人数记为“-” ，一辆公共汽车原有18名乘客，经过某一站时，乘客变化为：，，这时车上乘客人数为 ． 变式3．（24-25七年级上·云南文山·期中）财商教育有助于培养孩子的独立生活能力和积极向上的价值观、社会责任感．小昆在妈妈的协助下，通过售卖废报纸、饮料瓶，转卖二手书，义卖闲置物品等方式获得一定收入，并用于购买学习用具和一些日常所需品．为了更好的理财，他每周做一次收支记录，其中一个月的收入和支出记录如下（收入用“”，支出用“”，单位：元）： ，，，，，，，． (1)小昆这个月是超支了还是有结余？如果超支，超支了多少？如果结余，结余了多少？ (2)若规定：收入元，支出元，经手金额为元，则小昆这个月经手总金额离元超过或不足多少元？ 变式4．（24-25七年级上·辽宁锦州·阶段练习）足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：）：，，，，，，，．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过（不包括），则对方球员挑射极可能造成破门．问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由． 题型6、有理数加法中的符号问题 例1．（23-24七年级·全国·单元测试）a，b，c三个数的位置如图所示，下列结论错误的是（    ）    A．b＋a＞0 B．b＋c＜0 C．a＋b＜0 D．a＋c＞0 例2．（24-25七年级上·北京·期中）如果，，，那么下列各式中大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 例3．（23-24七年级上·广东惠州·阶段练习）如果，那么，，三个数中（   ） A．有一个数必为 B．至少有一个负数 C．有且只有一个负数 D．至少有两个负数 例4．（2024七年级上·江苏·专题练习）已知，，为有理数，且，，则，，满足的条件是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 变式1．（23-24七年级上·福建福州·期中）若两个非零的有理数a，b，满足，则数a、b在数轴上表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   变式2．（23-24七年级上·北京海淀·期末） 如图，数轴上点A，M，B分别表示数a，，b，那么原点的位置可能是（    ） A．线段AM上，且靠近点A B．线段AM上，且靠近点M C．线段上，且靠近点B D．线段上，且靠近点M 变式3．（23-24七年级上·广东惠州·期中）如果，且，则下列说法中可能成立的是（　　） A．a、b为正数，c为负数 B．a、c为正数，b为负数 C．b、c为正数，a为负数 D．a、b、c均为负数 变式4．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图，数轴上依次有，，，，五个点，其中，，三点所表示的数分别为，，，且．如果有，，，那么该数轴原点的位置应该在（　　） A．点在线段（不包括端点）上 B．点在线段（不包括端点）上 C．点在线段（不包括端点）上 D．点在线段（不包括端点）上 题型7、有理数加法的综合运用——幻方问题 【解题技巧】利用幻方和相等建立等量关系或直接幻方和相等的性质解题即可． 例1．（24-25七年级上·广东深圳·期末）在如图所示的三阶幻方中，有些位置填写了数或汉字（其中每个汉字都表示一个数）．若处于每行、每列及每条对角线上的3个数之和都相等，则“中”“国”“梦”这三个字表示的数之和是 ． 中 国 5 梦 0 例2．（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字这12 个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则的值为（        ） A． B． C．3 D．4 例3．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）如图，将，，，分别填入没有数字的圈内，使横、竖以及内、外两圈上的个数字之和都相等，则、所在位置的两个数字之和是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或． 例4．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）．三阶幻方又名九宫格，是一种将数字（1至9，数字不重复使用）安排在三行三列正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等． (1)根据“洛书”中表达的意思，______，______； (2)改变图2幻方中数字的位置，可以得到一个新的三阶幻方（如图3），则______，______，______； (3)如图4，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”．将这12个数填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点处“〇”中的数的和都为2．则______，______． 变式1．（23-24七年级上·广西南宁·期中）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，如图九宫格内每个小方格内均有不同的数字，要求方格内每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字之和均相等，图中给出了部分数字，则处对应的数字是（　　）    A．7 B．5 C．4 D．1 变式2．（23-24七年级上·广东深圳·期末）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是另一个三阶幻方，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 变式3．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，8，，12，，16，，20分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等，则的值为（    ） A．或 B．或10 C．2或 D．2或 变式4．（2024七年级上·全国·专题练习）课本再现： 填幻方 有人建议向火星发射如图所示的图案，它叫做幻方，其中个格中的点数分别是．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相同．如果火星上有智慧生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）． （）如图，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是 __； （）请将填入图，使其构成一个幻方； 拓展延伸： （）如图，在一个由个圆圈组成的三角形里，把到这个连续整数分别填入圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和都相等，请直接写出的最大值． 题型8、有理数加法的综合运用——新定义 【解题技巧】“新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型．它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”；（3）定义新概念．这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题． 例1．（23-24七年级上·全国·单元测试）设表示不超过的最大整数，计算： ． 例2．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）规定一种新运算“*”：，，，，，，据“*”运算的法则，计算： ． 例3．（23-24七年级上·浙江湖州·期中）已知[x]表示不超过x的最大整数．如：[3.2]＝3，[﹣0.7]＝﹣1．现定义：{x}＝[x]﹣x，如{1.5}＝[1.5]﹣1.5＝﹣0.5，则{3.9}+{﹣}＝ ． 例4．（2025·山东枣庄·三模）一个自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身，这种数叫做完全数．例如，是一个完全数，．下列各数是完全数的是（   ） A． B．8 C．6 D．4 例5．（24-25七年级上·河南南阳·期中）定义☆运算，观察下列运算： ，， ，， ，． (1)请你认真思考上述运算，归纳☆运算的法则： 两数进行☆运算时，同号______，异号______，并把绝对值________． 特别地：0和任何数进行运算，或任何数和0进行☆运算，________． (2)计算：． (3)试通过计算说明与相等吗？运算____结合律．（填“满足”，“不满足”） 变式1．（23-24七年级上·重庆·期中）对有理数a、b定义新运算如下：，则 ． 变式2．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）规定符号表示两个数中较小的一个，规定符号表示两个数中较大的一个，例如：，，则的值为 ． 变式3．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）规定以下两种变换：①，如；②，如．按照以上变换有：，那么等于（　　） A． B． C． D． 变式4．（24-25七年级上·广东广州·期中）定义：表示不超过的最大整数．如：，．则下列结论：①；②；③；④；⑤若，则的值可以是．其中正确的结论有（   ）个 A． B． C． D． 变式5．（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期中）在学习完“有理数的加法”后，小米同学对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数运算的学习经验，自主探究新定义运算． 小米设计一种新运算“”，即对任意有理数a，b，满足如下规律：，称此种运算为“绝佳”运算． 例如，；（2）． 【探究一：两个数“绝佳”运算】 （1）填空：①_________；②_________； ③__________；④__________； 通过上面的计算结果，请你归纳出“绝佳”运算是否满足交换律？若不满足，请举出反例（举一个反例即可）； （2）①若，则_________；②若，则_________； 【探究二：三个数“绝佳”运算】 （3）小米同学想类比有理数的加法结合律，判断“绝佳”运算是否满足结合律． 请你帮助她验证等式是否成立，并归纳出“绝佳”运算是否满足结合律． 1．（24-25七年级上·山东济南·期中）魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，灰色为负），图1表示的是的计算过程，则图2表示的计算过程是（    ） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）提升计算： (1) (2) (3) (4)； (5)． 3．（2024七年级上·黑龙江·专题练习）小磊在解题时，将式子先变成，再计算结果，则小磊运用了（   ） A．加法交换律 B．加法交换律和加法结合律 C．加法结合律 D．无法判断 4．（2024七年级上·全国·专题练习）计算等于（   ） A． B．1 C．0 D．4 5．（24-25六年级上·上海·期中）计算：． 6．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）如果，，且，求的值． 7．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 8．（23-24七年级上·江苏常州·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．两数相加，其和大于任何一个加数 B．异号两数相加，其和小于任何一个加数 C．绝对值相等的异号两数相加，其和一定为零 D．两数相加，取较小一个加数的符号作为结果的符号 9．（23-24七年级上·浙江·期末）m是有理数，则（    ） A．可以是负数 B．不可能是负数 C．一定是正数 D．可是正数也可是负数 10．（2024七年级上·全国·专题练习）数学张老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算：． 解：原式 ． 上述这种方法叫作拆项法． 