精品解析：2025年湖北省中考数学试题

2025年湖北省中考数学试题 本试题卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 数轴上表示数的点如图所示，下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 2. “月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，拟用于未来建造月球基地．如图是一种“月壤砖”的示意图，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算的结果为的是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程 的两个实数根为，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 数学中的“ ”可以看作是两条平行的线段被第三条线段所截而成，放大后如图所示．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 在下列事件中，不可能事件是（ ） A. 投掷一枚硬币，正面向上 B. 从只有红球的袋子中摸出黄球 C. 任意画一个圆，它是轴对称图形 D. 射击运动员射击一次，命中靶心 7. 如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻 （单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻 大于时，电流可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，内接于．分别以点和点为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点，连接并延长交于点，连接，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（ ） A. B. 2 C. D. 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 一个矩形相邻两边的长分别为2，m，则这个矩形的面积是______． 12. 已知一次函数随 的增大而增大．写出一个符合条件的的值是______． 13. 窗，让人足不出户便能将室外天地尽收眼底．如图，“步步锦”“龟背锦”“灯笼锦”是我国传统的窗格构造方式，从这三种方式中随机选出一种制作窗格，选中“步步锦”的概率是______． 14. 计算的结果是______． 15. 如图1，在中，．动点P，Q均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿边CA向点运动．当点运动到点时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：s）的关系如图2所示．（1） ______；（2）______． 三、解答题（共9题，共75分） 16. 计算：． 17. 如图， 平分．求证： ． 18. 如图，甲、乙两栋楼相距30m，从甲楼处看乙楼顶部的仰角为到地面的距离为18m，求乙楼的高．（参考数据：） 19. 为加强劳动教育，学校制定了《劳动习惯养成计划》，实施“家校社”联动行动，引导学生参与家务劳动、公益劳动等实践活动．学校在学期初和学期末分别对七年级学生开展了“一周参与劳动时间”的问卷调查，两次调查均随机抽取50名学生．根据收集到的数据，将劳动时间 （单位：）分为，四组进行统计，并绘制了学期初调查数据条形图，学期末调查数据扇形图和两次调查数据的平均数、中位数、众数统计表，部分信息如下． 学期初调查数据条形图 学期末调查数据扇形图 两次调查数据统计表 时间 平均数 中位数 众数 学期初 2.8 2.9 2.8 学期末 3.5 3.6 3.6 （1）在学期初调查数据条形图中，B组人数是______人，并补全条形图； （2）七年级有500名学生，估计学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于的人数； （3）该校七年级学生一周参与劳动时间，学期末比学期初有没有提高？结合统计数据说明理由． 20. 幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 主题 探究月历与幻方的奥秘 活动一 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． （1）移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则 是______，是______； （2）移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则是______，是______； （注：用含的代数式表示和．） 活动二 移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． （3）若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则 是______，是______； （4）若方框选取的数中最小的数是，调整后，部分数的位置如图6所示，则是______（用含的代数式表示）． 21. 如图，是的外接圆，．过点作 ，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的半径． 22. 某商店销售A，B两种水果．A水果标价14元／千克，B水果标价18元／千克． （1）小明陪妈妈在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付款46元．这两种水果各买了多少千克？ （2）妈妈让小明再到这家商店买两种水果，要求B水果比A水果多买1千克，合计付款不超过50元．设小明买A水果千克． ①若这两种水果按标价出售，求的取值范围； ②小明到这家商店后，发现两种水果正在进行优惠活动：A水果打七五折；一次购买B水果不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打七五折．（注：“打七五折”指按标价的 出售．）若小明合计付款48元，求的值． 23. 在中，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接． （1）如图1，求证： ； （2）如图2，当 时，求的长； （3）如图3，过点作的平行线交的延长线于点，过点作的平行线交于点G，与交于点． ①求证： ； ②当时，直接写出的值． 24. 抛物线与 轴相交于点和点，与轴相交于点， 是抛物线的顶点，是抛物线上一动点，设点的横坐标为． （1）求的值； （2）如图1，若点在对称轴左侧，过点作对称轴的垂线，垂足为，求的值； （3）定义：抛物线上两点M，N之间的部分叫做抛物线弧（含端点和）．过，分别作 轴的垂线，过抛物线弧的最高点和最低点分别作轴的垂线，直线与围成的矩形叫做抛物线弧的特征矩形．若点在第四象限，记抛物线弧的特征矩形的周长为． ①求关于的函数解析式； ②过点作轴，交抛物线于点，点与点不重合．记抛物线弧的特征矩形的周长为．若，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年湖北省中考数学试题 本试题卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 数轴上表示数的点如图所示，下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数轴上数的大小比较，掌握数轴的特点是关键． 根据数轴的特点得到，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴ ， 故选：A ． 2. “月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，拟用于未来建造月球基地．如图是一种“月壤砖”的示意图，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了判断几何体的三视图（判断简单组合体的三视图）．主视图是从正面看到的视图，据此即可得出答案． 【详解】解：根据题中“月壤砖”的示意图，可知其主视图为 故选：． 3. 下列运算的结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法与除法运算，幂的乘方运算，根据合并同类项，同底数幂的乘法与除法运算，幂的乘方运算，逐一计算各选项的结果，判断是否为. 【详解】解：A. ，结果为，非， B. ，结果为，非， C. ，结果为，符合题意， D. ，结果为，非； 故选：C 4. 一元二次方程 的两个实数根为，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算根的和与积，结合选项判断正确答案. 【详解】解：对于方程 ，设其根为和， 根据根与系数的关系： ∴，； 故选：D 5. 数学中的“ ”可以看作是两条平行的线段被第三条线段所截而成，放大后如图所示．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质、对顶角相等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．由平行线的性质得到，再由对顶角相等得到即可． 【详解】解：如图， ∵，两条平行线a，b被第三条直线c所截， ∴， ∴， 故选：D 6. 在下列事件中，不可能事件是（ ） A. 投掷一枚硬币，正面向上 B. 从只有红球的袋子中摸出黄球 C. 任意画一个圆，它是轴对称图形 D. 射击运动员射击一次，命中靶心 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是事件的分类以及不可能事件的含义，根据不可能事件的定义，即在一定条件下必然不会发生的事件，对各选项逐一分析. 【详解】解：选项A：投掷硬币可能出现正面或反面，是随机事件，不合题意； 选项B：袋子中仅有红球，无黄球，因此摸出黄球不可能发生，属于不可能事件，符合题意； 选项C：圆无论大小或位置，始终是轴对称图形，属于必然事件，不合题意； 选项D：射击可能命中或脱靶，是随机事件，不合题意； 综上，只有选项B符合不可能事件的定义， 故选：B． 7. 如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的对称性、关于原点中心对称的点的坐标特征等知识，由题意，结合平行四边形的对称性可知点与点关于坐标原点中心对称，由关于原点中心对称的点的坐标特征即可得到答案．熟记平行四边形的对称性、关于原点中心对称的点的坐标特征是解决问题的关键． 【详解】解：∵平行四边形的对角线交点在原点， ∴， 点与点关于坐标原点中心对称， 点的坐标为， 点的坐标是， 故选：C． 8. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻 （单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻 大于时，电流可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用；设该反比函数解析式为，根据当时，，可得该反比函数解析式为，再结合在第一象限随 的增大而减小可得答案． 【详解】解：设该反比函数解析式为， 由题意可知，当时，， ， 解得：， 该反比函数解析式为， ∴在第一象限随 的增大而减小； 当时，， ∴电流可以为， 故选：A． 