第04讲 指数与指数函数（专项训练）（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第04 讲 指数与指数函数 目录 01 常考题型过关练 题型01 指数与指数幂的运算 题型02 指数函数的图象与性质 题型03 指数应用题 题型04值域 题型05 定点及图象问题 题型06 单调性问题 题型07 比较指数幂大小 题型08 解指数不等式 题型09 指数的综合应用 02 核心突破提升练 03 真题溯源通关练 01 指数与指数幂的运算 1．的分数指数幂表示为（   ） A． B． C． D．都不对 2．若，则（   ） A． B． C．64 D． 3．（多选）下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（2026高三·全国·专题练习）化简与求值． (1)； (2)． 02 指数函数的图象与性质 6．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 7．（多选）已知是奇函数，是偶函数，且，则（    ） A． B． C． D． 8．已知函数（且）满足，则（ ） A． B． C． D．3 9．（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知，，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（2025·湖南长沙·模拟预测）若指数函数满足，则 ． 03 指数应用题 11．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述: 设物体的初始温度是 ， 后的温度是 ，则 ，其中 表示环境温度， 称为半衰期. 现有一杯88°C的咖啡放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃大约需要20 min，那么降温到35℃大约需要 （参考数据: ） （     ） A． B． C． D． 12．某科研小组培育一种水稻新品种，由第1代1粒种子可以得到第2代120粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代120粒种子，则第10代得到的种子数为（    ）参考数据：， A． B． C． D． 13．生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减，大约每经过5730年，碳14含量衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，与死亡年数之间的函数关系式为（其中为常数）.2024年考古学家挖掘出某生物标本，经研究发现该生物体内碳14残余量约占原始含量的81%，则可推断该生物死亡时间属于（    ）附：①参考数据：，②参考时间轴如图： A．东汉 B．三国 C．西晋 D．东晋 14．衣柜里的樟脑丸随着时间会挥发，使得体积缩小，刚放进的新丸体积为，经过天后，体积与天数的关系式为.已知新丸经过25天后，体积变为，则新丸经过75天，体积变为（    ） A． B． C． D． 04 值域 15．（2025·福建厦门·三模）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 16．已知函数的值域为的值域为，则（   ） A．0 B．1 C．3 D．5 17．（多选）设函数，下列说法正确的是（    ） A．函数是偶函数 B．函数的值域是 C．值域为 D．函数是偶函数 18．已知函数的值域为，则的取值范围是 . 05 定点及图象问题 19．已知幂函数在区间上单调递减，则函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 20．（多选）已知实数a，b满足等式，则下列关系可以成立的是（    ） A． B． C． D． 21．函数与的图象关于（    ） A．轴对称 B．轴对称 C．直线对称 D．原点中心对称 22．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 23．已知函数且的图象过定点，若角的终边过点，则 . 06 单调性问题 24．下列函数中，在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 25．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 26．（2025·重庆·三模）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若的最大值为2，求的值． 07 比较指数幂大小 28．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 29．（2025·山东泰安·模拟预测），则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 30．（2025·甘肃白银·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 31．（2025·河南许昌·模拟预测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 08 解指数不等式 32．（2025·福建泉州·模拟预测）设，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 33．（2025·湖北·模拟预测）设集合，则（    ） A． B． C． D． 34．（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数则的解集是 ． 09 指数的综合应用 35．（2025·天津和平·三模）定义域为的函数满足，当时，，若时，，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 36．（多选）已知为偶函数，为奇函数，且满足．若存在，使得不等式有解，则实数m的值可以为（   ） A． B． C．1 D．2 37．若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是 . 38．已知函数与，若对任意的，总有恒成立，则实数的取值范围是 ． 1．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 2．是的偶函数，且在上单调递增，设 则（    ） A． B． C． D． 3．已知幂函数在上单调递增，函数，任意时，总存在使得，则的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 4．