请你仿照上面的方式计算： ． 11．（24-25七年级上·云南昭通·期末）对用生活实例解释其意义正确的是（   ） A．一物体从数轴的原点出发，向左移动3个单位，再向右移动2个单位，现在该物体在数轴上对应点的数为1 B．某人做生意1月份赚了2万元，2月份亏了3万元，他这两个月合计亏了1万元 C．今天早上的气温是零上，随着冷空气的到来，下午气温下降了．现在的气温是零下 D．某人早上从水池里打水冲洗道路用了水，接着他又往水池注入水，现在水池里的水比原来多了 12．（23-24七年级上·江苏南通·期末）一天，王女士到某办公楼办事，假定乘电梯向上一层记为，向下一层记为，电楼上下层数依次录如下（单位层）：． (1)请问王女士最后在几层？ (2)该大楼，每层高．电梯每上（或下）零耗电千瓦时，请你计算，她乘电梯办事，电梯需要耗电多少千瓦时？ 13．（24-25七年级上·山西忻州·阶段练习）某特技飞行队进行特技表演，其中一架飞机A起飞后的高度变化如下表： 高度变化 上升千米 下降千米 上升千米 下降千米 记作 _________ _________ _________ (1)请完成上表； (2)求飞机A完成上述四个表演动作后，飞机A的高度是多少千米？ (3)如果飞机A每上升或下降1千米需消耗2升燃油，那么飞机A在这4个动作表演过程中，一共消耗了多少升燃油？ (4)若另一架飞机B在做特技表演时，起飞后前三次的高度变化为：上升千米，下降千米，再上升千米．若要使飞机B在完成第4个动作后与飞机A完成4个动作后的高度相同，问飞机B的第4个动作是上升还是下降，上升或下降多少千米？ 14．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在数轴上，点O是原点，A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c．根据图中各点的位置（OA＞OB），下面式子结果为正数的是（    ） A．a＋b B．a＋c C．c＋（﹣b） D．a＋（﹣c） 15．（24-25七年级上·湖北黄冈·期中）如果，且，那么a、b、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 16．（23-24七年级上·安徽·期末）如图是根据幻方改编的“幻圆”游戏，将，，，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，已知图中、⊙分别表示一个数，则的值为（    ） A． B．1 C．或4 D．或1 17．（24-25七年级上·福建福州·期中）如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字，这12个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等，部分数字已填入圆圈中，则的值为（   ） A．4 B．3 C． D． 18．（23-24七年级上·北京通州·期中）用符号表示a，b两个有理数中的较大的数，用符号表示a，b两个有理数中的较小的数，则的值为 ． 19．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）古代埃及人在进行分数运算时，只使用分子是1的分数，因此这种分数也叫做埃及分数，我们注意到，某些真分数恰好可以写成两个埃及分数的和，例如：，则写成两个埃及分数的和的形式为为= ． 20．（2025·陕西咸阳·二模）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知表示不超过的最大整数，例如．现定义，例如，则 ． 21．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）对有理数，定义了一种新的运算，叫“乘加法”，记作“”．并按照此运算写出了一些式子：，，，，，，，， (1)根据以上式子特点将“乘加法”法则补充完整： 同号得_____，异号得_____，并把绝对值_____；一个数与0相“乘加”等于_____； (2)根据法则计算：_____；_____； (3)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，请计算： 1．（2024七年级下·浙江杭州·竞赛）计算：的值是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·宁夏中卫·期末）学校图书馆把无线网络密码做成了数学题，小亮在图书馆查询信息时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接上了图书馆的网络，那么他输入的密码是 ． 账号： 密码 3．（24-25七年级上·福建福州·期中）已知a、b、c为有理数，且a＋b＋c＝0，b≥﹣c＞|a|，则a、b、c与0的大小关系是（    ） A．a＜0，b＞0，c＜0 B．a＞0，b＞0，c＜0 C．a≥0，b＜0，c＞0 D．a≤0，b＞0，c＜0 4．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）若：，则的最小值是 5．（2024七年级·全国·竞赛）有一列数：，它们按一定的规律排列，那么这列数的前（    ）个数的和最小． A．288 B．289 C．290 D．292 6．（24-25七年级上·重庆·开学考试）将分别填入下图中的○中，使得3条线上的4个数的和都相等，这个和最大是 ．    7．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）对于一个非整数的有理数（为整数），我们规定：表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，表示最接近的整数．例如，，，．则使成立的的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．以上答案都不对 8．（24-25七年级上·江苏南通·期中）在，，，，，，，中，每个字母的值恰好是，，这三个数值中的一个，若，则 ． 9．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，一个正方形的表面上分别写着连续的6个正整数，且每两个相对面上的两个数的和都相等，则这6个整数和为 ． 10．（23-24七年级上·河南商丘·期末）有一口深90厘米的枯井，井底有一只青蛙沿着井壁向上往井口跳跃，由于井壁较滑，每次跳跃之后青蛙会下滑一段距离才能稳住．下面是青蛙的几次跳跃和下滑情况（上跳为正，下滑为负，单位为厘米）． 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 0 (1)除起跳点外，青蛙距离井底的最近距离是______厘米；青蛙距离井口的最近距离是______厘米； (2)在这7次跳跃并下滑稳定后，此时青蛙距离井口还有多远？ (3)把每7次跳跃下滑记为一周，若青蛙之后的每周跳跃下滑情况都和第一周相同，那么青蛙在第几次跳出了井口？ 11．（23-24七年级上·福建泉州·期末）传说大禹治水来到洛水，洛水中浮出一只神龟，背上有奇怪的图，图上有许多圈和点，史称“洛书”，也就是我们常说的三阶幻方，又称为“九宫格”，人们发现“九宫格”里面有非常有趣的关系：不管是把横着的3个数相加，还是把竖着的3个数相加，或者把斜着的3个数相加，其和都相等，于是把这个和称为“幻和”，正中间的那个数称为“中心数”． (1)若由1，3，5，7，9，11，13，15，17这9个数构成“九宫格”，求“幻和”m的值； (2)小明对“九宫格”中数字的规律产生了浓厚的兴趣，希望找出这些数字中蕴含的数学规律．如图，将a、b、c、d、e、f、g、h、i这9个字母分别填入“九宫格”． ①若，求“中心数”e的值，并说明理由； ②直接写出a、f、h之间的数量关系． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读理解：给定一列数，把这列数中的第一个数记为， 第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为 为正整数），符号“”表示从这列数的第一个数开始依次加到第个数的和，即，例如：一列数1，3，4，7，9中，，，，，，；． 请解决下面的问题： (1)已知一列数，2，，4，，6，，8，，10，求的值； (2)已知一列数0，，6，，12，，18，，24，，，按照规律可以无限写下去，那么的值是多少？并求的值； (3)在（2）的条件下，是否存在正整数使等式成立，若存在请求出的值，不存在请说明理由． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 有理数的加法 预习目标 1 新课轻松学 1 新知速通 2 题型探究 3 题型1、有理数的加法运算 3 题型2、有理数加法法则的辨析 10 题型3、有理数加法的运算律 14 题型4、巧用拆项法进行有理数的加法运算 18 题型5、有理数加法的实际应用 20 题型6、有理数加法中的符号问题 26 题型7、有理数加法的综合运用——幻方问题 29 题型8、有理数加法的综合运用——新定义 37 基础通关 44 拓展提优 57 1. 理解有理数加法的意义，掌握有理数加法法则，正确进行有理数加法运算； 2. 理解有理数加法运算律，并能运用运算律简化运算； 3．经历探索有理数加法法则的过程，理解有理数加法法则的合理性； 4. 感知数学知识源于生活，并应用于生活，渗透“化归”等数学思想。 【思考】一间0°C冷藏室连续两次改变温度： (1) 第一次上升6°C，接着再上升4°C； (2) 第一次下降6°C，接着再下降4°C； (3) 第一次下降6°C，接着再上升4°C； (4) 第一次下降6°C，接着再上升4°C。 问：连续两次变化使温度共上升了多少摄氏度? 注意：（1）上升：下降6°C，即上升-6°C；下降4C，即上升- 4°C； （2）共：对连续两次温度变化进行求和； （3）可借助温度计（或数轴）理解。 【加减号的历史】加减法最早出现在人类社会的早期阶段，但是，加减法的符号真正被广泛运用是在十七世纪，在那之前运算符号都是比较麻烦的。1514年，荷兰的赫克首次用“＋”表示加法，用“-”表示减法。1544年，德国数学家施蒂费尔在《整数算术》中正式用“＋”和“- ”表示加减，后来又经过法国数学家韦达（Vieta）的宣传和提倡，才开始普及，直到1630年，才得到大家的公认，并被广泛采用。 1.有理数加法的定义 把两个（或多个）有理数相加的过程叫有理数的加法。（两个有理数相加，和是一个有理数。） 2.有理数加法法则 （1）同号两数相加，和取相同的符号，并把两数的绝对值相加； （2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且用较大数的绝对值减去较小数的绝对值；异号两数相加，绝对值相等时，和为0（互为相反数的两数之和为0）； （3）一个数与0相加，仍得这个数。 注意： 1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值； 2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则； 3）如果a+b＝0，那么b，a互为相反数。 4）当后一个加数为负数时，这个负数必须用括号括起来，即两个符号要用括号隔开，如2+(-1)中-1必须用括号括起来，不要写成2+ -1这样的形式. 3. 有理数加法的运算步骤（“一判二定三加减"） 第一步：判断加法的类型并根据加法的类型确定使用哪一个法则； 第二步：根据加数绝对值的大小及加数的符号确定和的符号； 第三步：对绝对值进行加或减，确定和的绝对值. 4.运算律 1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即a+b＝b+a。 2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即(a+b)+c＝a+(b+c)。 注意： 1）利用加法交换律、结合律，可以使运算简化，认识运算律对于理解运算有很重要的意义； 2）注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用。 3）运用加法交换律交换加数的位置时，一定要带着性质符号一起交换. 题型1、有理数的加法运算 【解题技巧】第一步：判断加法的类型并根据加法的类型确定使用哪一个法则；第二步：根据加数绝对值的大小及加数的符号确定和的符号；第三步：对绝对值进行加或减，确定和的绝对值. 例1．