9. 如图，内接于．分别以点和点为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点，连接并延长交于点，连接，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，等边对等角，圆周角定理的应用，由是的垂直平分线，可得，可得，再进一步求解即可. 【详解】解：由作图可得：是的垂直平分线， ∴，而， ∴， ∴， 故选：C 10. 如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，过作 于，由对折可得： ， ，，，证明，而，可得，求解，，证明，，可得，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，过作 于， ∵正方形， ∴，， ，， ，， 由对折可得： ， ，，， ∴，而， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴； 故选：B. 【点睛】本题考查的是正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 一个矩形相邻两边的长分别为2，m，则这个矩形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】该题考查了列代数式，根据矩形的性质求面积，根据矩形的面积是长宽即可解答． 【详解】解：根据题意可得矩形的面积是， 故答案为：． 12. 已知一次函数随的增大而增大．写出一个符合条件的的值是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键．根据函数的性质，当时，y随x的增大而增大解答即可． 【详解】解：∵一次函数中随的增大而增大， ∴， 故可取． 故答案为：（答案不唯一）． 13. 窗，让人足不出户便能将室外天地尽收眼底．如图，“步步锦”“龟背锦”“灯笼锦”是我国传统的窗格构造方式，从这三种方式中随机选出一种制作窗格，选中“步步锦”的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】该题考查了概率公式，根据概率公式求解即可． 【详解】解：共有“步步锦”“龟背锦”“灯笼锦”三种窗格， 故选中“步步锦”的概率是， 故答案为：． 14. 计算的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式的加减运算，先通分，再计算即可. 【详解】解：； 故答案为： 15. 如图1，在中，．动点P，Q均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿边CA向点运动．当点运动到点时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：s）的关系如图2所示．（1） ______；（2）______． 【答案】 ①. 8 ②. 12 【解析】 【分析】本题考查动点的函数图象，相似三角形的判定和性质，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键： （1）观察图象可知，当 时，点与点重合，得到，利用直角三角形的面积公式进行计算，求出 的值即可； （2）根据图象当 时，，此时，过点作 ，根据面积公式求出的长，证明，列出比例式求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：（1）观察图象可知，当 时，点与点重合， ∵动点P，Q均以的速度从点同时出发， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）由图象可知，当 时，，此时， 过点作 于点，如图：则：， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴； 故答案为：12． 三、解答题（共9题，共75分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，乘方和绝对值等计算，先计算二次根式乘法，再计算乘方和绝对值，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解； ． 17. 如图， 平分．求证： ． 【答案】 证明：∵平分， ∴ ， ∵ ， ， ∴， ∴ ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先根据角平分线得到 ，再由证明 ，即可得到 ． 【详解】略 18. 如图，甲、乙两栋楼相距30m，从甲楼处看乙楼顶部的仰角为到地面的距离为18m，求乙楼的高．（参考数据：） 【答案】乙楼的高为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键． 由题意得，四边形为矩形，，，，则，，，然后解求出，再由 即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得，四边形为矩形，，， ∴，，， ∵在中，， ∴， ∴， 答：乙楼的高为． 19. 为加强劳动教育，学校制定了《劳动习惯养成计划》，实施“家校社”联动行动，引导学生参与家务劳动、公益劳动等实践活动．学校在学期初和学期末分别对七年级学生开展了“一周参与劳动时间”的问卷调查，两次调查均随机抽取50名学生．根据收集到的数据，将劳动时间（单位：）分为，四组进行统计，并绘制了学期初调查数据条形图，学期末调查数据扇形图和两次调查数据的平均数、中位数、众数统计表，部分信息如下． 