（多选）已知函数，下面说法正确的有（   ） A．的图象关于轴对称 B．的图象关于原点对称 C．的值域为 D．，且恒成立 5．已知函数若实数，，满足，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6． 若，则（ ） A． B． C． D． 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，则 A． B． C． D． 4．若a＞b＞0，0＜c＜1，则 A．logac＜logbc B．logca＜logcb C．ac＜bc D．ca＞cb 5．已知函数 的定义域和值域都是 ，则 . 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04 讲 指数与指数函数 目录 01 常考题型过关练 题型01 指数与指数幂的运算 题型02 指数函数的图象与性质 题型03 指数应用题 题型04值域 题型05 定点及图象问题 题型06 单调性问题 题型07 比较指数幂大小 题型08 解指数不等式 题型09 指数的综合应用 02 核心突破提升练 03 真题溯源通关练 01 指数与指数幂的运算 1．的分数指数幂表示为（   ） A． B． C． D．都不对 【答案】A 【详解】原式． 2．若，则（   ） A． B． C．64 D． 【答案】D 【详解】． 3．（多选）下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用指数函数、对数函数单调性比较大小即得. 【详解】对于AB，，A错误，B正确； 对于CD，，C错误，D正确. 故选：BD 4．（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【详解】由，得，故A正确；由，得，则，所以，故B正确；由得，所以，解得或，故C错误；令，则，解得或，即或，则或，故D错误． 5．（2026高三·全国·专题练习）化简与求值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）利用根式和分数指数幂的运算性质直接求解即可； （2）将根式化为分数指数幂，然后利用分数指数幂的运算法则求解. 【详解】（1）原式． （2）原式． 02 指数函数的图象与性质 6．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抽象函数定义域以及根式的意义列式，结合指数函数单调性运算求解即可. 【详解】由题意可得：，解得， 所以函数的定义域为. 故选：D. 7．（多选）已知是奇函数，是偶函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用奇函数、偶函数定义建立方程组求出判断AC；利用指数、对数运算计算判断BD. 【详解】由，得，而是奇函数，是偶函数， 则，解得， 则，ACD正确，B错误. 故选：ACD 8．已知函数（且）满足，则（ ） A． B． C． D．3 【答案】D 【详解】由题意知，解得，所以，所以． 9．（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知，，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】代入即可逐一求解. 【详解】对于AD，， 而，故A正确，D错误； 对于B，∵，又， ∴，故B正确； 对于C，∵， 又， ∴，故C正确． 故选：ABC. 10．（2025·湖南长沙·模拟预测）若指数函数满足，则 ． 【答案】27 【分析】令且，根据题设得，即可求解. 【详解】令且，因为， 则，即，解得或（舍）， 所以，则， 故答案为：. 03 指数应用题 11．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述: 设物体的初始温度是 ， 后的温度是 ，则 ，其中 表示环境温度， 称为半衰期. 现有一杯88°C的咖啡放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃大约需要20 min，那么降温到35℃大约需要 （参考数据: ） （     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知求得半衰期，然后再计算可得． 【详解】由题意，即，，， 设降温到35℃大约需要，则， 即，， ， 所以， 故选：B． 12．某科研小组培育一种水稻新品种，由第1代1粒种子可以得到第2代120粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代120粒种子，则第10代得到的种子数为（    ）参考数据：， A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数模型计算即可. 【详解】由题意，第10代得到的种子数为 故第10代得到的种子数约为 故选：C. 13．生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减，大约每经过5730年，碳14含量衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，与死亡年数之间的函数关系式为（其中为常数）.2024年考古学家挖掘出某生物标本，经研究发现该生物体内碳14残余量约占原始含量的81%，则可推断该生物死亡时间属于（    ）附：①参考数据：，②参考时间轴如图： A．东汉 B．三国 C．西晋 D．东晋 【答案】C 【分析】由条件可得时，，由此可求，再由列方程求判断结论. 【详解】因为大约每经过5730年，碳14含量衰减为原来的一半， 所以可近似认为时，， 又与死亡年数之间的函数关系式为， 所以，故， 所以， 令，可得， 两边取以为底数的对数可得，又， 所以， ， 所以该生物体大约死亡于公元年，即该生物体死亡时间属于西晋. 故选：C. 14．衣柜里的樟脑丸随着时间会挥发，使得体积缩小，刚放进的新丸体积为，经过天后，体积与天数的关系式为.已知新丸经过25天后，体积变为，则新丸经过75天，体积变为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题干中的指数函数模型得，进而将代入模型计算即可. 【详解】分别设和时的体积为，则，即. 又当时. 故选：C. 04 值域 15．（2025·福建厦门·三模）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先化简求解集合、，再求即可. 【详解】， ， 因为，函数单调递增， 所以，所以，即 . 所以. 故选：C 16．已知函数的值域为的值域为，则（   ） A．0 B．1 C．3 D．