（23-24七年级上·山东济宁·期末）下列是运用有理数加法法则计算思考、计算过程的叙述： ①和2的绝对值分别为5和2； ②的绝对值5较大；2的绝对值2较小 ③是异号两数相加； ④结果的绝对值是用得到； ⑤计算结果为； ⑥结果的符号是取的符号－－负号； 请按运用法则思考、计算过程的先后顺序排序（只写序号）： ． 【答案】③①②④⑥⑤或③①②⑥④⑤ 【分析】根据有理数的加法法则，按照有理数加法法则的计算顺序逐个判断即可. 【详解】解：根据有理数加法法则： 应该先看两数符号是否相同，故应先③， 若符号不同，再看两数的绝对值，故再①， 然后再比较绝对值的大小，故再②， 然后再确定结果的绝对值与结果的符号，故再④⑥或⑥④； 最后得出结果，故最后为⑤； 综上分析可知，计算过程的先后顺序排序为③①②④⑥⑤或③①②⑥④⑤． 故答案为：③①②④⑥⑤或③①②⑥④⑤． 【点睛】本题考查有理数的加法法则，熟练掌握并理解加法法则的含义是解题的关键． 例2．（24-25七年级上·四川眉山·期中）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4)0 (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的加法运算，熟练掌握运算法则和运算律是解答本题的关键． （1）（2）（3）（4）利用加法法则计算即可； (5）（6）利用加法交换律和结合律计算即可； 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 例3．（24-25七年级上·广东广州·期中）如果， 那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的非负性，有理数的加法，先根据非负数的性质求出x和y的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即，； ∴， 故选：B． 例4．（24-25七年级上·四川绵阳·期中）算筹我国是最早认识负数并进行相关运算的国家，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用算筹（小棍形状的记数工具）来表示正负数，其中正放表示正数，斜放表示负数，例如图①表示的是的运算过程．按照这种方法，可推算图②中的算式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据题意列式计算得，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得， 故选：B． 例5．（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）若，，且，则的值是（   ） A．和 B．3和 C．和9 D．9和3 【答案】A 【分析】由＝3，，可得，，结合， 再求解的值，再分两种情况讨论即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 当时， ∴， 当时， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查的是绝对值的含义，有理数的大小比较，求解代数式的值，清晰的分类讨论是解本题的关键． 变式1．（2025·江苏泰州·一模）根据有理数加法法则，计算过程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据有理数的加法运算法则计算，逐项判断即可． 【详解】解：； ，故A选项错误不符合题意； ，故B选项错误不符合题意； ，故C选项错误不符合题意； ，故D选项正确，符合题意； 故选：D． 变式2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)0 (4) 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据有理数加法法则求解即可； （2）根据有理数加法法则求解即可； （3）根据有理数加法法则求解即可； （4）根据有理数加法法则求解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 变式3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 【分析】本题考查有理数的加法，熟练掌握有理数的加法运算法则是解决问题的关键． （1）由有理数加法运算法则求解即可得到答案； （2）由有理数加法运算法则求解即可得到答案； （3）由有理数加法运算法则求解即可得到答案； （4）由有理数加法运算法则求解即可得到答案； （5）根据有理数加法结合律，再由有理数加法运算法则求解即可得到答案； （6）由有理数加法运算法则求解即可得到答案； （7）由有理数加法运算法则求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ． 变式4．（24-25七年级上·全国·期中）绝对值大于而小于5的所有负整数的和等于 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的分类，有理数的加法运算，先求出绝对值大于而小于5的所有负整数，再进行相加求和即可． 【详解】解：绝对值大于而小于5的所有负整数有：， ； 故答案为：． 变式5．（24-25六年级上·上海·阶段练习）已知，且，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了有理数的加法，绝对值的性质，熟记运算法则和性质并准确判断出m、n的对应情况是解题的关键．根据绝对值的性质和有理数的加法运算法则判断出m、n的对应情况，然后相加计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵ ∴， ∴，时，， ，时，， 综上所述，的值是或． 故答案为：或． 题型2、有理数加法法则的辨析 【解题技巧】有理数加法法则：（1）同号两数相加，和取相同的符号，并把两数的绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且用较大数的绝对值减去较小数的绝对值；异号两数相加，绝对值相等时，和为0（互为相反数的两数之和为0）；（3）一个数与0相加，仍得这个数。 例1．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．两数相加，其和大于任何一个加数 B．异号两数相加，其和小于任何一个加数 C．绝对值相等的异号两数相加，其和一定为零 D．两数相加，取较小一个加数的符号作为结果的符号 【答案】C 【分析】根据有理数的加法分别分析各个选项，然后得出结论即可． 【详解】解：A选项，两数相加，其和大于任何一个加数，说法错误，例如：两个负数相加，故不符合题意； B选项，异号两数相加，其和小于任何一个加数，说法错误，如果和为正数，就不满足题干要求，故不符合题意； C选项，绝对值相等的异号两数相加，其和一定为零，说法正确，故符合题意； D选项，两数相加，取绝对值较大一个加数的符号作为结果的符号，原说法错误，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查有理数加法的知识，熟练掌握有理数加法是解题的关键． 例2．（24-25七年级上·青海海东·期末）两个有理数的和是正数．则（   ） A．必须是两个正数 B．可以是两个负数 C．可以是一个正数一个负数，且正数的绝对值较大 D．可以是一个正数一个负数，且负数的绝对值较大 【答案】C 【分析】本题考查了有理数加法的基本规则和正负数相加时的和的符号判断．通过理解正数和负数相加的规则，可以快速准确地判断出两个有理数的和为正数时，两数可能的正负组合情况，进而选出正确答案．在处理此类问题时，清晰地识别并应用数学规则是关键． 【详解】解：A：若两个数都是正数，显然它们的和也为正数，A错误； B：若两个数都是负数，它们的和必然为负数，B错误； C：若两个数一正一负，为了使和为正数，正数的绝对值必须大于负数的绝对值，C正确； D：若两个数一正一负，为了使和为正数，正数的绝对值必须大于负数的绝对值，D错误． 故选：C ． 例3．（24-25九年级下·北京西城·阶段练习）实数在数轴上对应点的位置如图，若实数满足，则的值可以是（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加法法则的应用，利用数轴判断数的大小是解题关键． 根据有理数加法法则判断出为负数，且绝对值大于，即可判断答案． 【详解】解：，且， ，且， ∴b的值可以是，D选项同符合题意，A、B、C不符合题意， 故选：D． 例4．（23-24七年级上·福建福州·期中）已知有理数a，b满足条件：，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据可得a，b异号，且负数的绝对值较大，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴a，b异号，且负数的绝对值较大， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的加法，绝对值的意义，熟练掌握运算法则是解题的关键． 例5．（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如果两数相加的和小于每一个加数，那么下列判断正确的是（   ） A．这两个加数一定有一个数是0 B．这两个加数一定都是负数 C．这两个加数一正一负 D．这两个加数的符号不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数加法中的符号问题， 根据负数的特点结合有理数加法法则即可得出答案． 【详解】解∶只有两个负数相加和才小于这两个加数． 故选：B． 变式1．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）两个有理数的和为负数，那么这两个数一定（　　） A．都是负数 B．至少有一个是负数 C．有一个是0 D．绝对值不相等 【答案】B 【分析】根据有理数加法法则分析判断即可． 【详解】解：根据有理数加法法则可知，如果两个有理数的和为负数，可有三种情况：同负；一正一负且负数的绝对值大于正数的绝对值；一个负数和0．显然三种情况中，至少一个为负数． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了有理数加法法则，理解并掌握有理数加法法则是解题关键． 变式2．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的是（　　） A．三个有理数相加和一定大于每个加数 B．三个非零有理数相加，和可能等于零 C．两个有理数和为负数时，这两个数都是负数 D．两个负数相加，把绝对值相加 【答案】B 【分析】通过举例子结合有理数的加法运算法则逐一分析各选项即可． 【详解】解：如 ∴三个有理数相加和一定大于每个加数是不正确的描述，故A不符合题意； 如 ∴三个非零有理数相加，和可能等于零是正确的描述，故B符合题意； 如 ∴两个有理数和为负数时，这两个数都是负数是不准确的描述，故C不符合题意； 两个负数相加，取与加数相同的负号，再把绝对值相加，原来的描述是错误的，故D不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查的是有理数的加法运算的理解，运算法则为：同号的两数相加，取与加数相同的正负号，再把绝对值相加，绝对值不相等的异号的两数相加，取绝对值较大的加数的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0，0与一个数相加仍得这个数；掌握与理解法则是解本题的关键． 变式3．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）下列叙述正确的是（   ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数加法运算法则、绝对值的意义，根据有理数加法运算法则进行判断即可．解题的关键是熟练掌握有理数加法运算法则． 【详解】解：A、若，且，则，而，故此选项不符题意； B、当，，则，但，故此选项不符题意； C、若，，则，故此选项符题意； D、若，，则，但，故此选项不符题意； 故选：C． 题型3、有理数加法的运算律 【解题技巧】有理数常见简算方法：①相反数结合——抵消；②同号结合——符号易确定；③同分母结合法——无需通分（分母倍数的也可考虑）；④凑整数；⑤同行结合法——分数拆分为整数和分数。 例1．（2024七年级上·全国·专题练习）是应用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．以上均不对 【答案】C 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据有理数加法的运算律进行判断即可． 【详解】解：由题，可知，计算运用了加法交换律与加法结合律； 故选：C． 例2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用加法运算律计算即可； （）利用加法运算律计算即可； 本题考查了有理数的加法运算，掌握有理数的加法运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ， ； （2）解：原式 ， ． 例3．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法，利用有理数加法的交换律和结合律计算即可． 【详解】解：原式 ． 例4．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）计算的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加法，加法运算律，原式结合后，相加即可得到结果，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解： ， 故选：A． 变式1．（23-24七年级上·全国·课后作业）这个运算中运用了（   ） A．加法的交换律 B．加法的结合律 C．加法的交换律和结合律 D．以上均不对 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法，根据有理数加法的结合律和交换律，即可解答． 【详解】解：这个运算中运用了加法的结合律和交换律， 故选：C． 变式2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)10 (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的加法运算，掌握计算法则，灵活运用简便计算的方法是解决本题的关键． （1）利用加法交换律和结合律运算即可； （2）利用加法交换律和结合律运算即可； （3）利用加法交换律和结合律运算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 变式3．（24-25六年级下·上海·假期作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了有理数的加法法则和运算律的运用．正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用加法交换律和结合律进行简便运算，即可作答． （2）运用加法交换律和结合律进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式4．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的加法运算，解题的关键是掌握有理数的加法运算律． 先根据加法运算律进行整理，再进行简便运算，即可作答． 【详解】解：原式 ． 题型4、巧用拆项法进行有理数的加法运算 【解题技巧】即把一项或一个数拆分开，拆项后重新相加或错位相加，使本来采用常规方法不易解决或不能解决的计算或比较大小类问题变得容易解决或能解决. 例1．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）数学刘老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算：． 解：原式 ． 上述这种方法叫做拆项法； 请仿照上面的方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的加法，有理数的加法运算律，掌握有理数的加法运算法则是解题的关键． （1）先根据拆项法拆项，再根据有理数的加法法则及加法运算律进行计算即可； （2）先根据拆项法拆项，再根据有理数的加法法则及加法运算律进行计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 例2．（23-24七年级上·重庆·阶段练习）用简便方法计算： ． 【答案】 【分析】原式变形后，计算即可得到结果． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 变式1．（23-24七年级上·宁夏吴忠·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法计算，正确理解例题的解题方法并仿照解决问题是解题的关键．根据例题方法将各带分数拆解，将整数和分数分别相加，再计算加法即可． 【详解】解： ． 变式2．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法运算，先拆项，然后利用加法交换律和结合律计算即可． 【详解】 ． 变式3．（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法运算；把整数与整数部分、分数与分数部分分别加在一起，然后把每个分数分别拆成两个分数相减的形式，通过分数的加减，相互抵消，求出结果． 【详解】解：原式 ． 题型5、有理数加法的实际应用 【解题技巧】有理数运算相关的实际应用题种类较多，但是很多题目只是所给的情境不一样，解答的方法并没有发生改变．能够熟练的分析应用题的数量关系，找准解题的方法和技巧． 例1．（2025·浙江温州·二模）某工地记录了仓库水泥的进货和出货数量，某天进货2吨，出货3吨，记进货为正，出货为负，下列算式能表示当天库存变化的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数加法的实际应用，进货为正，出货为负，那么进货2吨为吨，出货3吨为吨，据此把二者相加即可得到答案． 【详解】解；由题意得，当天库存变化的是， 故选：A． 例2．（24-25七年级上·福建南平·期末）巡道员沿着一条东西向的铁路进行巡视维护，从驻地出发先向东走了7千米，又向东走了3千米，然后折返向西走了11.5千米，此时他在驻地的什么方向，与驻地的距离是多少千米（   ） A．向西1.5 B．向东1.5 C．向西21.5 D．向东21.5 【答案】A 【分析】本题考查了有理数加法的应用，解题的关键是规定向东走为正，向西走为负．根据题意可以设出正方向，然后根据题目中的数据进行计算，看最后的结果即可解答本题． 【详解】解：设向东走为正，向西走为负， ∴， 此时他在驻地向西1.5千米， 故选：A． 例3．（24-25七年级上·河南周口·期中）图纸上一个零件的标注为，这个标注中零件直径的标准尺寸有些模糊，已知该零件的七个合格产品，直径尺寸分别为，则该零件的标准尺寸不可能是（   ） A．73.0 B．73.1 C．73.2 D．73.3 【答案】D 【分析】本题考查正负数的意义，根据题意得出该零件的标准尺寸最大为，最小尺寸为，从而可得答案. 【详解】解：给出的七个合格产品尺寸最大为，最小尺寸为， 所以标准尺寸在和之间． 故选：D． 例4．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）有一口深2.6米的枯井，井底有一只青蛙沿着井壁向上往井口跳跃，由于井壁较滑，每次跳跃之后青蛙会下滑一段距离才能稳住．下面是青蛙的几次跳跃和下滑情况（上跳为正，下滑为负，单位为厘米）． 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 (1)在这7次跳跃除起跳点外，青蛙距离井底的最近距离是____厘米；青蛙距离井口的最近距离是_____厘米； (2)在这7次跳跃并下滑稳定后，此时青蛙距离井口还有多远？ (3)把每7次跳跃下滑记为一循环，若青蛙之后的每个循环跳跃下滑情况都和第一循环相同，那么青蛙在第几次跳出了井口？ 【答案】(1)17；152 (2)160厘米 (3)青蛙在第18次跳出了井口 【分析】本题考查正数和负数、有理数加法、有理数减法的应用，解答本题的关键是明确正数和负数在题目中的实际意义． （1）以井底为起点0，正数加负数可以计算出青蛙距离井底和井口的距离即可求解； （2）用井深减去青蛙第七次跳跃并下滑稳定后距离井底的距离，就可以计算青蛙距离井口的距离； （3）在跳完七次的基础上，进行循环计算，就可以计算出第几次可以跳出井口． 【详解】（1）解： 井壁较滑，每次跳跃之后青蛙会下滑一段距离才能稳住，正数表示上跳，负数表示下滑， 第一次跳跃以后：，表示青蛙在距离井底17厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 第二次跳跃以后：，表示青蛙在距离井底26厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 第三次跳跃以后：，表示青蛙在距离井底41厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 第四次跳跃以后：，表示青蛙在距离井底64厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 第五次跳跃以后：，表示青蛙在距离井底80厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 第六次跳跃以后：，表示青蛙在距离井底90厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 第七次跳跃以后没有下滑前：，表示青蛙在距离井底108厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 当青蛙跳完第一次以后距离井底最近为17厘米，当调完第七次后示下滑时，青蛙在距离井口最近152厘米处， 故答案为：17，152； （2）解：第七次跳跃并下滑稳定后：，表示青蛙在距离井底100厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 答：在这7次跳跃并下滑稳定后，此时青蛙距离井口还有160厘米． （3）解：每7次跳跃下滑记为一周，青蛙之后的每周跳跃下滑情况都和第一周相同， 当青蛙跳完2周以后，距离井口的距离（厘米），此时青蛙完成了14次跳跃， 青蛙继续跳跃情况为：（厘米）， ∵ ∴青蛙又继续跳跃4次就跳出了井口， ∴青蛙在第18次跳出了井口． 变式1．（2025·福建厦门·二模）为监测某水库雨季期间的水位高度，表一记录了该水库连续三天的水位变化情况（记水位上涨为正，单位：），这三天水位上涨的高度可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数加法的应用，把水库连续三天的水位变化情况相加即可． 【详解】解：这三天水位上涨的高度可表示为， 故选：C 变式2．（2025·贵州贵阳·模拟预测）若公共汽车上车人数记为“+”，下车人数记为“-” ，一辆公共汽车原有18名乘客，经过某一站时，乘客变化为：，，这时车上乘客人数为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数的运算法则.直接根据题意计算即可. 【详解】∵公共汽车上车人数记为“+”，下车人数记为“-” ，乘客变化为：，， ∴这时车上乘客人数为（人） 故答案为：12 变式3．（24-25七年级上·云南文山·期中）财商教育有助于培养孩子的独立生活能力和积极向上的价值观、社会责任感．小昆在妈妈的协助下，通过售卖废报纸、饮料瓶，转卖二手书，义卖闲置物品等方式获得一定收入，并用于购买学习用具和一些日常所需品．为了更好的理财，他每周做一次收支记录，其中一个月的收入和支出记录如下（收入用“”，支出用“”，单位：元）： ，，，，，，，． (1)小昆这个月是超支了还是有结余？如果超支，超支了多少？如果结余，结余了多少？ (2)若规定：收入元，支出元，经手金额为元，则小昆这个月经手总金额离元超过或不足多少元？ 【答案】(1)小昆这个月有结余，结余了元； (2)不足元 【分析】（） 把各数相加，求出和，再根据正负数的意义即可判断求解； （）求出各数绝对值的和，再利用有理数的减法即可判断求解； 本题考查了有理数加法和减法的实际应用，正负数的意义的实际应用，绝对值的意义，根据题意正确列出算式是解题的关键． 【详解】（1）解：， 答：小昆这个月有结余，结余了元； （2）解：， ∵， ∴小昆这个月经手总金额离元不足元． 变式4．（24-25七年级上·辽宁锦州·阶段练习）足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：）：，，，，，，，．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过（不包括），则对方球员挑射极可能造成破门．问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由． 【答案】(1)守门员最后回到了球门线上； (2)25米； (3)4次，理由见解析． 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数加减法的实际应用，有理数大小比较的实际应用．理解题意，理解本题中正负数的意义是解题关键． （1）将记录的数字相加，若结果为0，则守门员回到了球门线上，否则没有； （2）求出每次离球门的距离即可得到答案； （3）根据题意，结合（2）找出守门员离开球门线的距离超过的数据即可． 【详解】（1）解：根据题意得：米， ∴守门员最后回到了球门线上； （2）解：第一次跑距离开球门线10米 ； 第二次跑距离开球门线（米）； 第三次跑距离开球门线（米）； 第四次跑距离开球门线（米）； 第五次跑距离开球门线（米）； 第六次跑距离开球门线（米）； 第七次跑距离开球门线（米）； 第八次跑距离开球门线（米）．                                ∴守门员离开球门线的最远距离为25米； （3）解：对方球员有4次挑射破门的机会，理由如下： 由（2）可知守门员每次离开球门线的距离分别为：10米，8米，13米，25米，19米，10米，14米，0，则符合题意的有：13，25，19，14． ∴对方球员有4次挑射破门的机会． 题型6、有理数加法中的符号问题 例1．（23-24七年级·全国·单元测试）a，b，c三个数的位置如图所示，下列结论错误的是（    ）    A．b＋a＞0 B．b＋c＜0 C．a＋b＜0 D．a＋c＞0 【答案】A 【分析】根据数轴上点的位置判断出a，b，c的大小，利用有理数的加法法则逐一判断即可． 【详解】根据数轴上点的位置得：-4＜b＜-3＜-1＜a＜0＜1＜c，即|a|＜|c|＜|b|， ∴b+a＜0，故A选项错误，符合题意， b+c＜0，故B选项正确，不符合题意， a+b＜0，故C选项正确，不符合题意， a+c＞0，故D选项正确，不符合题意， 故选：A． 【点睛】此题考查了有理数的加法及数轴，正确判断a，b，c的大小，熟练掌握运算有理数加减法法则是解本题的关键． 例2．（24-25七年级上·北京·期中）如果，，，那么下列各式中大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 例3．（23-24七年级上·广东惠州·阶段练习）如果，那么，，三个数中（   ） A．有一个数必为 B．至少有一个负数 C．有且只有一个负数 D．至少有两个负数 【答案】B 【分析】根据有理数的加法计算法则求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，三个数中必然会有负数，即，，三个数中至少有一个负数， 故选B． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【分析】本题考查有理数与数轴，有理数的加法，有理数的大小比较，先根据a，b的正负，结合判断出b比a的绝对值大，进而在数轴上表示出各数，利用数轴比较大小即可． 【详解】解：，， a为正数，b为负数， ， b比a的绝对值大， a，b，，在数轴上的位置如图所示： 由数轴可知，， 故选B． 例4．（2024七年级上·江苏·专题练习）已知，，为有理数，且，，则，，满足的条件是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的性质、有理数的加法运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题关键．先根据可得，，，再根据即可得，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， 故选：C． 变式1．（23-24七年级上·福建福州·期中）若两个非零的有理数a，b，满足，则数a、b在数轴上表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】由题意知，a为正数，b为负数，且，由此可确定数a、b在数轴上的位置． 【详解】解：∵， ∴a为正数，b为负数， ∵， ∴， 则数a、b在数轴上表示正确的是选项D； 故选：D． 【点睛】本题考查了绝对值的性质，有理数的加法运算法则及数轴，由题意确定a与b的符号及绝对值的大小是关键． 变式2．（23-24七年级上·北京海淀·期末） 如图，数轴上点A，M，B分别表示数a，，b，那么原点的位置可能是（    ） A．线段AM上，且靠近点A B．线段AM上，且靠近点M C．线段上，且靠近点B D．线段上，且靠近点M 【答案】A 【分析】数轴上点A，M，B分别表示数a，，b，由它们的位置可得a＜0，a+b＞0，b＞0且|a|＜|b|，据此可判断原点在线段AM上，且靠近点A． 【详解】解：∵数轴上点A，M，B分别表示数a，，b， ∴由它们的位置可得a＜0，a+b＞0，b＞0且|a|＜|b|， ∴据此可判断原点在线段AM上，且靠近点A． 故选：A． 【点睛】考查了数轴，正数和负数，绝对值，关键是得到a＜0，a+b＞0，b＞0且|a|＜|b|． 变式3．（23-24七年级上·广东惠州·期中）如果，且，则下列说法中可能成立的是（　　） A．a、b为正数，c为负数 B．a、c为正数，b为负数 C．b、c为正数，a为负数 D．a、b、c均为负数 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，根据有理数的加法计算法则确定出a、b、c中最少有一个正数，最少有一个负数，且不能同号，不能同号，是解题的关键． 【详解】解：∵，且， ∴a、b、c中最少有一个正数，最少有一个负数，且不能同号，不能同号， ∴四个选项中，只有A选项符合题意， 故A． 变式4．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图，数轴上依次有，，，，五个点，其中，，三点所表示的数分别为，，，且．如果有，，，那么该数轴原点的位置应该在（　　） A．点在线段（不包括端点）上 B．点在线段（不包括端点）上 C．点在线段（不包括端点）上 D．点在线段（不包括端点）上 【答案】C 【分析】根据有理数的加法法则以及数轴上的点进行判断即可求解． 【详解】解：依题意，，，， ∴同为负号，异号， ∴， ∴原点在之间， ∵， ∴的绝对值大于的绝对值，即点到原点的距离大于到原点的距离 ∴该数轴原点的位置应该在点在线段（不包括端点）上， 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的加法法则以及数轴上的点，绝对值的意义，数形结合是解题的关键． 题型7、有理数加法的综合运用——幻方问题 【解题技巧】利用幻方和相等建立等量关系或直接幻方和相等的性质解题即可． 例1．（24-25七年级上·广东深圳·期末）在如图所示的三阶幻方中，有些位置填写了数或汉字（其中每个汉字都表示一个数）．若处于每行、每列及每条对角线上的3个数之和都相等，则“中”“国”“梦”这三个字表示的数之和是 ． 中 国 5 梦 0 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的加减，根据题意找到等量关系是解题的关键．根据题意得到每行、每列及每条对角线上的3个数之和都为，求出国，根据中国，中梦求出中和梦，即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：每行、每列及每条对角线上的3个数之和都为， 国， 中， 中， 梦， 梦， 故“中”“国”“梦”这三个字表示的数之和是． 故答案为：． 例2．（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字这12 个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则的值为（        ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】共有个数，每一条边上4个数的和都相等，共有六条边，所以每个数都加了两遍，这 个数共加了两遍后和为，所以每条边的和为，然后利用这个原理将剩余的数填入圆圈中，即可得到结果． 【详解】解：因为共有个数，每一条边上个数的和都相等，共有六条边，所以每个数都加了两遍，这个数共加了两遍后和为，所以每条边的和为， 所以这一行最后一个圆圈数字应填， 则所在的横着的一行最后一个圈为， 这一行第二个圆圈数字应填， 目前数字就剩下， 这一行剩下的两个圆圈数字和应为，则取中的， 这一行剩下的两个圆圈数字和应为，则取中的， 这两行交汇处是最下面那个圆圈，应填， 所以这一行第三个圆圈数字应为， 则所在的横行，剩余3个圆圈里分别为，要使和为2，则为 故选： 【点睛】本题主要考查了幻方的应用，找到每一行的规律并正确进行填数是解题的关键． 例3．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）如图，将，，，分别填入没有数字的圈内，使横、竖以及内、外两圈上的个数字之和都相等，则、所在位置的两个数字之和是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或． 【答案】B 【分析】由于八个数的和是4，所以需满足两个圈的和是2，横、竖的和也是2，据此分步分析，列等式求解即可得到结论． 【详解】解：如图示： 设外圈上的数为，内圈上的数为， 根据题意可知，这8个数分别是、2、、4、、6、、8， 横、竖以及内外两圈上的 4 个数字之和都相等，， 内、外两圈上的 4 个数字的和是 2，横、竖的 4 个数字的和也是 2， 由，得， 由，，得， 由，，得， 则：当 时，，符合题意，此时； 当 时，，符合题意，此时， 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的加法，数字类题目的分析，分步分析解题的能力，读懂题意，能对题目进行分析，得到横竖两个圈的和都是2，是解决本题的关键． 例4．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）．三阶幻方又名九宫格，是一种将数字（1至9，数字不重复使用）安排在三行三列正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等． (1)根据“洛书”中表达的意思，______，______； (2)改变图2幻方中数字的位置，可以得到一个新的三阶幻方（如图3），则______，______，______； (3)如图4，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”．将这12个数填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点处“〇”中的数的和都为2．则______，______． 【答案】(1)9，3 (2)6，5，4 (3)；或 【分析】本题考查的是有理数的加减法，注重考查学生的思维能力和运算能力． （1）第3行上的数字和等于，因此，； （2）根据第（1）问，每行、列和对角线上的数字和都等于15，、、即可求得； （3）因为每个正方形的4个顶点处“〇”中的数的和都为2，易得；将中间的正方形的未知顶点设为，则；从而得到或． 【详解】（1）解：（1）第3行上的数字和等于， 因此，, 故答案为：9，3； （2）解：根据题意，每行、列和对角线上的数字和都等于15， 因此，，， 故答案为：6，5，4； （3）解：根据题意，，解得； 将中间的正方形的未知顶点设为，则，解得； 因此或， 故答案为：；或． 变式1．（23-24七年级上·广西南宁·期中）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，如图九宫格内每个小方格内均有不同的数字，要求方格内每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字之和均相等，图中给出了部分数字，则处对应的数字是（　　）    A．7 B．5 C．4 D．1 【答案】C 【分析】根据题意列出算式，先求得得出右上角为，进而求得处对应的数字． 【详解】解：如图所示，    依题意， ∴ ∴ 解得： 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的加法的应用，理解题意是解题的关键． 变式2．（23-24七年级上·广东深圳·期末）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是另一个三阶幻方，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的加减法以及出三元一次方程的音乐，根据题意出三元一次方程以及整体思想是解题关键． 如图：根据题中给出的三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，即可列出三元一次方程，然后变形即可解答． 【详解】解：∵三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等， ∴如图可得： 即． 故选D． 变式3．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，8，，12，，16，，20分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等，则的值为（    ） A．或 B．或10 C．2或 D．2或 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则，能够根据所给的条件推理出b、d的可能取值是解题的关键．根据所给数的特征，可知横、竖、外圈、内圈的4个数之和为4，再由已经填写的数，确定或，从而求出d的值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴横、竖、外圈、内圈的4个数之和为4， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴或， 当时，，此时， 当时，，此时． ∴的值为或10． 故选：B． 变式4．（2024七年级上·全国·专题练习）课本再现： 填幻方 有人建议向火星发射如图所示的图案，它叫做幻方，其中个格中的点数分别是．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相同．如果火星上有智慧生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）． （）如图，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是 __； （）请将填入图，使其构成一个幻方； 拓展延伸： （）如图，在一个由个圆圈组成的三角形里，把到这个连续整数分别填入圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和都相等，请直接写出的最大值． 【答案】（）；（）见解析；（）见解析，． 【分析】（）根据图中数据计算即可作答； （）先将已知的个数求和，再除以即可求出每行、每列、每条对角线上的三个数之和，根据幻方的特点可知，已知的从小到大的排列的个数中，居于中间位置的数填在幻方的正中心的格子中，并且这列数中最大的数与最小的数必在一起，据此填表即可； （）根据三角形的每条边上的三个数的和S都相等，且和最大，把到这个数较大的三个数放在三个顶点处即可求解； 本题考查了有理数的加法的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】解：（）任取两组数据，由图可知，， 故答案为：； （）， 即幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于， 根据幻方的特点可知：从小到大的排列的个数中，居于中间位置的数填在幻方的正中心的格子中，并且这列数中最大的数与最小的数必在一起， 即三阶幻方如下： （答案不唯一） （）解：将填入三角形的三个顶点处， 与之间填， 与之间填， 与之间填， 如图， 则三角形的每条边上的三个数的和都相等，且和最大， 此时，， ∴的最大值为． 题型8、有理数加法的综合运用——新定义 【解题技巧】“新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型．它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”；（3）定义新概念．这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题． 例1．（23-24七年级上·全国·单元测试）设表示不超过的最大整数，计算： ． 【答案】3 【分析】根据题中所给新定义运算可进行求解． 【详解】解：∵表示不超过的最大整数， ∴， ∴； 故答案为3． 【点睛】本题主要考查有理数的加法，熟练掌握有理数的加法运算是解题的关键． 例2．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）规定一种新运算“*”：，，，，，，据“*”运算的法则，计算： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据新定义进行正确的计算是解题的关键．根据题意列式计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 例3．（23-24七年级上·浙江湖州·期中）已知[x]表示不超过x的最大整数．如：[3.2]＝3，[﹣0.7]＝﹣1．现定义：{x}＝[x]﹣x，如{1.5}＝[1.5]﹣1.5＝﹣0.5，则{3.9}+{﹣}＝ ． 【答案】-1.4 【分析】根据题目中的定义，将式子转化为有理数的运算，再进行计算即可求解． 【详解】解：{3.9}+{﹣}=（3-3.9）+[-2-（-1.5）]=-0.9+(-0.5)=-1.4． 故答案为：-1.4 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，有理数的加减运算等知识，读懂题意，理解题目中的定义是解题关键． 例4．（2025·山东枣庄·三模）一个自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身，这种数叫做完全数．例如，是一个完全数，．下列各数是完全数的是（   ） A． B．8 C．6 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了整数的因数分解，搞清完全数的定义是本题的关键．将每个数进行分解因数，然后根据完全数的定义进行判断即可 【详解】解∶ A．，故本选项不符合题意； B．，故本选项不符合题意； C．，故本选项符合题意； D．，故本选项不符合题意． 故选∶C． 例5．（24-25七年级上·河南南阳·期中）定义☆运算，观察下列运算： ，， ，， ，． (1)请你认真思考上述运算，归纳☆运算的法则： 两数进行☆运算时，同号______，异号______，并把绝对值________． 特别地：0和任何数进行运算，或任何数和0进行☆运算，________． (2)计算：． (3)试通过计算说明与相等吗？运算____结合律．（填“满足”，“不满足”） 【答案】(1)得正；得负；相加；都等于这个数的绝对值 (2)23 (3)不相等，不满足 【分析】本题考查有理数的混合运算． （1）由题干中的算式归纳运算的法则即可； （2）根据归纳的法则计算即可； （3）根据归纳的法则计算后判断两式结果是否相等即可． 【详解】（1）解：由题干中的算式可得运算的法则为：同号得正，异号得负，并把绝对值相加；特别地：0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，都等于这个数的绝对值； 故答案为：得正；得负；相加；都等于这个数的绝对值； （2）解： ； （3）解： ， 则与不相等，运算不满足结合律， 故答案为：不满足． 变式1．（23-24七年级上·重庆·期中）对有理数a、b定义新运算如下：，则 ． 【答案】 【分析】根据，用3的相反数加上的倒数，求出的值，进而求出 的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：； 【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，解答此题的关键是弄清楚运算“”的运算方法． 变式2．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）规定符号表示两个数中较小的一个，规定符号表示两个数中较大的一个，例如：，，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了有理数比较大小和有理数的加法运算．根据新定义方法，进行加法运算即可． 【详解】解：由题意可得， 故答案为： 变式3．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）规定以下两种变换：①，如；②，如．按照以上变换有：，那么等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了有理数的新定义运算，正确运用公式是解题关键． 根据新定义的运算法则求解即可． 【详解】解：． 故选：D． 变式4．（24-25七年级上·广东广州·期中）定义：表示不超过的最大整数．如：，．则下列结论：①；②；③；④；⑤若，则的值可以是．其中正确的结论有（   ）个 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的大小比较、新定义运算，解决本题的关键是根据新定义运算计算出结果，根据计算的结果判断是否正确． 【详解】解：根据题意可得：，故正确； 根据题意可得：，故正确； 当时，有，不成立，故错误； 当时，有，不成立，故错误； 当时，，若，则的值可以是，故正确， 综上所述，正确的结论共有个． 故选：B ． 变式5．（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期中）在学习完“有理数的加法”后，小米同学对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数运算的学习经验，自主探究新定义运算． 小米设计一种新运算“”，即对任意有理数a，b，满足如下规律：，称此种运算为“绝佳”运算． 例如，；（2）． 【探究一：两个数“绝佳”运算】 （1）填空：①_________；②_________； ③__________；④__________； 通过上面的计算结果，请你归纳出“绝佳”运算是否满足交换律？若不满足，请举出反例（举一个反例即可）； （2）①若，则_________；②若，则_________； 【探究二：三个数“绝佳”运算】 （3）小米同学想类比有理数的加法结合律，判断“绝佳”运算是否满足结合律． 请你帮助她验证等式是否成立，并归纳出“绝佳”运算是否满足结合律． 【答案】（1）①1 ；②1 ；③；④；满足交换律；（2）①4或；②1或；（3）等式不成立；运算不满足结合律 【分析】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握有理数的加法运算，绝对值的意义， （1）根据，进行计算，即可； （2）根据，进行计算，即可； （3）根据，先求出和的值，进而求解即可． 【详解】（1）∵， ∴①；②； ③；④； 由以上运算可得，“绝佳”运算满足交换律； 故答案为：，，，；满足； （2）∵， ∴， ∴或， ∴或； ∵， ∴，， ∴， ∴或， 解得或； 故答案为：①4或；②1或； （3）∵， ∴，， ∴； ∵， ∴ ∴等式不成立， ∴“绝佳”运算不满足结合律． 1．（24-25七年级上·山东济南·期中）魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，灰色为负），图1表示的是的计算过程，则图2表示的计算过程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正数和负数，数学常识，本题是阅读型题目，理解图中的含义并熟练应用是解题的关键．依据题意写出算式即可． 【详解】解：根据题意，图2表示的计算过程是：； 故选：B． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）提升计算： (1) (2) (3) (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． （4）解： ； （5）解： ． 3．（2024七年级上·黑龙江·专题练习）小磊在解题时，将式子先变成，再计算结果，则小磊运用了（   ） A．加法交换律 B．加法交换律和加法结合律 C．加法结合律 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法运算律，根据加法交换律和加法结合律即可求解，熟练掌握加法交换律和加法结合律是解题的关键． 【详解】解：将式子先变成，再计算结果，则小磊运用了加法交换律和加法结合律， 故选：． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）计算等于（   ） A． B．1 C．0 D．4 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据有理数的加法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ； 故选A． 5．（24-25六年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，直接根据有理数的加法计算法则求解即可． 【详解】解： ． 6．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）如果，，且，求的值． 【答案】的值为或 【分析】此题考查绝对值的计算，有理数加减法计算法则，正确理解绝对值的计算是解题的关键，根据绝对值定义得到a，b的值，代入计算加减法即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴或， ∵, ∴， 当时，； 当时，； 综上，的值为或． 7．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了有理数的加法，加法运算律，掌握有理数的加法法则是解题的关键． （1）根据有理数的加法法则和加法运算律计算即可； （2）根据有理数的加法法则和加法运算律计算即可； （3）根据有理数的加法法则和加法运算律计算即可； （4）根据有理数的加法法则和加法运算律计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 8．（23-24七年级上·江苏常州·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．两数相加，其和大于任何一个加数 B．异号两数相加，其和小于任何一个加数 C．绝对值相等的异号两数相加，其和一定为零 D．两数相加，取较小一个加数的符号作为结果的符号 【答案】C 【分析】根据有理数的加法分别分析各个选项，然后得出结论即可． 【详解】解：A选项，两数相加，其和大于任何一个加数，说法错误，例如：两个负数相加，故不符合题意； B选项，异号两数相加，其和小于任何一个加数，说法错误，如果和为正数，就不满足题干要求，故不符合题意； C选项，绝对值相等的异号两数相加，其和一定为零，说法正确，故符合题意； D选项，两数相加，取绝对值较大一个加数的符号作为结果的符号，原说法错误，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查有理数加法的知识，熟练掌握有理数加法是解题的关键． 9．（23-24七年级上·浙江·期末）m是有理数，则（    ） A．可以是负数 B．不可能是负数 C．一定是正数 D．可是正数也可是负数 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法法则和绝对值的概念，需要分情况讨论．采用分类讨论时，要把所有情况分析清楚．故考虑三种情况，化简原式后判断即可． 【详解】解：当时，； 当时，； ∴， 即：可能是正数，也可能是0，但不可能是负数． A．不可以是负数，此选项错误； B．不可能是负数，此选项正确； C．可能是正数，也可能是0，此选项错误； D．可能是正数，但绝不可能是负数，此选项错误； 故选B． 10．（2024七年级上·全国·专题练习）数学张老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算：． 解：原式 ． 上述这种方法叫作拆项法． 请你仿照上面的方式计算： ． 【答案】0 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据拆项法进行求解即可． 【详解】原式 ． 11．（24-25七年级上·云南昭通·期末）对用生活实例解释其意义正确的是（   ） A．一物体从数轴的原点出发，向左移动3个单位，再向右移动2个单位，现在该物体在数轴上对应点的数为1 B．某人做生意1月份赚了2万元，2月份亏了3万元，他这两个月合计亏了1万元 C．今天早上的气温是零上，随着冷空气的到来，下午气温下降了．现在的气温是零下 D．某人早上从水池里打水冲洗道路用了水，接着他又往水池注入水，现在水池里的水比原来多了 【答案】B 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，分别列出各选项中的算式，进行判断即可． 【详解】解：A、由题意，，现在该物体在数轴上对应点的数为，该选项错误，不符合题意； B、，故他这两个月合计亏了1万元，符号题意； C、，故现在的气温是零下，该选项错误，不符合题意； D、，故现在水池中的水比原来少了，该选项错误，不符合题意； 故选B． 12．（23-24七年级上·江苏南通·期末）一天，王女士到某办公楼办事，假定乘电梯向上一层记为，向下一层记为，电楼上下层数依次录如下（单位层）：． (1)请问王女士最后在几层？ (2)该大楼，每层高．电梯每上（或下）零耗电千瓦时，请你计算，她乘电梯办事，电梯需要耗电多少千瓦时？ 【答案】(1)王女士最后停在1楼 (2)她办事时电梯需要耗电千瓦时 【分析】本题考查了有理数的加减法运算的应用和绝对值的应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． （1）根据题意将数据相加起来即可求解； （2）将所有数据加绝对值进行相加即可求解，再结合题意进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 答：王女士最后回到了原出发点，即1楼位置． （2）解：由题意可得， （层）， （千瓦时） 答：耗电千瓦时． 13．（24-25七年级上·山西忻州·阶段练习）某特技飞行队进行特技表演，其中一架飞机A起飞后的高度变化如下表： 高度变化 上升千米 下降千米 上升千米 下降千米 记作 _________ _________ _________ (1)请完成上表； (2)求飞机A完成上述四个表演动作后，飞机A的高度是多少千米？ (3)如果飞机A每上升或下降1千米需消耗2升燃油，那么飞机A在这4个动作表演过程中，一共消耗了多少升燃油？ (4)若另一架飞机B在做特技表演时，起飞后前三次的高度变化为：上升千米，下降千米，再上升千米．若要使飞机B在完成第4个动作后与飞机A完成4个动作后的高度相同，问飞机B的第4个动作是上升还是下降，上升或下降多少千米？ 【答案】(1)见解析 (2)1千米 (3)20.4升 (4)下降千米 【分析】（1）利用正负数的意义解答即可； （2）求出表格中四个数值的代数和即可得出结论； （3）分别计算表格中四个数值的绝对值的和，再乘以2升即可得出结论； （4）计算飞机的前三次的高度的代数和与飞机的高度作比较即可得出结论． 【详解】（1）解：填表如下： 高度变化 上升千米 下降千米 上升千米 下降千米 记作 （2） （千米）； （3） （千米）， （升）， 答：飞机在这4个动作表演过程中，一共消耗了升燃油． （4）要使飞机在完成第4个动作后与飞机完成4个动作后的高度相同，飞机的第4个动作是下降千米，理由： 飞机完成3个动作后的高度为： （千米）， 飞机的高度是1千米， 要使飞机在完成第4个动作后与飞机完成4个动作后的高度相同，飞机的第4个动作是下降， （千米）， 飞机的第4个动作是下降千米． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，正负数的应用，正确理解正负数的意义是解题的关键． 14．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在数轴上，点O是原点，A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c．根据图中各点的位置（OA＞OB），下面式子结果为正数的是（    ） A．a＋b B．a＋c C．c＋（﹣b） D．a＋（﹣c） 【答案】D 【分析】根据点A、B、C所在数轴上的位置，判断各个数的大小及绝对值，从而得出判断即可． 【详解】由点A、B、C所在数轴上的位置可知， c＜a＜0＜b，且|c|＞|a|＞|b|， ∴a+b＜0，a+c＜0，c+（﹣b）＜0，a+（﹣c）＞0， 故选：D 【点睛】本题考查了有理数大小的比较、绝对值的意义、有理数的加法法则，根据数轴确定各数的大小及掌握有理数加法法则是关键． 15．（24-25七年级上·湖北黄冈·期中）如果，且，那么a、b、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数加法的运算法则和有理数的大小比较，根据题目条件分析出a是正数，且a的绝对值大于b的绝对值，即可比较大小． 【详解】解：∵，且， ∴，且， ∴， 故选：B． 16．（23-24七年级上·安徽·期末）如图是根据幻方改编的“幻圆”游戏，将，，，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，已知图中、⊙分别表示一个数，则的值为（    ） A． B．1 C．或4 D．或1 【答案】D 【分析】由于八个数的和是，所以需满足两个圈的和是，横、竖的和也是．列等式可得结论． 【详解】解：设小圈上的数为，空白处为c；大圈上的数为，空白处为d ∵横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等， ∴两个圈的和是，横、竖的和也是， 则，得 ∵内圈的数和是 ，得， ∵一共八个数，，，，，， ∴或者 ∵当时，，则 当时，，则， ∴的值为或 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的加法．解决本题的关键是知道横竖两个圈的和都是． 17．（24-25七年级上·福建福州·期中）如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字，这12个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等，部分数字已填入圆圈中，则的值为（   ） A．4 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了幻方的应用，找到每一行的规律并正确进行填数是解题的关键． 共有个数，每一条边上4个数的和都相等，共有六条边，所以每个数都加了两遍，这个数共加了两遍后和为，所以每条边的和为，然后利用这个原理将剩余的数填入圆圈中，即可得到结果． 【详解】解：∵共有个数，每一条边上个数的和都相等，共有六条边， ∴每个数都加了两遍，这个数共加了两遍后和为，所以每条边的和为， ∴这一行最后一个圆圈数字应填，则所在的横着的一行最后一个圈为， ∴这一行第三个圆圈数字应填， ∴数字就剩下， 这一行剩下的两个圆圈数字和应为，则取中的， 这一行剩下的两个圆圈数字和应为，则取中的， 这两行交汇处是a即为3， 故选：B 18．（23-24七年级上·北京通州·期中）用符号表示a，b两个有理数中的较大的数，用符号表示a，b两个有理数中的较小的数，则的值为 ． 【答案】 【分析】先根据新符号的定义化简所求式子，再计算有理数的加法即可得． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的加法，掌握理解新符号的定义是解题关键． 19．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）古代埃及人在进行分数运算时，只使用分子是1的分数，因此这种分数也叫做埃及分数，我们注意到，某些真分数恰好可以写成两个埃及分数的和，例如：，则写成两个埃及分数的和的形式为为= ． 【答案】 【分析】根据题目给出的埃及分数的定义，即可解答． 【详解】解：∵只使用分子是1的分数，因此这种分数也叫做埃及分数， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的加法，读懂题目，明确埃及分数的定义是解决本题的关键． 20．（2025·陕西咸阳·二模）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知表示不超过的最大整数，例如．现定义，例如，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，有理数的加减混合运算，新定义运算，解题关键是理解新定义运算． 根据表示不超过的最大整数求解，列式计算． 【详解】由题意得：． 21．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）对有理数，定义了一种新的运算，叫“乘加法”，记作“”．并按照此运算写出了一些式子：，，，，，，，， (1)根据以上式子特点将“乘加法”法则补充完整： 同号得_____，异号得_____，并把绝对值_____；一个数与0相“乘加”等于_____； (2)根据法则计算：_____；_____； (3)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，请计算： 【答案】(1)正，负，相加，这个数的绝对值 (2)， (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据新定义的运算对式子进行计算． （1）根据新的运算，对照式子直接写出答案即可； （2）根据新的运算，写出运算的式子，再计算出结果即可； （3）根据新的运算先分别算出和，再计算出即可． 【详解】（1）解：同号得正，异号得负，并把绝对值相加；一个数与0相“乘加”等于这个数的绝对值， 故答案为：正，负，相加，这个数的绝对值； （2）解：， ， 故答案为：，； （3）解： ． 1．（2024七年级下·浙江杭州·竞赛）计算：的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的运算，把每一个分数化为小数计算可得和为即可得出答案． 【详解】解：∵，，，，…… ∴ ∴， 故选C． 2．（24-25七年级上·宁夏中卫·期末）学校图书馆把无线网络密码做成了数学题，小亮在图书馆查询信息时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接上了图书馆的网络，那么他输入的密码是 ． 账号： 密码 【答案】 【分析】本题主要考查了数字类规律探索，有理数加法在生活中的应用，有理数乘法的实际应用等知识点，从题目所给的算式中发现并总结出一般规律是解题的关键． 仔细观察题目所给的算式，可以发现并总结出一般规律：密码的前两位数为第一个数与第二个数的乘积，中间的两位数为第一个数与第三个数的乘积，最后的两位数为前两个两位数之和，然后根据规律列式计算即可． 【详解】解：由题意可知：密码的前两位数为第一个数与第二个数的乘积，中间的两位数为第一个数与第三个数的乘积，最后的两位数为前两个两位数之和， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·福建福州·期中）已知a、b、c为有理数，且a＋b＋c＝0，b≥﹣c＞|a|，则a、b、c与0的大小关系是（    ） A．a＜0，b＞0，c＜0 B．a＞0，b＞0，c＜0 C．a≥0，b＜0，c＞0 D．a≤0，b＞0，c＜0 【答案】D 【分析】由b≥﹣c＞|a|可确定b为正，c为负，且b+c≥0；再由a＋b＋c＝0，可得a≤0，从而可确定答案． 【详解】∵b≥﹣c＞|a|， ∴b＞|a|，﹣c＞|a|， ∴b＞0，c＜0； ∵b≥﹣c， ∴b+c≥0， 又∵a+b+c＝0， ∴a≤0， ∴a≤0，b＞0，c＜0． 故选：D 【点睛】本题考查了有理数的加法运算，理解加法的符号法则是解题的关键． 4．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）若：，则的最小值是 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据的最小值为，的最小值为，结合数轴求得的最小值，即可求解． 【详解】解：∵的最小值为，的最小值为，当时，等式，成立， ∴的最小值为，的最小值为 ∴的最小值是 故答案为：． 5．（2024七年级·全国·竞赛）有一列数：，它们按一定的规律排列，那么这列数的前（    ）个数的和最小． A．288 B．289 C．290 D．292 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加法，数字规律探索，当各项都是负数时，和最小，得出答案． 【详解】这列数的第项可表示为， 当各项都是负数时，和最小， 由当时，，当时，， 所以前288项的和最小． 故选：A． 6．（24-25七年级上·重庆·开学考试）将分别填入下图中的○中，使得3条线上的4个数的和都相等，这个和最大是 ．    【答案】23 【分析】本题主要考查了宫格数阵问题．熟练掌握数阵链特点，尝试填数，是解决问题的关键． 根据中间三个数加了两次，和最大是24 ，9个数的和为45，即可求出每条线上数的和最大为23，据此尝试填数（答案不唯一）． 【详解】由图可知，中间三个数加了两次，这三个数的和最大是： ， ∵数字的和为：， ∴． ∴每条线上的4个数的和最大为23． 故答案为：23．    7．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）对于一个非整数的有理数（为整数），我们规定：表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，表示最接近的整数．例如，，，．则使成立的的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】根据选项的特点，选择特殊的值代入，然后利用排除法求解即可． 【详解】解：取，，， ∴，不符合题意，排除B、C； 取，，， ∴，符合题意， ∵ 故选：A． 【点睛】题目主要考查有理数的加法运算，理解新定义的运算是解题关键． 8．（24-25七年级上·江苏南通·期中）在，，，，，，，中，每个字母的值恰好是，，这三个数值中的一个，若，则 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，化简绝对值等知识点，分析判断其余个字母的值的和为时，这个字母可能是什么数是解题的关键． 根据已知条件：在，，，，，，，中，每个字母的值恰好是，，这三个数值中的一个，且，又因，因而可推出有两个字母的值分别为，，其余个字母的值的和为，然后分三种情况讨论：当这个字母的值分别为，，，，0，0时；当这个字母的值分别为，，，，，0时；当这个字母的值分别为，2，2，2，2，时，分别化简绝对值并求和，即可得出答案． 【详解】解：在，，，，，，，中，每个字母的值恰好是，，这三个数值中的一个， ∵， ， 有两个个字母的值分别为，，其余个字母的值的和为， 这个字母的值分别为：，，，，，0或，，，，,0或，2，2，2，2， 当这个字母的值分别为，，，，，0时， ， 当这个字母的值分别为，，，，，0时， ， 当这个字母的值分别为，2，2，2，2，时， ， 或或， 故答案为：或或． 9．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，一个正方形的表面上分别写着连续的6个正整数，且每两个相对面上的两个数的和都相等，则这6个整数和为 ． 【答案】45 【分析】本题主要考查了有理数的加法，解题关键是根据正方体的展开图求出这六个连续的整数．根据题意分析可得：六个面上分别写着六个连续的整数，故六个整数可能为5，6，7，8，9，10或4，5，6，7，8，9，然后分析是否符合题意即可． 【详解】解：根据题意分析可得：六个面上分别写着六个连续的整数， 故六个整数可能为5，6，7，8，9，10或4，5，6，7，8，9； 且每个相对面上的两个数之和相等， ，，， ，，（5与8相邻，不合题意，舍去） ∴这六个数是5，6，7，8，9，10， ∴这六个整数的和为：， 故答案为：45． 10．（23-24七年级上·河南商丘·期末）有一口深90厘米的枯井，井底有一只青蛙沿着井壁向上往井口跳跃，由于井壁较滑，每次跳跃之后青蛙会下滑一段距离才能稳住．下面是青蛙的几次跳跃和下滑情况（上跳为正，下滑为负，单位为厘米）． 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 0 (1)除起跳点外，青蛙距离井底的最近距离是______厘米；青蛙距离井口的最近距离是______厘米； (2)在这7次跳跃并下滑稳定后，此时青蛙距离井口还有多远？ (3)把每7次跳跃下滑记为一周，若青蛙之后的每周跳跃下滑情况都和第一周相同，那么青蛙在第几次跳出了井口？ 【答案】(1)2；59； (2) (3)青蛙在第25次跳出了井口 【分析】本题考查正数和负数，有理数的混合运算，解答本题的关键是明确正数和负数在题目中的实际意义． （1）分别将这7天的正数和负数相加，可得青蛙向上跳跃的距离，再利用90与其相减可得结论； （2）先计算最后一天青蛙跳跃下滑后距离，再利用90与其相减可得结论； （3）一周为，21天即为三周，上升，利用依次作差，注意最后一天只计算跳跃的距离即可． 【详解】（1）解：第一次跳跃下滑后； 第二次跳跃下滑后； 第三次跳跃下滑后； 第四次跳跃下滑后； 第五次跳跃下滑后； 第六次跳跃下滑后； 第七次跳跃下滑后； 青蛙距离井底的最近距离是2厘米；青蛙距离井口的最近距离是厘米， 故答案为：2；59； （2）， 即在这7次跳跃并下滑稳定后，此时青蛙距离井口还有； （3）周……， 即第21次后，距离井口：， 第22次后，距离井口：， 第23次后，距离井口：， 第24次后，距离井口：， 第25次后，，此时跳出井口， 故青蛙在第25次跳出了井口． 11．（23-24七年级上·福建泉州·期末）传说大禹治水来到洛水，洛水中浮出一只神龟，背上有奇怪的图，图上有许多圈和点，史称“洛书”，也就是我们常说的三阶幻方，又称为“九宫格”，人们发现“九宫格”里面有非常有趣的关系：不管是把横着的3个数相加，还是把竖着的3个数相加，或者把斜着的3个数相加，其和都相等，于是把这个和称为“幻和”，正中间的那个数称为“中心数”． (1)若由1，3，5，7，9，11，13，15，17这9个数构成“九宫格”，求“幻和”m的值； (2)小明对“九宫格”中数字的规律产生了浓厚的兴趣，希望找出这些数字中蕴含的数学规律．如图，将a、b、c、d、e、f、g、h、i这9个字母分别填入“九宫格”． ①若，求“中心数”e的值，并说明理由； ②直接写出a、f、h之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②或 【分析】本题考查规律型问题，幻方等知识，解题的关键是理解题意，学会构建等式解决问题． （1）依题意中心数为9，根据“幻和恰好等于中心数的3倍”即可得解． （2）①根据“幻和恰好等于中心数的3倍”即可得解； ②根据幻方规律：不管是把横着的3个数相加，还是把竖着的3个数相加，或者把斜着的3个数相加，其和都相等，列出等式，通过等式变形得到结论． 【详解】（1）解：通过中心数有4条线，将这4条线全部加起来，可以得到： 全体数的和中心数， 而三阶幻方中，全体数的和（三行或三列） 则有：中心数， 化简得到：中心数， 依题意中心数为9，所以． （2）解：①由（1）得中心数， 所以中心数； ②依题意由， 所以， 所以， 所以，即． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读理解：给定一列数，把这列数中的第一个数记为， 第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为 为正整数），符号“”表示从这列数的第一个数开始依次加到第个数的和，即，例如：一列数1，3，4，7，9中，，，，，，；． 请解决下面的问题： (1)已知一列数，2，，4，，6，，8，，10，求的值； (2)已知一列数0，，6，，12，，18，，24，，，按照规律可以无限写下去，那么的值是多少？并求的值； (3)在（2）的条件下，是否存在正整数使等式成立，若存在请求出的值，不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，的值为1348或1349 【分析】本题考查数字变化类规律探究，有理数混合运算，简单的一元一次方程解法，理解题意，发现规律是解题的关键． （1）按照定义求出数列中前5个数的和即可； （2）根据符号规律和绝对值变化规律可写出第个数的代数式，再令，求出第100个数，然后再按新定义的运算列式相加，利用每两个的和为，即可求出的值； （3）根据（2）的规律，分当为偶数时，和当为奇数时两种情况列方程求出的值即可． 【详解】（1）解：； （2）观察可知，奇数位为正，偶数位为负，绝对值依次加3， ∴， ∴； ； （3）存在；理由如下： 当为偶数时，， ∴， ∴， 当为奇数时，， ∴， ∴． 故的值为1348或1349． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$