学期初调查数据条形图 学期末调查数据扇形图 两次调查数据统计表 时间 平均数 中位数 众数 学期初 2.8 2.9 2.8 学期末 3.5 3.6 3.6 （1）在学期初调查数据条形图中，B组人数是______人，并补全条形图； （2）七年级有500名学生，估计学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于的人数； （3）该校七年级学生一周参与劳动时间，学期末比学期初有没有提高？结合统计数据说明理由． 【答案】（1），补全图形见解析 （2）人 （3）有提高，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，利用样本估计总体，平均数，中位数，众数的含义； （1）先由总人数减去已知小组的人数可得B组人数，再补全图形即可； （2）由总人数乘以学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于的人数的百分比即可得到答案； （3）根据平均数，中位数，众数的含义进行分析即可. 【小问1详解】 解：在学期初调查数据条形图中，B组人数是人， 补全条形图如下： ； 【小问2详解】 解：七年级有500名学生，估计学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于的人数有： （人）. 答：学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于的人数有340人； 【小问3详解】 解：由表格信息可得：学期末比学期初的一周参与劳动时间的平均数，中位数，众数都增加了， ∴该校七年级学生一周参与劳动时间，学期末比学期初有提高. 20. 幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 主题 探究月历与幻方的奥秘 活动一 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． （1）移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则是______，是______； （2）移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则是______， 是______； （注：用含的代数式表示和 ．） 活动二 移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． （3）若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则 是______，是______； （4）若方框选取的数中最小的数是，调整后，部分数的位置如图6所示，则是______（用含的代数式表示）． 【答案】（1）（2）（3）11，3（4） 【解析】 【分析】本题考查列代数式，解一元一次方程，找准等量关系，正确的列出代数式和方程，是解题的关键： （1）观察日历表中方框中的数字之间的数量关系，列出算式求解即可； （2）观察日历表中方框中的数字之间的数量关系，列出算式求解即可； （3）根据幻方的特点，列出算式，进行求解即可； （4）先根据是最小数，表示出其它的数，根据幻方的特点，列出方程，进行求解即可． 【详解】解：（1）由图可知：； 故答案为：； （2）由图可知：； 故答案为：； （3）由题意，得：，； 故答案为：11，3； （4）∵最小的数为，则剩余的数为：， ∴， 解得：； 故答案为：． 21. 如图，是的外接圆，．过点作 ，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1）证明过程见详解 （2）的半径 【解析】 【分析】（1）根据垂直，切线的性质得到，可得 是等腰直角三角形，由此即可求解； （2）根据垂径定理得到，是等腰直角三角形，由（1）得到，则，如图所示，连接，设 ，则，由此勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：∵ ，是的切线，即， ∴， ∴， ∴，即 是等腰直角三角形， ∴； 【小问2详解】 解：∵ ， ∴， ∵， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， 由（1）得， ∴， 如图所示，连接，设 ，则， ∴在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴的半径． 【点睛】本题主要考查圆内接三角形的综合，掌握垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，切线的性质等周四，数形结合分析是关键． 22. 某商店销售A，B两种水果．A水果标价14元／千克，B水果标价18元／千克． （1）小明陪妈妈在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付款46元．这两种水果各买了多少千克？ （2）妈妈让小明再到这家商店买两种水果，要求B水果比A水果多买1千克，合计付款不超过50元．设小明买A水果 千克． ①若这两种水果按标价出售，求 的取值范围； ②小明到这家商店后，发现两种水果正在进行优惠活动：A水果打七五折；一次购买B水果不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打七五折．（注：“打七五折”指按标价的 出售．）若小明合计付款48元，求 的值． 【答案】（1）购买A种水果2千克，B种水果1千克 （2）① ；② 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用； （1）设购买A种水果x千克，B种水果y千克，根据在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付款46元．再建立方程组解题即可； （2）①设小明买A水果 千克，则B种水果购买了千克，根据要求B水果比A水果多买1千克，合计付款不超过50元，再建立不等式求解即可；②设小明买A水果 千克，则B种水果购买了千克，根据不同的优惠方式可得，再解方程即可. 