5 【答案】A 【分析】由指数函数的单调性可得函数的值域为，可得的值，再结合对数函数的单调性得的最小值为9，从而可得的值，即可得解． 【详解】因为，所以， 即函数的值域为，所以， 因为的值域为， 所以的最小值为9，所以，解得， 所以． 故选：A． 17．（多选）设函数，下列说法正确的是（    ） A．函数是偶函数 B．函数的值域是 C．值域为 D．函数是偶函数 【答案】AD 【分析】利用偶函数的定义判断即可A、D；对化简，根据分段函数求值域的方法求解可判断B；根据复合函数求值域的方法求解可判断C. 【详解】对于A，已知函数， 因为函数的定义域为，定义域关于原点对称， 且， 则函数为偶函数，故A正确； 对于B，函数化为分段函数为 因为当时，，， 同理可得时，， 则函数的图象如图所示： 由图象可得函数的值域为，故B错误； 对于C，已知，令，， ，解得， 即，而函数的值域为，函数取不到， 即的值域中没有，C错误； 对于D，函数, ， 故是偶函数，故D正确． 故选：AD． 18．已知函数的值域为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意可先确定时的值域，再利用函数的值域为，得到时，函数的单调性及端点函数值的范围即可求. 【详解】因为时，，所以， 又的值域为，所以时，的值域至少要取到， 则. 故答案为：. 05 定点及图象问题 19．已知幂函数在区间上单调递减，则函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由幂函数的性质求出，再由指数函数的性质可得. 【详解】因为幂函数在区间上单调递减， 则解得， 所以，，则，即函数的图象过定点. 故选：A. 20．（多选）已知实数a，b满足等式，则下列关系可以成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】如图，观察易知，或或，因此A，B，D均可成立 21．函数与的图象关于（    ） A．轴对称 B．轴对称 C．直线对称 D．原点中心对称 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用对称性逐项判断即得. 【详解】令函数，， 对于A，，，，A错误； 对于B，，，，B错误； 对于C，点在的图象上，而，即点不在的图象上，C错误； 对于D，，，两个函数图象关于原点中心对称，D正确. 故选：D 22．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇偶性的定义判断为奇函数，再结合的符合及排除法，即可得. 【详解】由，且定义域为R， 所以为奇函数，排除A、B； ，排除D. 故选：C 23．已知函数且的图象过定点，若角的终边过点，则 . 【答案】/ 【分析】先利用指数函数定义求出定点坐标，再利用正弦函数定义可得. 【详解】因为函数过定点，由指数函数性质可知点横坐标为3， 代入可得，由正弦函数定义可知. 故答案为：. 06 单调性问题 24．下列函数中，在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合指数函数、对数函数单调性逐项判断. 【详解】函数、、在上都单调递减，ABC不是； 函数在上单调递增，D是. 故选：D 25．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复合函数的单调性，结合二次函数、指数函数的单调性可得结果. 【详解】函数中，令，则函数在上单调递减，上单调递增， 而函数为减函数，因此函数在上单调递增，上单调递减， 所以函数的单调递增区间是. 故选：A. 26．（2025·重庆·三模）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数、二次函数单调性及分段函数单调性列式求解. 【详解】依题意，函数在上单调递减，则，解得， 又函数在上单调递减，则， 所以的取值范围是. 故选：B 27．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若的最大值为2，求的值． 【答案】 【分析】设，由有最大值2，结合复合函数的单调性，知有最小值，则可将问题转化为二次函数的最值问题，求解即可． 【详解】设，则． ∵为减函数，又有最大值为2，∴有最小值． 因此，解得． 的值为. 07 比较指数幂大小 28．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的性质比较大小. 【详解】，则，因此， ，因此， 所以a，b，c的大小关系为. 故选：D 29．（2025·山东泰安·模拟预测），则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数与指数函数的图象与性质，分别求得的取值范围，即可求解. 【详解】由幂函数为增函数，得； 由指数函数为减函数，得； 由对数函数为减函数，得. 所以. 故选：A. 30．（2025·甘肃白银·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得,然后结合指数函数单调性和分式不等式性质可以判定的正负，进而做出判定. 【详解】∵，∴，∴， 又∵，∴，∴； 又，且， ∴，∴， ∴. 故选：C 31．（2025·河南许昌·模拟预测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数及对数函数的单调性结合指对数运算比较大小. 【详解】由题意知，， 又函数在上单调递增，而3.4，即， 又在上单调递增，所以，即. 故选:D. 08 解指数不等式 32．（2025·福建泉州·模拟预测）设，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由指数函数单调性和一元二次不等式的解法求集合，判断包含关系，再由充分、必要性定义即可得. 【详解】由，， 所以，即是的充分不必要条件. 故选：A 33．（2025·湖北·模拟预测）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出集合，再应用交集定义计算求解. 【详解】由，所以. 又，所以. 故选：D. 34．（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数则的解集是 ． 【答案】 【分析】根据给定的分段函数，探讨其奇偶性和单调性，再利用性质求解不等式. 【详解】当时，，，； 当时，，，；当时，， 因此函数为奇函数，函数在上单调递减，在上单调递减， 则函数在上单调递减，则， 于是，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 09 指数的综合应用 35．（2025·天津和平·三模）定义域为的函数满足，当时，，若时，，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题意求出函数在区间上的最小值，根据题意得出，解该不等式即可得解. 【详解】当时，恒成立，则， 因为定义域为的函数满足， 当时，， 当时，， 则 ， 因为，此时； 当时，， 则， 因为，则，则，所以， 所以，函数在上的最小值为， 所以，，即，即，解得或. 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 36．（多选）已知为偶函数，为奇函数，且满足．若存在，使得不等式有解，则实数m的值可以为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】AB 【详解】因为①，所以．又为偶函数，为奇函数，所以②，联立①②，得，．由得．因为为增函数，所以当时，，所以，结合选项知m的值可以为． 37．若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】从已知不等式中分离出实数a，得.因为函数在R上是减函数，所以当时，，从而得，所以. 38．已知函数与，若对任意的，总有恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】. 【分析】将条件转换为若对任意的，总有恒成立，分离参数结合基本不等式即可求解. 【详解】， 所以若对任意的，总有恒成立， 即对任意的，总有恒成立， 即对任意的，总有恒成立， 而当时，，等号成立当且仅当， 所以当时，有最小值且最小值是2， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 1．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析函数的定义域、奇偶性及其在时的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数，有，解得， 所以，函数的定义域为， 因为，即函数为偶函数，排除AB选项， 当时，，，则，排除C选项. 故选：D. 2．是的偶函数，且在上单调递增，设 则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性、单调性，结合指数函数和对数函数的性质，判断出三者的大小关系. 【详解】由于为偶函数，则， 又，， 所以，因为是的偶函数，且在上单调递增， 所以在上单调递减，则. 故选：A 3．已知幂函数在上单调递增，函数，任意时，总存在使得，则的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【分析】由题意，求得，根据幂函数的单调性，求得当时，，再由指数函数的单调性，求得当时，，结合题设条件，列出不等式组，即可求解. 【详解】由幂函数在上单调递增， 可得，解得，即， 当时，函数为单调递增函数，所以当时，， 又由函数为单调递增函数， 可得时，， 又因为任意时，总存在使得， 所以，解得. 故选：D. 4．（多选）已知函数，下面说法正确的有（   ） A．的图象关于轴对称 B．的图象关于原点对称 C．的值域为 D．，且恒成立 【答案】BC 【分析】判断的奇偶性即可判断选项AB，求的值域可判断C，证明的单调性可判断选项D，即可得正确选项. 【详解】的定义域为，关于原点对称, ，所以是奇函数，图象关于原点对称， 故选项A不正确，选项B正确； ，因为，所以，所以， ，所以，可得的值域为，故选项C正确； 设任意的， 则， 因为，，，所以， 即，所以，故选项D不正确； 故选：BC 5．已知函数若实数，，满足，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出函数得图象，根据图象先确定，再由函数确定出的取值范围，再由确定出，即可求解. 【详解】作出函数的图象，如图， 当时，， 由图可知，，即， 得，则． 由，即，得，求得， ， 故选：D． 6． 若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用的单调性得，再利用函数和函数的单调性判断的大小关系. 【详解】若，且， 由函数在上为减函数，， 则， 又函数在上为减函数，则， 又函数在上为增函数，则， 因此可得. 故选：C. 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出． 【详解】［方法一］：（指对数函数性质） 由可得，而，所以，即，所以. 又，所以，即， 所以.综上，. ［方法二］：【最优解】（构造函数） 由，可得． 根据的形式构造函数 ，则， 令，解得 ，由 知 . 在 上单调递增，所以 ，即 ， 又因为 ，所以 . 故选：A. 【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法； 法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解． 2．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果. 【详解】由得：， 令， 为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数， ， ，，，则A正确，B错误； 与的大小不确定，故CD无法确定. 故选：A. 【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想. 3．已知，则 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，且幂函数在 上单调递增，所以b<a<c. 故选A. 点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小. 4．若a＞b＞0，0＜c＜1，则 A．logac＜logbc B．logca＜logcb C．ac＜bc D．ca＞cb 【答案】B 【详解】试题分析：对于选项A，，，，而，所以，但不能确定的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B，,，两边同乘以一个负数改变不等号方向，所以选项B正确;对于选项C，利用在第一象限内是增函数即可得到，所以C错误;对于选项D，利用在上为减函数易得，所以D错误.所以本题选B. 【考点】指数函数与对数函数的性质 【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较. 5．已知函数 的定义域和值域都是 ，则 . 【答案】 【详解】若 ，则 在上为增函数,所以 ，此方程组无解； 若 ，则在上为减函数,所以 ，解得 ，所以. 考点：指数函数的性质. 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$