【小问1详解】 解：设购买A种水果x千克，B种水果y千克， 依题意得：， 解得：． 答：购买A种水果2千克，B种水果1千克． 【小问2详解】 解：①设小明买A水果 千克，则B种水果购买了千克， ∴， 解得：， ∴结合实际可得： ； ②设小明买A水果 千克，则B种水果购买了千克， ∴， 解得：. 23. 在中，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接． （1）如图1，求证： ； （2）如图2，当 时，求的长； （3）如图3，过点作的平行线交的延长线于点，过点作的平行线交于点G， 与交于点． ①求证： ； ②当时，直接写出的值． 【答案】（1） 证明：∵将绕点旋转得到，点的对应点落在边上， ∴ ， ∴ ， ∴ ． （2） （3） ①证明：设旋转角为， 则 ， ∴ ， ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ； ② 【解析】 【分析】（1）根据旋转可得 ，则，即可证明 ． （2）根据 ，，可得，即可得出 ，过作 ，则 ，即 ，在 中勾股定理求出，则，在 中勾股定理求出，根据 ，得出，即可求出． （3）①设旋转角为，则 ，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出 ， ，根据，得出 ， ，即可得 ，根据 ，得出 ，即可得 ，证明 ，得出，结合 ，得出 ； ②根据，设 ，证明四边形 是平行四边形，得出 ，由①得 ，在 中，勾股定理得出 ，则，则，根据 ，得出 ，根据 ，得出 ，证明 ， ，则，求出 ，由①可得 ，得出 ，证出点 四点共圆，根据圆周角定理得出 ，证明 ，得出，设 ，则 ，根据旋转可得 ，则 ，联立 求出 ，再根据即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ，， ∴， ∴ ， 过作 ， ∴ ， ∴ ， 在 中， 即， 解得：， （舍去）， ∴， 在 中， ∴， ∵ ， ∴， 即， ∴． 【小问3详解】 ①略 ②解：∵， ∴设 ， ∵ ， ∴四边形 是平行四边形， ∴ ， 由①得 ， 在 中，， ∴ ， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 即 ， 即 ， ∴ ， ∴ ， ∴， 即， ∴ ， 由①可得 ， ∴ ， ∴点 四点共圆， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴， 设 ， 则 ， 根据旋转可得 ， ∴ ， 联立 可得 ， ∴． 【点睛】该题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，圆周角定理，圆内接四边形，解直角三角形，平行四边形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，证明三角形相似． 24. 抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，是抛物线的顶点，是抛物线上一动点，设点的横坐标为． （1）求的值； （2）如图1，若点在对称轴左侧，过点作对称轴的垂线，垂足为，求的值； （3）定义：抛物线上两点M，N之间的部分叫做抛物线弧（含端点和）．过，分别作轴的垂线，过抛物线弧的最高点和最低点分别作轴的垂线，直线与围成的矩形叫做抛物线弧的特征矩形．若点在第四象限，记抛物线弧的特征矩形的周长为． ①求关于的函数解析式； ②过点作轴，交抛物线于点，点与点不重合．记抛物线弧的特征矩形的周长为．若，直接写出的长． 【答案】（1） （2）2 （3）①②或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法进行求解即可； （2）一般式化为顶点式，求出点坐标，根据点横坐标，得到，进而求出，进行求解即可； （3）①求出点，点坐标，分，，三种情况，分别求出矩形的两条邻边长，利用周长公式，列出函数关系式即可； ②根据轴，得到 关于对称轴对称，进而求出点坐标，分分，，三种情况，求出的函数关系式，再根据，分别求出满足题意的的值，进而求出的长即可． 【小问1详解】 解：把代入，得：， ∴； 【小问2详解】 由（1）可知：， ∴， ∵是抛物线上一动点，设点的横坐标为， ∴， ∵过点作对称轴的垂线，垂足为， ∴，， ∴； 【小问3详解】 ①当时，，当时， ， ∴，， 由（2）可知：，，对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为 ∵在第四象限， ∴， 当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：， ∴； 当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：， ∴； 当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：， ∴； 综上：； ②∵轴， ∴ 关于对称轴对称， ∴， 当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：， ∴； ∵， ∴，解得：（舍去）或； ∴； 当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：， ∴； ∵， ∴，解得：或（舍去）； ∴； 当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：， ∴； ∵， ∴，解得：（舍去）或； ∴ 综上：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $